北師大版八年級數(shù)學(xué)核心知識點與常見題型通關(guān)講解練重難點03勾股定理之“趙爽弦圖”模型(原卷版+解析)

重難點03勾股定理之“趙爽弦圖”模型【知識梳理】“趙爽弦圖”的面積關(guān)系是中考?？嫉囊环N題型，一般出現(xiàn)在選擇題、填空題中，如果能夠記住面積之間的關(guān)系，那么做此類題時一定非常高效.【考點剖析】一．選擇題（共2小題）1．如圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的．若AC＝6，BC＝5，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到如圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個風(fēng)車的外圍周長是（）A．76 B．72 C．68 D．522．“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理．在如圖所示的“趙爽弦圖”中，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD，EFGH都是正方形．若AB＝10，EF＝2，則AH的長為（）A．6 B． C．6 D．8二．填空題（共4小題）3．“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若（a+b）2＝107，大正方形的面積為57，則小正方形的邊長為．4．如圖，由四個全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”．Rt△ABF中，∠AFB＝90°，AF＝4，AB＝5．四邊形EFGH的面積是．5．如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E的邊長為7cm，則圖中五個正方形A、B、C、D、E的面積和為cm2．6．圖（1）是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的．在Rt△ABC中，若直角邊AC＝6cm，BC＝5cm，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到圖（2）所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”．則①圖中小正方形的面積為；②若給這個“數(shù)學(xué)風(fēng)車”的外圍裝飾彩帶，則需要彩帶的長度至少是．三．解答題（共3小題）7．如圖①，美麗的弦圖，蘊含著四個全等的直角三角形．（1）如圖①弦圖中包含了一大，一小兩個正方形，已知每個直角三角形較長的直角邊為a．較短的直角邊為b，斜邊長為c，可以驗證勾股定理；（2）如圖②，將八個全等的直角三角形緊密地拼接，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝16，則S2＝．8．我們發(fā)現(xiàn)，用不同的方式表示同一圖形的面積可以解決線段長度之間關(guān)系的有關(guān)問題，這種方法稱為等面積法，這是一種重要的數(shù)學(xué)方法．請你用等面積法來探究下列兩個問題：（1）如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個全等的直角三角形拼成，請你用它來驗證勾股定理；（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，AC＝4，BC＝3，求CD的長度．9．圖甲是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成，面積為74的正方形．在Rt△ABC中，若直角邊BC＝5，將四個直角三角形中邊長為5的直角邊分別向外延長一倍，得到圖乙所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”．（1）這個風(fēng)車至少需要繞著中心旋轉(zhuǎn)才能和本身重合；（2）求這個風(fēng)車的外圍周長（圖乙中的實線）．【過關(guān)檢測】一．選擇題（共10小題）1．（2022春?東城區(qū)期末）如圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的．若AC＝6，BC＝5，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個風(fēng)車的外圍周長是（）A．72 B．52 C．80 D．762．（2021秋?邳州市期中）公元3世紀切，中國古代書學(xué)家趙爽注《周髀算經(jīng)》時，創(chuàng)造了“趙爽弦圖”．如圖，勾a＝3，弦c＝5，則小正方形ABCD的面積為（）A．1 B．3 C．4 D．93．（2021春?長垣市期末）“趙爽弦圖”是四個全等的直角三角形與中間一個小正方形拼成的大正方形，如圖，其直角三角形的兩條直角邊的長分別是2和4，則小正方形與大正方形的面積比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：104．（2022秋?青秀區(qū)校級期末）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若（a+b）2＝21，小正方形的面積為5，則大正方形的面積為（）A．12 B．13 C．14 D．155．（2022秋?南岸區(qū)校級期中）我國是最早了解勾股定理的國家之一，根據(jù)《周髀算經(jīng)》的記載，勾股定理的公式與證明是在商代由商高發(fā)現(xiàn)的，故又稱之為“商高定理”．三國時代的蔣銘祖對《蔣銘祖算經(jīng)》勾股定理作出了詳細注釋，并給出了另外一種證明．下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）A． B． C． D．6．（2022秋?平湖市期末）在認識了勾股定理的趙爽弦圖后，一位同學(xué)嘗試將5個全等的小正方形嵌入長方形ABCD內(nèi)部，其中點M，N，P，Q分別在長方形的邊AB，BC，CD和AD上，若AB＝7，BC＝8，則小正方形的邊長為（）A． B． C． D．27．（2022秋?鄄城縣校級月考）如圖，陰影部分是兩個正方形，圖中還有一個直角三角形和一個空白的正方形，陰影部分的面積為25cm2，直角三角形①中較長的直角邊長12cm，則直角三角形①的面積是（）A．16cm2 B．25cm2 C．30cm2 D．169cm28．（2021秋?鹿城區(qū)校級期中）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，分別以AC，BC，AB為一邊在△ABC外面做三個正方形，記三個正方形的面積依次為S1，S2，S3，已知S1＝4，則S3為（）A．8 B．16 C．4 D．4+49．（2022秋?溫州期末）如圖，大正方形ABCD由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼接而成．點E為小正方形的頂點，延長CE交AD于點F，連結(jié)BF交小正方形的一邊于點G，若△BCF為等腰三角形，AG＝5，則小正方形的面積為（）A．15 B．16 C．20 D．2510．（2022春?南潯區(qū)期末）趙爽弦圖由四個全等的直角三角形所組成，形成一個大正方形，中間是一個小正方形（如圖所示）．某次課后服務(wù)拓展學(xué)習(xí)上，小潯繪制了一幅趙爽弦圖，她將EG延長交CD于點I．記小正方形EFGH的面積為S1，大正方形ABCD的面積為S2，若DI＝2，CI＝1，S2＝5S1，則GI的值是（）A． B． C． D．二．填空題（共7小題）11．（2022秋?錫山區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12．以AB為一邊在△ABC的同側(cè)作正方形ABDE，則圖中陰影部分的面積為．12．（2022秋?德惠市期末）如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若AE＝5，AB＝13，則中間小正方形EFGH的面積是．13．（2022秋?建鄴區(qū)校級期中）將四個全等的直角三角形分別拼成正方形（如圖1，2），邊長分別為6和2．若以一個直角三角形的兩條直角邊為邊向外作正方形（如圖3），其面積分別為S1，S2．則S1﹣S2＝．14．（2021秋?龍泉驛區(qū)校級月考）如圖，是由四個全等的直角三角形與中間一個小正方形拼成的一個大正方形，若大正方形的面積是17，小正方形的面積是1，直角三角形的兩直角邊分別為a，b，則（a+b）2的值是．15．（2022秋?金臺區(qū)校級月考）如圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的．若AC＝6，BC＝5，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到如圖所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個風(fēng)車的外圍周長是．16．（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級期中）如圖，在弦圖中，正方形ABCD的對角線AC與正方形EFHI的對角線EH交于點K，對角線AC交正方形EFHI于G，J兩點，記△GKH面積為S1，△JIC面積為S2，若AE＝12，CD＝4，則S1+S2的值為．17．（2022秋?寧德期中）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”，它是由4個全等的直角三角形與1個小正方形拼成的一個大正方形，如圖，若拼成的大正方形為正方形ABCD，面積為9，中間的小正方形為正方形EFGH，面積為2，連接AC，交BG于點P，交DE于點M，①△CGP≌△AEM，②S△AFP﹣S△CGP＝，③DH+HC＝4，④HC＝2+，以上說法正確的是.（填寫序號）三．解答題（共2小題）18．（2021秋?鳳翔縣期中）如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個全等的直角三角形拼成，用它可以證明勾股定理，思路是：大正方形的面積有兩種求法，一種是等于c2，另一種是等于四個直角三角形與一個小正方形的面積之和，即，從而得到等式c2＝，化簡便得結(jié)論a2+b2＝c2．這里用兩種求法來表示同一個量從而得到等式或方程的方法，我們稱之為“雙求法”．現(xiàn)在，請你用“雙求法”解決下面兩個問題（1）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，AC＝3，BC＝4，求CD的長度．（2）如圖3，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，設(shè)BD＝x，求x的值．19．（2021春?利辛縣期中）如圖，小明用4個圖1中的矩形組成圖2，其中四邊形ABCD，EFGH，MNPQ都是正方形，證明：a2+b2＝c2．重難點03勾股定理之“趙爽弦圖”模型【知識梳理】“趙爽弦圖”的面積關(guān)系是中考常考的一種題型，一般出現(xiàn)在選擇題、填空題中，如果能夠記住面積之間的關(guān)系，那么做此類題時一定非常高效.【考點剖析】一．選擇題（共2小題）1．如圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的．若AC＝6，BC＝5，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到如圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個風(fēng)車的外圍周長是（）A．76 B．72 C．68 D．52【分析】由題意∠ACB為直角，利用勾股定理求得外圍中一條邊，又由AC延伸一倍，從而求得風(fēng)車的一個輪子，進一步求得四個．【解答】解：依題意，設(shè)“數(shù)學(xué)風(fēng)車”中的四個直角三角形的斜邊長為x，則x2＝122+52＝169所以x＝13所以“數(shù)學(xué)風(fēng)車”的周長是：（13+6）×4＝76．故選：A．【點評】本題是勾股定理在實際情況中應(yīng)用，并注意隱含的已知條件來解答此類題．2．“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理．在如圖所示的“趙爽弦圖”中，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD，EFGH都是正方形．若AB＝10，EF＝2，則AH的長為（）A．6 B． C．6 D．8【分析】由題意得，設(shè)AH＝DE＝CF＝BG＝x，則AE＝DF＝CG＝BH＝2+x，再根據(jù)勾股定理即可求解．【解答】解：∵△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD，EFGH都是正方形．AB＝10，EF＝2，∴設(shè)AH＝DE＝CF＝BG＝x，則AE＝DF＝CG＝BH＝2+x，在Rt△AHB中，AB2＝AH2+BH2，即102＝x2+（x+2）2，整理得，x2+2x﹣48＝0，解得：x1＝6，x2＝﹣8（不符合題意，舍去），∴AH＝6．故選：C．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意得到線段的關(guān)系，然后根據(jù)勾股定理列出方程并求解是解題關(guān)鍵．二．填空題（共4小題）3．“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若（a+b）2＝107，大正方形的面積為57，則小正方形的邊長為．【分析】觀察圖形可知，小正方形的面積＝大正方形的面積﹣4個直角三角形的面積，利用已知（a+b）2＝107，大正方形的面積為57，可以得出直角三角形的面積，進而求出答案．【解答】解：如圖所示：∵（a+b）2＝107，∴a2+2ab+b2＝107，∵大正方形的面積為57，∴2ab＝107﹣57＝50，∴小正方形的面積為57﹣50＝7，故小正方形的邊長為．故答案為：．【點評】本題考查勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是熟練運用勾股定理以及完全平方公式，本題屬于基礎(chǔ)題型．4．如圖，由四個全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”．Rt△ABF中，∠AFB＝90°，AF＝4，AB＝5．四邊形EFGH的面積是1．【分析】四邊形EFGH的面積＝四邊形ABCD的面積﹣四個全等直角三角形的面積．直角三角形的面積需利用勾股定理求出直角邊后解答．【解答】解：因為AB＝5，所以S正方形ABCD＝5×5＝25．Rt△ABF中，AF＝4，AB＝5，則BF＝＝3，所以SRt△ABF＝×3×4＝6，四個直角三角形的面積為：6×4＝24，四邊形EFGH的面積是25﹣24＝1．故答案為1【點評】此題主要考查了勾股定理，以及正方形面積、三角形面積，難易程度適中．5．如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E的邊長為7cm，則圖中五個正方形A、B、C、D、E的面積和為98cm2．【分析】根據(jù)正方形的面積公式，連續(xù)運用勾股定理，發(fā)現(xiàn)：四個小正方形的面積和等于最大正方形的面積．【解答】解：設(shè)正方形A、B、C、D的邊長分別是a、b、c、d，則正方形A的面積＝a2，正方形B的面積＝b2，正方形C的面積＝c2，正方形D的面積＝d2，又∵a2+b2＝x2，c2+d2＝y(tǒng)2，∴正方形A、B、C、D、E的面積和＝（a2+b2）+（c2+d2）+72＝x2+y2+72＝72+72＝98（cm2）．即正方形A，B，C，D、E的面積的和為98cm2．故答案為：98．【點評】本題考查了勾股定理：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．熟練運用勾股定理進行面積的轉(zhuǎn)換是解題關(guān)鍵．6．圖（1）是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的．在Rt△ABC中，若直角邊AC＝6cm，BC＝5cm，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到圖（2）所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”．則①圖中小正方形的面積為1cm2；②若給這個“數(shù)學(xué)風(fēng)車”的外圍裝飾彩帶，則需要彩帶的長度至少是76cm．【分析】①表示出小正方形的邊長，然后利用正方形的面積公式列式計算即可得解；②利用勾股定理求出外圍直角三角形的斜邊，然后根據(jù)周長公式列式計算即可得解．【解答】解：圖①，小正方形的面積＝（6﹣5）2＝1cm2；圖②，外圍直角三角形的斜邊＝＝13cm，周長＝4×（13+6）＝4×19＝76cm，即，需要彩帶的長度至少是76cm．故答案為：1cm2，76cm．【點評】本題考查了勾股定理的證明，讀懂題目信息并準確識圖是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共3小題）7．如圖①，美麗的弦圖，蘊含著四個全等的直角三角形．（1）如圖①弦圖中包含了一大，一小兩個正方形，已知每個直角三角形較長的直角邊為a．較短的直角邊為b，斜邊長為c，可以驗證勾股定理；（2）如圖②，將八個全等的直角三角形緊密地拼接，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝16，則S2＝．【分析】（1）由圖可知，小正方形的面積可直用邊長乘邊長，為（a﹣b）2，也可用大正方形的面積減去四個全等的直角三角形的面積，為，以此即可證明；（2）設(shè)正方形MNKT的面積為x，八個全等的直角三角形的面積均為y，可得S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，則S1+S2+S3＝12y+3x＝16，根據(jù)整體思想即可求出S2＝4y+x＝．【解答】（1）證明：，另一方面，即a2﹣2ab+b2＝c2﹣2ab，則a2+b2＝c2；（2）解：設(shè)正方形MNKT的面積為x，八個全等的直角三角形的面積均為y，∵S1+S2+S3＝16，∴S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，∴S1+S2+S3＝12y+3x＝16，∴4y+x＝，∴S2＝4y+x＝．故答案為：．【點評】本題主要考查勾股定理的證明，利用數(shù)形結(jié)合的思想來答題是解題關(guān)鍵．8．我們發(fā)現(xiàn)，用不同的方式表示同一圖形的面積可以解決線段長度之間關(guān)系的有關(guān)問題，這種方法稱為等面積法，這是一種重要的數(shù)學(xué)方法．請你用等面積法來探究下列兩個問題：（1）如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個全等的直角三角形拼成，請你用它來驗證勾股定理；（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，AC＝4，BC＝3，求CD的長度．【分析】（1）根據(jù)題意，我們可在圖中找等量關(guān)系，由中間的小正方形的面積等于大正方形的面積減去四個直角三角形的面積，列出等式化簡即可得出勾股定理的表達式．（2）先由勾股定理求出AB的長，再根據(jù)三角形的面積求CD的長即可．【解答】解：（1）∵大正方形面積為c2，直角三角形面積為ab，小正方形面積為：（b﹣a）2，∴c2＝4×ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2即c2＝a2+b2．（2）在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴由勾股定理，得：AB＝＝5∵CD⊥AB，∴S△ABC＝AC?BC＝AB?CD∴CD＝．【點評】本題考查了學(xué)生對勾股定理的證明和對三角形和正方形面積公式的熟練掌握和運用，屬于基本題型．9．圖甲是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成，面積為74的正方形．在Rt△ABC中，若直角邊BC＝5，將四個直角三角形中邊長為5的直角邊分別向外延長一倍，得到圖乙所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”．（1）這個風(fēng)車至少需要繞著中心旋轉(zhuǎn)90°才能和本身重合；（2）求這個風(fēng)車的外圍周長（圖乙中的實線）．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)角及旋轉(zhuǎn)對稱圖形的定義結(jié)合圖形特點作答．（2）在直角△ABC中，已知BC，AB，根據(jù)勾股定理即可計算AC的長，AC＝7，故求得BD即可計算風(fēng)車的外圍周長．【解答】解：（1）：∵360°÷4＝90°，∴該圖形繞中心至少旋轉(zhuǎn)90度后能和原來的圖案互相重合．（2）在直角△BCD中，BD為斜邊，已知BC＝5，AB＝，由勾股定理得：AC＝7，CD＝7+5＝12，∴BD＝＝13，∵風(fēng)車的外圍周長為4（BD+AD）＝4（13+5）＝72．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)角的定義及勾股定理在直角三角形中的運用，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中正確的計算BD是解題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測】一．選擇題（共10小題）1．（2022春?東城區(qū)期末）如圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的．若AC＝6，BC＝5，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個風(fēng)車的外圍周長是（）A．72 B．52 C．80 D．76【分析】由題意∠ACB為直角，利用勾股定理求得外圍中一條邊，又由AC延伸一倍，從而求得風(fēng)車的一個輪子，進一步求得四個．【解答】解：依題意，設(shè)“數(shù)學(xué)風(fēng)車”中的四個直角三角形的斜邊長為x，則x2＝122+52＝169所以x＝13所以“數(shù)學(xué)風(fēng)車”的周長是：（13+6）×4＝76．故選：D．【點評】本題是勾股定理在實際情況中應(yīng)用，并注意隱含的已知條件來解答此類題．2．（2021秋?邳州市期中）公元3世紀切，中國古代書學(xué)家趙爽注《周髀算經(jīng)》時，創(chuàng)造了“趙爽弦圖”．如圖，勾a＝3，弦c＝5，則小正方形ABCD的面積為（）A．1 B．3 C．4 D．9【分析】根據(jù)勾股定理和正方形的面積公式可求解．【解答】解：如圖，∵勾a＝3，弦c＝5，∴股b＝＝4，∴小正方形的邊長＝4﹣3＝1，∴小正方形的面積＝12＝1，故選：A．【點評】本題運用了勾股定理和正方形的面積公式，關(guān)鍵是運用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．3．（2021春?長垣市期末）“趙爽弦圖”是四個全等的直角三角形與中間一個小正方形拼成的大正方形，如圖，其直角三角形的兩條直角邊的長分別是2和4，則小正方形與大正方形的面積比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：10【分析】根據(jù)題意求得小正方形的邊長，根據(jù)勾股定理求出大正方形的邊長，由正方形的面積公式即可得出結(jié)果．【解答】解：∵直角三角形的兩條直角邊的長分別是2和4，∴小正方形的邊長為2，根據(jù)勾股定理得：大正方形的邊長＝＝2，∴＝＝＝．故選：C．【點評】本題考查了勾股定理和正方形的面積．本題是用數(shù)形結(jié)合來證明勾股定理，鍛煉了同學(xué)們的數(shù)形結(jié)合的思想方法．4．（2022秋?青秀區(qū)校級期末）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若（a+b）2＝21，小正方形的面積為5，則大正方形的面積為（）A．12 B．13 C．14 D．15【分析】由題意可知：中間小正方形的邊長為：a﹣b，根據(jù)勾股定理以及題目給出的已知數(shù)據(jù)即可求出大正方形的邊長．【解答】解：由題意可知：中間小正方形的邊長為：a﹣b＝，∵（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝5+4ab＝21，∴ab＝4，∴大正方形的面積＝4×ab+5＝13，故選：B．【點評】本題考查勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是熟練運用勾股定理以及完全平方公式，本題屬于基礎(chǔ)題型．5．（2022秋?南岸區(qū)校級期中）我國是最早了解勾股定理的國家之一，根據(jù)《周髀算經(jīng)》的記載，勾股定理的公式與證明是在商代由商高發(fā)現(xiàn)的，故又稱之為“商高定理”．三國時代的蔣銘祖對《蔣銘祖算經(jīng)》勾股定理作出了詳細注釋，并給出了另外一種證明．下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)基礎(chǔ)圖形的面積公式表示出各個選項的面積，同時根據(jù)割補的思想可以寫出另外一種面積表示方法，即可得出一個等式，進而可判斷能否證明勾股定理．【解答】解：A、大正方形的面積為：c2；也可看作是4個直角三角形和一個小正方形組成，則其面積為：ab×4+（b﹣a）2＝a2+b2，∴a2+b2＝c2，故A選項能證明勾股定理；B、大正方形的面積為：（a+b）2；也可看作是4個直角三角形和一個小正方形組成，則其面積為：ab×4+c2＝2ab+c2，∴（a+b）2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2，故B選項能證明勾股定理；C、梯形的面積為：（a+b）（a+b）＝（a2+b2）+ab；也可看作是2個直角三角形和一個等腰直角三角形組成，則其面積為：ab×2+c2＝ab+c2，∴ab+c2＝（a2+b2）+ab，∴a2+b2＝c2，故C選項能證明勾股定理；D、大正方形的面積為：（a+b）2；也可看作是2個矩形和2個小正方形組成，則其面積為：a2+b2+2ab，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴D選項不能證明勾股定理．故選：D．【點評】本題考查勾股定理的證明方法，熟練掌握內(nèi)弦圖、外弦圖是解題關(guān)鍵．6．（2022秋?平湖市期末）在認識了勾股定理的趙爽弦圖后，一位同學(xué)嘗試將5個全等的小正方形嵌入長方形ABCD內(nèi)部，其中點M，N，P，Q分別在長方形的邊AB，BC，CD和AD上，若AB＝7，BC＝8，則小正方形的邊長為（）A． B． C． D．2【分析】將每個小正方形按照如圖所示分成四個全等的直角三角形和一個正方形，設(shè)每個直角三角形的較大的直角邊為x，較小的直角邊為y，根據(jù)AB＝7，BC＝8，列出二元一次方程組，求出x和y，再求出邊長即可．【解答】解：將每個小正方形按照如圖所示分成四個全等的直角三角形和一個正方形，設(shè)每個直角三角形的較大的直角邊為x，較小的直角邊為y，∵AB＝7，BC＝8，∴，解得，∴小正方形的邊長為＝．故選A．【點評】本題考查了勾股定理與二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意運用好趙爽弦圖是解題關(guān)鍵．7．（2022秋?鄄城縣校級月考）如圖，陰影部分是兩個正方形，圖中還有一個直角三角形和一個空白的正方形，陰影部分的面積為25cm2，直角三角形①中較長的直角邊長12cm，則直角三角形①的面積是（）A．16cm2 B．25cm2 C．30cm2 D．169cm2【分析】兩個陰影正方形的面積和等于直角三角形另一未知邊的平方．利用勾股定理即可求出．【解答】解：∵兩個陰影正方形的面積和等于直角三角形另一未知邊的平方，∴直角三角形①中較短的直角邊長5cm，∵直角三角形①中較長的直角邊長12cm，∴直角三角形①的面積＝（cm2），故選：C．【點評】考查了正方形的面積以及勾股定理的應(yīng)用．推知“正方形的面積和等于直角三角形另一未知邊的平方”是解題的難點．8．（2021秋?鹿城區(qū)校級期中）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，分別以AC，BC，AB為一邊在△ABC外面做三個正方形，記三個正方形的面積依次為S1，S2，S3，已知S1＝4，則S3為（）A．8 B．16 C．4 D．4+4【分析】根據(jù)正方形的面積公式結(jié)合勾股定理就可發(fā)現(xiàn)大正方形的面積是兩個小正方形的面積和，即可得出答案．【解答】解：∵S1＝AC2＝4，∴AC＝2，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝4，∴S3＝AB2＝16，故選：B．【點評】本題考查了勾股定理和正方形面積的應(yīng)用，注意：分別以直角三角形的邊作相同的圖形，則兩個小圖形的面積等于大圖形的面積．9．（2022秋?溫州期末）如圖，大正方形ABCD由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼接而成．點E為小正方形的頂點，延長CE交AD于點F，連結(jié)BF交小正方形的一邊于點G，若△BCF為等腰三角形，AG＝5，則小正方形的面積為（）A．15 B．16 C．20 D．25【分析】由等腰三角形性質(zhì)可得出BF＝CF，利用HL可證得Rt△ABF≌Rt△DCF（HL），得出AB＝AD＝2AF，根據(jù)余角的性質(zhì)得出∠BAG＝∠ABF，進而推出CF＝BF＝2AG＝10，利用面積法求得BN＝8，再運用勾股定理求得CN＝4，即可求得答案．【解答】解：設(shè)小正方形為EHMN，如圖，∵四邊形ABCD和四邊形EHMN是正方形，∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝90°，CF∥AG，∵△BCF為等腰三角形，且BF＞AB＝BC，CF＞CD＝BC，∴BF＝CF，在Rt△ABF和Rt△DCF中，，∴Rt△ABF≌Rt△DCF（HL），∴∠AFB＝∠CFD，AF＝DF，∴AB＝AD＝2AF，∵CF∥AG，∴∠CFD＝∠DAG，∴∠AFB＝∠DAG，∴AG＝FG，∵∠AFB+∠ABF＝90°，∠DAG+∠BAG＝90°，∴∠BAG＝∠ABF，∴AG＝BG，∴CF＝BF＝2AG＝10，在Rt△ABF中，AB2+AF2＝BF2，∴（2AF）2+AF2＝102，∴AF＝2，∴AB＝BC＝4，∵S△BCF＝BC?AB＝CF?BN，∴BN＝＝＝8，∴CN＝＝＝4，∵△ABM≌△BCN，∴BM＝CN＝4，∴MN＝BN﹣BM＝8﹣4＝4，∴S正方形EHMN＝（MN）2＝42＝16，故選：B．【點評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積等，利用面積法求得BN是解題的關(guān)鍵．10．（2022春?南潯區(qū)期末）趙爽弦圖由四個全等的直角三角形所組成，形成一個大正方形，中間是一個小正方形（如圖所示）．某次課后服務(wù)拓展學(xué)習(xí)上，小潯繪制了一幅趙爽弦圖，她將EG延長交CD于點I．記小正方形EFGH的面積為S1，大正方形ABCD的面積為S2，若DI＝2，CI＝1，S2＝5S1，則GI的值是（）A． B． C． D．【分析】如圖，連接DG，先由已知條件分別求得S2＝CD2＝32＝9，S1＝，小正方形邊長為，再由勾股定理得：EG＝＝，設(shè)AE＝BF＝CG＝DH＝x，則AF＝BG＝CH＝DE＝x+，由勾股定理得：CD2＝DH2+CH2，即9＝x2+（x+）2，進而得AE＝BF＝CG＝DH＝x＝＝EH，再得CH垂直平分ED，再由三角形的“三線合一”得∠DGH＝∠HGE＝45°進而得∠DGI＝90°最后由勾股定理得：GI＝＝＝，即得選項A．【解答】解：如圖，連接DG，∵趙爽弦圖由四個全等的直角三角形所組成，形成一個大正方形，中間是一個小正方形，∴AE＝BF＝CG＝DH，AF＝BG＝CH＝DE，CH⊥DE，∵DI＝2，CI＝1，∴CD＝DI+CI＝2+1＝3，∵大正方形ABCD的面積為S2，∴S2＝CD2＝32＝9，又∵小正方形EFGH的面積為S1，S2＝5S1，∴S1＝，∴EF＝FG＝GH＝HE＝，∵將EG延長交CD于點I，∴∠HGE＝45°，在Rt△EHG中，由勾股定理得：EG＝＝，設(shè)AE＝BF＝CG＝DH＝x，則AF＝BG＝CH＝DE＝x+，在Rt△CDH中，由勾股定理得：CD2＝DH2+CH2，即9＝x2+（x+）2，解得：x1＝，x2＝﹣（不合題意，舍去），即AE＝BF＝CG＝DH＝x＝，∴DH＝EH＝，∴CH垂直平分ED，∴DG＝EG＝，∴∠DGH＝∠HGE＝45°，∴∠DGE＝45°+45°＝90°，∴∠DGI＝90°，在Rt△DGI中，由勾股定理得：GI＝＝＝，故選：A．【點評】本題是一道勾股定理的綜合題，主要考查了全等三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，線段的中垂線判定與性質(zhì)，等腰三角形的“三線合一”，二次根式計算與化簡，關(guān)鍵是巧添輔助線構(gòu)等腰直角三角形，順利實現(xiàn)求得答案．二．填空題（共7小題）11．（2022秋?錫山區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12．以AB為一邊在△ABC的同側(cè)作正方形ABDE，則圖中陰影部分的面積為139．【分析】首先利用勾股定理求得AB邊的長度，然后由三角形的面積公式和正方形的面積公式解答．【解答】解：如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝5，由勾股定理知，AB＝＝13．故S陰影＝S正方形ABDE﹣S△ABC＝132﹣×5×12＝169﹣30＝139．故答案為：139．【點評】本題主要考查了勾股定理，求陰影部分的面積時，采用了“分割法”．12．（2022秋?德惠市期末）如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若AE＝5，AB＝13，則中間小正方形EFGH的面積是49．【分析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以計算出小正方形的邊長，即可得到小正方形的面積．【解答】解：∵AE＝5，AB＝13，∴BF＝AE＝5，在Rt△ABF中，AF＝＝12，∴小正方形的邊長EF＝12﹣5＝7，∴小正方形EFGH的面積為7×7＝49．故答案為：49．【點評】本題考查了勾股定理的證明，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋?建鄴區(qū)校級期中）將四個全等的直角三角形分別拼成正方形（如圖1，2），邊長分別為6和2．若以一個直角三角形的兩條直角邊為邊向外作正方形（如圖3），其面積分別為S1，S2．則S1﹣S2＝12．【分析】首先設(shè)四個全等的直角三角形的兩條直角邊分別為a，b（a＞b），然后根據(jù)圖1、2列出關(guān)于a、b的方程組即可求解．【解答】解：設(shè)四個全等的直角三角形的兩條直角邊分別為a，b（a＞b），根據(jù)圖1得：a+b＝6，根據(jù)圖2得：a﹣b＝2，聯(lián)立解得：，∴S1＝16，S2＝4，則S1﹣S2＝12．故答案為：12．【點評】此題主要考查了勾股定理證明的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解圖形中隱含的數(shù)量關(guān)系．14．（2021秋?龍泉驛區(qū)校級月考）如圖，是由四個全等的直角三角形與中間一個小正方形拼成的一個大正方形，若大正方形的面積是17，小正方形的面積是1，直角三角形的兩直角邊分別為a，b，則（a+b）2的值是33．【分析】先由拼圖列出關(guān)于面積的方程，再由勾股定理列一個直角三角形三邊的方程并整理，最后把值整體代入和平方的展開式（a+b）2＝a2+b2+2ab即可得出答案．【解答】解：∵由四個全等的直角三角形與中間一個小正方形拼成的一個大正方形，大正方形的面積是17，小正方形的面積是1，直角三角形的兩直角邊分別為a，b，∴，即，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝17+16＝33．故答案為：33．【點評】這是一道勾股定理綜合題，主要考查了拼圖列方程，發(fā)現(xiàn)各個圖形的面積和a，b的關(guān)系是解題關(guān)鍵．15．（2022秋?金臺區(qū)校級月考）如圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的．若AC＝6，BC＝5，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到如圖所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個風(fēng)車的外圍周長是76．【分析】通過勾股定理可將“數(shù)學(xué)風(fēng)車”的斜邊求出，然后可求出風(fēng)車外圍的周長．【解答】解：設(shè)將AC延長到點D，連接BD，根據(jù)題意，得CD＝6×2＝12，BC＝5．∵∠BCD＝90°∴BC2+CD2＝BD2，即52+122＝BD2∴BD＝13∴AD+BD＝6+13＝19∴這個風(fēng)車的外圍周長是19×4＝76．故答案為：76．【點評】本題考查勾股定理在實際情況中應(yīng)用，并注意隱含的已知條件來解答此類題．16．（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級期中）如圖，在弦圖中，正方形ABCD的對角線AC與正方形EFHI的對角線EH交于點K，對角線AC交正方形EFHI于G，J兩點，記△GKH面積為S1，△JIC面積為S2，若AE＝12，CD＝4，則S1+S2的值為16．【分析】由題意可得AF＝CI，∠AFG＝∠CIJ＝90°，F(xiàn)H∥EI，即可證明△AFG≌△CIJ，F(xiàn)G＝IJ，再根據(jù)四邊形EFHI為正方形，得到△GHK≌△JEK，從而得到點K為正方形EFHI的中心，過點K作KM⊥FH于點M，由勾股定理得DE＝4，F(xiàn)H＝8，KM＝4，設(shè)GH＝a，F(xiàn)G＝b，則a+b＝FH＝8，最后用a，b表示出S1+S2＝2（a+b），將a+b的值代入即可求解．【解答】解：由題意可得，AF＝CI，∠AFG＝∠CIJ＝90°，F(xiàn)H∥EI，∵∠AGF＝∠HGK，∠IJC＝∠KJE，∵FH∥EI，∴∠HGK＝∠KJE，∴∠AGF＝∠IJC，在△AFG和△CIJ中，，∴△AFG≌△CIJ（AAS），∴FG＝IJ，∵四邊形EFHI為正方形，∴EI﹣IJ＝FH﹣FG，即HG＝EJ，在△GHK和△JEK中，，∴△GHK≌△JEK（AAS），∴HK＝EK，即點K為正方形EFHI的中心，如圖，過點K作KM⊥FH于點M，∵AE＝12，CD＝4，∴BF＝12，AD＝，在Rt△ADE中，由勾股定理得DE＝＝4，∴AF＝DE＝4，EF＝AE﹣AF＝12﹣4＝8，則FH＝8，KM＝4，設(shè)GH＝a，F(xiàn)G＝b，則a+b＝F