2025版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章 平面向量與復(fù)數(shù)

第五章平面向量與復(fù)數(shù)

5.1平面向量的概念及線性運(yùn)算

課程標(biāo)準(zhǔn)有的放矢

1.通過(guò)對(duì)力、速度、位移等的分析，了解平面向量的實(shí)際背景，理解平面向

量的意義和兩個(gè)向量相等的含義.

2.理解平面向量的幾何表示和基本要素.

3.借助實(shí)例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量加、減運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則，

理解其幾何意義.

4.通過(guò)實(shí)例分析，掌握平面向量的數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則，理解其幾何意義.

理解兩個(gè)平面向量共線的含義.

5.了解平面向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義.

必備知識(shí)溫故知新

【教材梳理】

L向量的有關(guān)概念

名稱_______________定義__________________I___說(shuō)明_______

向量既有大小又有方向的量叫做向量平面向量是自由向量

有向線具有方向的線段叫做有向線段，向量可以用有向線段包含三個(gè)要素：

段有向線段表示，也可用字母a,b,c,…表示起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度

向量的向量方的大小稱為向量方的長(zhǎng)度（或稱向量的模是數(shù)量

模模），記作畫(huà).

零向量長(zhǎng)度為。的向量叫做零向量，記作0|一

單位向長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量,叫做單位向a是非零向量，則±烏是

平行向方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,規(guī)定：零向量與任意向量

量（共平行向量也叫做共線向量平行

線向

量）

相等向長(zhǎng)度相等且方向11回的向量叫做相等向量?jī)上蛄靠梢韵嗟纫部梢圆?/p>

量相等，但不能比較大小

相反向與向量a長(zhǎng)度相等，方向相反的向量,叫做0的相反向量仍是0

量a的相反向量，記作-a

2.向量的線性運(yùn)算

運(yùn)定義法則（或幾何意運(yùn)算律（性質(zhì)）

算義）

加求兩交換律：a+b=b+a.并規(guī)定：a+0=0+

法個(gè)向a=a.結(jié)合律：a+（b+c）=（a+b）+

量和三焉形法則c.\a+b\<\a\+Ibl,當(dāng)且僅當(dāng)a力方向相同時(shí)

等號(hào)成立

的運(yùn)

算

平行四邊形法則

減求兩a—b=a+(-h)

法個(gè)向

量差

的運(yùn)

算

數(shù)求實(shí)/la是一個(gè)向量，其設(shè);L,NeR,則

乘數(shù)4與長(zhǎng)度：14al=4(〃a)="(4a):

向量a|4||a|.(2+〃)a-Aa+ua：

的積其方向：當(dāng)4>0A(a+b)-Aa+Ab

的運(yùn)時(shí)，與a的方向相

算回；當(dāng)2<0時(shí)，與

a的方向相反;當(dāng)

A=0時(shí)，Act-0

3.向量共線定理

向量a(a豐0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)2,使b=4a.

常用結(jié)逡

1.加法運(yùn)算的推廣

(1)加法運(yùn)算的推廣：+A2A3+?--+An_rAn=ArAn.

(2)向量三角不等式：||a|—|b||w|a±b|w|a|+|b|.兩向量不共線

時(shí)，可由“三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”知

“<”成立；兩向量共線時(shí)，可得出“二”成立(分同向、反向兩種不同情

形).

2.線性運(yùn)算重要結(jié)論

(1)若P為線段的中點(diǎn)，。為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則加+南).

(2)若6為4ABC的重心，則襦+GB+GC^0.

(3)若宿+〃瓦(2,〃為實(shí)數(shù))，則點(diǎn)4B,C共線的充要條件

是2+〃=1.

(4)如圖,中,8。=m,CD=幾,則而=/一荏+―-前，特別地刀為

m+nm+n

BC的中點(diǎn)時(shí)(TH==-AB+-AC.

自主評(píng)價(jià)牛刀小試

1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫(huà)“，錯(cuò)誤的畫(huà)“x”.

(1)相等向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別相同.(X)

（2）|a|與|b|是否相等與a,b的方向無(wú)關(guān).（V）

（3）零向量與任一向量平行.（J）

（4）若向量方與向量而是共線向量，則4B,C,。四點(diǎn)共線.（X）

（5）當(dāng)兩個(gè)向量a,b共線時(shí)，一定有b=2a（2eR）,反之亦成立.（X）

2.（教材題改編）下列說(shuō)法正確的是（D）

A.單位向量都相等B.若a〃b,則|a|=|b|

C.若|a|=|b|,則a=bD.若a=%b（bh0）,則。〃8

解：對(duì)于A,單位向量的模相等，但方向不一定相同，所以錯(cuò)誤.

對(duì)于B,當(dāng)a〃b時(shí)，|a|與|加不一定相等，所以錯(cuò)誤.

對(duì)于C,當(dāng)|a|=|b|時(shí)，不一定有。="因?yàn)閍=b需|a|=|加且a與b同

向，所以錯(cuò)誤.

對(duì)于D,a=2b（bro）,則a〃b,D正確.故選D.

3.【多選題】（教材題改編）下列選項(xiàng)中，向量a力一定共線的有（ABC）

A.a-2e,b--2eB.a-e1-e2,b--2e1+2e2

2,11

C.a=4er--e2,b=e1--e2D.a=%+e2,b=2%-2e2

解：對(duì)于A,a=-b.

對(duì)于B,a=--b.

2

對(duì)于c,a=4b.故A,B,C符合題意.

對(duì)于D,若a=2b,ei，不共線，則?=2勺無(wú)解，不合題意.

（.1--2A,

故選ABC.

4.如圖，正六邊形4BCDEF中，BA+CD+KF（D）

_RA___

A.0B.BEC.ADD.CF

解：將而平移到族，麗平移到麗，故瓦5+而+麗=赤+瓦？+標(biāo)=而.

故選D.

核心考點(diǎn)精準(zhǔn)突破

考點(diǎn)一平面向量的基本概念

例1【多選題】如圖，在正六邊形2BCDEF中，點(diǎn)。為其中心，則下列判斷正確

的是（ABC）

A.AB=OCB.AB//REC.|AD|=\BE\D.AD=FC

解：由正六邊形的結(jié)構(gòu)特征，知同與方方向相同，長(zhǎng)度相等，所以近=

~OC,故A正確.

同與癥方向相反，所以同〃麗，故B正確.

由正六邊形的性質(zhì)，知|而1=1豆同，故C正確.

而與而不共線，所以不相等，故D錯(cuò)誤.

故選ABC.

【點(diǎn)撥】準(zhǔn)確理解向量的概念，請(qǐng)?zhí)貏e注意以下幾點(diǎn):①a〃4有a與b方

向相同或相反兩種情形.②向量的模與數(shù)的絕對(duì)值有所不同，如|a|=|勿分a=

±b.③零向量的方向是任意的，并不是沒(méi)有，零向量與任意向量平行.④對(duì)于任

意非零向量a,9是與a同向的單位向量，這也是求單位向量的方法.⑤向量平

行，其所在直線不一定平行，兩向量還可能在一條直線上.⑥只要不改變向量a

的大小和方向，可以自由平移a,平移后的向量與a相等，所以線段共線與向量

共線是有區(qū)別的，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出線段共線，而向量的

共線與向量的平行是一致的.

變式1

(1)下列命題正確的是(B)

A.任一向量與它的相反向量都不相等

B.長(zhǎng)度相等、方向相同的兩個(gè)向量是相等向量

C.平行且模相等的兩個(gè)向量是相等向量

D.若a豐b,則|a|豐\b\

解：零向量與它的相反向量相等，A錯(cuò)誤.由相等向量的定義，知B正確.兩個(gè)向

量平行且模相等，方向不一定相同，故不一定是相等向量，例如，在平行四邊

形2BCD中，AB//~CD,且|前|=|而但同W而，故C錯(cuò)誤.arb,可能兩

個(gè)向量模相等而方向不同，D錯(cuò)誤,故選B.

(2)在AaBC中，D,E分別為邊ZB,4C的中點(diǎn)，則在如圖所示的向量中，相

等向量有(A)

A.1組B.2組C.3組D.4組

解：由相等向量的定義，可知題圖中只有一組向量相等，即謂=瓦1故選A.

考點(diǎn)二平面向量的線性運(yùn)算

命題角度1向量加、減法的幾何意義

例2已知單位向量e1,02，…,02024，則|Ci+02+…+020241的最大值是

2024,最小值是Q.

解：當(dāng)單位向量02，…，02024方向相同時(shí)，解+02+…+020241取得最大

e+4---e24lmax=leil++…+|e|=2024.

值，e2卜202024

當(dāng)單位向量e>e2,。2024首尾相連時(shí)，則+e2+…+02024=0，所以

++,?1+02024I的最小值為0-

故填2024；0.

【點(diǎn)撥】運(yùn)用三角形法則時(shí)，注意向量三角不等式||a|-|加|<

\a+b\<\a\+|勿的應(yīng)用.運(yùn)用平行四邊形法則時(shí)，注意a+b與a-b就是以

向量a和b為鄰邊的平行四邊回對(duì)頭線暨.

變式2在四邊形ZBCD中，若就=同+而，且I同+而1=1同一詬I，則四

邊形2BCD是(A)

A.矩形_%事形C.正方形D.金行吧形

解：因?yàn)榍?荏+而，所以四邊形2BCD為平行四邊形.因?yàn)閨荏+而|=

\AB-AD\,所以|就|=|礪I，即對(duì)角線相等.所以四邊形2BCD為矩形.故選A.

命題角度2平面向量的線性運(yùn)算

例3如圖，在平行四邊形ZBCD中，荏=4斤，BE=2EC,AE=aAB+bAF,

則Q—b=(B)

解：由題意，可得荏=荏+而=荏+|麗=荏+|而=荏+

—(AF+—BA\=—AB+Zy1F,所以。=工，b=馬,所以Q—b——工.故選B.

3\4/23236

【點(diǎn)撥】①平面向量的線性運(yùn)算除了充分利用相等向量、相反向量和線段

的比例關(guān)系外，有時(shí)還需要利用三角形中位線、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平

面幾何性質(zhì)，將未知向量轉(zhuǎn)化為已知向量來(lái)求解.②求參數(shù)問(wèn)題可以通過(guò)向量的

運(yùn)算將向量表示出來(lái)，通過(guò)向量相等或平行得到含參系數(shù)的方程，進(jìn)而求參數(shù)

的值.

變式3

(1)［2022年新課標(biāo)I卷］在AaBC中，點(diǎn)。在邊2B上，BD=2D4.記潦=

m,~CD^n,則而=(B)

A.3m-2nB.-2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

解：如圖，因?yàn)槎?潦+而=潦+|麗=潦+而一而)=85+

|CB-|CD,所以［而=|而一潦，即方=3而-2潦=3M—2m.故選B.

A

/

RC

(2)如圖，是圓。的一條直徑，C,。是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則方=

(D)

A.AC-ADB.2AC-2ADC.AD-ACD.2AD-21C

解：因?yàn)镃,。是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以CD〃2B,且4B=2CD.所以

AB=2CD=2(AD-Zc)=2AD-2而.故選D.

考點(diǎn)三向量共線定理及應(yīng)用

命題角度1向量共線問(wèn)題

例4已知a,b是兩個(gè)不共線的平面向量，向量方=4a+b,AC^a-

eR),若希〃尼，則有(C)

A.4+〃=2B.A-/z=1C.A/z=-1D.A/z=1

解：由萬(wàn)〃宿設(shè)荏=/c!?.

因?yàn)锳B=Act+b?AC=ci—(尢〃eR),所以Aa+b=k(a—〃b),可得

C1)所以i=T.故選C.

【點(diǎn)撥】a〃b=b=aa(aro)是判斷兩個(gè)向量共線的主要依據(jù)，注意

待定系數(shù)法和方程思想的應(yīng)用.若a與b不共線且2a=〃0則4一二。.對(duì)于向量

共線定理，當(dāng)a=o時(shí)，a與任一向量b都是共線的；當(dāng)a=0且bro時(shí)，b=

2a是不成立的，但a與b共線.因此，為了更具一般性，且使充分性和必要性都

成立，我們要求a。0.

變式4

(1)已知向量a,b不共線，若ka—b與a+2b共線，則實(shí)數(shù)上的值為(B)

1

A.-1B.—C.1D.2

2

解：因?yàn)閗a—b與a+2b共線，所以存在唯一實(shí)數(shù)2,使ka-b=2(a+2b).

所以/之］］解得k=2=，故選B.

(2)已知向熹a,b,c中任意兩個(gè)都不共線，但a+b與c共線，且b+c與a

共線，則向量a+b+c=Q.

解：依題意，設(shè)a+b=me,b+c-na,則有(a+b)-(b+c)=me-

na,即a—c=me—na.又a與c不共線，于是有m=-l,n=-l,a+b-

-c,a+b+c0,故填0.

命題角度2三點(diǎn)共線問(wèn)題

例5

(1)設(shè)a,b是不共線的兩個(gè)平面向量，已知所=a+kb,礪=2a—b.若

P,Q,R三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k的值為(A)

11

A.-iB.iC.-2D.2

22

—tC=72

解：若P,Q,R三點(diǎn)共線，則PQ=4QRna+kb=4(2a—b)n；二2'所

1/cA.j

以k=—故選A?

(2)已知刀=|而+t而，若2,B,C三點(diǎn)共線，則鬻為(C)

221

A.-B.-C.-D.2

352

解：因?yàn)榉?|而+t而，且4B,C三點(diǎn)共線，所以|+t=1.解得t=%即

P2=|PB+|PC,即：(方一方)=((而一方)，即20=左，即用=1?故

選C.

【點(diǎn)撥】三點(diǎn)共線問(wèn)題可用向量共線來(lái)解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共

線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得到三點(diǎn)共線.

變式5

(1)設(shè)a,b是不共線的兩個(gè)向量，已知瓦？=a+2b,前=4a—4b,麗=

-a+2b,貝ij(D)

A.4B,。三點(diǎn)共線B.B,C,。三點(diǎn)共線

C.4B,C三點(diǎn)共線D.4C,。三點(diǎn)共線

解：因?yàn)锽A=a+2b,BC—4ci—4jb,CD——a+2b,所以ac——AB+

前=3a-6b=-3(-a+2b)=-3而.所以左，而共線.又就與方有公共點(diǎn)

C,所以a,C,。三點(diǎn)共線.故瘋D.

(2)已知△2BC的邊BC上有一點(diǎn)D,滿足通=mAB+2mAC,則m=(C)

111

D.-

A.1B.-2C.-34

解：直接應(yīng)用性質(zhì)，得TH+27n=1,即TH=1.

另解：因?yàn)?。是BC上任一點(diǎn)，所以存在唯一實(shí)數(shù)"0<A<1),使麗=4前.所

以南一幅=AAC-AABjif以而=AAC+(1-A)AB.

因?yàn)槎猰AB+2mAC,所以，，一解得m—士故選C.

U—z=m.3

課時(shí)作業(yè)知能提升

【鞏固強(qiáng)化】

1.給出下列命題，其中正確的是(B)

A.兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量一定是共線向量

B.兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小

C.4a=0(4為實(shí)數(shù))，則4必為零

D.4,〃為實(shí)數(shù)，若/la=〃b,則a與b共線

解：因?yàn)閮蓚€(gè)向量終點(diǎn)相同，起點(diǎn)若不在一條直線上，則不共線，命題錯(cuò)誤.由

于兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小，因此命題正確.若4a=0

(4為實(shí)數(shù))，則a也可以為0,因此命題錯(cuò)誤.若4為0,盡管有=

則a與b也不一定共線，即命題錯(cuò)誤.故選B.

2.向量a,b,ei，e2,如圖所示，則a—b=(C)

A.2e1一4。2B.-4C]—2^2C.e1一3^2D.3e1一出

解：如圖，連接向量a,b的終點(diǎn)并指向a的終點(diǎn)，于是得a-b.觀察圖形，得

故選c.

3.【多選題】如圖，在平行四邊形ZBCD中，下列結(jié)論正確的是(AD)

A.OA-~OB^'OD-~OCB.AC+~CD+^O^OA

O

DA^

BA+

C+

D.A

AD

D

+C

+AC

C解.AB

正確.

，故A

=而

,瓦5

^~CD

OC

D-

,O

~BA

OB^

OA-

.

B錯(cuò)誤

O,故

0^A

D+D

0^A

+'D

+~CD

IC竺

誤.

故C錯(cuò)

AC,

AD^

AB+

CD^

+'

+AC

"

.

D正確

O,故

DA^

C+

A^B

+D

+JA

D.

故選A

(C)

而=

，則

中點(diǎn)

上的

B邊

。是Z

中，

ABC

］在△

II卷

課標(biāo)

年新

［2020

4.

2CA

CD+

D.'

CA

D-

C.2C

2CA

D-

B.C

CA

CD+

A.2

選C.

潦.故

CD-

)=2

D-潟

+2(C

D=潦

+2A

^CA

+AB

CA

CB^

解：

么

1,那

(7/6

如果

。一〃

,d=

eR)

b(/c

ka+

，c=

共線

b不

向量a,

已知

5.

(D)

反向

。與￡1

二1且

：8.k

同向

c與d

=