2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷3（上海專用）含解析

備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷（上海專用）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

一、填空題（第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分）

1.已知集合4={一1,1,2},B={x\x1+x=Q],則A「p=.

2.設(shè)至是橢圓「的長(zhǎng)軸，點(diǎn)C在「上，且NCR4=e,若至=4,BC=應(yīng)，則「的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距

4

離為.

3.設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B（2,0）,若尸（X..l）=g,則0=.

4.已知復(fù)數(shù)z=l-迨是虛數(shù)單位），則z2-4的共鈍復(fù)數(shù)是.

Z

41

5.已知x>0,y>0，且一+—=1,貝I4x+y+孫的最小值為.

%y

6.已知角。的終邊經(jīng)過點(diǎn)（-咚,g）,那么tan。的值是.

7.若函數(shù)/（x）=也人-2以-a+4的定義域?yàn)镽,則a的取值范圍是.

8.若（1+尤）"的二項(xiàng)展開式中，存在相鄰兩項(xiàng)，滿足后一項(xiàng)的系數(shù)是前一項(xiàng)系數(shù)的2倍，掇女2020,則這

樣的正整數(shù)〃有個(gè).

9.已知在矩形ABCD中，AB=3,AD=2,E為3c的中點(diǎn)，F(xiàn)C=2DF,貝！|（通+/）./=.

22

10.設(shè)橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為=+當(dāng)=1（。>6>0）,若斜率為1的直線與橢圓Af相切同時(shí)亦與圓

ab

C:尤2+。一力2=62（6為橢圓的短半軸）相切，記橢圓的離心率為e,則e2=.

11.如圖，圓錐PO的底面直徑和高均是。，過PO上一點(diǎn)。作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一

個(gè)圓柱，則該圓柱體積的最大值為.

xe[-?，（）的值域?yàn)?/p>

選擇題(共4小題，滿分20分，每小題5分)

13.設(shè)。，6是兩條不同的直線，a,分是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是()

A.a.Lb,a±a,則匕〃c?B.alia,aVp,則aJ_力

C.aua,bu0,a/1/3,則a//bD.aua,bu0,a11/3,blla,則a//〃

14.對(duì)于函數(shù)/(x),有如下兩個(gè)結(jié)論：甲：-'(x)>0,乙：/(x)遞增，則下列說法正確的是()

A.甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件

B.甲是乙的必要而不充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲是乙的充分而不必要條件

15.據(jù)統(tǒng)計(jì)2024年“十一”黃金周哈爾濱太陽島每天接待的游客人數(shù)X服從正態(tài)分布N(2000,IO。')，則

在此期間的某一天，太陽島接待的人數(shù)不少于1700的概率為()

附：X~,P(〃一cr<x<〃+cr)=0.6826,P(//-2(T<X</J+2CT)=0.9544,

尸(〃-3a<x</J+3cr)=0.9974

A.0.4987B.0.8413C.0.9772D.0.9987

16.數(shù)列｛a“｝滿足％=1,a2=3,4an+l-3an-an+2=0(Me?7*).設(shè)勿=log3a”+「記［幻表示不超過x的最

大整數(shù).設(shè)S“=3竺+'竺+...+名竺］,若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)f的最大值為(

她她她+1

)

A.2020B.2019C.1010D.1009

三.解答題(共5小題，滿分46分)

17.(14分)在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,a+b=2c.

(1)求C的最大值；

(2)求,二.的取值范圍.

sinAsinB

18.（14分）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，BF=DE,BF//DE,A/是AE的中

點(diǎn).

（1）求證：EC//平面瓦加；

（2）若￡）E_L平面ABCD,AB=4,BAf_LCF,點(diǎn)P為線段CE上一點(diǎn)，

且在=,屈，求直線尸”與平面AEF所成角的正弦值.

3

19.（14分）某商場(chǎng)為了提振顧客的消費(fèi)信心，對(duì)某中型商品實(shí)行分期付款方式銷售，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì),

顧客購(gòu)買該商品選擇分期付款的期數(shù)J的分布列為

456

P0.4ab

其中O<Z><1.

（1）求購(gòu)買該商品的3位顧客中，恰有1位選擇分4期付款的概率；

（2）商場(chǎng)銷售一件該商品，若顧客選擇分4期付款，則商場(chǎng)獲得的利潤(rùn)為2000元；若顧客選擇分5期付

款，則商場(chǎng)獲得的利潤(rùn)為2500元；若顧客選擇分6期付款，則商場(chǎng)獲得的利潤(rùn)為3000元，假設(shè)該商場(chǎng)銷

售兩件該商品所獲得的利潤(rùn)為X（單位：元），

⑺設(shè)X=5500時(shí)的概率為機(jī)，求當(dāng)機(jī)取最大值時(shí)，利潤(rùn)X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（而）設(shè)某數(shù)列｛x“｝滿足玉=0.4,xn=a,2x?+1=b,若q<0.25,求〃的最小值.

20.(16分)已知橢圓C：W+==l(a>6>0)經(jīng)過點(diǎn)4(1,遮)，點(diǎn)F(l,0)為橢圓C的右焦點(diǎn).

ab2

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點(diǎn)尸(1,0)作兩條斜率都存在且不為0的互相垂直的直線/r12,直線lA與橢圓相交A、B1；直線/2與

橢圓相交2、當(dāng)兩點(diǎn)，求四邊形444生的面積s的最小值.

21.(18分)若函數(shù)y="x)滿足了(/戶/,稱/為y=f(x)的不動(dòng)點(diǎn).

(1)求函數(shù)y=三一3%的不動(dòng)點(diǎn)；

(2)設(shè)g(x)=，-l.求證：y=g(g(x))恰有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)；

(3)證明：函數(shù)y=/(x)有唯一不動(dòng)點(diǎn)的充分非必要條件是函數(shù)y=/(/(x))有唯一不動(dòng)點(diǎn).

備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷（上海專用）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

一、填空題（第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分）

1.已知集合4={一1,1,2},B={x\x1+x=Q],則A「p=.

【答案】{-1}.

【分析】可求出集合3,然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可.

【解答】解：：A={-1,1，2},B=0},

故答案為：{-1}.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列舉法、描述法的定義，交集的定義及運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.設(shè)是橢圓「的長(zhǎng)軸，點(diǎn)C在「上，且NCBA=匹，若AB=4,BC=血,則「的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距

4

離為.

22

【分析】由題意畫出圖形，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為?十多=1，由條件結(jié)合等腰直角三角形的邊角關(guān)系解出。

ab

的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)C在橢圓上求得人值，最后利用橢圓的幾何性質(zhì)計(jì)算可得答案.

22

【解答】解：如圖，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+多=1,

ab

由題意知，2a=4,a=2.

rr

\-ZCBA=—fBC=后，，點(diǎn)。的坐標(biāo)為C（T，D，

（一1）2I2

因點(diǎn)。在橢圓上，+2=

4b

.-,b2=-,

3

.../=儲(chǔ)一C=巫,

333

則「的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為還.

3

故答案為：還.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的定義、解三角形，以及橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用.

3.設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布8(2,0),若尸(X..1)=：,則°=.

【答案】1.

【分析】由隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布2(2,p)可得尸(X=0),然后利用P(X..1)=1-P(X=0)即可得到答案.

【解答】解：因?yàn)殡S機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布仇2,p),

所以P(X=%)=C；p“l(fā)一p產(chǎn)，(左=0,1,2),

所以尸(X..l)=l—尸(X<1)=1—尸(X=0)=l_《p°(l_p)2Y=l_(l_p)2=：,

因?yàn)猷嫔?,所以p=g.

故答案為：—.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二項(xiàng)分布的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

4.已知復(fù)數(shù)z=l-z?是虛數(shù)單位)，則z?-2的共軌復(fù)數(shù)是.

Z

【答案】-1+3/.

【分析】根據(jù)題意，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，求得z2-±=-l-3i,結(jié)合共輾復(fù)數(shù)的概念，即可求解.

Z

【解答】解：因?yàn)閆=l—i,所以z2=(l-i)2=_2i,且2=二=2(1：)]+,?,

Z1—1(1—0(1+I)

2

所以Z?--=-1-i=-1-3i,則其共軌復(fù)數(shù)為—1+3i.

Z

故答案為：-1+3/.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

41

5.已知尤>0,>>0,且一+—=1,則4x+y+孫的最小值為.

%y

【答案】45.

【分析】利用乘1法，結(jié)合基本不等式即可求解.

41

【解答】解：y>0,且一+—=1,

%y

:.4y+x=xy,

;.4x+y+盯=5(x+y)=5(尤+y)(±+')=5(5+也+土)..5(5+2儼?土)=45,當(dāng)且僅當(dāng)x=6,y=3時(shí)等號(hào)

xyxyyxy

成立，

故答案為：45.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是對(duì)已知式子進(jìn)行合理的變形，屬

于中檔題.

6.已知角。的終邊經(jīng)過點(diǎn)那么tan，的值是.

【答案】-占.

3

【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義，tan8=」=3,化簡(jiǎn)可得結(jié)果.

%二3

一萬

【解答】解：由任意角的三角函數(shù)的定義得tan。=」=』=-乎.

x3

故答案為：-走.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于容易題.

7.若函數(shù)/(x)=y/2x2-2ax-a+4的定義域?yàn)镽,則“的取值范圍是.

【答案】Hh2].

【分析】根據(jù)二次根式以及二次函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于。的不等式，解出即可.

【解答】解：由題意得：2d-2辦-a+4..O在R恒成立，

故^=4a~—8(—G+4),,0,

解得：TIE2,

故。的取值范圍是[-4,2],

故答案為：[-4,2].

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求函數(shù)的定義域問題，考查二次根式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.

8.若(1+x)"的二項(xiàng)展開式中，存在相鄰兩項(xiàng)，滿足后一項(xiàng)的系數(shù)是前一項(xiàng)系數(shù)的2倍，掇女2020,則這

樣的正整數(shù)〃有個(gè).

【答案】673.

【分析】由題意可得C；=2C,T，利用組合數(shù)公式計(jì)算可得〃=3r-l,由啜上2020,可求得廠的取值范圍，

從而得解.

【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)相鄰兩項(xiàng)為第廠項(xiàng)和第r+1項(xiàng)，則有C；=2C「，

〃x(w-1)x...x(〃-r+1)_2wx(〃-1)x...x(w-r+2)

rx(r-l)x...xl(r-l)x(r-2)x...xl'

可得r+l=2r,BPn=3r—l,

因?yàn)猷?020,

所以掇取r-l2020,

解得2士新2-021=673+2-,

333

所以廠有673個(gè)，

所以，有673個(gè).

故答案為:673.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理，組合數(shù)公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.已知在矩形ABCD中，AB=3,AD=2,E為3c的中點(diǎn)，F(xiàn)C=2DF,貝1|(通+/)./=.

【分析】畫出圖形，建立坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求解向量的數(shù)量積即可.

【解答】解：如圖：建立坐標(biāo)系，由題意可知40,0),8(3,0),C(3,2),0(0,2),及3,1),尸(1,2),

可得北+/=(4,3),EF=(-2,1),

所以（而+/）亦=一8+3=-5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的數(shù)量積的求法與應(yīng)用，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，能夠簡(jiǎn)化解題過程，是中檔題.

22

10.設(shè)橢圓"的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+1=15>6>0),若斜率為1的直線與橢圓/相切同時(shí)亦與圓

ab

(7:一+('-6)2="出為橢圓的短半軸)相切，記橢圓的離心率為e,貝1屋2=.

【答案】匕旦.

2

【分析】設(shè)出切線方程，代入橢圓方程推出。、6、的關(guān)系，利用直線與圓相切結(jié)合62=02一,2,求解離

心率即可.

【解答】解：設(shè)切線方程為y=x+m,代入橢圓方程可得：(&2+a2)%2+2crmx+a2m2-a2b2=0

因?yàn)橄嗲小?()=>"/=a2+b2>

直線y=x+m與圓c相切可得：3章1=6=機(jī)=(1+應(yīng)M,或(1-0)6(舍去)

則有(1+0)2^=/+〃，因?yàn)?2=/一02,

所以可得(2亞+1)/=(2拒+2)c?ne?=2^/1.

故答案為：三也.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，直線與圓相切關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題.

11.如圖，圓錐尸O的底面直徑和高均是。，過尸O上一點(diǎn)。作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一

個(gè)圓柱，則該圓柱體積的最大值為

P

【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為ft,由相似得/z=a-2,求出圓柱體積，利用導(dǎo)數(shù)求得最大值.

r_a-h

【解答】設(shè)圓柱的底面半徑為「，高為h,則由相似可得，二丁，

2

即無二々一2/.令力>0,結(jié)合廠>0,貝!]0<廠<0,

2

圓柱的體積V=7ur1h=71rl(a—2r)=ajvr1—2^r3,

Vf=2OJIY—6兀r1=2?r(a-3r),

0<r<@時(shí)，S>0,^<0,

332

即當(dāng)re(0,.,丫單調(diào)遞增；當(dāng)reg，》丫單調(diào)遞減，

3

所以當(dāng)r=?時(shí)，Vmax^—.

327

故答案為：—.

27

【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何體的體積的最值的求解，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬中檔題.

12.函數(shù)y=l-&tanx,xe[-—>馬的值域?yàn)開_______.

43

【答案】(1-A/6,1+y/2].

【分析】根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性即可求出tanx的范圍，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求出原函數(shù)的值域.

【解答】解：[-?,令，

tanxe[-1,A/3),

1-5/2'tanxw(1-s/^,1+^/2],

原函數(shù)的值域?yàn)椋?1-6』+應(yīng)].

故答案為：a-而」+應(yīng)」.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正切函數(shù)的單調(diào)性，不等式的性質(zhì)，考查了計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題.

選擇題(共4小題，滿分20分，每小題5分)

13.設(shè)a,6是兩條不同的直線，a,力是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是()

A.a±b,a.La9則b//aB.alia,aL(3,則a_L/

C.aua，bu。，a///7,則a//Z?D.aua,bu/3,alI(3,blla,則a///

【答案】B

【分析】對(duì)于A,blla或bua，,對(duì)于5,由面面垂直的判定定理得a;對(duì)于C,。與》平行或異面;

對(duì)于O,。與月相交或平行.

【解答】解：a,匕是兩條不同的直線，a,/是兩個(gè)不同的平面，

對(duì)于A,a±b,a±a,則。//c或bua,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于alia.aLf3,則由面面垂直的判定定理得a_L/?,故5正確；

對(duì)于C,aua,bu/3,a11f3,則。與匕平行或異面，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，aua，bu/3,al113,blla,則"與月相交或平行，故。錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間思

維能力，是中檔題.

14.對(duì)于函數(shù)/(x),有如下兩個(gè)結(jié)論：甲：f"(x)>0,乙：/(幻遞增，則下列說法正確的是()

A.甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件

B.甲是乙的必要而不充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲是乙的充分而不必要條件

【答案】A

【分析】利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法即可判斷出結(jié)論.

【解答】解：由尸'(尤)>。=函數(shù)/(尤)在定義域上單調(diào)遞增，例如取/(尤)=-而，則/(%)=-工在x>0時(shí)

X

單調(diào)遞增，r(x)=4>o,但是“無)在x>o時(shí)單調(diào)遞減.

反之：/(尤)在定義域上遞增，可得廣(元)..0,無法得出「'(x)>0.

甲是乙的既不充分也不必要條件，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬

于基礎(chǔ)題.

15.據(jù)統(tǒng)計(jì)2024年“十一”黃金周哈爾濱太陽島每天接待的游客人數(shù)X服從正態(tài)分布N(2000,IO。?)，則

在此期間的某一天，太陽島接待的人數(shù)不少于1700的概率為()

附：X~N(ju,a2),P(〃一尤<〃+(T)=0.6826,P(〃-2cr<x<〃+2cr)=0.9544,

—3cr<x<〃+3(T)=0.9974

A.0.4987B.0.8413C.0.9772D.0.9987

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，由正態(tài)分布的性質(zhì)可得尸(170魄W2300)=0.9974,則有尸(x<1700)的值，由對(duì)立事件

的概率性質(zhì)即可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，X服從正態(tài)分布N(2000,1002),尸(〃-3cr<x<〃+3b)=0.9974,

貝I]P(1700W2300)=0.9974,

則P(x<1700)=-(l-0.9974)=0.0013,

2

則P(x.l700)=1-P(x<1700)=1-0.0013=0.9987,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正態(tài)分布的性質(zhì)，涉及正態(tài)分布的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題.

16.數(shù)列｛%｝滿足4=1,a2=3,4an+1-3an-an+2=0(ne2V*).設(shè)/log3aM,記［x］表示不超過x的最

大整數(shù).設(shè)S“=［”約+'竺+...+3空］,若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)f的最大值為(

她她bnb,l+1

)

A.2020B.2019C.1010D.1009

【答案】C

【分析】首先利用關(guān)系式的變換得到數(shù)列｛怎.-%｝是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，進(jìn)一步利用疊加

法的應(yīng)用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法和恒成立問題的求出t的最大值.

【解答】解：數(shù)列伍“｝滿足4=1,%=3,4%+］-3%-a,.=0(〃eN*).

整理得：an+2-an+l=3(a?+1-an),由于4-4=3-1=2,

所以數(shù)列僅3-%｝是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)歹U；

所以4田-%=2'3向，

2

故an—an_t=2x3"-,........,a2-=2x3°,

所以為-q=2x(3°+y+...+3"-2),

整理得：a=3"-'；

所以6,=log3an+1=log33"=n；

1111

故大;^TIT廠二

20202020202011111、2020幾

所以----+----+...+-----二2020x(1-----1------------1-...H----------------)=------------

他b2b3bnbn+l223nn+1n+1

2020幾2020

故s“=1]=[2020-

n+1n+V

由于w”1

2

2020〃

所以,,1010,

n+1

2020〃

故2020-..1010

n+1

所以（EX加=1010；

不等式S“.1,對(duì)V〃eN*恒成立

所以4,1010,

故實(shí)數(shù)f的最大值為1010.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的遞推關(guān)系式，數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，疊加法，主要考查學(xué)生的運(yùn)

算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題.

三.解答題（共5小題，滿分46分）

17.（14分）在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,a+b=2c.

（1）求C的最大值；

（2）求,in0的取值范圍.

sinAsinB

【答案】（1）

（2）［竿，+°°）-

3，1

【分析】（1）由余弦定理結(jié)合已知條件可得cosC=3--1,再利用基本不等式可求出cosCq,從而可求

出C的最大值；

（2）由已知條件結(jié)合基本不等式可得c2..",再由正弦定理得siVC.sinAsinB,所以.,皿。,

sinAsinBsinC

rr

由（1）知0<C,,耳，則可求出sinC的范圍，從而可求得結(jié)果.

【解答】解：（1）由余弦定理得cosC=6+1c2=（“+6）22話一02,

lab2ab

因?yàn)閍+Z?=2c,

-..Qc）?—2ab—c?3c2—2ab3c2

所Cc以cosC=--------------------=-------------=--------1,

lab2ab2ab

因?yàn)?c=〃+/?..，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，

所以,當(dāng)且僅當(dāng)a=Z?時(shí)取等號(hào)，

所以cosC=H—1.3.a￥b—1=1!，當(dāng)且僅當(dāng)。=b時(shí)取等號(hào)，

lab2ab2

因?yàn)镃e(O,%),

TT

所以0<C?9，

所以c的最大值為q；

（2）因?yàn)?c=a+6..2，石，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào),

所以,當(dāng)且僅當(dāng)a=/?時(shí)取等號(hào)，

所以由正弦定理得sir?C..sinAsinB，當(dāng)且僅當(dāng)A=_B時(shí)取等號(hào),

所以..弊;=工,當(dāng)且僅當(dāng)A=B=￡時(shí)取等號(hào),

sinAsinnsinCsinC3

由(1)知0<C”工，所以0<sinC,,sin2=g',

332

所以，..至I,

sinC3

所以sinC..也,當(dāng)且僅當(dāng)A=3時(shí)取等號(hào)，

sinAsinB3

即.Si?Co的取值范圍為［述,+oo)?

sinAsinn3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正余弦定理和基本不等式在解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題.

18.（14分）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，BF=DE,BF//DE,M是AE的中

點(diǎn).

（1）求證：EC//平面血加；

（2）若￡>E_L平面ABCD,AB=4,BM_LCF,點(diǎn)P為線段CE上一點(diǎn)，S.CP=-CE,求直線PM與平

3

面AEF所成角的正弦值.

【答案】（1）證明過程見詳解;

⑵①

39

【分析】（1）連接AC,由題意可證得MO//EC,再由線面平行的判斷定理可證得結(jié)論;

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可得各點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)E的坐標(biāo)，由題意可得點(diǎn)E的坐標(biāo),

求出平面用的法向量的坐標(biāo)，求出直線尸M的方向向量的坐標(biāo)，求出兩個(gè)向量的的余弦值，進(jìn)而求出直

線與平面所成的角的正弦值.

【解答】(1)證明：連接AC,交BD于O,連接MO,

在正方形中，可得O為BD,AC的中點(diǎn)，〃為他的中點(diǎn),

在AAEC中，可得MO//EC,

又因?yàn)镸Ou平面MBD,EC仁平面A4BD，

所以EC//平面

(2)解：因?yàn)槠矫鍭BCD,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以ZM,DC,DE所在的直線分別為x,八z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

因?yàn)锳B=4,則。(0,0,0),A(4,0,0),8(4,4,0),C(0,4,0),設(shè)E(0,0,2c),

則尸(4,4,2c),c>0,則"(2,0,c),

所以加=(一2,-4,c),CF=(4,0,2c),因?yàn)锽M_LCF,所以痂.#=(),BP-2x4-4x0+2c2=0-

解得c=2,

可得E(0,0,2),CE=(0,-4,2),M(2,0,2),E(0,0,4),F(4,4,4),

設(shè)P(x,y,z),

—.1—.144

點(diǎn)P為線段CE上，CP=-CE,即(x,y-4,z)=-(0,T,4)=(0,,-),

x=0

484

所以<y_4=_§,gpx=0,y=-,z=-,

4

z二—

I3

QA___QO

即尸(。，—,—),所以PM=(2,——,—),

設(shè)平面的法向量為為=(%,%,zj,A￡=(-4,0,4),AF=(0,4,4),

n-AE=0-4%+4Z1=0

則令4=1,

h-AF=04yl+44=0

可得力=(1,-1,1),

所以PM-H=2X1——x(—1)+—xl=—,|PM|=J22+(—~)2+(~)2=2^^,Ifi\=yjt2+(—I)2+12=百.

333y333

16

^T4屈

所以cos<PM'〃>=酒京=▽'

設(shè)直線PM與平面田所成的角為6,且6e[。，|],

?nI,4。78

sin0=cos<PM,n>=-----，

39

所以直線PM與平面AEF所成角的正弦值為生便.

39

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的證法及用空間向量的方法求線面所成的角的正弦值，屬于中檔題.

19.某商場(chǎng)為了提振顧客的消費(fèi)信心，對(duì)某中型商品實(shí)行分期付款方式銷售，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客購(gòu)

買該商品選擇分期付款的期數(shù)J的分布列為

4456

P0.4ab

其中0</?<1.

（1）求購(gòu)買該商品的3位顧客中，恰有1位選擇分4期付款的概率；

（2）商場(chǎng)銷售一件該商品，若顧客選擇分4期付款，則商場(chǎng)獲得的利潤(rùn)為2000元；若顧客選擇分5期付

款，則商場(chǎng)獲得的利潤(rùn)為2500元；若顧客選擇分6期付款，則商場(chǎng)獲得的利潤(rùn)為3000元，假設(shè)該商場(chǎng)銷

售兩件該商品所獲得的利潤(rùn)為X（單位：元），

⑺設(shè)X=5500時(shí)的概率為加,求當(dāng)m取最大值時(shí)，禾U潤(rùn)X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（而）設(shè)某數(shù)列｛X"｝滿足占=0.4,xn=a,2xn+｝=b,若a<0.25,求"的最小值.

【分析】（1）方法1：設(shè)恰有一位顧客選擇分4期付款的概率的概率為P.由題可知：a+b=0.6,然后求

解即可.

方法2：由于3位顧客中恰有1位選擇“分4期付款”，則另外兩位均不選“分4期付款”，利用相互獨(dú)立事

件乘法乘積求解概率即可.

(2)(i)由題可得X的值分別為4000,4500,5000,5500,6000.求出概率，得到分布列，然后求解期

望即可.

(ii)由題可得瑞+2工m=。+6=0.6,得到必討=-;匕+0.3,判斷數(shù)列區(qū)-0.2｝是等比數(shù)列，然后分類

求解”的最小值.

【解答】解：(1)方法1：設(shè)恰有一位顧客選擇分4期付款的概率的概率為P.

由題可知：a+b=0.6,

貝!JP=3x0.4x(/+2ab+b2)=0.4x(Q+Z?)2=0.4x0.62=0.432.

方法2：由于3位顧客中恰有1位選擇“分4期付款”，則另外兩位均不選“分4期付款”，所以

P=3x0.4x(l-0.4)x(l-0.4)=0.432.

(2)(i)由題可得X的值分別為4000,4500,5000,5500,6000.

P(X=4000)=0.4x0.4=0.16,P(X=4500)=2x0.4xa=0.8〃，

P(X=5000)=a?+2x0.4xb=a?+o85,

P(X=5500)=lab,P(X=6000)=b2,

所以P(X=5500)=2ab?2x=-=0.18,

22

取最大值的條件為a=b=Q.3

所以分布列為：

X40004500500055006000

P0.160.240.330.180.09

E(X)=4000x0.16+4500x0.24+5000x0.33+5500x0.18+6000x0.09=4900.

(五)解：由題可得%〃+2%〃+i=a+Z?=0.6,所以七討二一+0.3,

化簡(jiǎn)得七+1-0.2=-3(%一0.2),即｛七一0.2｝是等比數(shù)列，首項(xiàng)為玉一。.2=0.2,公比為一;，

所以尤“一0.2=(0.4-0.2)x(_g)i,化簡(jiǎn)得x?=0.2[1+(-j)"-1]

由題可知：

1

(1)由題可知：a=xn=0.2[1+(-I)"-]<0.6<2,顯然對(duì)所有“eN*都成立；

(2)b=2x?+1=0.4[1+<0.6(-1)"<1,也是對(duì)所有〃eN*都成立；

(3)a=xn=0.2[l+(_g)"T]<0.25n尸<:

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，上述不等式恒成立；

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，(；尸<：,解得〃>5即”..5

綜上所述，〃的最小值為5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，數(shù)列與函數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算

能力，題目比較新穎，是難題.

22萬

20.已知橢圓C:j+與=l(q>6>0)經(jīng)過點(diǎn)A(l,J),點(diǎn)F(l,0)為橢圓C的右焦點(diǎn).

ab2

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點(diǎn)/(1,0)作兩條斜率都存在且不為。的互相垂直的直線4,12,直線4與橢圓相交A、B],直線4與

橢圓相交4、層兩點(diǎn)，求四邊形444為的面積s的最小值.

【分析】(1)根據(jù)已知條件列式求出。，6可得橢圓c的方程；

(2)聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求出14片|和|人&|,求出s后，根據(jù)基本不等式求出最值可得

解.

2

/+詬-0=5/2

【解答】解：(1)由題意可得。=1,解得》=1,

a2-b2+c2c=l

所以橢圓方程為J+V=l.

(2)設(shè)直線4的方程為％=什+1020),

x=ty+l

聯(lián)立，尤2,得：（/+2獷+2夕_1=0,△=4產(chǎn)+4（』+2）=8（r+1）＞0,

—+V=1

12，

2t1

設(shè)4（占,%）,用（％，％）,則%+

所以|441=J（X[一犬2）2+（乂-%）2=&明+]_。2_1）2+（弘一為了

=J（/+D