2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷2（新高考Ⅱ卷專用）（解析版）

2025年高考數(shù)學(xué)全真模擬卷02（新高考II卷專用）

（考試時(shí)間：120分鐘;滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫

在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷（選擇題）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要

求的。

1.（5分）（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z=*，貝!|z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

3—1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡即可求解.

【解答過程】「z=言=曰=答〃+^z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為&￡）,

???z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.

故選：A.

2.（5分）（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）已知命題pT%€R,%2—%+1<0,命題q:V%20,ex>cos%,

則（）

A.p和q都是真命題B.->p和q都是真命題

C.p和-都是真命題D.->p和-都是真命題

【解題思路】首先判斷命題p為假命題，令八%）=e%—cos%,%E[0,+8）,利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，

即可判斷命題q為真命題，即可得解.

2

【解答過程】因?yàn)?一X+I=（x-9+|>|>0,所以/-x+120恒成立，

V2/44

所以命題P為假命題，則「P為真命題；

令/（%）=ex-cos%,xE[0,+oo）,則f'（%）=ex+sinx,

當(dāng)xe時(shí)e[1,e11],sinxE[0,1],所以/'(x)>0,

當(dāng)xe(IT,+8)時(shí)e%>e”>2,sinxG[-1,1]>所以/''(x)>0,

所以f'(%)>o對(duì)任意的Xe[o,+8)恒成立，所以f(x)在[o,+8)上單調(diào)遞增，

所以/■(無)2/(0)=0,即eX2COSY對(duì)任意的xe[0,+8)恒成立，故命題q為真命題，則rq為假命題；

所以「p和q都是真命題.

故選：B.

3.(5分)(2024?廣東?模擬預(yù)測(cè))已知向量方=(久+3,4),石=(x,-1),若忖+司=|方一司，則實(shí)數(shù)x的值

為()

A.4B.-4或1C.-1D.4或一1

【解題思路】將佰+同=同一同平方化簡得小石=0,然后利用數(shù)量積的坐標(biāo)公式列式計(jì)算即可.

【解答過程】將區(qū)+同=同兩邊平方,得方萬=0,

由五—(x+3,4),b=(X,—1)得(x+3)x+4x(—1)—0,

即/+3%-4=0,解得x=-4或1.

故選：B.

4.(5分)(2024?廣東韶關(guān)?一模)眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，它們的大小關(guān)系和數(shù)

據(jù)的分布形態(tài)有關(guān).根據(jù)某小區(qū)1000戶居民的月均用水量數(shù)據(jù)(單位：t),得到如圖所示的頻率分布直方

圖，記該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為P,中位數(shù)為6，平均數(shù)為無，則()

C.m<x<pD.p<m<x

【解題思路】由頻率分布直方圖結(jié)合中位數(shù)以及眾數(shù)的計(jì)算即可比較大小.

【解答過程】觀察頻率分布直方圖，發(fā)現(xiàn)是屬于右邊“拖尾”，所以平均數(shù)萬大于中位數(shù)為小,

由于第一個(gè)小矩形面積為4x0.060=0.24<0.50,

前2個(gè)小矩形面積之和為4X(0.060+0,080)=0.56>0.50,

所以中位數(shù)位于(5,9)之間，故可得0.240+(ni-5)x0.080=0.5,解得爪=8.25,

由頻率分布直方圖可知眾數(shù)p=—=7,

故p<m<%，

故選：D.

5.（5分）（2024?廣西來賓?模擬預(yù)測(cè)）一動(dòng)圓與圓％2+y2+?=。外切，同時(shí)與圓久2+儼一軌一60=0

內(nèi)切,則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為（）

A.^+4=1BY+?

95

C.D

/尹1-

【解題思路】計(jì)算兩個(gè)已知圓的圓心和半徑，根據(jù)圓的位置關(guān)系得到動(dòng)圓圓心到兩已知圓圓心距離和為定

值，結(jié)合橢圓的定義即可得到結(jié)果.

【解答過程】圓/+y2+4%=0可化為（X+2）2+y2=4,圓心。1（—2,0）,半徑為2.

圓/+y2-4%-60=0可化為（％-2）2+y2=64,圓心。2（2,0）,半徑為8.

設(shè)動(dòng)圓圓心為點(diǎn)P,半徑為r,圓P與圓小外切于點(diǎn)M,圓P與圓。2內(nèi)切于點(diǎn)N,如圖所示:

由題意得，P,M,Oi三點(diǎn)共線，MP,。?三點(diǎn)共線，“。1=2,。2可=8,PM=PN=T,

；.POi+PO2=（2+r）+（8-r）=10>OXO2,

???點(diǎn)P的軌跡為以。1，。2為焦點(diǎn)的橢圓，且2a=10,c=2,

.".a=5,b=V21,

...點(diǎn)P的軌跡方程為1+（=1.

故選：C.

6.（5分）（2024?吉林長春?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（%）=sin（o）%+9）,如圖4B是直線y=；與曲線y=/（%）

=—1,則/'偌）=（）

「V37

2cT

【解題思路】設(shè)411，目，8卜2，。，依題可得，%2-=p結(jié)合sinx=（的解可得|3（冷—巧）1=手從而

得到3的值，再根據(jù)/（爭i）=—1即可得/O）=sin（4%—|冗），進(jìn)而求得了用.

【解答過程】設(shè)4（Xi，m，B（52，m，由=方可得到―巧=也

由sin%=工可知，%=2+2/CTI或％=空+2/CTI,fcGZ,由圖可知,

266

當(dāng)3>0時(shí)，a）X2+（P—（to%1+（P）=即3（%2一久1）=弓，；?3=4;

當(dāng)3<0時(shí)，3X]+（P—（3刈+隼）———TT————,即3（X]—%2）=~3=-4;

綜上：O）=±4；

因?yàn)橥粓D象對(duì)應(yīng)的解析式是一樣的，所以此時(shí)不妨設(shè)3=4,則/（%）=sin（4x+8）,

因?yàn)?（等）=sin（等+0）=-L

則詈+（p=2kn+^-,kEZ,解得⑴=-y+2kn,keZ,

所以/'（x）=sin（4x~~+2kn）=sin（4x一|n）,

f閨=sin（等-|n）=sin（2n+與）=sing=圣

故選：C.

7.（5分）（2024?四川攀枝花?一模）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早一

千多年，例如塹堵指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱；鱉席指的是四個(gè)面均為直角三角形

的三棱錐如圖，在塹堵力BC—AiBiM中，^ACB=90°,若力C=BC=1,AAt=2,直線BiC與平面力

所成角的余弦值為（）

【解題思路】以點(diǎn)C為原點(diǎn)，C4CB、CC1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量

法與同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得直線/C與平面488Ml所成角的余弦值.

【解答過程】在塹堵4BC-41B1C1中，CCi1平面力BC,N力CB=90°,AAt=2,AC=BC=1,

以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CA,CB、CCi所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

ZA

則%(0,1,2)、C(0,0,0)>4(1,0,0)、B(0,l,0),

函=(0,1,2),R4=(1,-1,0),西=(0,0,2),

設(shè)平面的法向量元=(x,y,z),

^(n-BA^x-y=0

取久=1,得五=(1,1.0)，

In-BBi=2z=0

設(shè)直線/C與平面4BB14所成角為仇則sine=磊=熹=今，

所以cos0=V1-sin20=

因此，直線BiC與平面ABB14所成角的余弦值為甯.

故選：A.

8.(5分)(2024?浙江杭州?一模)對(duì)V%C[1,+8),不等式((lna%)2-l)(e%-b)Z0恒成立，貝！]()

A.若ae(0*),則bWeB.若a6(0,1),則b>e

C.若aet，e),則/=eeD.若<2€卜,6),則b。=ee

【解題思路】令a=通過舉反例說明選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C、D,通過分析可得(Inax-l)(e"-b)>0

在[1,+OO)

上恒成立，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)丫=也以-1,丫=^-5有相同的零點(diǎn)，計(jì)算可得選項(xiàng)D正確.

【解答過程】由((lna%)2-l)(ex-b)>0得(Inar-l)(lnax+l)(ex-b)>0,

對(duì)于選項(xiàng)A、B,若aE(0,：),可令a=&不等式可化為(In%-3)(ln%-l)(e"-b)20,

當(dāng)％6[e3,+8)時(shí),Inx—3>OJnx-1>0,

要使(In%—3)(Inx—l)(ex—b)>0恒成立，則需e*—b>0,即b<e%恒成立，

；?b<(ex)min=ee,

當(dāng)?shù)贕(e,e?)時(shí)，Inx—3<OJnx-1>0,

要使(In%—3)(Inx—l)(ex—h)>0恒成立，則需e*—b<0,即bNe*恒成立,

x

；?b>(e)max,

3

：.b>ee,

當(dāng)％E[1,e]時(shí)，Inx—3<OJnx—1<0,

要使。n%-3)(Inx-l)(ex—b)>0恒成立，則需e%-b>0,即b<e"恒成立，

；?b<e)min=e,

綜上可得，不存在b使得不等式。n%-3)(Inx-l)(ex-b)>0恒成立，選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)C、D,若aet，e),

VxG[L+8)

.、1

..ax>-,

e

/.Inax+1>0,

要使不等式(Ina%-l)(lnax+l)(ex-b)>0恒成立，則需(Ina%—l)(ex-b)>0,

函數(shù)y=\nax—l,y=ex—力在[L+°°)為增函數(shù)，

函數(shù)y=inax-l,y=ex-b有相同的零點(diǎn)，

由Inax—1=0得久=由e%—b=0得，x=Inb,

a

=Inh,即e=alnb,

ea

/.lne=\nbf

ae

/.b=ef選項(xiàng)D正確.

故選D.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的

要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.（6分）（2024?貴州黔南?一模）函數(shù)/（%）=/sin（3%+R）（3>0,|在V5的部分圖象如圖所示.下列說

法正確的是（）

A.函數(shù)y=/O）在區(qū)間得?。┥蠁握{(diào)

B.函數(shù)y=/（久）在區(qū)間管,2TT）上有兩個(gè)極值點(diǎn)

C.函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)”,0）中心對(duì)稱

D.函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=1在區(qū)間曲答]上有兩個(gè)公共點(diǎn)

【解題思路】根據(jù)圖象得到f（x）=Zsin^x-習(xí),然后代入的方法判斷ABC選項(xiàng)，將/（x）的圖象與直線y=1

的交點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為方程/（x）=1的根的個(gè)數(shù)，然后解方程判斷D選項(xiàng).

【解答過程】由圖象可知，最小正周期7=槨一（一§]X2=TT=當(dāng),

所以3=2,

Xsin(2.(+?)=2

將&2），（七,-2）代入了（%）中得?

Asin12?(1,)+0]=-2

4=2

{CT，

所以/(%)=2sin(2x-習(xí),

償,乎），則2x—?eG|三陰，因?yàn)閥=2sinx在（穿，筌）上不單調(diào)，

所以/（%）在售，苧）上不單調(diào)，故A錯(cuò)；

泰仔如）,則2支-江（等,等），

因?yàn)閥=2sinx在（等,沙，管，等）上單調(diào)遞增，在停,一）上單調(diào)遞減，

所以/（無）在管,陽，（詈，2豆）上單調(diào)遞增，在曾芳）上單調(diào)遞減，

所以f（x）在管,2n）有兩個(gè)極值點(diǎn)，故B正確；

/"（等）=2411（2-答—習(xí)=25也手=—2,所以（詈,0）不是f（x）的對(duì)稱中心，故C錯(cuò)；

令/'（x）=2sin（2x—^=1,解得％=,+kit,kGZ或x=1+fcir,fceZ,

因?yàn)榫玫萞，所以“=笨%，所以fO）的圖象與直線y=i在t,圖上有兩個(gè)公共點(diǎn)，故D正確.

故選：BD.

10.（6分）（2024?四川?一模）已知橢圓E:J+[=1的左頂點(diǎn)為4左、右焦點(diǎn)分別為％,尸2，過點(diǎn)B的

直線與橢圓相交于P,Q兩點(diǎn)，則（）

A.|F同=1

B.\PQ\<4

C.當(dāng)尸2，P，Q不共線時(shí)，的周長為8

D.設(shè)點(diǎn)P到直線％=-4的距離為d,則d=2|PF/

【解題思路】根據(jù)橢圓方程、焦點(diǎn)弦性質(zhì)和橢圓定義可知ABC正誤；設(shè)PQo，%）,結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式和

點(diǎn)在橢圓上可化簡求得D正確.

【解答過程】

22

對(duì)于A,由題意知：a-2,b-V3,c-Va—fa—1,|FIF2I—2c—2,A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,???PQ為橢圓C的焦點(diǎn)弦，|PQ|W2a=4,B正確;

對(duì)于C,???|P&|+\PF2\=|QF「+\QF2\=2a=4,

F2PQ的周長為IPQI+IP&I+IQ&I="I+IP&I+\QFi\+IQF2I=8,C正確；

對(duì)于D,作PM垂直于直線x=-4,垂足為M,

設(shè)POoJo)，則d=|PM|=%+4|,

Fi(-l(O),?-?\PF-i\=J(xo+L)2+%=J(xo+L)2+3一|1=J那+2xo+4=+2)=|1%0+

2|，

2IPFJ=|x0+4|,--.d=2]PF1\,D正確.

故選：BCD.

11.(6分)(2024?廣東佛山，一模)已知函數(shù)〃>)=a久3一3%2+I,則下列命題中正確的是()

A.1是f(%)的極大值

B.當(dāng)—1VaV0時(shí)，f(a—1)</(a)

C.當(dāng)a>2時(shí)，/(%)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)與，且久o>0

D.若f(%)存在極小值點(diǎn)第1，且/(%1)=f(%2)，其中％1W%2，則%1+2%2=。

【解題思路】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)并對(duì)參數(shù)。進(jìn)行分類討論得出函數(shù)單調(diào)性，即可判斷了(%)在久=0處取得極大值

f(0)=1,即A正確；根據(jù)a的范圍得出單調(diào)性即可得出B正確；a>2時(shí)，fO)的極小值=1一提>0

在(0,+8)上沒有零點(diǎn)，所以C錯(cuò)誤；根據(jù)/(%)的極小值點(diǎn);V1，%2之間的關(guān)系，得出(X1-％2)2(%1+2%2)=0

即可判斷D正確.

【解答過程】由題意可得f(%)=ax3—3x2+1,/(%)=3ax2—6x=3x(ax—2),

令f(%)=0，當(dāng)aW0時(shí)，得x=0或％=

對(duì)于A,當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在(一和(0,+8)上單調(diào)遞減，在弓,0)上單調(diào)遞增，所以f(x)在x=0處取得

極大值/(0)=1;

當(dāng)a>0時(shí)，/(%)在(-8,0)和G，+8)上單調(diào)遞增，在(0,。上單調(diào)遞減，所以/O)在x=0處取得極大值

/(0)=1;

當(dāng)a=0時(shí)，f(x)--6x,/(%)在(一8,0)上單調(diào)遞增，在(0,+8)上單調(diào)遞減，所以/(x)在x=。處取得極

大值/(0)=1,所以A正確；

對(duì)于B,當(dāng)—l<a<0時(shí)，f(x)在(|,0)上單調(diào)遞增，又：<一2,因?yàn)橐?<a—1<a<0,所以/<a-1)<f(a),所￡

正確;

對(duì)于C,當(dāng)a>0時(shí)，/（%）在（一8,0）上單調(diào)遞增，由于f（一1）"（0）=一a一2<0,所以f（x）在（一8,0）上存

在唯一的零點(diǎn)且小于0；

若a>2,則/'（久）的極小值fQ=1-1>0,即/（%）在（0,+8）上沒有零點(diǎn)，所以f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)且

小于0,所以C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若/（x）存在極小值點(diǎn)，則刀1=：,即a=j,

因?yàn)?（%i）=/（冷），所以a%；—3x1+1=a%2—3%2+L

所以2%i—3x1=—-3%2?2%2—3%1%2+%i=0,即（勺-X）2（XI+2久2）=0，

xi2

又無1H犯，所以％1+2%2=0，所以D正確.

故選：ABD.

第II卷（非選擇題）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（5分）（2024?浙江溫州?一模）已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝滿足上+工+…+^—+乙且的=。3,

a2a3?n?n+i3an+16

貝102024—6069.

【解題思路】首先由遞推關(guān)系式得出｛七｝是以a2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，再代入n=l,結(jié)合的=<13

即可求出a2,最后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得答案.

【解答過程】因?yàn)椋?J為正項(xiàng)數(shù)列且'+…+^+4=；,①

a2a3anan+l^an+l6

所—I---F???4-------1--------F―――二；,②

aaaaaa

l2a2a3nn+ln+ln+23azi+26

②-①得^—\---[-----0'即冊(cè)+2_an+l=3，

an+lan+2^an+2^an+l

所以｛冊(cè)｝是以。2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，

令71=1可得---1--3-a-2=―6，又Q],=Ct?0,%°=。2乙+3,

所以廠三一+;=3解得。2=3，

（d2+3）Q23026

@2024=。2+2022X3=3+2022X3=6069.

故答案為：6069.

13.（5分）（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）已知角a,0的終邊不重合,且sina+23sB=sin/?+2cosa,則cos（a+夕）=

3

—S—

【解題思路】先利用輔助角公式及正弦的性質(zhì)得到a+S=n+2a+2kn,keZ,再結(jié)合誘導(dǎo)公式、倍角公

式可得cos(a+￡)的值.

【解答過程】根據(jù)sina+2cos0=sin/?+2cosa可得sina—2cosa=sin/?—2cos0=>V5sin(a—</?)=

V^sin(S-cp),

其中銳角9滿足tanp=2,

故sin(a-w)=sin(￡—<p)可得a—cp=p-cp+2kgk6Z,或者a—<p+^—<p—TI+2kn,kEZ,

由于a,。的終邊不重合，故a-s+3一s=n+€Z,

因此a+夕=TT+2<p+2kiv,k6Z,

siMw—cos2(ptan2<p—13

cos(a+0)=COS(TC+2(p+2/CTT)=cos(ir+2(p)——cos2<p=——$------$——---$------=—

sin"w+cos(ptan/?+15

故答案為：

14.(5分)(2024?安徽淮北?二模)在3X3的方格中，每個(gè)方格被涂上紅、橙、黃、綠四種顏色之一,

若每個(gè)2x2的方格中的四個(gè)小方格的顏色都不相同，則滿足要求的不同涂色方法的種數(shù)為72.

【解題思路】根據(jù)題意，第一個(gè)2x2的方格有用種涂法，假設(shè)第一個(gè)2x2的方格，涂如圖所示力BCD四

種顏色，分類求得不同的涂色方法，結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理，即可求解.

【解答過程】設(shè)四種顏色分別為4BCD,對(duì)于第一個(gè)2x2的方格，共有蛋=24種不同的涂法，

假設(shè)第一個(gè)2x2的方格，涂如圖所示力BCD四種顏色，

①若第三列的一個(gè)方格涂4第三列的第二方格涂C,則第三列的第三方格涂力或8,

當(dāng)?shù)谌械牡谌礁裢苛r(shí)，則第三行的第一、二方格，分別涂4B;

當(dāng)?shù)谌械牡谌礁裢緽時(shí),則第三行的第一、二方格，分別涂8,4

②若第三列的一個(gè)方格涂C,第三列的第二方格涂4則第三列的第三方格涂C或B,

當(dāng)?shù)谌械牡谌礁裢緾時(shí)，則第三行的第一、二方格，分別涂4B；

當(dāng)?shù)谌械牡谌礁裢緽時(shí)，則第三行的第二方格涂C,不合題意;

所以，共有3類涂法，則共有24X3=72種不同的涂色方法.

故答案為：72.

nNn□

tE□□

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。

15.(13分)(2024?廣東?模擬預(yù)測(cè))在△力BC中，內(nèi)角力,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.己知cos24=cosBcosC—

sinBsinC.

(1)求角4的大小；

(2)已知a=6,c=2k.求△4BC的面積.

【解題思路】(1)由兩角和的余弦公式化簡結(jié)合二倍角的余弦公式即可求出cos力的值，進(jìn)而可求角4；

(2)由余弦定理可得b,再利用三角形面積公式即可求出.

【解答過程】(1)因?yàn)閏os24=cosScosC—sinFsinC=cos(F+C)=cos(兀-4)=—cos4

即2cos2人—1—cos4解得cosX=1或cosTl-1.

因?yàn)樵凇?BC中，0<4<ir,

所以力=今

(2)在△ABC中，由余弦定理a2=扶+c?—2bccos4

得62=b2+(2V3)2-4痘bxI，

整理得抉-2V3b-24=0,

由6>0,解得b=4g,

所以△力BC的面積為=jbcsinA=|x4V3x2V3Xy=6倔

16.(15分)(2024?廣西柳州?一■模)已知函數(shù)/'(久)=ax—Inx-

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=/(%)在(1"(1))處的切線方程；

(2)若fQ)有極小值，且極小值小于0,求a的取值范圍.

【解題思路】(1)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；

(2)求導(dǎo)，分析aW0和a>0兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和極值，分析可得1+Ina-工<0,構(gòu)建函

a

數(shù)解不等式即可.

【解答過程】(1)當(dāng)a=l時(shí)，則/'(x)=工一Inx-1,/=1-1

可得f(l)=0,f(l)=0,即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),切線斜率為k=0,

所以切線方程為y=0.

(2)/0)定義域?yàn)?0,+8),且f(x)=a-%

若Q<0,貝Ijf(%)<0對(duì)任意％G(0,+8)恒成立.

所以/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減，無極值，不合題意,

若a>0,令/<%)>0,解得%>(令解得'V/

可知/(%)在(0、)上單調(diào)遞減，G，+8)上單調(diào)遞增，

則/(%)有極小值/G)=l+Ina-無極大值，

由題意可得：/(2)=1+Ina——<0,即1+Ina——<0.

\a/aa

令g(a)=1+Ina-}(a>0),g(a)=}+*>0,g(a)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又g(l)=l,不等式1+Ina-}<0等價(jià)于g(a)<g(l),解得a<1,

又a>0,綜上a的取值范圍是0<a<l.

17.(15分)(2024?廣東?模擬預(yù)測(cè))如圖，在三棱柱ABC-H/iCi中，側(cè)面BBiCiC是邊長為2的菱形,

其對(duì)角線交于點(diǎn)。.且力。1平面BBiCiC.

(1)求證：/CL平面ABC1；

(2)若NBiBC=60。,。4=OB,求平面ZB。與平面ABC夾角的余弦值.

【解題思路】(1)通過證明81cl4。1可證明結(jié)論；

(2)方法1,如圖建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ABC1與平面4BC的法向量，然后由空間向量知識(shí)可得答

案；

方法2,取力B中點(diǎn)。，連接OD,CD,由題可得平面力BCi與平面4BC的夾角即為NODC,然后可得答案.

【解答過程】(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜝/C1C是菱形，所以/CBM，

又因?yàn)?。J■平面B/C1C,且當(dāng)。u平面BBiCiC,所以4。_L81c.

又40n8Ci=。，AO,BCiu平面ABC。所以/C1平面4附.

(2)方法1,由3當(dāng)=2,四邊形8當(dāng)?shù)?。為菱形，NB/C=60。，

則aBJC是邊長為2的等邊三角形.

所以。Cl=0B=BCsin60°=2Xy=V3,OBX=OC=1,OA=OB=V3.

因?yàn)榱?。，平面BBiQC,OB1OB。則以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

OB,OBi，所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則B(百,0,0),^(-73,0,0),%(0,1,0),7l(0,0,V3)，C(0,-1,0),

則南=(V3,0,-V3),BC=(-V3,-1,0),

設(shè)平面48C的一個(gè)法向量為元=(x,y,z),

則Bz_0,取光=1,貝z-1,tj［n-(1,-V3,1),

易知平面ABCi的一個(gè)法向量為沅=(0,1,0),

則平面48C1與平面力BC夾角。的余弦值

cos0=|cos〈范元>i=|磊|=|福|=W，

故平面4BC1與平面4BC夾角的余弦值為卓；

方法2,由8邑=2,四邊形BBiCiC為菱形，zFjBC=60°,

則4B/C是邊長為2的等邊三角形，

所以。的=OB=BCsin60°=2x—=后網(wǎng)=OC=1,。4=OB=禽,

所以4B=VOX2+OB2=V6.

取力B中點(diǎn)D,連接。D,CD,

在等腰直角△4。8中，。。_L且。。==當(dāng)，

由勾股定理得4c=y/OA2+OC2=2.

因?yàn)锽C=2=AC,貝！|CD1AB,CD=VfiC2-BD2=J22-⑶?=?.

注意至［］。。1AB,CD1AB,平面48cln平面ABC=AB,

所以平面48cl與平面力BC的夾角即為NODC.

在△ODC中，OC=1,。。=乎，?，貝屹2+。屏=CZ)2,

即。C，。。今cos4ODC=^=W

故平面AB。與平面力BC夾角的余弦值為手.

18.(17分)(2024?陜西寶雞?二模)某趣味運(yùn)動(dòng)設(shè)置了“謎語競(jìng)猜”活動(dòng)，在活動(dòng)中設(shè)置①、②、③三道謎

語題，猜謎者按照一定的順序猜謎，只有猜對(duì)當(dāng)前謎語才能繼續(xù)競(jìng)猜下一道謎語，并且獲得本謎語的獎(jiǎng)金.每

次猜謎的結(jié)果相互獨(dú)立.猜對(duì)三道謎語的概率及獲得的相應(yīng)獎(jiǎng)金如下表：

謎語①②③

p(0<p

猜對(duì)的概率0.80.5

<1)

獲得的獎(jiǎng)金(元)102030

(1)若p=0.5,按“①、②、③”的順序猜謎，求所獲獎(jiǎng)金至少為30元的概率；

(2)假設(shè)只按“①、②、③”和“③、②、①”兩種順序猜謎.若以猜謎所獲獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，按哪

種順序猜謎所獲獎(jiǎng)金更多？

【解題思路】(1)設(shè)事件4B,C,D,依題。=(ABC)U(ABC),根據(jù)事件4而與事件力BC的互斥與的相

互獨(dú)立，利用概率公式計(jì)算即得；

(2)分兩種方案分別計(jì)算隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)取值的概率，列出分布列，計(jì)算期望值，作差比較即得.

［解答過程】(1)設(shè)“猜謎者①猜對(duì)"為事件A；“猜謎者②猜對(duì)”為事件&“猜謎者③猜對(duì)”為事件C.

記“所獲得獎(jiǎng)金至少為30元”為事件D,則包括獲得獎(jiǎng)金30元或60元.

獎(jiǎng)金30元指①、②猜對(duì)，③猜錯(cuò)，即事件發(fā)生；

獎(jiǎng)金60元指①、②猜對(duì)，③猜對(duì)，即事件ABC發(fā)生.

因事件482與事件力BC互斥，且4B,C相互獨(dú)立，

則P(D)=P(XBC)+P(i4BC)=P(4)P(B)P(C)+PQ4)P(B)P(C)

=0.8x0,5x0.5+0.8x0.5x0,5=0.4.

即所獲得獎(jiǎng)金至少為30元的概率為0.4;

(2)若猜謎者按“①、②、③”的順序猜謎語.

則他所獲獎(jiǎng)金X的所有可能取值為0,10,30,60(元)，

P(x=0)=1—0.8=0.2,

P(X=10)=0.8(1—p),

P(X=30)=0.8Xpx0.5=0.4p,

P(X-60)=0.8xpx0.5=0.4p,

列出X的分布列為：

X0103060

0.8(1

P0.20.4pOAp

一P)

故E(X)=8(1—p)+12P+24p=28p+8；

若猜謎者按''③、②、①”順序猜謎語.

則他所獲獎(jiǎng)金y的所有可能取值為0,30,50,60(元)，

P(Y=0)=0.5,

P(Y=30)=0.5(1-p),

P(y=50)=0.5px0.2=O.lp,

P(Y-60)=0.5xpx0.8=OAp,

列出y的分布列為：

Y0305060

0.5(1

P0.5O.lp0.4p

—P)

故E(y)=15(1-p)+5p+24p=14p+15.

由E(X)—E(y)=14p—7,

當(dāng)14p—7>0,即pe(0.5,1)時(shí)，應(yīng)按①、②、③順序猜謎所獲得獎(jiǎng)金更多；

當(dāng)14p—7=0,即p=0.5時(shí)，按①、②、③和③、②、①順序猜謎所獲獎(jiǎng)金一樣多;

當(dāng)14p-7<0,即(0,0.5)時(shí)，應(yīng)按③、②、①