北師大版八年級數(shù)學核心知識點與常見題型通關講解練重難點02勾股定理之“圖形折疊”模型(原卷版+解析)

重難點02勾股定理之“圖形折疊”模型【知識梳理】圖形折疊一定要注意折疊前后的邊角對應關系，計算時聯(lián)想到利用勾股定理對新形成的直角三角形進行求解.翻折變換（折疊問題）1、翻折變換（折疊問題）實質上就是軸對稱變換．2、折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．3、在解決實際問題時，對于折疊較為復雜的問題可以實際操作圖形的折疊，這樣便于找到圖形間的關系．首先清楚折疊和軸對稱能夠提供給我們隱含的并且可利用的條件．解題時，我們常常設要求的線段長為x，然后根據折疊和軸對稱的性質用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當?shù)闹苯侨切?，運用勾股定理列出方程求出答案．我們運用方程解決時，應認真審題，設出正確的未知數(shù)．【考點剖析】一．選擇題（共9小題）1．如圖，已知矩形ABCD沿著直線BD折疊，使點C落在C′處，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，則DE的長為（）A．3 B．4 C．5 D．62．矩形紙片ABCD的邊長AB＝4，AD＝2．將矩形紙片沿EF折疊，使點A與點C重合，折疊后在其一面著色（如圖），則著色部分的面積為（）A．8 B． C．4 D．3．直角三角形紙片的兩直角邊長分別為6，8，現(xiàn)將△ABC如圖折疊，使點A與點B重合，則折痕DE的長是（）A． B． C． D．4．如圖所示，在長方形紙片ABCD中，AB＝32cm，把長方形紙片沿AC折疊，點B落在點E處，AE交DC于點F，AF＝25cm，則AD的長為（）A．16cm B．20cm C．24cm D．28cm5．如圖，矩形ABCD沿直線BD折疊，使點C落在點C處，BC交AD于點E，AD＝8，AB＝4，則BE的長為（）A．3 B．4 C．5 D．26．直角三角形紙片的兩直角邊長分別為6，8，現(xiàn)將△ABC如圖那樣折疊，使點A與點B重合，折痕為DE，則的值是（）A． B． C． D．7．將正方形ABCD折疊，使頂點A與CD邊上的點M重合，折痕交AD于E，交BC于F，邊AB折疊后與BC邊交于點G（如圖）．如果DM：MC＝3：2，則DE：DM：EM＝（）A．7：24：25 B．3：4：5 C．5：12：13 D．8：15：178．如圖，矩形紙片ABCD中，AB＝18cm，把矩形紙片沿直線AC折疊，點B落在點E處，AE交DC于點F，若AF＝13，則AD的長為（）A．5cm B．6cm C．10cm D．12cm9．如圖，將一個邊長分別為4，8的長方形紙片ABCD折疊，使C點與A點重合，則折痕EF的長是（）A． B． C． D．二．填空題（共1小題）10．已知，矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，將此長方形折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，則△ABE的面積為A．6cm2B．8cm2C．10cm2D．12cm2．三．解答題（共1小題）11．如圖所示，折疊長方形一邊AD，點D落在BC邊的點F處，已知BC＝10厘米，AB＝8厘米，求BF與FC的長．【過關檢測】一．選擇題（共11小題）1．（2022秋?大東區(qū)校級期末）如圖，已知矩形ABCD沿著直線BD折疊，使點C落在C′處，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，則DE的長為（）A．3 B．4 C．5 D．62．（2021秋?鎮(zhèn)海區(qū)校級期中）如圖，將矩形ABCD的四個角向內折起，恰好拼成一個無縫隙無重疊的四邊形EFGH，若EH＝5厘米，EF＝12厘米，則邊HF的長是（）A．12厘米 B．13厘米 C．14厘米 D．15厘米3．（2022春?杭錦后旗期中）如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC＝6cm、BC＝8cm，現(xiàn)將△ABC折疊，使點B與點A重合，折痕為DE，則CD的長為（）A．cm B．cm C．cm D．無法確定4．（2021春?永嘉縣校級期末）如圖，將邊長為8cm正方形紙片ABCD折疊，使點D落在BC邊的中點E處，點A落在點F處，折痕為MN，則線段CN的長是（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm5．（2021秋?裕華區(qū)校級期末）如圖是一張直角三角形的紙片．兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm將△ABC折疊，使點B與點A重合，折痕為DE，則AD的長為（）A．cm B．10cm C．cm D．5cm6．（2021春?漳平市期中）如圖，在長方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，將此長方形折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，則△ABE的面積為（）A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm27．（2020?饒平縣校級模擬）如圖，將邊長為8cm的正方形紙片ABCD折疊，使點D落在AB邊中點E處，點C落在點Q處，折痕為FH，則線段AF的長是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm8．（2021春?環(huán)翠區(qū)校級期中）如圖：長方形紙片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如圖的方式折疊，使點B與點D重合．折痕為EF，則DE長為（）A．4.8cm B．5cm C．5.8cm D．6cm9．（2021秋?開福區(qū)校級期末）如圖，將矩形ABCD沿EF折疊，使頂點C恰好落在AB邊的中點C′上．若AB＝6，BC＝9，則BF的長為（）A．4 B．3 C．4.5 D．510．（2021春?寧明縣期中）如圖，矩形紙片ABCD中，AB＝8cm，把矩形紙片沿直線AC折疊，點B落在點E處，AE交DC于點F，若AF＝cm，則AD的長為（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm11．（2021秋?東平縣期末）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是（﹣3，0），點B的坐標是（0，4），點M是OB上一點，將△ABM沿AM折疊，點B恰好落在x軸上的點B'處，則點M的坐標為（）A．（，0） B．（0，） C．（，0） D．（0，）二．填空題（共6小題）12．（2022秋?江北區(qū)期末）如圖，有一張直角三角形的紙片，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3．現(xiàn)將三角形折疊，使得邊AC與AB重合，折痕為AE，則CE長為．13．（2022秋?佛山期末）在長方形ABCD中，AB＝5，BC＝12，點E是邊AD上的一個動點，把△BAE沿BE折疊，點A落在A'處，當△A'DE是直角三角形時，DE的長為．14．（2021秋?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分線交AB、AC于點D、E，若AC＝8，BD＝5，則CE的長度是．15．（2022秋?南關區(qū)校級期末）如圖，透明的圓柱形玻璃容器（容器厚度忽略不計）的高為20cm，在容器內壁離容器底部4cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在容器外壁，位于離容器上沿4cm的點A處，若螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為25cm，則該圓柱底面周長為．16．（2022秋?鼓樓區(qū)期中）如圖，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，將矩形沿BE折疊，使頂點A落在CD上的點F處，其中E在AD上，連接AF，則AE＝．17．（2022秋?下城區(qū)校級期中）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，將它的一個銳角翻折，使該銳角頂點落在其對邊的中點D處，折痕交另一直角邊于點E，交斜邊于點F，則DE的長為．三．解答題（共4小題）18．（2022秋?西湖區(qū)校級期中）如圖，在等邊△ABC中，點D，E分別是AB，AC上的點，將△ADE沿DE所在直線對折，點A落在BC邊上的點A′處，且DA′⊥BC．（1）求∠AED的度數(shù)．（2）若AD＝，求線段AB和CE的值．19．（2022秋?和平區(qū)期末）在△ABC中，AB＝25，，AP垂直直線BC于點P．（1）當BC＝25時，求AP的長；（2）當AP＝20時，①求BC的長；②將△ACP沿直線AC翻折后得到△ACQ，連接BQ，請直接寫出△BCQ的周長為．20．（2022秋?武侯區(qū)校級期中）在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，BC＝AD＝6，P為射線BC上一點，將△ABP沿直線AP翻折至△AEP的位置，使點B落在點E處．（1）若P為BC上一點．①如圖1，當點E落在邊CD上時，求CE的長；②如圖2，連接CE，若CE∥AP，則BP與BC有何數(shù)量關系？請說明理由；（2）如果點P在BC的延長線上，當△PEC為直角三角形時，求PB的長．21．（2022秋?綏德縣期中）如圖所示，折疊長方形一邊AD，點D落在BC邊的點F處，已知BC＝10厘米，AB＝8厘米．（1）求BF與FC的長．（2）求EC的長．重難點02勾股定理之“圖形折疊”模型【知識梳理】圖形折疊一定要注意折疊前后的邊角對應關系，計算時聯(lián)想到利用勾股定理對新形成的直角三角形進行求解.翻折變換（折疊問題）1、翻折變換（折疊問題）實質上就是軸對稱變換．2、折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．3、在解決實際問題時，對于折疊較為復雜的問題可以實際操作圖形的折疊，這樣便于找到圖形間的關系．首先清楚折疊和軸對稱能夠提供給我們隱含的并且可利用的條件．解題時，我們常常設要求的線段長為x，然后根據折疊和軸對稱的性質用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當?shù)闹苯侨切?，運用勾股定理列出方程求出答案．我們運用方程解決時，應認真審題，設出正確的未知數(shù)．【考點剖析】一．選擇題（共9小題）1．如圖，已知矩形ABCD沿著直線BD折疊，使點C落在C′處，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，則DE的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根據折疊前后角相等可知△ABE≌△C′ED，利用勾股定理可求出．【解答】解：設DE＝x，則AE＝8﹣x，AB＝4，在直角三角形ABE中，x2＝（8﹣x）2+16，解之得，x＝5．故選：C．【點評】本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后角相等．2．矩形紙片ABCD的邊長AB＝4，AD＝2．將矩形紙片沿EF折疊，使點A與點C重合，折疊后在其一面著色（如圖），則著色部分的面積為（）A．8 B． C．4 D．【分析】著色部分的面積等于原來矩形的面積減去△ECF的面積，應先利用勾股定理求得FC的長，進而求得相關線段，代入求值即可．【解答】解：在Rt△GFC中，有FC2﹣CG2＝FG2，∴FC2﹣22＝（4﹣FC）2，解得，F(xiàn)C＝2.5，∴陰影部分面積為：AB?AD﹣FC?AD＝，故選：B．【點評】折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，本題中沒有著色的部分為△ECF，利用了矩形和三角形的面積公式，勾股定理求解．3．直角三角形紙片的兩直角邊長分別為6，8，現(xiàn)將△ABC如圖折疊，使點A與點B重合，則折痕DE的長是（）A． B． C． D．【分析】先通過勾股數(shù)得到AB＝10，再根據折疊的性質得到AD＝DB＝5，AE＝BE，∠ADE＝90°，設AE＝x，則BE＝x，CE＝8﹣x，在Rt△CBE中利用勾股定理可計算出x，然后在Rt△BDE中利用勾股定理即可計算得到DE的長．【解答】解：∵直角三角形紙片的兩直角邊長分別為6，8，∴AB＝10，又∵折疊，∴AD＝DB＝5，AE＝BE，∠ADE＝90°，設AE＝x，則BE＝x，CE＝8﹣x，在Rt△CBE中，BE2＝BC2+CE2，即x2＝62+（8﹣x）2，解得x＝，在Rt△BDE中，DE＝＝故選：D．【點評】本題考查了折疊的性質：折疊前后兩圖形全等，即對應角相等，對應線段相等．也考查了勾股定理．4．如圖所示，在長方形紙片ABCD中，AB＝32cm，把長方形紙片沿AC折疊，點B落在點E處，AE交DC于點F，AF＝25cm，則AD的長為（）A．16cm B．20cm C．24cm D．28cm【分析】首先根據平行線的性質以及折疊的性質證明∠EAC＝∠DCA，根據等角對等邊證明FC＝AF，則DF即可求得，然后在直角△ADF中利用勾股定理求解．【解答】解：∵長方形ABCD中，AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，又∵∠BAC＝∠EAC，∴∠EAC＝∠DCA，∴FC＝AF＝25cm，又∵長方形ABCD中，DC＝AB＝32cm，∴DF＝DC﹣FC＝32﹣25＝7cm，在直角△ADF中，AD＝＝＝24（cm）．故選：C．【點評】本題考查了折疊的性質以及勾股定理，在折疊的過程中注意到相等的角以及相等的線段是關鍵．5．如圖，矩形ABCD沿直線BD折疊，使點C落在點C處，BC交AD于點E，AD＝8，AB＝4，則BE的長為（）A．3 B．4 C．5 D．2【分析】由矩形的性質和折疊的性質得出∠C′BD＝∠DBC＝∠BDA，可得DE＝BE，設BE＝DE＝x，則AE＝8﹣x．根據勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DBC＝∠BDA，由折疊的性質得：∠C′BD＝∠DBC，∴∠C′BD＝∠BDA，∴DE＝BE，設BE＝DE＝x，則AE＝8﹣x．在△ABE中，由勾股定理得：x2＝42+（8﹣x）2．解得：x＝5，∴BE＝5．故選：C．【點評】此題考查了矩形的性質、翻折變換的性質、等腰三角形的判定、勾股定理；熟練掌握矩形和翻折變換的性質，由勾股定理得出方程是解決問題的關鍵．6．直角三角形紙片的兩直角邊長分別為6，8，現(xiàn)將△ABC如圖那樣折疊，使點A與點B重合，折痕為DE，則的值是（）A． B． C． D．【分析】先設CE＝x，再根據圖形翻折變換的性質得出AE＝BE＝8﹣x，再根據勾股定理求出x的值，進而可得出的值．【解答】解：設CE＝x，則AE＝8﹣x，∵△BDE是△ADE翻折而成，∴AE＝BE＝8﹣x，在Rt△BCE中，BE2＝BC2+CE2，即（8﹣x）2＝62+x2，解得x＝，∴＝＝．故選：C．【點評】本題考查的是圖形翻折變換的性質及勾股定理，熟知“折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等”的知識是解答此題的關鍵．7．將正方形ABCD折疊，使頂點A與CD邊上的點M重合，折痕交AD于E，交BC于F，邊AB折疊后與BC邊交于點G（如圖）．如果DM：MC＝3：2，則DE：DM：EM＝（）A．7：24：25 B．3：4：5 C．5：12：13 D．8：15：17【分析】先根據折疊的性質得EM＝EA，再根據勾股定理得ME的長，從而求比值．【解答】解：由折疊知，EM＝EA，設CD＝AD＝5a，∴DE＝5a﹣EM，DM＝3a，MC＝2a，在Rt△EDM中，EM2＝DE2+DM2，即ME2＝（5a﹣ME）2+（3a）2，解得ME＝a∴ED＝a∴DE：DM：EM＝a：3a：a＝8：15：17．故選：D．【點評】本題利用了：1、折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等；2、通過設適當?shù)膮?shù)，利用正方形的性質，勾股定理求解．8．如圖，矩形紙片ABCD中，AB＝18cm，把矩形紙片沿直線AC折疊，點B落在點E處，AE交DC于點F，若AF＝13，則AD的長為（）A．5cm B．6cm C．10cm D．12cm【分析】根據折疊前后角相等可證AF＝FC，在直角三角形ADF中，運用勾股定理求解．【解答】解：根據折疊前后角相等可知△ADF≌△CEF，設DA＝x，又AF＝13，DF＝18﹣13＝5，在直角三角形ADF中，x2+52＝132，解之得，x＝12cm．故選：D．【點評】本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后角相等．9．如圖，將一個邊長分別為4，8的長方形紙片ABCD折疊，使C點與A點重合，則折痕EF的長是（）A． B． C． D．【分析】根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等和勾股定理求解．【解答】解：根據折疊的性質知，四邊形AFEB與四邊形CEFD全等，有EC＝AF＝AE，由勾股定理得，AB2+BE2＝AE2即42+（8﹣AE）2＝AE2，解得，AE＝AF＝5，BE＝3，作EG⊥AF于點G，則四邊形AGEB是矩形，有AG＝3，GF＝2，GE＝AB＝4，由勾股定理得EF＝．故選：D．【點評】本題利用了：1、折疊的性質；2、矩形的性質．二．填空題（共1小題）10．已知，矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，將此長方形折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，則△ABE的面積為AA．6cm2B．8cm2C．10cm2D．12cm2．【分析】根據折疊的條件可得：BE＝DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．【解答】解：將此長方形折疊，使點B與點D重合，∴BE＝ED．∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．∴BE＝9﹣AE，根據勾股定理可知：AB2+AE2＝BE2．解得AE＝4．∴△ABE的面積為3×4÷2＝6．故選A．【點評】本題考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．三．解答題（共1小題）11．如圖所示，折疊長方形一邊AD，點D落在BC邊的點F處，已知BC＝10厘米，AB＝8厘米，求BF與FC的長．【分析】由圖形翻折變換的性質可知，AD＝AF，設BF＝x，則FC＝10﹣x，在Rt△ABF中利用勾股定理即可求解BF，再由BC＝12厘米可得出FC的長度．【解答】解：∵△AEF是△AED沿直線AE折疊而成，AB＝8cm，BC＝10cm，∴AD＝AF＝10cm，設BF＝x，則FC＝10﹣x，在Rt△ABF中，AF2＝AB2+BF2，即102＝82+x2，解得x＝6，即BF＝6厘米．∴FC＝BC﹣BF＝10﹣6＝4cm．綜上可得BF的長為6厘米、FC的長為4厘米．【點評】本題考查的是圖形翻折變換的性質，解答本題需要表示出BF，AF的長度，在△ABF中利用勾股定理，難度一般．【過關檢測】一．選擇題（共11小題）1．（2022秋?大東區(qū)校級期末）如圖，已知矩形ABCD沿著直線BD折疊，使點C落在C′處，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，則DE的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】先根據翻折變換的性質得出CD＝C′D，∠C＝∠C′＝90°，再設DE＝x，則AE＝8﹣x，由全等三角形的判定定理得出Rt△ABE≌Rt△C′DE，可得出BE＝DE＝x，在Rt△ABE中利用勾股定理即可求出x的值，進而得出DE的長．【解答】解：∵Rt△DC′B由Rt△DBC翻折而成，∴CD＝C′D＝AB＝8，∠C＝∠C′＝90°，設DE＝x，則AE＝8﹣x，∵∠A＝∠C′＝90°，∠AEB＝∠DEC′，∴∠ABE＝∠C′DE，在Rt△ABE與Rt△C′DE中，，∴Rt△ABE≌Rt△C′DE（ASA），∴BE＝DE＝x，在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，∴42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5，∴DE的長為5．故選：C．【點評】本題考查的是翻折變換的性質及勾股定理，熟知折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等的知識是解答此題的關鍵．2．（2021秋?鎮(zhèn)海區(qū)校級期中）如圖，將矩形ABCD的四個角向內折起，恰好拼成一個無縫隙無重疊的四邊形EFGH，若EH＝5厘米，EF＝12厘米，則邊HF的長是（）A．12厘米 B．13厘米 C．14厘米 D．15厘米【分析】利用折疊的性質得出∠HEF＝90°，再利用勾股定理即可求解．【解答】解：∵△AEH折疊得到△MEH，△BEF折疊得到△MEF，∴∠AEH＝∠MEH，∠BEF＝∠MEF，∴∠HEF＝∠MEH+∠MEF＝（∠AEM+∠BEM）＝90°，∴△HEF為直角三角形，在Rt△HEF中，EH2+EF2＝HF2，∵EH＝5厘米，EF＝12厘米，∴HF＝＝13厘米，故選：B．【點評】本題考查折疊的性質，勾股定理，解題的關鍵是利用折疊性質得到∠HEF＝90°．3．（2022春?杭錦后旗期中）如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC＝6cm、BC＝8cm，現(xiàn)將△ABC折疊，使點B與點A重合，折痕為DE，則CD的長為（）A．cm B．cm C．cm D．無法確定【分析】設CD＝xcm，則BD＝BC﹣CD＝（8﹣x）cm，再根據折疊的性質得AD＝BD＝8﹣x，然后在△ACD中根據勾股定理得到（8﹣x）2＝62+x2，再解方程即可．【解答】解：設CD＝xcm，則BD＝BC﹣CD＝（8﹣x）cm，∵△ABC折疊，使點B與點A重合，折痕為DE，∴AD＝BD＝8﹣x，在△ACD中，∠C＝90°，∴AD2＝AC2+CD2，∴（8﹣x）2＝62+x2，解得x＝，即CD的長為cm．故選：C．【點評】本題考查了折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．也考查了勾股定理．4．（2021春?永嘉縣校級期末）如圖，將邊長為8cm正方形紙片ABCD折疊，使點D落在BC邊的中點E處，點A落在點F處，折痕為MN，則線段CN的長是（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm【分析】根據折疊的性質，只要求出DN就可以求出NE，在直角△CEN中，若設CN＝x，則DN＝NE＝8﹣x，CE＝4cm，根據勾股定理就可以列出方程，從而解出CN的長．【解答】解：由題意設CN＝xcm，則EN＝（8﹣x）cm，又∵CE＝DC＝4cm，∴在Rt△ECN中，EN2＝EC2+CN2，即（8﹣x）2＝42+x2，解得：x＝3，即CN＝3cm．故選：D．【點評】本題考查翻折變換的問題，折疊問題其實質是軸對稱，對應線段相等，對應角相等，找到相應的直角三角形利用勾股定理求解是解決本題的關鍵．5．（2021秋?裕華區(qū)校級期末）如圖是一張直角三角形的紙片．兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm將△ABC折疊，使點B與點A重合，折痕為DE，則AD的長為（）A．cm B．10cm C．cm D．5cm【分析】首先設AD＝xcm，由折疊的性質得：BD＝AD＝xcm，又由BC＝8cm，可得CD＝8﹣x（cm），然后在Rt△ACD中，利用勾股定理即可求得方程，解方程即可求得答案．【解答】解：設AD＝xcm，由折疊的性質得：BD＝AD＝xcm，∵在Rt△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，∴CD＝BC﹣BD＝8﹣x（cm），在Rt△ACD中，AC2+CD2＝AD2，即：62+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴AD＝cm．故選：A．【點評】此題考查了折疊的性質與勾股定理的知識．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想與方程思想的應用，注意掌握折疊前后圖形的對應關系．6．（2021春?漳平市期中）如圖，在長方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，將此長方形折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，則△ABE的面積為（）A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2【分析】首先根據翻折的性質得到ED＝BE，再設出未知數(shù)，分別表示出線段AE，ED，BE的長度，然后在Rt△ABE中利用勾股定理求出AE的長度，進而求出AE的長度，就可以利用面積公式求得△ABE的面積了．【解答】解：∵長方形折疊，使點B與點D重合，∴ED＝BE，設AE＝xcm，則ED＝BE＝（9﹣x）cm，在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，∴32+x2＝（9﹣x）2，解得：x＝4，∴△ABE的面積為：3×4×＝6（cm2）．故選：A．【點評】此題主要考查了圖形的翻折變換和學生的空間想象能力，解題過程中應注意折疊后哪些線段是重合的，相等的，如果想象不出哪些線段相等，可以動手折疊一下即可．7．（2020?饒平縣校級模擬）如圖，將邊長為8cm的正方形紙片ABCD折疊，使點D落在AB邊中點E處，點C落在點Q處，折痕為FH，則線段AF的長是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【分析】根據△AEF是直角三角形利用勾股定理求解即可．【解答】解：由折疊可得DF＝EF，設AF＝x，則EF＝8﹣x，∵AF2+AE2＝EF2，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3．故選：A．【點評】本題考查折疊問題；找到相應的直角三角形利用勾股定理求解是解決本題的關鍵．8．（2021春?環(huán)翠區(qū)校級期中）如圖：長方形紙片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如圖的方式折疊，使點B與點D重合．折痕為EF，則DE長為（）A．4.8cm B．5cm C．5.8cm D．6cm【分析】在折疊的過程中，BE＝DE，從而設BE＝DE＝x，即可表示AE，在直角三角形ADE中，根據勾股定理列方程即可求解．【解答】解：設DE＝xcm，則BE＝DE＝x，AE＝AB﹣BE＝10﹣x，在Rt△ADE中，DE2＝AE2+AD2，即x2＝（10﹣x）2+16．解得：x＝5.8．故選：C．【點評】此題主要考查了翻折變換的問題，解答本題的關鍵是掌握翻折前后對應線段相等，另外要熟練運用勾股定理解直角三角形．9．（2021秋?開福區(qū)校級期末）如圖，將矩形ABCD沿EF折疊，使頂點C恰好落在AB邊的中點C′上．若AB＝6，BC＝9，則BF的長為（）A．4 B．3 C．4.5 D．5【分析】先求出BC′，再由圖形折疊特性知，C′F＝CF＝BC﹣BF＝9﹣BF，在Rt△C′BF中，運用勾股定理BF2+BC′2＝C′F2求解．【解答】解：∵點C′是AB邊的中點，AB＝6，∴BC′＝3，由圖形折疊特性知，C′F＝CF＝BC﹣BF＝9﹣BF，在Rt△C′BF中，BF2+BC′2＝C′F2，∴BF2+9＝（9﹣BF）2，解得，BF＝4，故選：A．【點評】本題考查了折疊問題及勾股定理的應用，綜合能力要求較高．同時也考查了列方程求解的能力．解題的關鍵是找出線段的關系．10．（2021春?寧明縣期中）如圖，矩形紙片ABCD中，AB＝8cm，把矩形紙片沿直線AC折疊，點B落在點E處，AE交DC于點F，若AF＝cm，則AD的長為（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【分析】由折疊的性質可證AF＝FC．在Rt△ADF中，由勾股定理求AD的長．【解答】解：由折疊的性質知，AE＝AB＝CD，CE＝BC＝AD，∴△ADC≌△CEA，∠EAC＝∠DCA∴AF＝CF＝cm，DF＝CD﹣CF＝在Rt△ADF中，由勾股定理得，AD＝6cm．故選：C．【點評】本題利用了：①折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等；②全等三角形的判定和性質，勾股定理求解．11．（2021秋?東平縣期末）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是（﹣3，0），點B的坐標是（0，4），點M是OB上一點，將△ABM沿AM折疊，點B恰好落在x軸上的點B'處，則點M的坐標為（）A．（，0） B．（0，） C．（，0） D．（0，）【分析】設沿直線AM將△ABM折疊，點B正好落在x軸上的B'點，則有AB＝AB'，而AB的長度根據已知可以求出，所以B'點的坐標由此求出；又由于折疊得到B'M＝BM，在直角△B'MO中根據勾股定理可以求出OM，也就求出M的坐標．【解答】解：∵將△ABM沿AM折疊，∴AB＝AB'，又A（﹣3，0），B（0，4），∴AB＝5＝AB'，∴點B'的坐標為：（2，0），設M點坐標為（0，b），則B'M＝BM＝4﹣b，∵B'M2＝B'O2+OM2，∴（4﹣b）2＝22+b2，∴b＝，∴M（0，），故選：B．【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，也考查了翻折變換，題中利用折疊知識與直線的關系以及直角三角形等知識求出線段的長是解題的關鍵．二．填空題（共6小題）12．（2022秋?江北區(qū)期末）如圖，有一張直角三角形的紙片，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3．現(xiàn)將三角形折疊，使得邊AC與AB重合，折痕為AE，則CE長為．【分析】解法一：先根據勾股定理求得BC的長，再根據折疊的性質得到CE＝DE，AC＝AD，∠C＝∠EDA＝90°，則BD＝AB﹣AD，∠EDB＝90°，設CE＝DE＝x，在Rt△BDE中根據勾股定理列出方程，求解即可．解法二：先根據勾股定理求得BC的長，再根據折疊的性質可推出∠EDB＝90°，以此可得△BDE∽△BCA，設CE＝DE＝x，根據相似三角形的性質即可解答．【解答】解：解法一：在Rt△ABC中，由勾股定理得BC＝＝4，根據折疊的性質可知CE＝DE，AC＝AD＝3，∠C＝∠EDA＝90°，∴∠EDB＝90°，BD＝AB﹣AD＝5﹣3＝2，設CE＝DE＝x，則BE＝4﹣x，Rt△BDE中，DE2+BD2＝BE2，即x2+22＝（4﹣x）2，解得：，∴CE＝．故答案為：．解法二：在Rt△ABC中，由勾股定理得BC＝＝4，根據折疊的性質可知CE＝DE，∠C＝∠EDA＝90°，∴∠EDB＝∠C＝90°，∵∠B為公共角，∴△BDE∽△BCA，∴，設CE＝DE＝x，則BE＝4﹣x，∴，∴x＝，∴CE＝．故答案為：．【點評】本題主要考查翻折變換、勾股定理、相似三角形的判定與性質，解題時，我們常常設要求的線段長為x，然后根據折疊和軸對稱的性質用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當?shù)闹苯侨切?，運用勾股定理列出方程求出答案13．（2022秋?佛山期末）在長方形ABCD中，AB＝5，BC＝12，點E是邊AD上的一個動點，把△BAE沿BE折疊，點A落在A'處，當△A'DE是直角三角形時，DE的長為或7．【分析】當△A'DE是直角三角形時，可分兩種情況進行討論：①當∠EA′D＝90°時，此時A′在BD上，由勾股定理可得BD＝13，根據折疊的性質可得AE＝A′E，AB＝A′B＝5，A′D＝8，設AE＝A′E＝x，則DE＝12﹣x，最后根據勾股定理即可解答；②當∠A′ED＝90°時，根據折疊的性質可得∠AEB＝∠AEB，以此可推出△ABE為等腰直角三角形，AB＝AE＝5，再根據DE＝AD﹣AE即可求解．【解答】解：①當∠EA′D＝90°時，如圖，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠A＝90°，BC＝AD＝12，AB＝5，∴BD＝，根據折疊的性質可得，AE＝A′E，AB＝A′B＝5，∴A′D＝BD﹣A′B＝8，設AE＝A′E＝x，則DE＝12﹣x，在Rt△A'DE中，根據勾股定理得AE2+A′D2＝DE2，∴x2+82＝（12﹣x）2，解得：，∴AE＝，；②當∠A′ED＝90°時，如圖，∴∠AEA＝90°，根據折疊的性質可得，∠AEB＝∠AEB，∵∠AEB+∠AEB＝90°，∴∠AEB＝∠AEB＝45°，∴△ABE為等腰直角三角形，AB＝AE＝5，∴DE＝AD﹣AE＝12﹣5＝7；綜上，DE＝或7．故答案為：或7．【點評】本題主要考查勾股定理、矩形的性質、折疊的性質，據折疊和軸對稱的性質用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當?shù)闹苯侨切危\用勾股定理列出方程求出答案是解題關鍵．14．（2021秋?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分線交AB、AC于點D、E，若AC＝8，BD＝5，則CE的長度是．【分析】連接BE，根據線段垂直平分線的性質得出BE＝AE，BD＝AD＝5，根據勾股定理求出BC，設CE＝x，再根據勾股定理得出方程62+（8﹣x）2＝x2，求出x，即可得到CE的長．【解答】解：如圖所示，連接BE，∵AB的垂直平分線交AB、AC于點D、E，BD＝5，∴BE＝AE，AD＝BD＝5，∴AB＝5+5＝10，在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝6，設CE＝x，則BE＝AE＝8﹣x，在Rt△CBE中，由勾股定理得：BC2+CE2＝BE2，∴62+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝，∴CE＝，故答案為：．【點評】本題考查了線段垂直平分線性質和勾股定理等知識點，能熟記線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等是解此題的關鍵．15．（2022秋?南關區(qū)校級期末）如圖，透明的圓柱形玻璃容器（容器厚度忽略不計）的高為20cm，在容器內壁離容器底部4cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在容器外壁，位于離容器上沿4cm的點A處，若螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為25cm，則該圓柱底面周長為30cm．【分析】將容器的側面展開，建立點A關于CE的對稱點A′，根據兩點之間線段最短可知A′B的長度即為所求．【解答】解：將圓柱的側面展開，EC為上底面圓周長的一半，作點A關于CE的對稱點A′，連接A′B交EC于點F，則螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為AF+BF，即AF+BF＝A′F+BF＝A′B＝25m，延長BC，過A′作A′D⊥BC于點D，∵AE＝A′E＝DC＝4cm，∴BD＝20cm，Rt△A′BD中，由勾股定理可得A′D＝＝＝15cm，則該圓柱底面周長為30cm．故答案為：30cm．【點評】本題考查了平面展開﹣最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質和勾股定理進行計算是解題關鍵．16．（2022秋?鼓樓區(qū)期中）如圖，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，將矩形沿BE折疊，使頂點A落在CD上的點F處，其中E在AD上，連接AF，則AE＝．【分析】首先利用勾股定理求出FC的長，設AE＝EF＝x，在Rt△DEF中，利用勾股定理構建方程即可解決問題；【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝∠C＝90°，在Rt△BCF中，BF＝AB＝5，BC＝AD＝3，∴CF＝＝4，∴DF＝CD﹣CF＝1，設AE＝EF＝x，在Rt△DEF中，∵EF2＝DE2+DF2，∴x2＝（3﹣x）2+12，∴x＝，∴AE＝．故答案為：．【點評】本題考查四邊形綜合題、矩形的性質和判定、全等三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用勾股定理構建方程解決問題．17．（2022秋?下城區(qū)校級期中）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，將它的一個銳角翻折，使該銳角頂點落在其對邊的中點D處，折痕交另一直角邊于點E，交斜邊于點F，則DE的長為或．【分析】根據題意設DE＝x求出CE的長，然后在Rt△ECD中利用勾股定理列方程求解即可．【解答】解：分兩種情況：①如圖1所示：∵D是BC的中點，∴CD＝BC＝4，由折疊的性質得：DE＝AE，設DE＝x，則CE＝6﹣x，在Rt△ECD中，DE2＝EC2+CD2，即x2＝（6﹣x）2+16，解得x＝，即DE＝．②如圖1所示：∵D是BC的中點，∴CD＝AC＝3，由折疊的性質得：DE＝BE，設DE＝x，則CE＝8﹣x，在Rt△ECD中，DE2＝EC2+CD2，即x2＝（8﹣x）2+9，解得x＝，即DE＝；故答案為：或．【點評】本題考查了翻折變換的性質以及勾股定理等知識；熟練掌握翻折變換和勾股定理是解題的關鍵．三．解答題（共4小題）18．（2022秋?西湖區(qū)校級期中）如圖，在等邊△ABC中，點D，E分別是AB，AC上的點，將△ADE沿DE所在直線對折，點A落在BC邊上的點A′處，且DA′⊥BC．（1）求∠AED的度數(shù)．（2）若AD＝，求線段AB和CE的值．【分析】（1）根據等邊三角形的性質得∠A＝∠B＝∠C＝60°，根據折疊的性質得∠A＝∠DA′E＝60°，∠AED＝∠A′ED，進而求得∠EA′C＝30°，由三角形的外角性質得∠AEA′＝∠EA′C+∠C＝2∠AED，以此即可求解；（2）根據折疊的性質可得AD＝A′D，根據含30度角的直角三角形性質可A′B＝x，則BD＝2x，根據勾股定理列出方程解得x＝1，則AB＝BC＝2，由（1）可知∠EA′C＝30°，最后根據30度角所對的直角邊等于斜邊的一半即可求解．【解答】解：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，根據折疊可知，∠A＝∠DA′E＝60°，∠AED＝∠A′ED，∵∠DA′⊥BC，∴∠DA′C＝90°，∴∠EA′C＝∠DA′C﹣∠DA′E＝90°﹣60°＝30°，∴∠AEA′＝∠EA′C+∠C＝2∠AED＝30°+60°＝90°，∴∠AED＝90°÷2＝45°；（2）根據折疊可知，AD＝A′D，∵AD＝，∴A′D＝AD＝，由（1）可知，∠B＝60°，∠DA′B＝90°，∴∠A′DB＝30°，∴BD＝2A′B，設A′B＝x，則BD＝2x，在Rt△A′BD中，由勾股定理得A′B2+A′D2＝BD2，即，解得：x＝1或﹣1（舍去），∴A′B＝1，BD＝2，∴AB＝AD+BD＝2，∵△ABC為等邊三角形，∴BC＝AB＝2，∴A′C＝BC﹣A′B＝，由（1）知，∠EA′C＝30°，∴∠A′EC＝180°﹣∠EA′C﹣∠C＝90°，在Rt△A′EC中，∠EA′C＝30°，∴CE＝＝．綜上，線段AB＝2，CE＝．【點評】本題主要考查折疊的性質、等邊三角形的性質、三角形的外角性質、勾股定理，熟記30度角所對的直角邊等于斜邊的一半是解題關鍵．19．（2022秋?和平區(qū)期末）在△ABC中，AB＝25，，AP垂直直線BC于點P．（1）當BC＝25時，求AP的長；（2）當AP＝20時，①求BC的長；②將△ACP沿直線AC翻折后得到△ACQ，連接BQ，請直接寫出△BCQ的周長為35+或15+．【分析】（1）設PC＝x，則BP＝25﹣x，根據勾股定理列出方程求解即可；（2）①分兩種情況：Ⅰ．當△ABC為銳角三角形，根據勾股定理求出CP、BP，則BC＝CP+BP；Ⅱ．當△ABC為鈍角三角形，根據勾股定理求出PC、PB，則BC＝PB﹣PC；②分兩種情況：Ⅰ．當△ABC為銳角三角形，連接PQ，交AC于點E，過Q作QD⊥BC交BC反向延長線于點D，根據折疊的性質可得CP＝CQ＝10，PE＝QE＝，且PQ⊥AC，根據等面積法求出PE＝，則PQ＝2PE＝，設CD＝a，則DP＝10+a，根據勾股定理可得QD2＝CQ2﹣CD2＝100﹣a2，QD2＝PQ2﹣DP2＝320﹣（10+a）2，以此列出方程，求解得CD＝6，QD＝8，則BD＝CD+BC＝31，根據勾股定理求出BQ，以此即可求解；Ⅱ．當△ABC為銳角三角形，連接PQ，交AC于點E，過Q作QD⊥BC交BC反向延長線于點D，根據折疊的性質可得CP＝CQ＝10，PE＝QE＝，且PQ⊥AC，根據等面積法求出PE＝，則PQ＝2PE＝，設BD＝m，則CD＝5+m，PD＝15+m，根據勾股定理可得QD2＝CQ2﹣CD2＝100﹣（5+m）2，QD2＝PQ2﹣PD2＝320﹣（15+m）2，以此列出方程，求解得BD＝1，QD＝8，根據勾股定理求出BQ，以此即可求解．【解答】解：（1）如圖，設PC＝x，則BP＝25﹣x，∵AP⊥BC，∴∠APC＝∠APB＝90°，在Rt△ACP中，由勾股定理得AP2＝AC2﹣PC2＝500﹣x2在Rt△ABP中，由勾股定理得AP2＝AB2﹣BP2＝625﹣（25﹣x）2，∴500﹣x2＝625﹣（25﹣x）2，解得：x＝10，∴AP＝＝20；（2）①Ⅰ．當△ABC為銳角三角形，如圖，∵AP⊥BC，∴∠APC＝∠APB＝90°，在Rt△ACP中，AC＝，由勾股定理得＝10，在Rt△ABP中，AB＝25，由勾股定理得BP＝＝15，∴BC＝CP+BP＝25；Ⅱ．當△ABC為鈍角三角形，如圖，∵AP⊥BC，∴∠APB＝90°，在Rt△APC中，由勾股定理得PC＝＝10，在Rt△APB中，由勾股定理得PB＝＝15，∴BC＝PB﹣PC＝5；綜上，BC的長為25或5；②Ⅰ．當△ABC為銳角三角形，連接PQ，交AC于點E，過Q作QD⊥BC交BC反向延長線于點D，如圖，由（2）①Ⅰ知，CP＝10，PB＝15，BC＝25，由折疊的性質可知，CP＝CQ＝10，PE＝QE＝，且PQ⊥AC，∵，即，∴PE＝，∴PQ＝2PE＝，設CD＝a，則DP＝10+a，在Rt△QDC中，由勾股定理得QD2＝CQ2﹣CD2＝100﹣a2，在Rt△QDP中，由勾股定理得QD2＝PQ2﹣DP2＝320﹣（10+a）2，∴100﹣a2＝320﹣（10+a）2，解得：a＝6，∴CD＝6，QD＝＝8，∴BD＝CD+BC＝31，在Rt△QDB中，由勾股定理得＝，∴△BCQ的周長為CQ+PC+PB+BQ＝10+10+15+＝35+；Ⅱ．當△ABC為銳角三角形，連接PQ，交AC于點E，過Q作Q