專題07 與全等有關(guān)的壓軸題-2021-2022學(xué)年八上期末（解析版）

試卷第=page2626頁(yè)，共=sectionpages5454頁(yè)試卷第=page2525頁(yè)，共=sectionpages5454頁(yè)與全等有關(guān)的壓軸題1．（1）如圖1，OC是∠AOB的平分線，P是OC上的一點(diǎn)，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E．F是OC上的另一點(diǎn)，連接DF、EF．求證：OP垂直平分DE；（2）如圖1，OC是∠AOB的平分線，P是OC上的一點(diǎn)，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E．F是OC上的另一點(diǎn)，連接DF、EF．求證：DF=EF（3）如圖2，若∠PDO+∠PEO=180°，PD=PE，求證：OP平分∠AOB．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)HL證明Rt△OPD≌Rt△OPE，得OD=OE可得結(jié)論；（2）根據(jù)SAS證明△ODF≌△OEF即可；（3）先過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OA，PN⊥OE，證明△PMD≌△PNE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）證明：∵OC是∠AOB的平分線，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE，在Rt△OPD和Rt△OPE中，，∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL），∴OD=OE，∴OP垂直平分DE，（2）由（1）知Rt△OPD≌Rt△OPE∴OD＝OE，在△ODF和△OEF中，，∴△ODF≌△OEF（SAS），∴DF＝EF．（3）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OA，PN⊥OB，∵∠PDO+∠PEO=180°，∠PDO+∠PDM=180°∴∠PDM=∠PEN;在△PMD和△PNE中，∴△PMD≌△PNE（AAS）∴PM=PN；∵PM⊥OA，PN⊥OB,∴OP平分∠AOB【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．2．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC移動(dòng)，以AD為邊在AB的右側(cè)作△ADE，且∠DAE＝90°，AD＝AE．連接CE．（1）如圖1，若點(diǎn)D在邊BC上，求∠BCE的度數(shù)；（2）如圖2，若點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，∠BCE的度數(shù)是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）90°；（2）不變化，見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)證∠BAD=∠CAE，再證△ACE≌△ABD（SAS）；∠ACE=∠ABD=45°；∠BCE=∠BCA+∠ACE=45°+45°；（2）運(yùn)用（1）方法可得角度不發(fā)生變化；【詳解】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，在△ACE和△ABD中，，∴△ACE≌△ABD（SAS）∴∠ACE=∠ABD=45°，∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=45°+45°=90°；（2）不發(fā)生變化，理由如下：∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，在△ACE和△ABD中，，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴∠ACE=∠ABD=45°，∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=45°+45°=90°，∴∠BCE的度數(shù)不變，為90°．【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：全等三角形判定和性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì).利用全等三角形性質(zhì)求線段長(zhǎng)度是關(guān)鍵.3．如圖，等邊三角形ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，滿足BD＜CD，連接AD，作∠DAE＝60°，AE與△ABC的外角平分線BM交于點(diǎn)E．（1）求證：AD＝AE；（2）若點(diǎn)B關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)為F，連接CF．設(shè)∠BAD＝α．①求證：；②若BE+CF＝AB成立，求出α的值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①見(jiàn)解析；②20°【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和外角平分線性質(zhì)得出∠CAD=∠BAE，∠C=∠ABE，AC=AB，進(jìn)而證明△ACD≌△ABE，即可得出結(jié)論；（2）①連接AF，根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)可得∠BAD=∠DAF=α，AF=AB=AC，進(jìn)而可得∠CAF=60°﹣2α，∠AFC=∠ACF=60°+α，可求得∠CAE=120°﹣α，由∠ACF+∠CAE=180°即可證得結(jié)論；②連接BF交直線AD于G，連接DF，根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)可得AG⊥BF，BD=DF，進(jìn)而可求得∠DBG=30°﹣α，由已知和全等三角形性質(zhì)證明CF=BD=DF，則可證∠DCF=∠CDF=60°﹣2α，再判斷出∠DCF=α即可求出α的值．【詳解】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AC=AB=BC，∵∠DAE=60°，AE為△ABC的外角平分線，∴∠CAD=∠BAE，∠ABE=∠ACD=60°，在△ACD和△ABE中，，∴△ACD≌△ABE（ASA），∴AD=AE；（2）①證明：如下圖，連接AF，∵點(diǎn)B關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)為F，∠BAD=α∴∠BAD=∠DAF=α，AF=AB=AC，∴∠CAF=∠BAC﹣∠BAD﹣∠DAF=60°﹣2α，∴∠AFC=∠ACF=（180°﹣∠CAF）=60°+α，∠CAE=∠DAE+∠DAF+∠CAF=120°﹣α，∴∠ACF+∠CAE=180°，∴AE∥CF；②連接BF交直線AD于G，連接DF，由對(duì)稱性質(zhì)得：AG⊥BF，BD=DF，∴∠DFG=∠DBG=90°﹣∠BAD﹣∠ABC=90°﹣α﹣60°=30°﹣α，∵△ACD≌△ABE，∴BE=CD，∵BE+CF＝AB，AB=BC=CD+BD，∴CF=BD，即CF=BD=DF，∴∠DCF=∠CDF=2∠DBG=60°﹣2α，由①中知∠ACF=60°+α，又∠ACB=60°,∴∠DCF=α∴60°﹣2α=α，解得：α=20°．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、對(duì)稱性質(zhì)、平行線的判定、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)，知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，解答的關(guān)鍵是認(rèn)真分析，找尋各個(gè)知識(shí)間的聯(lián)系，進(jìn)而靈活運(yùn)用各個(gè)知識(shí)解決問(wèn)題．4．如圖1，在四邊形中，邊AD∥BC，，點(diǎn)為對(duì)角線上一點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）連結(jié)交于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，且．①連結(jié)，如圖2，試判斷的形狀，并說(shuō)明理由；②連結(jié)，如圖3，求證：平分．【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析；（2）①證明過(guò)程見(jiàn)解析；②是等邊三角形，證明過(guò)程見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)判定即可；（2）①根據(jù)已知條件證明即可判斷；②過(guò)點(diǎn)A作，，證明，即可得解；【詳解】（1）∵，∴是等邊三角形，∴，∵AD∥BC，∴，∴，在和中，，∴；（2）①是等邊三角形，理由如下：∵，∴，∵，∴，又∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴是等邊三角形；②過(guò)點(diǎn)A作，，∴，由①可得，，∴，∴，∴平分；【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，準(zhǔn)確分析證明是解題的關(guān)鍵．5．如圖，AB=9cm，AC=3cm，點(diǎn)P在線段AB上以1cm/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在射線BD上以2cm/s的速度由點(diǎn)B沿射線BD的方向運(yùn)動(dòng)．它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s)．（1）如圖①，若AC⊥AB，BD⊥AB，當(dāng)t=3時(shí)，說(shuō)明ACP≌BPQ，并求∠CPQ的度數(shù)；（2）如圖②，∠CAB=∠DBA=，若ACP與BPQ全等，求出此時(shí)t的值，并直接寫(xiě)出∠CPQ的度數(shù)；（3）如圖②，若將條件中“AB=9cm”改為“AB＝10cm”，其它條件不變，∠CAB=∠DBA=，是否存在t的值，使ACP與BPQ全等？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）90°；（2）；；（3）不存在，見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)t=3時(shí)，分別計(jì)算出的長(zhǎng)度，然后根據(jù)全等三角形的判定定理判斷ACP≌BPQ，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠CPQ的度數(shù)；（2）分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)AC＝BQ時(shí)和AC＝BP時(shí)，然后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得出答案；（3）同樣分兩種情況進(jìn)行討論，或,分別計(jì)算各邊的長(zhǎng)度，檢驗(yàn)是否符合題意即可．【詳解】解：（1）由題意，得BP＝tcm，AP＝(9－t)cm，BQ＝2tcm，∠A＝∠B＝90°，當(dāng)t＝3時(shí)，BP＝3cm，AP＝6cm，BQ＝6cm，∵AC＝3cm，∴AC＝BP，AP＝BQ，∴△ACP≌△BPQ，∴∠BPQ=∠C，∵∠A=90°，∴∠APC+∠C=90°，∴∠APC+∠BPQ=90°，∴∠CPQ=90°；（2）∵△ACP與△BPQ全等，∠CAB=∠DBA=，∴AC＝BP，AP＝BQ或AC＝BQ，AP＝BP．當(dāng)AC＝BP時(shí)，t＝3，此時(shí)AP＝9－3＝6，BQ＝2t=6，AP＝BQ，∴t=3，當(dāng)AC＝BQ時(shí)，3＝2t，解得t＝，此時(shí)AP＝9－＝，BP＝t＝，AP≠BP，∴t=不合題意，∴t的值為3，∵∠CAB=∠DBA=，，∠CAB=，∴,∴∠CPQ＝；（3）不存在，由題意BP＝tcm，AP＝(10－t)cm，BQ＝2tcm，設(shè)△ACP與△BPQ全等，則AC＝BP，AP＝BQ或AC＝BQ，AP＝BP，當(dāng)AC＝BP時(shí)，t＝3，此時(shí)AP＝10－3＝7，BQ＝2t=6，AP≠BQ，∴t=3不合題意，當(dāng)AC＝BQ時(shí)，3＝2t，解得t＝，此時(shí)AP＝10－＝，BP＝t＝，AP≠BP，所以t=不合題意，所以不存在t的值，使△ACP與△BPQ全等．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟知全等三角形的判定定理以及性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵．6．如圖，D為等腰直角斜邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（D與B、C均不重合），連接，以為一邊作等腰直角，為斜邊，連接．（1）求證：；（2）以所在的直線為對(duì)稱軸，畫(huà)出的對(duì)稱圖形；（3）當(dāng)D、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，求度數(shù)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（2）22.5°【分析】（1）只需要根據(jù)邊角邊證明兩個(gè)三角形全等即可；（2）分別以E為圓心，以EA的長(zhǎng)為半徑；以C為圓心，以CA的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩者交于F，連接FE，CF，三角形CEF即為所求；（3）由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知：∠FEC=∠AEC，從而可以求得∠FEC=∠AEC=112.5°，再由全等三角形的性質(zhì)即可得到∠BDA=∠CEA=112.5°，由此即可得到∠BAD=180°-∠B-∠BDA=22.5°．【詳解】解：（1）∵△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形，△ADE是以DE為斜邊的等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=90°，∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD=90°，∴∠BAD=∠CAE，∴△ACE≌△ABD（SAS）；（2）如圖所示，分別以E為圓心，以EA的長(zhǎng)為半徑；以C為圓心，以CA的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩者交于F，連接FE，CF，三角形CEF即為所求；（3）由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知：∠FEC=∠AEC，∵D、E、F三點(diǎn)共線，∴∠DEF=180°，又∵△ADE是以DE為斜邊的等腰直角三角形，∴∠AED=45°，∠AEF=135°∴∠AEC+∠FEC=∠AED+∠DEF=225°，∴∠FEC=∠AEC=112.5°，∵△ACE≌△ABD，∴∠BDA=∠CEA=112.5°，∵△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形，∴∠B=45°，∴∠BAD=180°-∠B-∠BDA=22.5°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，軸對(duì)稱的性質(zhì)，畫(huà)軸對(duì)稱圖形，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定．7．如圖1，在中，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且于，于．(1)由圖1，證明：；(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，請(qǐng)猜想出，，的等量關(guān)系并說(shuō)明理由；(3)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問(wèn)，，又具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系（不必說(shuō)明理由）．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)，證明過(guò)程見(jiàn)解析；(3)，證明過(guò)程見(jiàn)解析【分析】(1)先證明△ADC≌△CEB，得到AD=CE，DC=BE，進(jìn)而得到DE=CE+DC=AD+BE即可；(2)同(1)中思路，證明△ADC≌△CEB，進(jìn)而得到DE=CE-DC=AD-BE即可；(3)同(1)中思路，證明△ADC≌△CEB，進(jìn)而得到DE=DC-CE=BE-AD即可．【詳解】解：(1)證明：在中，∵，∴，∵，∴，∴，又∵，，∴，∴，，∵直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴；(2)，，的等量關(guān)系為：，理由如下：∵于，于∴，∴，，∴，在和中，∴∴，，∴；(3)當(dāng)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，、、所滿足的等量關(guān)系是，理由如下：∵于，于∴，∴，，∴，在和中，∴∴，，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定方法、等腰直角三角形的性質(zhì)及等角的余角相等等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握三角形全等的判定方法是求解的關(guān)鍵．8．在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=80°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)D不與B、C重合），連接AD，作∠ADE=50°，DE交線段AC于點(diǎn)E（1）若DC=2，求證：△ABD≌△DCE．（2）在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎?若可以，請(qǐng)求出∠BDA的度數(shù)；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)祥解；（2）∠BDA＝115°或100°．【分析】（1）利用∠BAD+∠ADB＝130°，∠ADB+∠EDC＝130°，求出∠BAD＝∠DEC，再利用AB＝DC＝2，然后根據(jù)ASA即可得出△ABD≌△DCE．（2）分三種情況進(jìn)行討論，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，可得當(dāng)∠BDA的度數(shù)為115°或100°時(shí)，△ADE的形狀是等腰三角形．【詳解】（1）證明：∵AB=AC=2，∠BAC=80°∴∠B=∠C=，∵∠ADE=50°，CD=2，∴∠BAD+∠ADB=180°-∠B=130°，∠ADB+∠EDC=180°-∠ADE=130°，CD=AB=2，∴∠BAD=∠EDC，在△ABD和△DCE中，∴△ABD≌△DCE（ASA）；（2）解：可以．有以下三種可能：①由（1）得：△ABD≌△DCE，得AD＝DE，則有∠DAE＝∠DEA＝65°．∴∠BDA＝∠CED＝65°+50°＝115°；②由（2）得∠BDA＝∠CED．∵點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)D不與B、C重合），∴AD≠AE；③當(dāng)EA＝ED時(shí)，∠EAD＝∠ADE＝50°，

∴∠BDA＝∠CED＝50°+50°＝100°．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用分類思想進(jìn)行分類討論．9．已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC．（初步感知）（1）特殊情形：如圖①，若點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，則DBEC．（填＞、＜或＝）（2）發(fā)現(xiàn)證明：如圖②，將圖①中△ADE的繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D在△ABC外部，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部時(shí)，求證：DB＝EC．（深入研究）（3）如圖③，△ABC和△ADE都是等邊三角形，點(diǎn)C，E，D在同一條直線上，則∠CDB的度數(shù)為；線段CE，BD之間的數(shù)量關(guān)系為．（4）如圖④，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，點(diǎn)C、D、E在同一直線上，AM為△ADE中DE邊上的高，則∠CDB的度數(shù)為；線段AM，BD，CD之間的數(shù)量關(guān)系為．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3），；（4），【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到；（2）由旋轉(zhuǎn)得到的結(jié)論判斷出，得到；（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出結(jié)論；（4）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1），，，即故答案為：，（2）成立．理由：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，在和中，，；（3）如圖③，設(shè)，交于，和都是等邊三角形，，，，，在和中，，，，，；故答案是：，；（4）是等腰直角三角形，，，在和中，，，，，，都是等腰直角三角形，為中邊上的高，，；故答案為：，；【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)和全等三角形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中面積變化分析，解題的關(guān)鍵是掌握三角形全等的判定．10．已知：CD是經(jīng)過(guò)∠BCA的頂點(diǎn)C的一條直線，CA＝CB，E、F是直線CD上兩點(diǎn)，∠BEC＝∠CFA＝∠α．（1）若直線CD經(jīng)過(guò)∠BCA的內(nèi)部，∠BCD＞∠ACD．①如圖1，∠BCA＝90°，∠α＝90°，寫(xiě)出BE，EF，AF間的等量關(guān)系：．②如圖2，∠α與∠BCA具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，能使①中的結(jié)論仍然成立？寫(xiě)出∠α與∠BCA的數(shù)量關(guān)系．（2）如圖3．若直線CD經(jīng)過(guò)∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，①中的結(jié)論是否成立？若成立，進(jìn)行證明；若不成立，寫(xiě)出新結(jié)論并進(jìn)行證明．【答案】（1）①EF=BE-AF；②∠α+∠BCA=180°，理由見(jiàn)解析；（2）不成立，EF=BE+AF，證明見(jiàn)解析【分析】（1）①求出∠BEC=∠AFC=90°,∠CBE=∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可得出結(jié)論；②求出∠BEC=∠AFC,∠CBE=∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可得出結(jié)論;（2）求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可得出結(jié)論．【詳解】（1）①EF、BE、AF的數(shù)量關(guān)系：EF=BE-AF，證明：當(dāng)α=90°時(shí)，∠BEC=∠CFA=90°，∵∠BCA=90°,∴∠BCE＋∠ACF=90°,∵∠BCE＋∠CBE=90°，∴∠ACF=∠CBE，∵AC=BC,∴△BCE≌△CAF,∴BE=CF,CE=AF,∵CF=CE＋EF,∴EF=CF-CE=BE-AF；②∠α與∠BCA關(guān)系：∠α+∠BCA=180°當(dāng)∠α+∠BCA=180°時(shí)，①中結(jié)論仍然成立;理由是：如題圖2，∵∠BEC=∠CFA=∠α,,∠α+∠ACB=180°,又∵∴∠CBE=∠ACF,在△BCE和△CAF中∴△BCE≌△CAF(AAS),∴BE=CF,CE=AF，∴EF=CF-CE=BE-AF;故答案為:∠α+∠BCA=180°；（2）EF、BE、AF的數(shù)量關(guān)系:EF=BE+AF，理由如下∵∠BEC=∠CFA=∠α,∠α=∠BCA,又∵∠EBC+∠BCE＋∠BEC=180°,∠BCE＋∠ACF+∠ACB=180°,∴∠EBC＋∠BCE=∠BCE＋∠ACF∴∠EBC=∠ACF，在△BEC和△CFA中∴△ABE≌△CFA(AAS)∴AF=CE，BE=CF∵EF=CE+CF,∴EF=BE＋AF．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，證明△BCE≌△CAF是解題的關(guān)鍵．11．已知在中，，，在平面內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)，不重合），以點(diǎn)為中心，把線段順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，．（1）如圖，若點(diǎn)在邊上；①依題意補(bǔ)全圖形；②設(shè)，則________．（2）如圖，若點(diǎn)不在邊上，猜想線段，之間的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，并證明．【答案】（1）①見(jiàn)解析；②1；（2），，見(jiàn)解析【分析】（1）①延長(zhǎng)BC，在射線BC上截取CD=CE，連接AD，BE即可；②∵根據(jù)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，可得∠ECD=90°，CD=CE，再證△BCE≌△ACD（SAS）即可；（2）設(shè)與的交點(diǎn)為點(diǎn)，與的交點(diǎn)為點(diǎn)．由，可得，再證（SAS）．可得，．利用等式的性質(zhì)．然后利用三角形內(nèi)角和可得即可．【詳解】解：（1）①②∵順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，∴∠ECD=90°，CD=CE，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE=AD，∴k=，故答案為1；（2），；證明：設(shè)與的交點(diǎn)為點(diǎn)，與的交點(diǎn)為點(diǎn)．，∴∠ACE+∠ECD=∠BCA+∠ACE．在和中，（SAS）．，．，，．．．【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)畫(huà)圖形，三角形全等判定與性質(zhì)，圖形旋轉(zhuǎn)，三角形內(nèi)角和，等腰三角形定義，掌握補(bǔ)畫(huà)圖形技巧，三角形全等判定與性質(zhì)，圖形旋轉(zhuǎn)，三角形內(nèi)角和，等腰三角形定義等知識(shí)是解題關(guān)鍵．12．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且．求證：；（2）如圖2，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且，請(qǐng)直接寫(xiě)出EF、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是邊BC、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）EF=BE+FD；（3）不成立，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）可通過(guò)構(gòu)建全等三角形實(shí)現(xiàn)線段間的轉(zhuǎn)換，延長(zhǎng)EB到G，使BG=DF，連接AG，目的就是要證明三角形AGE和三角形AEF全等，將EF轉(zhuǎn)換為GE，證得EF=BE+DF，（2）思路和輔助線方法與（1）一樣，證明三角形ABG和三角形ADF全等，（3）在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG，用（1）中方法，可證得DF=BG，GE=EF，則EF=GE=BE-BG=BE-DF【詳解】解：（1）如圖，延長(zhǎng)EB到G，使BG=DF，連接AG，在與中，；（2）（1）中結(jié)論EF=BE+FD仍成立，理由如下，證明：如圖，延長(zhǎng)CB到M，使BM=DF，在與中即在與中即；（3）結(jié)論EF=BE+FD不成立，理由如下，證明：在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG，在與中．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題，三角形全等的判定與性質(zhì)，本題中通過(guò)全等三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換是解題關(guān)鍵，沒(méi)有明確全等三角形時(shí)，要通過(guò)輔助線來(lái)構(gòu)建與已知和所求條件相關(guān)聯(lián)全等三角形．13．如圖，在等腰中，，點(diǎn)D為直線BC上一點(diǎn)，連接AD，以AD為腰在AD的右側(cè)作等腰，，，連接CE．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，求證：；（2）當(dāng)，①如圖2，求證：；②探究線段CE、AB、CD之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）根據(jù)，推出，由已給條件可得，；（2）①由題可得是等邊三角形，由得，，從而得出，故，同位角相等，兩直線平行，即可得出答案；②由得，，由是等邊三角形得，等量代換即可得出答案．【詳解】（1），，在與中，，；（2）①，，是等邊三角形，，，，，；②，理由如下：，，是等邊三角形，，．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的證明，根據(jù)題目已知條件找準(zhǔn)全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．14．如圖，在中，，，分別過(guò)點(diǎn)B，C向過(guò)點(diǎn)A的直線作垂線，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）如圖①，過(guò)點(diǎn)A的直線與斜邊BC不相交時(shí)，求證：①；②．（2）如圖②，其他條件不變，過(guò)點(diǎn)A的直線與斜邊BC相交時(shí)，若，，試求EF的長(zhǎng)．【答案】（1）①見(jiàn)詳解；②見(jiàn)詳解；（2）7【分析】（1）①由條件可求得∠EBA＝∠FAC，利用AAS可證明△ABE≌△CAF；②利用全等三角形的性質(zhì)可得EA＝FC，EB＝FA，利用線段的和差可證得結(jié)論；（2）同（1）可證明△ABE≌△CAF，可證得EF＝FA?EA，代入可求得EF的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：①∵BE⊥EF，CF⊥EF，∴∠AEB＝∠CFA＝90°，∴∠EAB＋∠EBA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠EAB＋∠FAC＝90°，∴∠EBA＝∠FAC，在△AEB與△CFA中∵，∴△ABE≌△CAF（AAS），②∵△ABE≌△CAF，∴EA＝FC，EB＝FA，∴EF＝AF＋AE＝BE＋CF；（2）解：∵BE⊥AF，CF⊥AF∴∠AEB＝∠CFA＝90°∴∠EAB＋∠EBA＝90°∵∠BAC＝90°∴∠EAB＋∠FAC＝90°∴∠EBA＝∠FAC，在△AEB與△CFA中，∴△ABE≌△CAF（AAS），∴EA＝FC，EB＝FA，∴EF＝FA?EA＝EB?FC＝10?3＝7．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性質(zhì)（即全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等）是解題的關(guān)鍵．15．已知：如圖①，在中，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且于點(diǎn)D，于點(diǎn)E．（1）求證：；（2）當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖②位置時(shí)，、、之間有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明，【答案】（1）見(jiàn)解析；（2），理由見(jiàn)解析【分析】（1）由，得，而于，于，則，根據(jù)等角的余角相等得到，易得，所以，，即可得到．（2）根據(jù)等角的余角相等得到，易得，得到，，所以．【詳解】（1）證明：，，而于，于，，，，在和中，，，，，；（2），在和中，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段所夾的角等于旋轉(zhuǎn)角．16．△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D為射線BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），以AD為一邊向AD的左側(cè)作△ADE，使AD＝AE，∠EAD＝∠BAC，過(guò)點(diǎn)E作BC的平行線，交直線AB于點(diǎn)F，連接BE．（1）如圖1，若∠EAD＝∠BAC＝60°，則△BEF是三角形；（2）若∠EAD＝∠BAC≠60°：①如圖，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng)，判斷△BEF的形狀并證明；②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上移動(dòng)，△BEF是什么三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論并畫(huà)出相應(yīng)的圖形．【答案】（1）等邊；（2）①△EFB為等腰三角形，理由見(jiàn)解析；②△BEF是等腰三角形，圖見(jiàn)解析．【分析】（1）證明∠ABE＝∠EFB＝60°，可得結(jié)論．（2）①結(jié)論：△EFB為等腰三角形．證明∠EFB＝∠EBA即可；②根據(jù)要求作出圖形即可．結(jié)論不變，證明方法類似①．【詳解】解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，∠EAD＝∠BAC＝60°，∴△AED和△ABC為等邊三角形，∠C＝∠ABC＝60°，∠EAB＝∠DAC，在△EAB和△DAC中，∴△EAB≌△DAC（SAS），∴∠EBA＝∠C＝60°∵EF∥BC，∴∠EFB＝∠ABC＝60°在△EFB中，∠EFB＝∠EBA＝60°，∴△EFB為等邊三角形．故答案為：等邊；（2）①結(jié)論：△EFB為等腰三角形．理由：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴△AED和△ABC為等腰三角形，∴∠C＝∠ABC，∠EAB＝∠DAC．同法可證△EAB≌△DAC（SAS），∴∠EBA＝∠C∵EF∥BC，∴∠EFB＝∠ABC∴∠EFB＝∠EBA，∴△EFB為等腰三角形；②圖形如圖3所示，結(jié)論：△BEF是等腰三角形．理由：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴△AED和△ABC為等腰三角形，∴∠ACB＝∠ABC，∴∠EAB＝∠DAC，同法可證△EAB≌△DAC（SAS），∴∠EBA＝∠ACD，∴∠EBF＝∠ACB，∵EF∥BC，∴∠AFE＝∠ABC，∵∠ABC＝∠ACB，∴∠AFE＝∠ACB，在△EFB中，∠EBF＝∠AFE，∴△EFB為等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題．17．如圖1，，，，、相交于點(diǎn)，連接．（1）求證：，并用含的式子表示的度數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，取，的中點(diǎn)分別為點(diǎn)、，連接，，，如圖2，判斷的形狀，并加以證明．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；；（2）為等腰直角三角形；證明見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得出，進(jìn)而解答即可；（2）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得出，進(jìn)而利用等腰直角三角形的判定解答即可．【詳解】證明：（1）如圖1，，，，在和中，，，；，，中，，,，中，；即；（2）為等腰直角三角形．證明：如圖2，由（1）可得，，，的中點(diǎn)分別為點(diǎn)、，，，，在和中，，，，且，又，，，為等腰直角三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定以及三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．18．問(wèn)題：如圖1，在等邊三角形△ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，ED＝EC，回答下列問(wèn)題：（1）與AE相等的線段是．（2）請(qǐng)證明（1）中得到的結(jié)論，證明思路如下：①小聰思路：如圖2，過(guò)E作EF//BC，交AC于點(diǎn)F，請(qǐng)你完成剩下解答過(guò)程；②小明思路：如圖3，把△EBD沿BE翻折得到△EBF，連接CF，請(qǐng)你完成剩下解答過(guò)程．【答案】（1）BD；（2）①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析【分析】（1）思路見(jiàn)（2）（2）①過(guò)E作EF//BC，證明△AEF為等邊三角形，再證明△DBE≌△EFC，即可得到BD=EF=AE；②把△EBD沿BE翻折得到△EBF，連接CF，得到△EBD≌△EBF，再證明△ACE≌△BCF，即可得到AE＝BF＝BD；【詳解】（1）BD（2）①小聰思路：過(guò)點(diǎn)E作EF//BC，交AC于F∵△ABC是等邊三角形∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝BC＝AC∵EF//BC∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，∠FEC＝∠ECB∵又∠A＝60°∴△AEF是等邊三角形∴AE＝AF＝EF，∠EFC＝∠DBE＝120°，∴CF＝BE∵ED＝EC∴∠D＝∠ECB∴∠D＝∠FEC∴∠FCE＝∠BED在△DBE和△EFC中，∴△DBE≌△EFC（SAS）∴BD＝EF∴BD＝AE②小明思路：∵DE＝EC∴∠ECB＝∠D∵∠ABC＝∠DEB+∠D，∠ACB＝∠ACE+∠ECB∴∠DEB＝∠ACE∵△EBD翻折到△EBF∴△EBD≌△EBF∴∠DEB＝∠FEB，DE＝EF∴∠DEB＝∠ACE＝∠FEB∵∠CEB＝∠CEF+∠FEB＝∠A+∠ACE∴∠CEF＝∠A＝60°∵DE＝EF＝CE∴△ECF為等邊三角形∴CE＝CF，∠ECF＝60°∴∠ACE+∠ECB＝∠ECB+∠BCF∴∠ACE＝∠BCF，在△ACE和△BCF中∴△ACE≌△BCF（SAS）∴AE＝BF＝BD【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．19．如圖①，線段，過(guò)點(diǎn)B、C分別作垂線，在其同側(cè)取，另一條垂線上任取一點(diǎn)D．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒a個(gè)單位的速度沿射線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P停止時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．（1）當(dāng)，________，用含a的代數(shù)式表示的長(zhǎng)為_(kāi)______．（2）當(dāng)時(shí)，①求證：．②求證：．（3）如圖②，將“過(guò)點(diǎn)B、C分別作垂線”改為“在線段的同側(cè)作”，其它條件不變．若與全等，直接寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的a、t的值．【答案】（1）4，a；（2）①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析；（3）a＝2，t＝1或，【分析】（1）根據(jù)題意得：，，即可求解；（2）①根據(jù)題意可得BP＝CQ＝2，從而得到CP＝AB，即可求證；②根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，三角形的外角性質(zhì)，即可求解；（3）分兩種情況討論，即可求解．【詳解】解：（1）根據(jù)題意得：，，∴；（2）①∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°．∵，∴BP＝CQ＝2，∵BC=6，∴CP＝AB=4，∴△ABP≌△PCQ；②∵△ABP≌△PCQ，∴∠A＝∠CPQ，∵∠APC＝∠CPQ+∠APQ，∠APC＝∠A+∠B，∴∠APQ=∠B＝90°．∴AP⊥PQ；（3）當(dāng)△ABP≌△PCQ時(shí)，即PC=AB=4，QC=BP=2t，∴BP=BC-PC=2，∴2t=2，解得：t=1，∴QC=2，∴，當(dāng)△ABP≌△QCP時(shí)，即QC=AB=4，BP=CP=，∴，∴，綜上所述，當(dāng)與全等時(shí)，a＝2，t＝1或，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，明確題意，準(zhǔn)確得到全等三角形是解題的關(guān)鍵．20．綜合與實(shí)踐：初步探究：（1）如圖1，直線同側(cè)有兩定點(diǎn)D，E，點(diǎn)A，B，C是直線上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)∠DAB＝∠DBE＝∠BCE＝60°時(shí)，求∠D和∠E的數(shù)量關(guān)系．深入探究：（2）當(dāng)點(diǎn)A，B，C三個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到如圖2所示的位置時(shí)，有∠DAB＝∠DBE＝∠BCE＝90°，求此時(shí)∠D和∠E的數(shù)量關(guān)系；若∠DAB＝∠DBE＝∠BCE＝時(shí)，∠D和∠E又有什么樣的數(shù)量關(guān)系？（請(qǐng)直接寫(xiě)出這兩個(gè)問(wèn)題的答案）拓展應(yīng)用：（3）在圖2中，如果∠DAB＝∠DBE＝∠BCE＝90°仍然存在，再添加條件BD＝EB，求證：AC＝AD＋CE．【答案】（1）；（2），；（3）見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)平角和三角形內(nèi)角和的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)平角和三角形內(nèi)角和的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和的性質(zhì)即可求解；（3）通過(guò)證明，得到，，即可求解．【詳解】解：（1）∵∴∵∴∴∵∴∴（2）按照（1）中的方法，可得∵∴當(dāng)時(shí)，∴故答案為，（3）證明：∵∴∵∴∴在和中∴∴∵∴【點(diǎn)睛】此題考查了三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)．21．關(guān)于等腰直角三角形兩腰的運(yùn)用：可以把兩腰分散到兩個(gè)三角形中用全等去思考，通常尋找或構(gòu)造兩腰為斜邊的兩個(gè)直角三角形全等，再由全等性質(zhì)讀出結(jié)論解決問(wèn)題．（1）已知：如圖（1），等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ADC＝∠E＝90°，則△ACD≌△CBE，全等的依據(jù)是．（2）已知：如圖（2），梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，△EDC為等腰直角三角形，∠EDC＝90°，若AD＝2，BC＝5，求△AED的面積．這道題，我們可構(gòu)造DE，DC為斜邊的兩個(gè)直角三角形；具體構(gòu)造如下：作DM⊥BC于M，EN⊥AD于N，根據(jù)提示，通過(guò)思考運(yùn)算，請(qǐng)直接寫(xiě)出S△AED＝．（3）已知：如圖（3），等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BD⊥AD，BC，AD交于點(diǎn)E，若BD＝2，求AE的長(zhǎng)．

【答案】（1）AAS；（2）3；（3）4【分析】（1）根據(jù)題意，可得∠CAD=∠BCE，再由AC＝BC，可根據(jù)AAS證得△ACD≌△CBE；（2）作DM⊥BC于M，EN⊥AD于N，可證得△CDM≌△EDN，得到EN=CM，再根據(jù)兩平行線間距離處處相等，可得到BM=AD=2，即可求解；（3）延長(zhǎng)BD交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，可先證得△ACE≌△BCG，從而得到AE=BG，再由AD平分∠BAC，BD⊥AD，可得到△ADG≌△ADB，從而得到DG=BD=2，即可求解．【詳解】解：（1）AAS，理由如下：∵△ABC是等腰直角，∴∠ACB=90°，即∠ACD+∠BCE=90°，∵∠ADC=∠E=90°，∴∠CAD+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCE，∵AC＝BC，∴△ACD≌△CBE（AAS）；（2）如圖，作DM⊥BC于M，EN⊥AD于N，

∵AD∥BC，∴AD⊥DM，即∠MDN=90°，∴∠CDM+∠CDN=90°，∵△EDC為等腰直角三角形，∠EDC＝90°，∴DC=DE，∠EDN+∠CDN=90°，∴∠EDN=∠CDM，∵DM⊥BC于M，EN⊥AD，∴∠DMC=∠DNE=90°，∴△CDM≌△EDN（AAS），∴EN=CM，∵AB⊥BC，AD＝2，BC＝5，∴BM=AD=2，∴CM=BC-BM=3，∴EN=3，∴；（3）如圖，延長(zhǎng)BD交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，

∵∠ACB＝90°，BD⊥AD，∴∠ADG=∠ACB＝90°，∴∠G+∠CBG=90°，∠G+∠DAG=90°，∴∠CBG=∠DAG，∵AC=BC，∴△ACE≌△BCG，∴AE=BG，∵AD平分∠BAC，∴∠DAG=∠BAD，∵AD=AD，∴△ADG≌△ADB，∴DG=BD=2，∴AE=BG=2BD=4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)定理，全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．22．在中，，點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），以為一邊在的右側(cè)作，使，，連接．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上，且時(shí)，那么______度．（2）設(shè)，．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上，時(shí)，請(qǐng)你探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)與之間的量關(guān)系（不需證明）．【答案】（1）90；（2）①．證明見(jiàn)解析；②．【分析】（1）先證得∠BAD=∠CAE，即可證明△BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠B，即可解題；（2）①先證得∠BAD=∠CAE，即可證明△BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠B，根據(jù)∠B+∠ACB=180°-α即可解題；②易證∠BAD=∠CAE，即可證明△BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠B，根據(jù)∠ADE+∠AED+α=180°，∠CDE+∠CED+β=180°即可解題．【詳解】解：（1）∵∠BAD+∠DAC=90°，∠DAC+∠CAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE=∠B，∵∠B+∠ACB=90°，∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°；故答案為90．.（2）①證明：∵∠BAD+∠DAC=α，∠DAC+∠CAE=α，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE=∠B，∵∠B+∠ACB=180°-α，∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=180°-α=β，∴α+β=180°；②圖形如下，∵∠BAD+∠BAE=α，∠BAE+∠CAE=α，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠AEC=∠ADB，∵∠ADE+∠AED+α=180°，∠CDE+∠CED+β=180°，∠CED=∠AEC+∠AED，∴α=β．故答案為α=β．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△BAD≌△CAE是解題的關(guān)鍵．23．將兩個(gè)全等的直角三角形ABC和DBE按圖①方式擺放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，點(diǎn)E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點(diǎn)F．（1）求證：①CF=EF；②AF+EF=DE（2）若將圖①中的△DBE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角a，且0°＜a＜60°，其他條件不變，如圖②．請(qǐng)你直接判斷①中的兩個(gè)結(jié)論是否成立；（3）若將圖①中△DBE的繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角β，且60°＜β＜180°，其他條件不變，如圖③．請(qǐng)你寫(xiě)出此時(shí)AF、EF與DE之間的關(guān)系，并加以證明．【答案】（1）證明見(jiàn)解析，（2）（1）中的結(jié)論AF+EF＝DE仍然成立；（3）結(jié)論：AF＝DE+EF．【分析】（1）①②連接BF，證明三角形BEF和BCF全等即可；（2）解題思路和輔助線的作法與（1）完全一樣；（3）同（1）得CF＝EF，由△ABC≌△DBE，可得AC＝DE，AF＝AC+FC＝DE+EF．【詳解】（1）證明：①連接BF（如圖1），∵△ABC≌△DBE（已知），∴BC＝BE，AC＝DE．∵∠ACB＝∠DEB＝90°，∴∠BCF＝∠BEF＝90°．在Rt△BFC和Rt△BFE中，∴Rt△BFC≌Rt△BFE（HL）．∴CF＝EF．②又∵AF+CF＝AC，∴AF+EF＝AC＝DE．（2）（1）中的結(jié)論AF+EF＝DE仍然成立；如圖2，連接BF，∵△ABC≌△DBE，∴BC＝BE，∵∠ACB＝∠DEB＝90°，在Rt△BCF和Rt△BEF中，，∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），∴EF＝CF，∴AF+EF＝AF+CF＝AC＝DE；（3）結(jié)論：AF＝DE+EF．證明：連接BF，∵△ABC≌△DBE，∴BC＝BE，∵∠ACB＝∠DEB＝90°，在Rt△BCF和Rt△BEF中，，∴△BCF≌△BEF（HL），∴CF＝EF；∵△ABC≌△DBE，∴AC＝DE，∴AF＝AC+FC＝DE+EF．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，通過(guò)構(gòu)建全等三角形來(lái)得出線段相等是解題的關(guān)鍵．24．在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)（不與B、C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，連結(jié)CE．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，如果∠BAC=90°，則∠BCE為多少度？（2）設(shè)，．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng)時(shí)，，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；②當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上，時(shí)，請(qǐng)將備用圖補(bǔ)充完整，并直接寫(xiě)出此時(shí)與之間的數(shù)量關(guān)系（不需證明）．【答案】（1）；（2）①，見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析，【分析】（1）根據(jù)題意得，用SAS證明，得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得，即可得=；（2）①根據(jù)題意得，用SAS證明，得，因?yàn)椋?，即可得；②根?jù)題意得，用SAS證明，得，而，，則，即可得．【詳解】解：（1）∵，，，∴，在和中，∴（SAS），∴，∵，∴，∴，則為；（2）①；理由如下：∵，∴；在與中，∴，∴，∵，又∵，∴；②；理由如下：如圖所示，∵，∴，在與中，，∴，∴，而，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn)．25．（1）某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時(shí)，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．如圖1，已知：在中，，，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，直線l，直線l，垂足分別為點(diǎn)D，E．求證：．（2）組員小明想，如果三個(gè)角不是直角，那結(jié)論是否會(huì)成立呢？如圖2，將（1）中的條件改為：在中，，D，A，E三點(diǎn)都在直線l上，并且有，其中為任意銳角或鈍角．請(qǐng)問(wèn)結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵(lì)他們運(yùn)用這個(gè)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題：如圖3，過(guò)的邊AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高．延長(zhǎng)HA交EG于點(diǎn)I．若，則______．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）結(jié)論成立，理由見(jiàn)解析；（3）3.5【分析】（1）由條件可證明△ABD≌△CAE，可得DA=CE，AE=BD，可得DE=BD+CE；（2）由條件可知∠BAD+∠CAE=180°-α，且∠DBA+∠BAD=180°-α，可得∠DBA=∠CAE，結(jié)合條件可證明△ABD≌△CAE，同（1）可得出結(jié)論；（3）由條件可知EM=AH=GN，可得EM=GN，結(jié)合條件可證明△EMI≌△GNI，可得出結(jié)論I是EG的中點(diǎn)．【詳解】解：（1）證明：如圖1中，∵BD⊥直線l，CE⊥直線l，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE．（2）解：成立．理由：如圖2中，∵∠BDA=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，∴∠DBA=∠CAE，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE．（3）如圖3，過(guò)E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延長(zhǎng)線于N．∴∠EMI=∠GNI=90°由（1）和（2）的結(jié)論可知EM=AH=GN∴EM=GN在△EMI和△GNI中，，∴△EMI≌△GNI（AAS），∴EI=GI，∴I是EG的中點(diǎn)．∴S△AEI=S△AEG=3.5．故答案為：3.5．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．26．在△ABC中，AB=AC=10cm．（1）如圖1，AM是△ABC的中線，MD⊥AB于D點(diǎn)，ME⊥AC于E點(diǎn)，MD=3cm，則ME=cm．（2）如圖2，在（1）的條件下，連接DE交AM于點(diǎn)F，試猜想：①FDFE（填“>”、“=”或“＜”）；②AMDE（填位置關(guān)系）．（3）如圖3，BC=8cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段BC上由B向C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在線段CA上以每秒2cm的速度由C向A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．問(wèn)：運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為多少時(shí)，△BDP與△PQC全等?【答案】（1）3；（2）①=，②⊥；（3）運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為或時(shí)，△BDP與△PQC全等．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)可求解；（2）由題意易證Rt△ADM≌Rt△AEM，則有AD=AE，然后問(wèn)題可求解；（3）由題意易得AD=BD=5cm，然后根據(jù)△BDP與△PQC全等分兩種情況進(jìn)行分類求解即可．【詳解】解：（1）∵AB=AC，AM是△ABC的中線，∴∠BAM=∠CAM，又∵DM⊥AB，ME⊥AC，∴MD=ME=3cm，故答案為：3；（2）在Rt△ADM和Rt△AEM中，，∴Rt△ADM≌Rt△AEM（HL），∴AD=AE，又∵∠BAM=∠CAM，∴DF=EF，AM⊥DE，故答案為：=，⊥；（3）∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴AD=BD=5cm，∵△BDP與△PQC全等，∴BP=CP，BD=CQ=5cm或BP=CQ，BD=PC=5cm，當(dāng)BP=CP，BD=CQ=5cm，∴t=，當(dāng)BP=CQ，BD=PC=5cm，∵BC=8cm，∴BP=CQ=3cm，∴t=，綜上所述：運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為或時(shí)，△BDP與△PQC全等．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．27．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點(diǎn)D是直線AB上的一點(diǎn)，連接CD，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CE，連接EB．（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出AB與BE的位置關(guān)系為；線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系為；（2）猜想論證當(dāng)點(diǎn)D在直線AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖2，是點(diǎn)D在射線AB上，如圖3，是點(diǎn)D在射線BA上，請(qǐng)你寫(xiě)出這兩種情況下，線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系，并對(duì)圖2的結(jié)論進(jìn)行證明；（3）拓展延伸若AB＝5，BD＝7，請(qǐng)你直接寫(xiě)出△ADE的面積．【答案】（1）AB⊥BE，AB＝BD+BE；（2）圖2中BE＝AB+BD，圖3中，BD＝AB+BE，證明見(jiàn)解析；（3）72或2【分析】（1）首先通過(guò)SAS證明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性質(zhì)和等量代換即可得出答案；（2）仿照（1）中證明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)