2024學(xué)年達州市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期11月期中考試卷（附答案解析）

2024學(xué)年達州市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期11月期中考試卷

一、單選題（本大題共8小題）

1.下列表達式化簡結(jié)果與麗相等的是（）

UL1HUL1___.____

A.AB+BPB.PB+BA

C.BC+CA-PAD.PB+PC

2.已知向量商=（2,-1,1）,9=（-6,x,y）.若商〃石，則孫的值為（）

A.-1B.-6C.-9D.9

3.在空間中，設(shè)機，”為兩條不同的直線，a,夕為兩個不同的平面.已知根//e,mu/3,aCP=n,

則（）

A.mHnB.ml.nC.aL（3D.alI/3

4.已知平面a的法向量為海=”,1J+1）.若V/eR,直線〃/平面a,則直線/的方向向量的坐標(biāo)可

以是（）

A.（1,-1,1）B.（-1,1,-1）

C.（-1,1,1）D.（1,1,-1）

5.已知某圓臺的上、下底面半徑分別為2和5,母線長為5,則該圓臺的體積為（）

A.6371B.39兀C.52KD.42幾

2兀

6.已知空間單位向量方，石的夾角為彳，向量乙=a-4B,則向量1在8方向上的投影向量為（）

A.4aB.3aC.-3D."力

7.已知點“（0,1,3）,N（3,0,l）,Q（4,2,3）,則點M到直線NQ的距離為（）

A.2713B.V13C.1D.史

13

8.已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)的統(tǒng)計結(jié)果如下表.若將這兩組數(shù)據(jù)混合后得到丙組數(shù)據(jù)，則丙組數(shù)據(jù)的

方差為（）

樣本容量平均數(shù)方差

甲組20101

乙組30156

A.10B.y/10C.9D.3

二、多選題（本大題共3小題）

9.小偉10月份屋10日每天運動時長的折線圖如下圖所示，則(

A.小偉1~10日每天運動時長的極差為39分鐘

B.小偉晨10日每天運動時長的中位數(shù)為33分鐘

C.小偉晨10日每天運動時長的眾數(shù)為31分鐘

D.小偉1~10日每天運動時長的第80百分位數(shù)為50分鐘

10.在棱長2的正方體ABCD-ABGR中，M,N分別為4S，8月的中點，則()

A.初V//平面CDAG

B.直線"N與AQ是異面直線

C.平面MN?截正方體所得截面是五邊形

9

D.平面截正方體所得截面的面積為萬

11.若Ee平面7,be平面7,平面7,則稱點F為點、￡在平面7內(nèi)的正投影，記為歹=5(E).

如圖，在直四棱柱ABC。一ABIGA中，BC=2AD，AD±AB,P,N分別為他，CC】的中點，

玩=3西，AB=BC=9=6.記平面ABC為a,平面A8CD為夕，AH=2A^(0<2<1),

&=皿(肛.(=電⑻].()

C

A.若電=2項-2庭+〃福，貝！J〃=l

B.存在點H,使得H&//平面a

C.線段長度的最小值是竽

2

D.存在點H,使得“KJHK?

三、填空題（本大題共3小題）

12.點尸（2,-2,3）關(guān)于平面Oxz對稱的點的坐標(biāo)為,關(guān)于無軸對稱的點的坐標(biāo)

為.

13.四川的旅游資源豐富，不僅有眾多著名的自然景觀，還包括許多人文景點.其中，九寨溝以

奇幻的山水景觀著稱；峨眉山以秀麗聞名；青城山以幽靜清雅著稱；劍門關(guān)則以雄險著稱.此外，

四川還有許多必去的旅游景點，如都江堰、樂山大佛、稻城亞丁、色達佛學(xué)院、黃龍景區(qū)和四

姑娘山等.這些景點既展示了四川的自然美景，還體現(xiàn)了其深厚的文化底蘊和歷史價值.甲、乙兩

人從九寨溝、峨眉山和青城山這三個景點中各選擇其中一個景點進行游玩，已知甲、乙兩人選

擇三個景點游玩的概率分別是:，5和13，則甲、乙選擇相同的景點游玩的概率

362442

為.

14.已知在三棱錐中，MA=6,AB=2』，&C=3,.當(dāng)三棱錐M-ABC的體積

6

最大時，該三棱錐外接球的表面積為.

四、解答題（本大題共5小題）

15.如圖，在平行六面體ABCO-AMGA中，底面為正方形，AB=AAt=4,

（1）用a,b,表示通;

（2）求AE的長度.

16.如圖，在棱長為2的正方體A8CD-44GA中，E,F,G分別是A3,BC,G2的中點.

3

(1)證明：EG〃平面ADD|A.

(2)求點與到平面EKG的距離.

17.在三棱錐尸-ABC中，平面R4C，平面ABC,AB±BC,AB=BC=PA=PC=30O,。分

別為棱AC,BC的中點，E為尸。上靠近點。的三等分點.

(1)證明：OE_L平面P8C.

(2)求二面角。-9-C的余弦值.

JTJT

18.如圖，在四棱錐尸—ABCD中，AB=3DC,AB±AD,ZABC=-,ZPAE=-,PA=4,CD=2,

43

平面BAD_L平面ABC。，E為AD的中點.

(2)試問在線段PE上是否存在點M,使得直線CM與平面P8C所成角的正弦值為毛黃？若存在,

求出F署M的值；若不存在，請說明理由.

EP

19.如圖，在幾何體A2CDE尸中，已知四邊形ABCD是邊長為2的正方形，￡A_L平面ABC。，

(1)求異面直線EB與DF所成角的余弦值

(2)證明：平面平面2。足

(3)若M是幾何體ABCOEF內(nèi)的一個動點，且赤=?荏+蒞)+(1-2/)近(0</<1),點N滿

^,CN+(A+JU)CF=ACB+/JCD+CF,MN=2,求湎?歡的最小值.

4

參考答案

1.【答案】B

【詳解】對于A,旗+麗=麗,不滿足題意；

對于B,而+麗=夙，滿足題意；

對于C,反+瓦-麗=麗-麗=麗+麗=喬，不滿足題意；

對于D,而+無具體不知.

故選：B.

2.【答案】C

2-11

【詳解】?=(2-1,1),方=(-6,x,y).若a〃5，則與=工=7,解得x=3,丁=一3.

則肛的值為-9.

故選：C.

3.【答案】A

【詳解】如圖正三棱柱A8C-A再G，面四耳B為a,面BCG瓦為夕，a^(3=n=BBx,

則〃?=CCJ/a,運用線面平行性質(zhì)知道相〃〃，A正確，B錯誤,

由圖可知心尸相交，沒有垂直和平行.

故選：A.

【詳解】直線"/平面”，設(shè)/方向向量為為=(x,y,z),則詡_L萬，即正為=0.

對于A,沆萬=f-l+/+l=2r,不滿足題意；

對于B,inn=—t+1-f-1=—2t,不，兩足題意；

對于C,市法=-/+1+/+1=2,不滿足題意；

對于D,而為=f+1-/-1=0,滿足題意；

故選：D.

5.【答案】C

【詳解】設(shè)圓臺的高為/z,根據(jù)圓臺的母線長/、高/I和上下底面半徑之差億-々)構(gòu)成直角三角

形，由勾股定理可得人=五五二5T.

5

已知4=2,r2=5,1=5,則/z=,5?—(5—2了=V16^=4-

代入圓臺體積公式V=!兀/7化2+住+1),

144

22

p］-^V=-nx4x(2+2x5+5)=-KX(4+10+25)=-7ix39=52TI.

6.【答案】B

［詳解］~VT=(4-4歷=a-4a-&=l-4xlxlxcos—=3

H31

所以向量1在2方向上的投影向量為3〉,

故選：B.

7.【答案】B

【詳解】而=。,2,2）,汨=（4,1,0）,

故點M到直線NQ的距離為

故選：B

8.【答案】A

【詳解】根據(jù)題意，得到項,=10,x乙=5,s看=1,s；=6.

20x10+30x15

那么丙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)焉==13,

50

根據(jù)方差公式得到s￡+（豆-4）1+|^s1+（福-石

瑞=|^[1+（13-1。）[+2[6+（13一15）1=10.

則丙組數(shù)據(jù)的方差為10.

故選：A.

9.【答案】ACD

【詳解】將這10個數(shù)據(jù)從小到大排序：16,17,31,31,33,36,42,49,51,55,

故極差為55-16=39,A正確，

中位數(shù)為生詈=34.5,故B錯誤；

眾數(shù)為31,C正確，

49+51

10x80%=8,故該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為一二一二50,故D正確;

2

6

故選：ACD.

10.【答案】ABD

【詳解】對于A,如圖，正方體A8CZ)-A4GR中，分別為A4，的中點，取P,。分別

為CQ,CG的中點.連接PQ.RG.由正方體性質(zhì)，知道，MN//PQ,MNU平面CD2G，P0U平

面CDD.C,,則MN//平面CDD￡.故A正確.

對于B,點A不在上，由異面直線定義可知，直線MN與AQ是異面直線，故B正確.

對于C和D,由前面知道MN//PQ,CDJIPQ,則等腰梯形MNCR是所求截面,

如圖，棱長是2的正方體，可求得CR=2也，MN=PQ=也,

CN=RM=正轉(zhuǎn)=5DM：2垃;近二4,

作MM1CD{,NN11CD{,則MMX="”“所

則等腰梯形的面積為：%葉苧2%=￡="|.故c錯誤，D正確.

MN

11.【答案】ABC

【詳解】對于A：因為為直四棱柱，ADJ.AB,所以以A為坐標(biāo)原點，AD,AB,

AA所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，連接P。，BN.

貝UA（0Q，6），2（3,0,11,鞏0,6,0）,N（6,6,3）,P（0,0,3）,

7

故而=〔3,0,I）,麗=（6,0,3）,

所以麗=2演，即。，B,N,P四點共面，

若即7=2而—2耳？+〃書，則2-2+〃=1,解得〃=1,A正確；

對于B：過點反作交4出于點G,過點G作AB的垂線，垂足即K.

過點A作的垂線，垂足即K”連接H3,HK2,由題意可得AH=6〃O<2<1）,

則”（O,O,6X）,G（O,3-3%3+3X）,X,（0,3-32,0）,（（0,3,3）,

故式=（0,3,3）,西=（0,3-3九-62）,醞=（0,3,3-64）,平=（0,6,-6）,

易得代是平面a的一個法向量，若H&//平面a,

則西?福'=（）,即3（3—34）+3（-6幾）=0,解得2=ge（0,l）,符合題意，

所以存在點”，使得HK"/平面a,B正確，

對于C：|HK[\=7（3-32）2+（-62）2=345%-2彳+1=3^5（2-1）2+1,

當(dāng)彳=：時，|西|取得最小值，最小值為竽，C正確.

對于D：若HK]_L"2，貝1J函?砒=3（3-32）-62（3-62）=0,

得4萬-32+1=0，無解，所以不存在點兒使得HKJHK"D錯誤.

故選：ABC

12.【答案】（2,2,3）（2,2,-3）

【詳解】點P（2,-2,3）關(guān)于平面Oxz對稱的點的坐標(biāo)為（2,2,3）,關(guān)于了軸對稱的點的坐標(biāo)為

（2,2-3）.

故答案為：（2,2,3）；（2,2,-3）.

3

13.【答案】f

O

【詳解】由題意知甲，乙兩人選擇景點游玩相互獨立，所以甲、乙兩人選擇相同的景點游玩的

,^1111113

概nT率為一X—十—X—+—X—=一

3464228

14.【答案】48TI

8

【詳解】在VA3c中，由=可得COS4AC=3,

62

由余弦定理可得BC?=（26）2+3?-2x2?x3x#=3,所以3c=右，

所以AB，=4。2+8。2,所以AC_L3C,

如圖所示，當(dāng)M4L平面ABC時，三棱錐M-ABC的體積最大，

把三棱錐M-ABC放置在長方體中，

可知三棱錐的外接球的直徑（7為：＜y2=AC2+BC2+AM2=32+（V3）2+62=48,

所以三棱錐的外接球的表面積為5=兀丁=兀*48=48兀.

故答案為：487t.

15.【答案】（1）2+5+Q}

（2）2萬

【詳解】（1）設(shè)AB=M,A￡）=及的=乙因為元（=通+^5=斤+5.

—.1___.1.1

又因為荏=蔗+屈，且CE=］CG=Ie=5己

所以通=/+屈=0+B）+；］=M+5+:*.

（2）由（1）知通=4+石+；乙首先計算通2=（五+5+；］）2.

根據(jù)向量運算法則（萬+5+工C）2=萬2+52+工］2+2萬.5+萬.1+5?乙

24

因為底面ABCD為正方形，AB=4,所以。2=|題『=16,p=|AP|2=16.

又A4,=4,所以于=|函T=16.

兀1

由于Z.BAAi=ADAA1=—,且五1二|M||5|cosN3AAi=4x4x—=8,

一一1

b-c=\b\\c\cosZDAAj=4x4x—=8.

而日」B，所以日.方=o.

9

,-----,21

那么AE=16+16+-xl6+0+8+8=52.

4

根據(jù)向量的模長公式|衣上府7,所以網(wǎng)=卮=2a.

16.【答案】（1）答案見解析

⑵后

【詳解】（1）如圖，連接AQ,由于E,G分別是A3,GR的中點.

則RG//AE,QG=AE,則四邊形ARGE為平行四邊形，

ADJIGE,EGu平面ADD^,叫<z平面ADDlAi,

則EG//平面AORA.

(2)如圖，可建空間直角坐標(biāo)系。-盯z,則

4(2,0,0),￡(2,1,0),F(l,2,0),G(0,l,2),Bx(2,2,2),

EF=(-1,1,0),EG=(-2,0,2),聒=(0,-l,-2),

設(shè)平面EFG法向量為m=（x,y,z）,則

x=l

m?EF=0一x+y=0

解得，y=i,故而=(1,1,1).

m-EG=0—2x+2z=0

z=1

根據(jù)點面距離公式，則點用到平面所G的距離d=產(chǎn)布=2=6.

\m\6

17.【答案】（1）證明見解析

10

。、-3而

11

【詳解】（1）連接02,P0,

因為B4=PC,所以PO_LAC.

因為平面PAC_L平面ABC,平面PACPl平面？1BC=AC,所以PO_L平面ABC,

因為O3u平面ABC,進而尸O_LO3.因為AB=3C,所以BO_LAC.

以。為坐標(biāo)原點，OB,OC,。尸所在直線分別為無，九z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則。（0,0,0）,尸（0,0,3）,3（3,0,0）,C（0,3,0）,￡（1,1,1）,

所以麗=（3,0,-3）,BC=（-3,3,0）.

因為詼=（1,1,1）,所以虛.而=礪.前=0，則OE_LP3,OELBC,

又PBcBC=B,尸8,8Cu平面PBC,

所以O(shè)E_L平面PBC.

（2）由（1）得4（0,-3,0）,嗚，訓(xùn)，^4=（0,-3,-3）,而=（|,|,-3

設(shè)平面上4￡）的法向量為4=（x,y,z）,

4-PA=-3y-3z=0,

則___>33令z=l,則X=3,y=-1,

弭?PD=-x+—y-3z=0,

所以平面上4D的一個法向量為1=（3,-1,1）.

易得平面PAC的一個法向量為元=（1,0,0）.

________33舊

設(shè)二面角。-B4-C的大小為，,

，9+1+1xJ1+0+011

由圖可知二面角。-上4-C為銳角，故二面角￡>-上4-C的余弦值為尊.

18.【答案】（1）證明見解析

11

【詳解】（1）因為平面PAD，平面ABC。，且相交于A￡）,又且Mu平面ABCD,

故AB_L平面上4￡>,又尸Eu平面B4Z）,故AB_LPE.

在A3上取產(chǎn)使得AT=2,連接CF,因為荏=3反可得四邊形AFCD為矩形，且FB=4,

71

又NA3C=T，故VABC為等腰直角三角形，故AD=RS=4.

4

jr

因為￡為A□的中點，故AE=2,又/尸=叢=4,

則PE=qPA1+AE2-2PA.AE=2陋,故AE?+PE?=AP2，故AE_LPE.

又ABJ_PE,AELPE,AEcPE=E,4瓦2￡^平面48。￡）,故尸EJ_平面ABCD

又3Cu平面ABCD,故PE_LBC,即得證.

（2）由（1）可得PEL平面ABCD,故以E為坐標(biāo)原點建立如圖空間直角坐標(biāo)系.

則尸（0,0,2⑹,C（-2,2,0）,3（2,6,0）,設(shè)M（0,0㈤（0<a<2⑹,

則由（2,-2,°）,。=（4,4,0）,。=僅,-2,2@.

,、[n-CB=04x+4y=0

設(shè)平面PBC的法向量行=（x,y,z）,則<一即V

n-CP=02x-2y+2A/3Z=0

令冗=石有＞=-6，z=-2,故為=（6,-若，-2）.

CMnJ33'

故直線CM與平面尸5C所成角的正弦值為『^二三

\CM\-\n\55

??2舟2s2a^30Rn273-a屈

V22+22+a2xV3+3+22556+4"

故（26-〃）_3,則=24+3/，化簡可得2a2一1