2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值最值 專項(xiàng)練習(xí)

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值、最值專項(xiàng)練

一、單選題

1.已知函數(shù)〃x)=d—8x+61nx+l,則的極大值為(

A.10B.-6C.-7D.0

Jl

2.函數(shù)y=x+2cosx在0,萬上的極大值點(diǎn)為()

A.0C.71D.71

65

3.函數(shù)/(%)=(x—2)/“有()

A.極大值點(diǎn)3B.微小值點(diǎn)3

C.極大值點(diǎn)1D.微小值點(diǎn)1

4.函數(shù)/(力的定義域?yàn)殚_區(qū)間(。))，導(dǎo)函數(shù)尸(力在(。⑼內(nèi)的圖象如圖所示，則函

數(shù)”X)在開區(qū)間(。力)內(nèi)有微小值點(diǎn)()

C.3個D.4個

5.函數(shù)尸/(x)的定義域?yàn)?-2,2),解析式/(x)=X4-4X2+1,則下列結(jié)論中正確的是

()

A.函數(shù)y=/(x)既有最小值也有最大值B.函數(shù)＞=/(%)有最小值但沒有最大值

C.函數(shù)y=/(%)恰有一個微小值點(diǎn)D.函數(shù)＞=/(%)恰有兩個極大值點(diǎn)

1

6.設(shè)函數(shù)7⑺』?一丁"""，若函數(shù)f(x)無最小值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

[2x,x>a

()

A.(-co,-l)B.(-co,-l]

C.(-l,+oo)D.(l,+oo)

7.當(dāng)％=加時，函數(shù)/(x)=x3—x2+3x—2in%取得最小值，則加二()

23

A.-B.1C.-D.2

32

8.已知a>0,函數(shù)的微小值為一?貝ija=()

A.孤B.1C.啦D.6

9.若函數(shù)=-辦2一笈+〃2在x=i處有極值I。，貝|]〃一6=()

A.6B.—15C.-6或15D.6或-15

10.已知函數(shù)/(x)=(f-4)(x-a),a為實(shí)數(shù)，/(一1)=0,貝廳⑺在[-2,2]上的最大值

是()

9350

A.—B.1C.—D.

2527

2

11.設(shè)加力0,若龍=相為函數(shù)/(x)=m(x-m)(x-n)的微小值點(diǎn)，則()

Yin/

A.m>nB.m<nC.—<1D.—>1

mm

12.已知函數(shù)/(%)=%3-3x—1,若對于區(qū)間卜3,2]上的隨意不,尤2，都有|〃%)-/(%2)歸，，

則實(shí)數(shù)，的最小值是()

A.20B.18

C.3D.0

2

13.已知acR,函數(shù)〃x)=e2x+(x-2a)e*+a2的最小值為g(a),則g(a)的最小值為

()

A.—B.—eC.——D.0

ee

14.對隨意aeR,存在be(O,—),使得e"-lnZ?=l,則b-a的最小值為

()

A.gB.逅C.1D.e

22

15.函數(shù)/(%)=1+2磯1+依+》)滿意：對心會，都有=則函數(shù)

〃x)的最小值為()

A.-20B.-16C.-15D.0

二、填空題

16.已知函數(shù)"x)=2sin[2x+?]+l,則的最小值是

17.已知函數(shù)f(x)=lnx—ax存在最大值0,則a=.

18.函數(shù)“X)=V-3/+4在尤=處取得微小值.

19.若函數(shù)/(力=依3+3尤2一了恰好有三個單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

20.設(shè)0,A是函數(shù)f(x)=x'-2a/+a?x的兩個極值點(diǎn)，若2G(m,n),則實(shí)數(shù)a的取

值范圍是.

三、解答題

21.已知函數(shù)/(工)=%3+。%2+法+。在x=1與％=一2§時，都取得極值.

⑴求a,b的值;

3

⑵若/(-I)=9，求"X)的單調(diào)增區(qū)間和極值.

22.已知函數(shù)/(x)=§尤3-4X+4.

⑴求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵求〃x)在區(qū)間［-3,4］上的最大值和最小值；

(3)畫出的草圖(要求盡量精確).

23.已知函數(shù)f(x)-^x3--^ax2-2x(aeR)在x=2處取得極值.

⑴求f(x)在［-2,1］上的最小值；

⑵若函數(shù)g(x)=A*)+6SeR)有且只有一個零點(diǎn)，求6的取值范圍.

24.設(shè)函數(shù)/(x)=-彳3—x"+x+2.

⑴求〃尤)在彳=-2處的切線方程；

(2)求〃元)的極大值點(diǎn)與微小值點(diǎn)；

⑶求〃尤)在區(qū)間［-5,0］上的最大值與最小值.

25.已知函數(shù)/'(x)=(爐-2x-3)e”.

⑴求〃x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵求Ax)在區(qū)間［-2,4］上的最大值和最小值.

Inx

26.已知函數(shù)_f(x)=———ax,曲線尸廣(x)在x=l處的切線經(jīng)過點(diǎn)(2,—1).

x

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

(2)設(shè)6〉1,求/<x)在匚，6］上的最大值和最小值.

b

Inx

27.已知函數(shù)/*(x)=--1.

x

4

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)設(shè)〃>0,求函數(shù)f(x)在區(qū)間［見2加上的最大值.

5

1.B

【詳解】

函數(shù)/(%)的定義域?yàn)?0,+"),

八…一8+”2(1)(1)

x

令/'(%)=°，解得%=1或x=3,

故

X(0」)1(L3)3(3,-H?)

>0二0<0二0>0

單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減微小值單調(diào)遞增

所以〃尤)的極大值為〃1)=-6,

故選：B.

2.C

【詳解】

函數(shù)>=%+2cos%的導(dǎo)數(shù)為V=l—2sin%,=1-2sinx=0sinx=

IT

又因?yàn)?，所以x=2

o

當(dāng)xe(0塌時，/>0,

當(dāng)xek'5時，y<o,

7171

所以函數(shù)y=x+2cosx在0年上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,

所以使得函數(shù)>=尤+2cos尤取得極大值的龍的值為［

O

故選：C.

3.A

【詳解】

/(x)=(x-2>-\

/.f\x)=(x-2)—'+(x-2)0=+(x-2)e-x-(-1)=(3-x]ex,

當(dāng)x<3時/'(x)>0,單調(diào)遞增；當(dāng)x>3時/'(x)<0,單調(diào)遞減.

1

??./(尤)在x=3處取得極大值，即只有一個極值點(diǎn)x=3,且是極大值點(diǎn)，

故選：A.

4.A

【詳解】

解：由導(dǎo)函數(shù)尸(無)在區(qū)間(a,9內(nèi)的圖象可知，函數(shù)尸(力在(a,6)內(nèi)的圖象與x軸有四個公

共點(diǎn)，

在從左到右第一個交點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)，它是極大值點(diǎn)；在從左到右其次個交點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左負(fù)

右正，它是微小值點(diǎn)；在從左到右第三個交點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左正右正，它不是極值點(diǎn)；在從左到右

第四個交點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)，它是極大值點(diǎn).所以函數(shù)/(x)在開區(qū)間9內(nèi)的微小值點(diǎn)有1

個.

故選：A.

5.A

【詳解】

f(x)=x4-4x2+l,xe(-2,2),/'(尤)=4_?-8尤=4尤(_?-2)；

令/''(x)=0,貝！Jx=O或工=±0;

當(dāng)-2〈尤〈-應(yīng)時，/?<0,此時函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)-近<x<0時，/(無)>。,此時函數(shù)Ax)單調(diào)遞增；

當(dāng)O<x<0時，/'(元)<0,此時函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)血〈尤<2時，rU)>0,此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，

fM在尤=±也時取得微小值，在x=0時取得極大值，故C,D錯誤；

/(-2)=/(2)=24-4X22+1=1,；

/(0)=1,/(-V2)=/(^)=(72)4-4x(7I)2+1=-3；

函數(shù)/(丈)既有最小值也有最大值；

故答案為：A

6.A

【詳解】

由y=3x-V得y'=3-3x?,

2

令y'>o,得令y'<。，得x<-i或無>1,

所以y=3尤-/在上單調(diào)遞減，在(7,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=T時，丁=3尤-無3取得微小值，為_2,

3天一無3,無4。f—2>2a

因?yàn)?(無)=C無最小值，所以。3c，解得"T.

2x,x>a[3a-a>2a

故選：A

7.A

【詳解】

解：/'3=%(3%-2)+^^=(3%-2)卜+1(%>0),

當(dāng)時，/'(x)>0；當(dāng)時，/(x)<0.

所以函數(shù)/(x)在(o,I]上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x時，”力取得最小值.

故選：A.

8.C

【詳解】

/'(%)=—%2+,=，貝"在和(〃,+oo)上單調(diào)遞減，在上單

194_

調(diào)遞增，所以/(%)極小值=/(—。)=一。3+]/=一§/=—則/=2,則〃

故選：C

9.B

【詳解】

/(%)=x3-ax2-bx+a1,f\x)=3x2-2ax-b

又％=1時/(%)有極值10

f3—2a—b=0[a=—4f〃=3

<-2n，解得％n或匕a

[l-a-b+a=0[0=11[b=-3

當(dāng)。=3力=-3時，=3x2-6x+3=3(x-1)2>0

此時,(x)在元=1處無極值，不符合題意

3

經(jīng)檢驗(yàn)，a=-4,b=ll時滿意題意

d—b=-15

故選：B

10.A

【詳解】

解：/(幻=(x2-4)(x-a),

/'(x)=2x(x-a)+(x2-4),

r(-l)=-2(-1-?)-3=0,

ci=一1?

2

?.f(x)=(x2-4)(x-g)=J一(/一4%+2,

「./'(%)=3x2-x-4=(x+1)(3x-4),

4

令八x)=。，貝IJ%=三或%=—l,

當(dāng)xe［—2,—l)或xe，,2時，/(x)>0,即函數(shù)『⑴在和&,2上單調(diào)遞增;

當(dāng)時,f'(x)<0,函數(shù)/(X)在卜用上單調(diào)遞減;

所以了⑴在x=—l處取得極大值，在x=1處取得微小值，又-1)=|,/(2)=0,

故函數(shù)了⑶在區(qū)間［-2,2］上的最大值為|,

故選：A.

11.C

【詳解】

/(x)=機(jī)［2(%-機(jī)+=3機(jī)(x-機(jī)),

若m<0,f\x)是開口向下的拋物線，產(chǎn)〃是微小值點(diǎn)，

、，4,2n+m、口門〃—

必有根V-----,ri>m,BP—<1,

3m

若心0,f\x)是開口向上的拋物線，尸"是微小值點(diǎn)，

必有心如“，“<根，即2<1；

3m

4

故選：c.

12.A

【詳解】

對于區(qū)間［-3,2］上的隨意Xi,X2都有|f(xi)-f(x2)|<t,

等價于對于區(qū)間［-3,2］上的隨意X,都有f(X)max-f(X)minWt,

*.*f(x)=x3-3x-1,fz(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),

Vxe［-3,2］,

???函數(shù)在［-3,-1］>［1,2］上單調(diào)遞增，在［-1,1］上單調(diào)遞減，

.,.f(X)max=f(2)=f(-1)=1,f(X)min=f(-3)=-19,

,?f(X)max一f(X)miL20,

??.t220,

???實(shí)數(shù)t的最小值是20,

故答案為A

13.A

【詳解】

方法一：由題意得：/,(x)=2e2T+(x-2a+l)ex=e,(2eT+x-2a+l)；

令Mx)=2e"+x-2a+l,則1(%)=21+1>0,二人(力在R上單調(diào)遞增,

Xh(2a)-2e2a+1>0,當(dāng)x--8時，；.共e(T?,2a),使得M%)=0,

則當(dāng)xw(-oo,%)時,/z(x)<0,即r(x)<0；、當(dāng)xe(%,+oo)時,/z(x)>0,即/(力>0；

.'./(X)在(=?,與)上單調(diào)遞減，在(飛,《?)上單調(diào)遞增,

=/(x(>)=e5+(%—2a)e演+a2；

由力(5)=0得：a=2e：x°+l,

即g(a)=e%_(2e』+l)e~>+產(chǎn)；/+1］=4"。+,+2%+1,

設(shè)p(%)=4xe"+2%+1,貝U=(4x+4)e"+2%+2=(2x+2)(2e"+1),

.,.當(dāng),-1）時，當(dāng)］時，

5

在(-CO,-1)上單調(diào)遞減，在(-1,+8)上單調(diào)遞增，

：.p^x).=p(-l)=-—+1-2+1=--,g(a\.=〃(1)=」.

r7

\minL'/eeb\^nun4￡

X

方法二：令力(。)=(。-d)2+xe",則當(dāng)時，h[a)^n=XQ,

令機(jī)(x)=xe*,貝ij加(jr)=(x+l)e",

.,.當(dāng)X￡(-oo,-l)時，m(x)<0；當(dāng)無￡(-l,+co)時，m(x)>0；

則加(%)在(-8,-1)上單調(diào)遞減，在(-L+O))上單調(diào)遞增，

?'m(XLn=MT=-3，即g(4出=-1-

故選：A.

14.C

【詳解】

由題e"=lnb+l,令』=111人+1=《/>0),則〃=111/乃二/所以〃—Q=ei—Ini,令

/(?)=e,-1-lnr(r>o),則尸⑺=b一,令"(x)=/?)=/「；，

則〃(x)=e'T+(>0,則w(x)即r(t)在(0,+8)時單調(diào)遞增，

又尸(1)=0,貝|0<r<l時時1。)>0,

所以1=1時/⑺取得微小值也即為最小值，最小值/(1)=1,即的最小值為L

故選：C.

15.B

【詳解】

解：因?yàn)楹瘮?shù)〃%)=(%2+2磯爐+雙+》)滿意:對DxwR,都有〃1+%)=〃1_力，

所?/⑼=7⑵JO=8(4+2a+6)

〔/(T)=/(3)’'1一(l-a+b)=15(9+3a+b)'

解得k[a=—6,

所以/(%)=(爐+2%)(%2-6%+8),

貝!J/=(21+2乂爐一6x+8)+(f+2%)(21一6),

6

=4(X3-3X2-2X+4),

=4(X-1)^X-1-\/5^X-1+A/5j,

當(dāng)x<i-6或i<x<i+&時，r(x)<o,

當(dāng)無>1+6時，r(x)>o,

所以〃x)的最小值為/(1+⑹=/(l-方)=-16,

故選：B

16.-1

【詳解】

jr-rr57r

當(dāng)2尤+§=—]+2%〃■，左eZ,即尤=-五+Qz■，伏eZ)時

sin(2尤+3=-1,則函數(shù)“同.=-2+1=-1

故答案為：T.

17.-

e

【詳解】

/'(%)=!一。,兀>0

x

當(dāng)aWO時，廣(%)=4-。>0恒成立，即函數(shù)Ax)單調(diào)遞增，不存在最大值；

x

當(dāng)a>0時，令/般尸工-。=0,解得x=L

xa

當(dāng)0<xV4時，f/(x)>0,函數(shù)〃(x)單調(diào)遞增；

a

當(dāng)尤〉,時，f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.

a

即：/Wmax=/(-)=-ln<2-l=0

a

解得：

e

故答案為：-

e

18.2

【詳解】

試題分析：/(%)=x3-3x2+4/.f\x)=3x2-6%=3x(x-2),當(dāng)?shù)?(0,%)2,當(dāng)

7

〃x)<0得0<x<2,所以x=2處函數(shù)取得微小值

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性與極值

19.(-3,0)U(0,向

【詳解】

f^x)=ax1+3無2-x,貝1]/,(%)=3czr2+6x-l,

若函數(shù)/(力=方，+3%2-尤恰好有三個單調(diào)區(qū)間，

則/(X)有兩個不同的零點(diǎn),

即3依e+6元-1=0有兩個不同的根,

awO

所以=>。>一3且

A=36+12。>0

故答案為：(-3,0)(0,^).

20.(2,6)

【詳解】

由已知得，f'(x)=3/-4ax+a2，因?yàn)楹瘮?shù)/1(x)=矛'-2ax^+a^x有兩個極值點(diǎn))，n,

所以f(x)=3x‘一4ax+a’有兩個零點(diǎn)小，n.

又因?yàn)?d(如n),所以有/(2)=12-8a+/<0,

解得2<a<6.

故答案為：(2,6)

21.(1)a=--,b=-2

2

⑵函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和(1,+8),單調(diào)遞減區(qū)間是[-*1],函數(shù)的極大值是

/(2^49函數(shù)的微小值是-不1

【解析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)與極值點(diǎn)的關(guān)系，求得。,6后，再檢驗(yàn);

(2)首先求c,再利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性，極值的關(guān)系，即可求解.

xx3+2Q+Z?=0

(1)r(x)=3x2+2dx+&,由條件可知/")=0和4-#0,即上加+〃3解得:

D-T-

8

〃=_；,b=-2,所以=_2x+c,檢驗(yàn)：/'(x)=3x2-X-2=(J;-1)(3X+2)

_2

X(1,+00)

-31利1

盟X)+0—0+

“X)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減微小值單調(diào)遞增

21

經(jīng)檢驗(yàn)X=1與X=-§時，都取得極值，滿意條件，所以〃=-萬，b=-2；

131

(2)/(—1)=—1—5+2+c=5,解得：c=l所以/(%)=V一］/一2%+1

廣(%)=3%2_%-2=(%-1)(3%+2)

_2

X(1,+co)

-31

用X)+0—0+

49

/(X)單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增

極大值27微小值-5

有表可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[-巴和(1,+?>),單調(diào)遞減區(qū)間是[-gl],函數(shù)的極

大值是/[-胃=!|,函數(shù)的微小值是

22.(1)增區(qū)間為(^，-2),(2,+8),減區(qū)間為(-2,2)；

⑵最小值為4最大值為三28；

(3)圖象見解析.

【解析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)探討的單調(diào)性，即可得單調(diào)區(qū)間；

(2)由(1)確定區(qū)間單調(diào)性，并得到極值、端點(diǎn)值，進(jìn)而得到最值.

(3)五點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象.

(1)由題設(shè)/(尤)=/一4,所以(一8,-2)、(2,+s)上/'(x)>0,(-2,2)±f'(x)<0,所以/(x)

的單調(diào)增區(qū)間為(-8,-2)、(2,+8),單調(diào)減區(qū)間為(-2,2).

(2)由(1)可得如下列表：

9

X-3(-3,-2)-2(-2,2)2(2,4)4

f,M—0+0—

28_428

()7遞增遞減遞增

/XT~3T

4OQ

當(dāng)x=2時，/⑶在［T4］的最小值為-不當(dāng)x=-2或x=4時，/⑴在［—3,4］的最大值為三.

(3)

X-3-2024

28_428

/(九)74

T~3T

結(jié)合(1)的結(jié)論，函數(shù)圖象如下:

【解析】

(1)首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得r(2)=0,即可求出參數(shù)。的值，即可求出函數(shù)

解析式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再求出區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，即可求出函數(shù)的最小值；

(2)依題意=尤2-2尤(6eR)有唯一解，即函數(shù)>=一》與y=/(x)只有1個交點(diǎn)，

由(1)可得函數(shù)Ax)的單調(diào)性與極值，結(jié)合函數(shù)圖象即可求出參數(shù)的取值范圍；

(1)解：因?yàn)?(尤)=^尤3-；依2-2元(。€1<),所以尸(%)=/-辦-2,/(X)在尤=2處取得

極值，⑵=0,即22-2々-2=0解得。=1,/0)=；%3-；彳2-2無，所以

f'(x)=x2-x-2=(x+l)(x-2),所以當(dāng)x<-l或無>2時尸(無)>0,當(dāng)一l<x<2時/'(無)<0,

10

.?./?(x)在［-2,-1)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又

1121113

f(—2)=-x(—2)3——x(—2)2—2x(—2)=——=-xl3——xl2_2x1=,「./(%)在［—2,1］

323326

上的最小值為-”13.

6

(2)解：由(1)知，/(X)-1X3-1X2-2X,若函數(shù)8(*)=〃*)+6(6€1?)有且只有一個零

點(diǎn)，則方程4=/(x)(6?R)有唯一解，即一6=；x3-；x2—2MbeR)有唯一解，由(1)知，

7in

/⑺在(-8,-1),(2,+8)上單調(diào)遞增，在(-1,2)上單調(diào)遞減，X/(-l)=-,/(2)=-—,函數(shù)

24.(1)7x+y+10=0；

⑵微小值點(diǎn)為無=-1,極大值點(diǎn)為X=g；

⑶/(4?=1，〃x-97.

【解析】

(1)求導(dǎo)后，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得切線斜率r(-2),由此可得切線方程；

(2)依據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可確定/(尤)單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可確定所求極值點(diǎn)；

(3)由(2)可得在［-5,0］上的單調(diào)性，由單調(diào)性可求得最值.

(1)由題意得：/'(x)=—3無之―2x+l,貝|/(一2)=—12+4+1=-7,又/(一2)=8—4—2+2=4,

在x=-2處的切線方程為y—4=—7(x+2),即7x+y+10=0；

(2)令/''(力=-3——2x+l=0,解得：x=-l^x=1,則改變狀況如下表：

11

1

X(--1

卜43

廣⑺—0+0—

“X)微小值極大值

.?■/(x)的微小值點(diǎn)為x=-l,極大值點(diǎn)為無=；；

(3)由(2)知：“X)在15,-1)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；又

/(-5)=125-25-5+2=97,/(0)=2,/(-1)=1-1-1+2=1,/./(x)^=/(-1)=1,

〃力E="-5)=97.

25.⑴單調(diào)遞減區(qū)間為卜/⑹，單調(diào)遞增區(qū)間為卜。，-⑹和(、后，+孫

⑵最大值為5e3最小值為(2-26卜后.

【解析】

(1)依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，即可求解；

(2)依據(jù)〃x)在區(qū)間［-2,4］上的單調(diào)性即可求解.

(1)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,f'(x)=ex(x2-5),由:(x)=e，(x2-5)=0,可得x=±君,

當(dāng)x>君或x<-百時，尸(x)>0,當(dāng)-6<x<6時，(。)<。，,/⑺的單調(diào)遞減區(qū)間為

(-75,75),單調(diào)遞增區(qū)間為(—8,—國和心,+可.

(2)由(1)知了⑴在卜2,石］上單調(diào)遞減，在［、后,4］上單調(diào)遞增.又

/(-2)=^,/(4)=5e4,于卓)=(2-2亞)e%：.于(x)的最大值為5e“，最小值為(2-