2025年高考數(shù)學熱點、重難點題型專項復習：集合與常用邏輯用語（新高考專用）（解析版）

第01講集合與常用邏輯用語（八大熱點、九種解題

模型）

題型一：集合的表示

一、單選題

1.（2022?江蘇南通?模擬預測）設集合A={（x,y）|2x—y=o},8={y|y=Y-2x+3},

則418=（）

A.{1,3}B.{（1,2）,（3,6）}C.{y|y>2}D.0

【答案】D

【分析】根據(jù)兩集合元素的特征判斷即可；

【詳解】解：因為集合A為點集，集合B為數(shù)集，所以=

故選：D

2.（2022?河北秦皇島?三模）已知集合4={1,2,3},3={（工,丫）,€4,丫€閡N-引€4}中所

含元素的個數(shù)為（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【分析】根據(jù)題意利用列舉法寫出集合B,即可得出答案.

【詳解】解:因為A={1,2,3},

所以2={（2,1）,（3,1）,（3,2）,（1,2）,（1,3）,（2,3）},3中含6個元素.

故選：C.

二、填空題

3.（2022?上海?模擬預測）已知集合4=卜|尤2-4X<0,XWN*},則用列舉法表示集合

______

【答案】{1,2,3}

【分析】根據(jù)不等式的解法，求得0<x<4,進而利用列舉法，即可求解.

【詳解】由不等式f-4尤<0,可得尤（尤-4）<0,解得0<》<4,

即集合A={x[0<x<4且xeN*}={l,2,3}.

故答案為：{1,2,3}.

題型二：集合元素的特征

一、單選題

1

1.（2022?重慶?模擬預測）已知集合A={1,2,3},B={a-b\a^A,beA],則集合8中元

素個數(shù)為（）

A.5B.6C.8D.9

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件分析a,6取值即可判斷作答.

【詳解】集合A={1,2,3},B=[a-b\a^A,b^A],

貝!J當〃時，有〃一人=0,當人時，〃一人=1或。一匕=2,當時，4一人=一1或

ci—b=-2,

所以5={-2,—1,0,1,2},集合6有中5個元素.

故選：A

2.（2022?重慶南開中學模擬預測）己知集合&={-1,0,1},B={a+b\a^A,b^A],則集

合3=（）

A.{-1,1}B.{-1,0,1}C.{-2,-1,1,2}D.{-2,-1,0,1,2}

【答案】D

[分析]根據(jù)A={-l,0,l}求解3={。+瓦aeA匕€&}即可

【詳解】由題，當時。+〃最小為（-1）+（—1）=—2,最大為1+1=2,且可得

（-l）+o=-l,0+0=0,0+1=1,故集合8={-2,-1,0,1,2}

故選：D

3.（2022?廣東?揭西縣河婆中學模擬預測）已知集合A、集合3={2,3間,耳，且

A^B={3A},則下列結論正確的是（）

A.有可能。+。=8B.a+/?w8

C.a+b<8D.a+b>8

【答案】B

[分析]由交集結果和集合中元素的互異性可知a+b^.

【詳解】?.?3={2,3,〃,耳，AnB={3,4},

若a=4,由集合中元素互異性知：Z?w4,「.a+0w8；

若8=4,同理可知：QW4,「.a+6w8；

綜上所述：a+bw8.

故選：B.

題型三：集合的關系

2

一、單選題

1.（2022?河北?石家莊二中模擬預測）已知集合4={（龍廣）}=/},

3={（尤，＞）”=?},則AC8的真子集個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】解方程組可求得AQB，根據(jù)ACB元素個數(shù)可求得真子集個數(shù).

［詳解］由］＞=苫得：==,.-.AnB={（O,O）,（l,l）},

y=y/x=u［y=i

即an3有2個元素，二ACB的真子集個數(shù)為22-1=3個.

故選：C.

2.（2022?海南海口?模擬預測）已知集合加={-2,0,1},N=［x\x2+ax-2=0^,若

NjM,則實數(shù)a=（）

A.2B.1C.0D.-1

【答案】B

【分析】對于集合N,元素x對應的是一元二次方程的解，根據(jù)判別式得出必有兩個不相

等的實數(shù)根，又根據(jù)韋達定理以及NaM,可確定出其中的元素，進而求解.

【詳解】對于集合“因為A="+8＞0,

所以“中有兩個元素，且乘積為-2,

又因為所以N={-2,1},

所以—a=—2+1=—1.即a=1.

故選：B.

3.（2022?江蘇省木瀆高級中學模擬預測）已知全集〃，集合46為其子集，若

81@4）=0,則Au3=（）

A.B.&BC.AD.B

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，判斷集合46的關系，再利用并集的定義計算作答.

【詳解】全集〃，集合48為其子集，因BI（6A）=0,則有BaA,

所以AD6=A.

故選：C

4.（2022?山東聊城?三模）設集合M={%|1W3},^={x|log2（x-l）＜l},貝|

（）

A.N^MB.M窿NC.McN=MD.MuN=N

3

【答案】A

【分析】先求出集合N,再由真子集的定義即可求出答案.

【詳解】log2（x-l）<l=log22,所以0<x—l<2,所以l<x<3,

所以N={Hlog2（x-l）<l}={x[l<x<3},所以N呈

故選：A.

5.（2022?湖北?華中師大一附中模擬預測）若集合Au3=3cC,則對于集合A,2,C的

關系，則下列關系中一定正確的是（）

A.AcJBCCB.B三C口A

C.CoBoAD.BoAoC

【答案】A

【分析】根據(jù)交集和并集的性質，結合子集的性質進行判斷即可.

【詳解】由于AaAU3=3nC=3，同理知3=故4131。，

故選：A

6.（2022?河北張家口?三模）已知A={x|尤=2〃-l,〃eZ},B=^x\x=6k+m,k&7^,

機=0,1,2,3,4,5,若4口3=臺，則〃的取值集合為（）

A.{1,2,3}B.{2,3,5}C.{1,3,5}D.{0,2,4}

【答案】C

【分析】由題可知BuA,結合條件即得.

【詳解】'：A[}B=B,故BuA,

1/4=奇數(shù)集，3={x|x=6太左eZ}u{x[x=6左+1,左eZ}u{x[x=6左+2,左eZ}

u{x|x=6A?+3,AeZ}<j{x|x=6A+4,keZ}<j{x[x=6A+5,AeZ},

其中奇數(shù)集={司尤=6左+1,左eZ}u{x[x=6Z:+3,%eZ}u{x[x=6A:+5,Z:eZ},

.的取值集合為{L3,5}.

故選：C.

7.（2022?浙江?模擬預測）已知集合4={尤忖=4，3={1,2,3},則4口3=

（）

A.。B.{</>}C.{1,2,3}D.{。,{1,2,3}}

【答案】A

【分析】由子集的定義得出集合4再由集合的交集運算可得答案.

【詳解】解：因為集合4={X卜=周，8={1,2,3},

所以4={0,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}},

4

所以A「B=0,

故選：A.

8.（2020?南開中學模擬預測）由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學危機一直延續(xù)到19世紀，直到1872

年，德國數(shù)學家戴金德提出了“戴金德分割”才結束了持續(xù)2000多年的數(shù)學史上的第一次

大危機.所謂戴金德分割，是指將有理數(shù)集Q劃分為兩個非空的子集"與N,且滿足

MDN=Q,MCN=0,M中的每一個元素都小于N中的每一個元素，則稱（M,N）為

戴金德分割.試判斷，對于任一戴金德分割（7,N）,下列選項中一定不成立的是

（）

A.”沒有最大元素，N有一個最小元素

B.M沒有最大元素，N也沒有最小元素

C.M有一個最大元素，N有一個最小元素

D.M有一個最大元素，N沒有最小元素

【答案】C

【分析】本題目考察對新概念的理解，舉具體的實例證明成立即可，A,B,D都能舉出特定

的例子，排除法則說明C選項錯誤

【詳解】若河="€。"<0},N={xeQ,xNO}；則M沒有最大元素，N有一個最小元

素0;故A正確；

若^=k€°,%<立},N=\x^Q,x>42\.則〃沒有最大元素，N也沒有最小元素；故

B正確；

若“={%€。,;^0},N={xeQ,x>0}；M有一個最大元素，N沒有最小元素，故D正

確；

加有一個最大元素，N有一個最小元素不可能，故C不正確.

故選：C

二、多選題

9.（2021?河北衡水中學三模）已知集合4={尤€7?y-3龍

8={xe+依+。~—27<o},則下列命題中正確的是（）

A.若A=3,則。=一3B.若A=B,則。=一3

C.若3=0,貝!JaW-6或D.若。=3,則AcB={x|-3Vx<6}

【答案】ABC

【分析】解一元二次不等式求集合4根據(jù)各選項中集合的關系，列不等式或方程求參數(shù)

值或范圍，判斷4B,。的正誤，已知參數(shù)，解一元二次不等式求集合5應用交運算求

AC3判斷正誤即可.

5

【詳解】由己知得：4={4-3＜尤＜6},令g（x）=f+依+/-27

A：若A=g,即-3,6是方程g（x）=O的兩個根，則得”-3,正確；

[1-27=-18

g（-3）=a2-3a-18＜0

B：若Aab,則$,解得。=—3,正確；

g（6）=a2+6a+9＜0

C：當3=0時，△=。2一4（4一27）40,解得。4-6或。26,正確；

D：當“=3時，有2={無€用尤2+3工一18＜。}={.丫|-6＜%＜3},所以4門8={司―3＜無＜3},

錯誤；

故選：ABC.

10.（2021?廣東湛江?二模）已知集合4=卜€(wěn)郎2-3%-18＜0},

B={尤eR,+依+6r—27＜。},則下列命題中正確的是（）

A.若4=3,則。=一3B.若則。=一3

C.若3=0,則aW-6或a26D.若時，貝!|-6＜”＜—3或026

【答案】ABC

【分析】求出集合A,根據(jù)集合包含關系，集合相等的定義和集合的概念求解判斷.

【詳解】A={xeR卜3（尤＜6},若A=3,則a=—3,且/-27=-18,故A正確.

々=—3時，A=B故D不正確.

若A=8,貝|（一3）2+4.（—3）+。2-2740且62+6。+/—27V0,解得口=一3,故B正確.

當3=0時，a2-4（a2-27）＜0,解得aW-6或.26,故C正確.

故選：ABC.

三、填空題

11.（2022?上海金山?二模）已知集合4={-1,3,0},8={3,小},若B=A,則實數(shù)m的

值為.

【答案】0

【分析】解方程源=0即得解.

【詳解】解：因為31A,所以歷=-1（舍去）或瘍=0,

所以機=0.

故答案為：0

題型四：集合的運算

6

一、單選題

1.(2022?安徽蚌埠?一模)已知全集。={川-3c<3},集合4={x|d+x-2<0},則

A.(-2,1]B.(-3,-2]o[l,3)

C.[-2,1)D.(-3,-2)u(l,3)

【答案】B

【分析】先化簡集合A,再求其補集即可

[詳解]%2+x-2<0=^>(x+2)(x-l)<0=^>-2<x<1

A={x|-2<x<l},所以aA=(-3,-2Ml,3).

故選：B

2.(2022?江蘇?鹽城中學模擬預測)已知集合4=卜k2-3彳+22。},8=卜2+111尤=0},

則AAB=()

A.[2,+co)B.C.(-°o,0)D.(-<?,l]u[2,+co)

【答案】D

【分析】解一元二次不等式得集合A,求函數(shù)的值域得集合3,由集合交集的運算即可求

解.

【詳解】由不等式Y一3x+220,解得或彳22,所以集合4="|%<1或彳22},

由y+lnx=0得y=-lnx,因為x>0得”R,所以3=R,

所以4口3={%|%41或*22},

故選：D.

3.(2022?江蘇泰州?模擬預測)已知全集U={0,l,2,3,4,5,6},集合4={0,2,4,5},集合

3={2,3,4,6},用如圖所示的陰影部分表示的集合為()

A.{214}B.{0,3,5,6}

C.{0,2,3,4,5,6}D.{1,2,4}

【答案】B

【分析】根據(jù)文氏圖求解即可.

7

【詳解】AnB={2,4},AuB={0,2,345,6},陰影部分為{0,3,5,6}.

故選：B.

4.(2022?廣東?模擬預測)已知集合A=，(x,y)三|=“，集合

B=\^x,y)\ax+y-2-a=Q\,AC|B=0,則。的取值范圍是()

A.a=-lB.IER且awl

C.awR且aw—1D.awR且awl且aw—1

【答案】C

【分析】分析可知集合A表示直線y-2=x-l上去掉點(1,2)所構成的兩條射線，集合8表

示定點(1,2)且斜率存在的直線，根據(jù)直線的位置關系可得出關于。的不等式，解之即可.

【詳解】集合A表示直線y-2=x-l上去掉點(1,2)所構成的兩條射線，

,/、(x-1=0{x=l

在方程a(x—l)+y-2=0中，令c八可得,

[y-2=0[y=2

集合B表示過定點(1,2)且斜率存在的直線，

由4口臺=0得兩直線斜率不同，則—awl,解得。工-1.

故選：C.

5.(2022?廣西師范大學附屬外國語學校模擬預測)設集合A={(x,y)|y=2'},

8={?丁)卜=無2},則集合4仆8的元素個數(shù)為()

A.3B.2C.1D.0

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)y=2,與y=/的圖象的交點個數(shù)可得答案.

【詳解】因為函數(shù)>=2'與>=，在第二象限有唯一個交點，在第一象限有兩個交點(4,16)

和(2,4).

8

-1-

所以集合AAB的元素個數(shù)為3.

故選：A.

6.(2022?遼寧實驗中學模擬預測)已知集合48滿足

A=[x\x>a^,B=[x\x<a-^-b},(a,beR),若4|<>|5=氏則()

A.b<0B.b<0C.b>0D.b>0

【答案】D

【分析】根據(jù)并集的定義求解.

【詳解】由題意所以Z?2O.

故選：D.

7.(2022?湖北?孝昌縣第一高級中學三模)已知集合4={2,3,4},

B={.xeZ|x2-8x+12<0},則中元素的個數(shù)是()

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【分析】求出集合8,再根據(jù)并集的定義即可求出答案.

2

【詳解】B={%eZ|x-8.x+12<0}={xeZ|(x-2)(x-6)<0j={xeZ|2<x<6}={3,4,5})

所以Au3={2,3,4,5}.所以AU3中元素的個數(shù)是4.

故選：A.

8.(2022?湖南岳陽?模擬預測)已知集合[={0,1,2,3,4},8={x|x>就，若

9

An（。可有三個元素，則實數(shù)必的取值范圍是（）

A.[3,4）B.[1,2）C.[2,3）D.（2,3]

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，由集合6可得又由An（GB）有三個元素，由交集的意義分析可

得加的取值范圍，即可得答案.

【詳解】根據(jù)題意則/={0,1,2,3,4},B={x\x>ni\,備2={x|xW根},

若An（43）有三個元素，則有24根<3,

即實數(shù)力的取值范圍是[2,3）；

故選：C

二、填空題

9.（2022?上海?華師大二附中模擬預測）已知集合A=（0,2）,8=（1,3）,則473=

【答案】（。，3）

【分析】由并集的定義即可求解.

【詳解】由題，4。3=（0,3）,

故答案為:（0,3）

題型五：集合與排列組合概率

L.設集合A={1,2,3,…,2020},選擇4的兩個非空子集8和C,要使C中最小的數(shù)大于8

中的最大數(shù)，則不同的選擇方法有;

【答案】2018x2如9+1

【分析】

分類討論集合B中的最大元素，利用集合的非空子集的個數(shù)的求法把所有滿足題意的情況

求出來即可得出結果.

【詳解】由題意得：

當集合B中的最大元素為1時，滿足題意的集合B共有1個，對應的集合C共有（22低9一1）

個，即滿足題意的共有1X0289_1）個；

當集合8中的最大元素為2時，滿足題意的集合B共有2個，對應的集合C共有02018一1）

個，即滿足題意的共有2x（2238-1）個；

當集合B中的最大元素為3時，滿足題意的集合3共有22個，對應的集合C共有（2刈7-1）

個，即滿足題意的共有22x（22017T個；

當集合8中的最大元素為4時，滿足題意的集合B共有23個，對應的集合C共有（2286-1）

個，即滿足題意的共有2隈（2236一1）個；

當集合B中的最大元素為2019時，滿足題意的集合B共有22018個，對應的集合C共有

（2'-1）個，即滿足題意的共有220,8X（21-1）個；

10

綜上：滿足題意的不同的選擇方法有：

lx（22019-1）+2X（22018-1）+22X（22017+-1）

=2019x22019—（1+2+）+2?+2,+…+22°i8）=2019x22019

=2019X22019-（22019-1）=2018X22019+1,故答案為：2O18x22019+1.

2.（2022?上海?模擬預測）已知復數(shù)z是方程x+'=應的一個根，集合

X

M={x|x=z2z,-1,neN，）,若在集合〃中任取兩個數(shù)，則其和為零的概率為—

【答案】|

【分析】由題意解出z=1±YZi,根據(jù)復數(shù)的乘方以及集合的互異性確定

22

〃=]-當-爭，-。爭，。爭，。爭],根據(jù)古典概型處理運算.

乙乙乙乙乙乙乙乙

【詳解】x+-=V2,即/_①i+1=0,解得z=2^±走i

%22

當2=立+烏時，

22

二交叵

則z3=-也+烏，z5=-立一名,7行逝.

z=-----------------1，1

222222一了T"

當z=變_克i時，

22

,9_也_叵

則Z3=_也一且i,z5=.也+也i,Z7.V2V2

z-------1--------1，-］，.

22222222

則集合M有4個元素：1-孝-孝i,馬二-#+孝i,ZL#+^i,

OV2.V26.6V2,V272.

忘V2.

即加=-----------------1,------------1-------1,---------1-------1,-----------------1

々=三-31，22222222

若在集合〃中任取兩個數(shù)，共有如下可能：Z[Z2，Z]Z3，Z[Z4，Z2Z3，Z2Z4，Z3Z4,共6個基本事

21

件，其和為零的有Z1Z3*2Z4,共2個基本事件，則其和為零的概率為尸=1=彳

63

故答案為：

題型六：新定義

11

1.用久4）表示非空集合“中的元素個數(shù)'定義若“=

{1,2},8={x[（/+ax）?（f+ax+2）=0},且4*8=1,設實數(shù)a的所有可能取值組成的

集合是S則C（S等于（）

A.1B.3C.5D.7

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可得C（5）=l或C（3）=3,進而討論a的范圍，確定出C（B）,最后得

到答案.

【詳解】因為C（A）=2,A*B=1,所以C（3）=l或C（B）=3,

由x?+ax—0,得玉=0,%=—a，

關于x的方程x2+分+2=0,

當A=0時，即°=±20時，易知C（3）=3,符合題意；

當A>0時，即a<-20或a>2點時，易知0,-a不是方程/+水+2=0的根，故

C（3）=4,不符合題意；

當△<（）時，即-2&<a<2應時，方程/+辦+2=0無實根，

若a=0,則廬⑻,C（B）=1,符合題意,

若一20<。<0或0<〃<20,則C（5）=2,不符合題意.

所以5={0,20,-2&},故C（S）=3.故選：B.

2.在"元數(shù)集5={%,%,…,叫中，設…,若S的非空子集A滿足

n

x（A）=x（S）,則稱A是集合S的一個“平均子集”，并記數(shù)集S的左元“平均子集”的個

數(shù)為人因.已知集合S={1,2,3,4,5,6,7,8,9},T=-3-2-1,0,1,2,3,4},則下列說法錯

誤的是（）

A.人（9）=方⑴B.力⑻=瓜1）

&八⑹二方⑷D.病（5）=方（4）

【答案】c

【分析】根據(jù)新定義求出左元平均子集的個數(shù)，逐一判斷，由此得出正確選項.

【詳解】x（S）=5,將S中的元素分成5組（1,9）,（2,8）,（3,7）,（4,6）,（5）.

則力（5）=C?C=6,力⑹=竊=4,/（8）=仁=1,人（9）=1；

同理：x（T）=0,將T中的元素分成5組（1,-1）,（2,-2）,（3,-3）,（4,T）,（0）.

則方⑴=C：=1,加4）=C：=6.

，力（9）=力⑴，加8）=方⑴,力（9=力⑷,人⑹工力（4）.

故選：C.

3.（2022?北京朝陽?一模）對非空數(shù)集X,Y,定義X與丫的和集

X+Y={x+y\x^X,y^Y}.對任意有限集A,記|川為集合A中元素的個數(shù).

⑴若集合乂={0,5,10},r={-2,-i,o,i,2},寫出集合x+x與x+y；

⑵若集合X=M，w，…,x"}滿足不（尤2<???<%,”23,且|X+X|<2]X],求證：數(shù)列

X],巧，L,X”是等差數(shù)列；

⑶設集合x={占…，相}滿足玉<馬<…<Z，n>3,且%eZ（z.=l,2,…集合

12

B=^keZ\-m<k<m^(m>2,mwN),求證：存在集合A滿足|司41+且

\B\

XcA+B.

【答案】⑴X+X={0,5,10,15,20},X+y={—2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}；

(2)詳見解析；

(3)詳見解析.

【分析】(1)利用和集的定義即得；

(2)由題可得|X+X|=277-1,進而可得X+X中的所有元素為

xl+x1,x1+x2,xl+x3,---,xl+xn,x2+xn,x3+xn,---,xn+xn,結合條件可得

尤“一尤“T=龍,1一=???=尤2一%>0，即證；

(3)設{q}4=%+相+[_1)(2m+l),，eN*,令集合人:心多,

為一占

B=[k&7\-m<k<m\,進而可得間41+

\B\

A+32{reZ、<t<xn]^{xl,x2,x3,--；xn},即得.

(1)?.?集合X={0,5,10},Y={-2,-1,0,1,2},X+X={0,5,10,15,20},

X+y={-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)；

(2)：X]+X[<X]+%<占+退<…<匹+x“<々+斗<%+x,〈…〈尤,+%,；.集合X+X中

至少包含2〃-1個元素,所以|X+X|22〃-1,又因=〃，由題可知|X+X|<2〃，又|X+X|

為整數(shù)，...|X+X|V2”-1,.?.|X+X卜2〃-1,，X+X中的所有元素為

xl+xl,xl+x2,xl+x3,---,x1+xn,x2+xn,x3+xn,---,xn+xn,又

xl+xl,x2+xl,x2+x2,---,x2+xn_1,x2+xn,x3+xn,--；xn+xn^x+X中的2〃一1個元素，且

X

玉+王<X2+Xx<%2+%2<???<%2+n-\<%2+犬〃<%3+%〃<???<%”+%，

:.石+巧=x2+毛_](/=2,3,???,〃),即X.-Xj_x=x2=2,3,…,

???當一當_1=當_1一乙_2=3=工2-玉>。，???數(shù)列為，巧，匕,Z是等差數(shù)列；

(3)VB=^keZ\-m<k<m^,/.|fl|=2m+l,設%一玉二(2根+l)q+r,其中

(7，rGN,0<r<2m,設{4}是首項為玉+機，公差為2根+1的等差數(shù)列，即

at=+m+(z-l)(2m+l),zGN*,令集合A={q,電,…,則

=1+q=1+2mll=1+^|B|-1+1^

A+5={%,%+1,%+2,…，項+(2m+l)^+2m},即A+B=1^GZ|X,<t<\+(2m+l)^+2m1,

xn=七+(2m+l)^+r+(2m+l)^+2m,

13

/.A+B^[t^Z\xl<t<xn]^{xl,x2,x3,---,xn],所以X=A+3,故存在集合A滿足

巾1+王^且X6+反

題型七：集合與圓和圓錐曲線-

1.設集合M=［（x,y）卜=、4一一］,A^=|（x,j）|（x-2）2+（y-2）2=r2^（r>0）.當McN

有且只有一個元素時，則正數(shù)r的所有取值為（）

A.2+夜或2拒-2B.2<r<2y［5

C.2<rE26或廠=2女一2D.2W2?或r=2&-2

【答案】C

【分析】依題畫出滿足題意的圖形，因為A/CN有且只有一個元素，所以圓”和圓〃只有

一個交點，所以圓N的位置為圓（1）和介于圓（2）、圓（3）之間兩種情況，然后分析計

算即可得解.

【詳解】y=，4-尤2，V》。，即圓肱d+,2=4的上半部分，如圖：

圓〃的圓心坐標為（0,0）,半徑為2,圓及的圓心坐標為（2,2）,半徑為r,

因為McN有且只有一個元素，所以圓”和圓〃只有一個交點，

所以圓”的位置為圓（1）和介于圓（2）、圓（3）之間兩種情況，

①外切：d=2+r,d為圓心距，2忘=2+r,此時廠=2-2直，

②介于圓（2）、圓（3）之間：圓（2）處的半徑廠=2,

圓（3）處的半徑r=AN=26,所以2<rM26,

綜上，正數(shù)r的所有取值為2<rV2g或r=2&-2.故選：C.

2.已知集合4=｛（龍,?。﹟卜|+2344｝,集合3=｛（x,y）|（x-根）?+/=1｝,若臺=人，則實數(shù)

m的取值范圍是.

【答案】［—2,2］

【詳解】試題分析：集合A=｛（x,y）||x|+21yg4｝表示由直線

x+2y=4,x-2y=4,-x-2y=4,-x+2y=4圍成的平面區(qū)域，集合

3=｛（匕刈（％-加）2+丁=?表示以。（九0）為圓心，半徑為羋的圓.為使BaA,須圓C

落在上述平面區(qū)域內.由圓心C（〃2,0）到直線x+2y=4及-x+2y=4的距離等于孚，即

14

m+2x0-4|2小-m+2x0-42、/?、、

---/—=得zn=2或根=6,m=—2或根=—6,又

5-712+225

3={(x,y)|3x+4y+10=。},

記尸=AcB,則點集P所表示的軌跡長度為()

A.2舊B.2sC.472D.4"

【答案】D

【分析】分析集合A,B所對應的幾何圖形，將問題轉化為直線與圓的位置關系，如題圖,

其交集P對應的幾何圖形為線段AB,計算AB的長即可。

【詳解】由題意(x+3sina)2+(y+3cosa)?=1的圓心為(-3sina,-3cos(/),半徑為1,

而圓心(-3sina,-3cosa),滿足(-3sina)2+(-3cosa)2=9,

故圓心在以(0,0)圓心，半徑為3的圓上，

...集合A對應的幾何圖形為圓x2+y2=4和x2+y2=16之間的圓環(huán)區(qū)域，

/、,10

由于原點(0,0)到直線3x+4y+10=0的距離為“=春胃=2,所以直線3x+4y+10=0恰

好與圓環(huán)的小圓相切.

所以尸=Ac3表示的是直線3x+4y+10=0截圓環(huán)的大圓/+/=16所得的弦長.

故點集P所表示的軌跡長度為2"V=4后.故選D.

4.如圖，有6個半徑都為1的圓，其圓心分別為a(o,o),a(2,o),a(4,o),a(o,

2),ft(2,2),a(4,2).記集合Q{G)ali=l,2,3,4,5,6).若48為〃的非空

子集，且4中的任何一個圓與8中的任何一個圓均無公共點，則稱(4B)為一個“有序

集合對”(當4W5時，(/,B)和(B,A)為不同的有序集合對)，那么〃中“有序集合

對"(43)的個數(shù)是

15

【答案】B

【詳解】當人=｛。?｝時，8可以是集合｛。。,0^,064的非空子集，有23-1=7個.同

理，當4=｛0。4｝或4=｛。。,｝或4=｛。06｝時的情況類似，則總共有28種可能情況；

當A=｛。。｝時，B可以是集合｛。4。。,｝的非空子集，有22-1=3個.當4=｛。。｝的情

況類似，則總共有6種可能情況；

當4=｛。4003時，8可以是集合｛。&,0Q,｝的非空子集，有2=1=3個.當

4=｛0。,。&｝的情況類似，則總共有6種可能情況；

當4=｛0。］,0(92｝時，B^｛QO6｝.當4=｛002,005｝或4=｛004，0。5｝或4=｛0&，006｝

或4=｛。。1，0^｝或4=｛0。2，004｝或4=｛。03,0^｝或4=｛。。2，。06｝或4=｛。01，003｝

或4=｛。2,0&｝的情況類似，則總共有10種可能情況；

當4=｛。。］,。。2，。&｝時，B=｛OO6｝.當4=｛。。2,005,006｝或4=｛。0］,。。4,005｝或

4=｛。。，8，。。6｝的情況類似，則總有4種可能.

5.(2020福建福清西山高三)設平面點集

22

A=1(x,j)|(y-x)(y-1)>OyJB=｛(x,y)|(x-l)+(y-l)<l｝,則所表示的平面圖形

的面積為

【答案】|

【詳解】~

16

因為A=，（x,y）|（y-x）（y—Ro1

zP一尤..0y-x,,0

;.（y-x）|y-一］..031八或彳1八

Ixjy——..0y——?0

IxIx

4=卜,刈（丫-尤）（丫-：紜01,2={（即訓。-1）2+（丫-1）2叫表示的面積如圖陰影部分，

TT

利用圖形的對稱性可知所表示的平面圖形的面積為圓面積的一半

故答案為萬.

題型八：集合與數(shù)列

一、填空題

1.（2022?海南華僑中學模擬預測）己知集合4={無卜=2〃-1,〃€?4*},

B=卜k=2"eN*},將AUB中的所有元素按從小到大的順序排列構成一個數(shù)列{??},

設數(shù)列{??）的前n項和為Sn,則使得S”>100成立的最小的n的值為.

【答案】13

【分析】依題意，比較2"與2〃-1的大小，用枚舉法分別寫出/與8的前若干項，將S“

的前若干項求和即可.

【詳解】依題意，A={1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,…,2〃—1},

8={2,4,8,16,32,64,…,2"},

:.AkJB從小到大排列為AU3={1,2,3,4,5,7,8,9,11,13,15,16,17,19,21,…},

S12=1+2+3+4+5+7+8+9+11+13+15+16=94<100,

Sl3=1+2+3+4+5+7+8+9+11+13+15+16+17=111>100,

???〃的最小值為13.

故答案為：13.

二、雙空題

2.（2023?全國?高三專題練習）設集合A={2"|04〃W16,〃eN},它共有136個二元子

集，如{2°,2%{212?}、…等等，記這136個二元子集為外當、％…、穌6,設

耳={x,y}（1</<136,他N*）,定義S（B,）=|x-y|,將5（耳）按照從小到大排列構成數(shù)列

匕}，則。7=__；則s（4）+s（4）+s（4）…+s（%）=（參考數(shù)

據(jù)：7x*=1835008,結果用數(shù)字作答）

【答案】81835028

【分析】根據(jù)二元子集和4={x,y}（l〈i<136,ieN*）,S（4）=|x-y|的定義求解.

17

,,1120223

【詳解】解：由題意得：C1=|2-2|=1,C2=|2-2|=2,C3=|2-2|=3,C4=|2-2|=4）

130334

C5=|2-2|=6,C6=|2-2|=7,C7=|2-2|=8,

S（4）+S（B2）+S（鳥）…+S（B[36）=（21-2O+22-2O+...+216-2°）,

+（22-21+23-21+...+216-21）+（215-214+216-214）+（216-215）,

2（216-1）22（215-1）215（22-1）

=—---------L-16x2°+―---------L-15x21+...+―---------2x214+216-21

2-12-12-1

=217x15+216-（2+22+...+215）-（16+15x21+...+2x214+215）,

令S=16+15*2]+...+2*2",

兩邊同乘2得2s=16x少+15x2?+…+2x2正，

兩式相減得—S=16—01+...+214）—2x210,

=18-3x215，

所以S=3x215-18>則S+2技=217-18>

所以s（4）+s出）+s（鳥）…+s（、6），

22（215-1）、

=217x15+216------1-1-（z217-18），

=2密x7+20=1835028.

故答案為：8,1835028

三、解答題

3.（2022?湖北?襄陽四中模擬預測）已知等差數(shù)列｛%｝滿足q=1,且前四項和為28,

數(shù)列｛2｝的前〃項和3滿足2S?=3b?-3A（AeR）.

（1）求數(shù)列｛凡｝的通項公式，并判斷｛〃｝是否為等比數(shù)列；

⑵對于集合4B,定義集合A-3=｛x|xeA且^e耳.若4=1,設數(shù)列｛%｝和也｝中的所

有項分別構成集合4B,將集合的所有元素按從小到大依次排列構成一個新數(shù)列

｛%｝，求數(shù)列｛g｝的前30項和

【答案】（1）??=4n-3,判斷答案見解析

（2）1926

【分析】（1）根據(jù)等數(shù)列的前〃項和公式和通項公式可求出｛4｝的通項公式，根據(jù)等比數(shù)

列的定義可判斷｛"｝是否為等比數(shù)列；

18

(2)結合等差數(shù)列的前〃項和，等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式可求出結果.

(1)

：｛4｝是等差數(shù)列，4=1，且前四項和為28,

3x4

S4=4xl+—r-xJ=28,解得d=4

%=l+4(〃-1)=4〃—3.

?.?2S“=3%-3".?.當此2時，2Se=3%-32,兩式相減得紋=3￡-3%(心2),

即bn=32T(〃之2),又24=3々-34/.b、=32

...當4=0時，數(shù)列也｝的通項公式為bn=0.不是等比數(shù)列

當4Ao時，數(shù)列也“｝是首項為，公比為3的等比數(shù)列，.?.2=43".

(2)

由(1)知么=3",則”=81,々=243

因為。30—4x30—3=127,

所以“<%0<與，

所以，。中要去掉｛d｝的項最多4項，即3,9,27,81,

其中9,81是｛4｝和也｝的公共項，

所以數(shù)列｛g｝的前30項和%由｛??)的前32項和，去掉9,81,

/、/、32x(1+125)

T3Q=(q+a2H-----F432)-(9+81)=---------------90=1926

所以數(shù)列｛&｝的前30項和金為1926.

4.(20