滬教版九年級(jí)數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)與常見(jiàn)題型通關(guān)講解練重難點(diǎn)09解直角三角形之“擁抱”模型(原卷版+解析)

重難點(diǎn)09解直角三角形之“擁抱”模型【知識(shí)梳理】模型圖：擁抱型【考點(diǎn)剖析】一、解答題1．（2023·安徽滁州·校聯(lián)考一模）如圖，某幢大樓頂部有廣告牌，小字目高為米，他站立在離大樓45米的A處測(cè)得大樓頂端點(diǎn)D的仰角為；接著他向大樓前進(jìn)15米、站在點(diǎn)B處，測(cè)得廣告牌頂端點(diǎn)的仰角為（取，計(jì)算結(jié)果保留一位小數(shù)）(1)求這幢大樓的高；(2)求這塊廣告牌的高度．2．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，塑像DE在高54m的小山EC上，在A處測(cè)得塑像底部E的仰角為34°，再沿AC方向前進(jìn)22m到達(dá)B處，測(cè)得塑像頂部D的仰角為60°，求該塑像DE的高度．（精確到1m，參考數(shù)據(jù)；sin34°≈0.5，cos34°≈0.8，tan34°≈0.6，≈1.73）3．（2019·河南·統(tǒng)考中考真題）數(shù)學(xué)興趣小組到黃河風(fēng)景名勝區(qū)測(cè)量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如圖所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A處測(cè)得塑像底部E的仰角為34°，再沿AC方向前進(jìn)21m到達(dá)B處，測(cè)得塑像頂部D的仰角為60°，求炎帝塑像DE的高度．（精確到1m．參考數(shù)據(jù)：，，，）4．（2020·陜西·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，某公園的人工湖邊上有一座假山，假山頂上有一座高為5米的建筑物CD，數(shù)學(xué)小組為了測(cè)量假山DE的高度，在公園找了一水平地面，在A處測(cè)得建筑物底部D點(diǎn)（即假山頂）的仰角為30°，沿水平方向前進(jìn)25米到達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得建筑物頂部C點(diǎn)的仰角為45°，點(diǎn)A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)，求假山DE的高度．（結(jié)果保留根號(hào)）5．（2020秋·河南鄭州·九年級(jí)河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)學(xué)興趣小組到黃河風(fēng)景名勝區(qū)測(cè)量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如圖所示，炎帝塑像DE在高54m的小山EC上，在A處測(cè)得塑像底部E的仰角為34°，再沿AC方向前進(jìn)22m到達(dá)B處，測(cè)得塑像頂部D的仰角為60°．（1）求炎帝塑像DE的高度．（精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin34°≈0.5，cos34°≈0.8，tan34°≈0.6，1.73）（2）“景點(diǎn)簡(jiǎn)介”顯示，“炎帝”塑像高度為63m，請(qǐng)計(jì)算本次測(cè)量結(jié)果的誤差，并提出一條減小誤差的合理化建議．6．（2020·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）某數(shù)學(xué)興趣小組去測(cè)量一座小山的高度，在小山頂上有一高度為米的發(fā)射塔，如圖所示，在山腳平地上的處測(cè)得塔底的仰角為，向小山前進(jìn)米到達(dá)點(diǎn)處，測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，求小山的高度?．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）某數(shù)學(xué)興趣小組學(xué)過(guò)銳角三角函數(shù)后，到市龍?jiān)春珗@測(cè)量塑像“夸父追日”的高度，如圖所示，在A處測(cè)得塑像頂部D的仰角為45°，塑像底部E的仰角為30.1°，再沿AC方向前進(jìn)10m到達(dá)B處，測(cè)得塑像頂部D的仰角為59.1°．求塑像“夸父追日”DE高度．（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin30.1°≈0.50，cos30.1°≈0.87，tan30.1°≈0.58，sin59.1°≈0.86，cos59.1°≈0.51，tan59.1°≈1.67）

8．（2018秋·北京西城·九年級(jí)北京四中?？计谥校┤鐖D，一座商場(chǎng)大樓的頂部豎直立有一個(gè)矩形廣告牌，小紅同學(xué)在地面上選擇了在條直線上的三點(diǎn)為樓底)，，她在處測(cè)得廣告牌頂端的仰角為，在處測(cè)得商場(chǎng)大樓樓頂?shù)难鼋菫槊?已知廣告牌的高度米，求這座商場(chǎng)大樓的高度(，小紅的身高不計(jì)，結(jié)果保留整數(shù))．9．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）宋家州主題公園擬修建一座柳宗元塑像，如圖所示，柳宗元塑像（塑像中高者）在高的假山上，在處測(cè)得塑像底部的仰角為，再沿方向前進(jìn)到達(dá)處，測(cè)得塑像頂部的仰角為，求柳宗元塑像的高度.（精確到.參考數(shù)據(jù)：，，，）10．（2018秋·四川眉山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在“雙創(chuàng)”活動(dòng)中，某校將雙創(chuàng)宣傳牌（AB）放置在教學(xué)樓頂部（如圖所示）．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組成員小明在操場(chǎng)上的點(diǎn)D處，用高度為1m的測(cè)角儀CD，從點(diǎn)C測(cè)得宣傳牌的底部B的仰角為，然后向教學(xué)樓正方向走了4m到達(dá)點(diǎn)F處，又從點(diǎn)E測(cè)得宣傳牌頂部A的仰角為．已知教學(xué)樓高，且點(diǎn)A、B、M在同一直線上，求宣傳牌AB的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，，）11．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）山西大學(xué)主校區(qū)內(nèi)有一座毛主席塑像，落成于1969年12月26日．是山西大學(xué)的標(biāo)志性建筑之一，目前已被列入保護(hù)文物．綜合與實(shí)踐小組的同學(xué)們開(kāi)展了測(cè)量這一毛主席塑像高度的活動(dòng)．他們?cè)谠撍芟竦撞克诘钠降厣?，選取一個(gè)測(cè)點(diǎn)，測(cè)量了塑像頂端的仰角，調(diào)高測(cè)傾器后二次測(cè)量了塑像頂端的仰角．為了減小測(cè)量誤差，小組在測(cè)量仰角的度數(shù)及測(cè)傾器高度時(shí)，都分別測(cè)量了兩次并取它們的平均值作為測(cè)量結(jié)果，測(cè)量數(shù)據(jù)如下表．課題測(cè)量毛主席塑像的高度組長(zhǎng)：XXX

組員：XXX，XXX，XXX測(cè)傾器，皮尺等成員測(cè)量工具測(cè)量示意圖說(shuō)明：線段的長(zhǎng)表示塑像從最高點(diǎn)到地面之間的距離，為測(cè)點(diǎn)，線段，表示測(cè)傾器（點(diǎn)在上），點(diǎn)，，，，都在同一豎直平面內(nèi)，且，；、表示兩次測(cè)量的仰角，點(diǎn)，在上．測(cè)量數(shù)據(jù)測(cè)量項(xiàng)目第一次第二次平均值的度數(shù)的度數(shù)測(cè)傾器的高測(cè)傾器的高任務(wù)：（1）根據(jù)以上測(cè)量結(jié)果，請(qǐng)你幫助該“綜合與實(shí)踐”小組求出毛主席塑像的高度；（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）（2）該綜合與實(shí)踐小組在制定方案時(shí)，討論“用已知高度的側(cè)傾器測(cè)出仰角，再測(cè)出的長(zhǎng)來(lái)計(jì)算塑像高度”的方案，但未被采納，你認(rèn)為其原因可能是什么？（寫(xiě)出一條即可）12．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）某公園的人工湖邊上有一座山，山頂上有一直豎的建筑物，高為10米.某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)為了測(cè)量山的高度，在公園找了一水平地面，在處測(cè)得建筑物點(diǎn)（即山頂）的仰角為，沿水平方向前進(jìn)20米到達(dá)點(diǎn)，測(cè)得建筑物頂部點(diǎn)的仰角為，求山的高度.（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：，，）13．（2017·陜西·中考真題）某市一湖的湖心島有一顆百年古樹(shù)，當(dāng)?shù)厝朔Q它為“鄉(xiāng)思柳”，不乘船不易到達(dá)，每年初春時(shí)節(jié)，人們喜歡在“聚賢亭”觀湖賞柳．小紅和小軍很想知道“聚賢亭”與“鄉(xiāng)思柳”之間的大致距離，于是，有一天，他們倆帶著側(cè)傾器和皮尺來(lái)測(cè)量這個(gè)距離．測(cè)量方法如下：如圖，首先，小軍站在“聚賢亭”的A處，用側(cè)傾器測(cè)得“鄉(xiāng)思柳”頂端M點(diǎn)的仰角為23°，此時(shí)測(cè)得小軍的眼睛距地面的高度AB為1.7米，然后，小軍在A處蹲下，用側(cè)傾器測(cè)得“鄉(xiāng)思柳”頂端M點(diǎn)的仰角為24°，這時(shí)測(cè)得小軍的眼睛距地面的高度AC為1米．請(qǐng)你利用以上測(cè)得的數(shù)據(jù)，計(jì)算“聚賢亭”與“鄉(xiāng)思柳”之間的距離AN的長(zhǎng)（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin23°≈0.3907，cos23°≈0.9205，tan23°≈0.4245，sin24°≈0.4067，cos24°≈0.9135，tan24°≈0.4452．）【過(guò)關(guān)檢測(cè)】1、數(shù)學(xué)興趣小組到黃河風(fēng)景名勝區(qū)測(cè)量炎帝塑像(塑像中高者)的高度．如圖所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A處測(cè)得塑像底部E的仰角為34°，再沿AC方向前進(jìn)21m到達(dá)B處，測(cè)得塑像頂部D的仰角為60°，求炎帝塑像DE的高度．(精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67，eq\r(3)≈1.73)2、如圖，輪船甲位于碼頭O的正西方向A處，輪船乙位于碼頭O的正北方向C處，測(cè)得∠CAO＝45°.輪船甲自西向東勻速行駛，同時(shí)輪船乙沿正北方向勻速行駛，它們的速度分別為45km/h和36km/h.經(jīng)過(guò)0.1h，輪船甲行駛至B處，輪船乙行駛至D處，測(cè)得∠DBO＝58°.此時(shí)B處距離碼頭O有多遠(yuǎn)？(參考數(shù)據(jù)：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60)3、某數(shù)學(xué)興趣小組學(xué)過(guò)銳角三角函數(shù)后，到市龍?jiān)春珗@測(cè)量塑像“夸父追日”的高度，如圖所示，在A處測(cè)得塑像頂部D的仰角為45°，塑像底部E的仰角為30.1°，再沿AC方向前進(jìn)10m到達(dá)B處，測(cè)得塑像頂部D的仰角為59.1°．求塑像“夸父追日”DE高度．（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin30.1°≈0.50，cos30.1°≈0.87，tan30.1°≈0.58，sin59.1°≈0.86，cos59.1°≈0.51，tan59.1°≈1.67）

重難點(diǎn)09解直角三角形之“擁抱”模型【知識(shí)梳理】模型圖：擁抱型【考點(diǎn)剖析】一、解答題1．（2023·安徽滁州·校聯(lián)考一模）如圖，某幢大樓頂部有廣告牌，小字目高為米，他站立在離大樓45米的A處測(cè)得大樓頂端點(diǎn)D的仰角為；接著他向大樓前進(jìn)15米、站在點(diǎn)B處，測(cè)得廣告牌頂端點(diǎn)的仰角為（取，計(jì)算結(jié)果保留一位小數(shù)）(1)求這幢大樓的高；(2)求這塊廣告牌的高度．【答案】(1)樓高為米；(2)廣告牌的高度為米．【分析】（1）首先分析圖形：根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)求得米，即可得解；（2）根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)求得米，即可得解．【詳解】（1）解：在中，米；由，得米；又因?yàn)槊祝蚨髽敲?，答：樓高為米；?）解：∵在中，米，，∴米；因而廣告牌米；答：廣告牌的高度為米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，塑像DE在高54m的小山EC上，在A處測(cè)得塑像底部E的仰角為34°，再沿AC方向前進(jìn)22m到達(dá)B處，測(cè)得塑像頂部D的仰角為60°，求該塑像DE的高度．（精確到1m，參考數(shù)據(jù)；sin34°≈0.5，cos34°≈0.8，tan34°≈0.6，≈1.73）【答案】64m【分析】利用直角三角形的邊角關(guān)系，在兩個(gè)直角三角形中設(shè)未知數(shù)列方程求解即可．【詳解】解：由題意可得，EC＝54m，AB＝22m，∠DBC＝60°，∠EAC＝34°，設(shè)DE＝xm，則DC＝（x+54）m，在Rt△DCB中，∵tan∠DBC＝，即＝，∴BC＝，在Rt△ECA中，∵tanA＝，∴AC＝≈＝90（m），由題意得，90﹣（x+54）＝22，解得，x≈64，答：塑像DE的高度約為64m．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提．3．（2019·河南·統(tǒng)考中考真題）數(shù)學(xué)興趣小組到黃河風(fēng)景名勝區(qū)測(cè)量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如圖所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A處測(cè)得塑像底部E的仰角為34°，再沿AC方向前進(jìn)21m到達(dá)B處，測(cè)得塑像頂部D的仰角為60°，求炎帝塑像DE的高度．（精確到1m．參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】51【分析】由三角函數(shù)求出，得出，在中，由三角函數(shù)得出，即可得出答案．【詳解】解：，，，，，，，在中，，，，答：炎帝塑像DE的高度約為51m．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)仰角和俯角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識(shí)求解，難度適中．4．（2020·陜西·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，某公園的人工湖邊上有一座假山，假山頂上有一座高為5米的建筑物CD，數(shù)學(xué)小組為了測(cè)量假山DE的高度，在公園找了一水平地面，在A處測(cè)得建筑物底部D點(diǎn)（即假山頂）的仰角為30°，沿水平方向前進(jìn)25米到達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得建筑物頂部C點(diǎn)的仰角為45°，點(diǎn)A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)，求假山DE的高度．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】假山DE的高度為（15+15）米．【分析】可先設(shè)假山DE的高度為x，得到CE=DE+CD=x+5，再根據(jù)直角三角形得到AE=AB+BE=30+x，然后直接運(yùn)用三角函數(shù)解答即可【詳解】解：設(shè)假山DE的高度為x，則CE=DE+CD=x+5，在Rt△BCE中，∵∠CBE=45°，∴BE=CE=x+5，∴AE=AB+BE=30+x，在Rt△ADE中，∵∠DAE=30°，DE=x，∴AE==x，解答：x=15+15，答：假山DE的高度為（15+15）米．【點(diǎn)睛】此題考查直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是設(shè)假山DE的高度為x，再進(jìn)行求解5．（2020秋·河南鄭州·九年級(jí)河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）數(shù)學(xué)興趣小組到黃河風(fēng)景名勝區(qū)測(cè)量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如圖所示，炎帝塑像DE在高54m的小山EC上，在A處測(cè)得塑像底部E的仰角為34°，再沿AC方向前進(jìn)22m到達(dá)B處，測(cè)得塑像頂部D的仰角為60°．（1）求炎帝塑像DE的高度．（精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin34°≈0.5，cos34°≈0.8，tan34°≈0.6，1.73）（2）“景點(diǎn)簡(jiǎn)介”顯示，“炎帝”塑像高度為63m，請(qǐng)計(jì)算本次測(cè)量結(jié)果的誤差，并提出一條減小誤差的合理化建議．【答案】（1）64m；（2）誤差為0.36，減小誤差的合理化建議：多次測(cè)量，求平均值．【分析】（1）根據(jù)正切的定義用x表示出BC，再根據(jù)正切的定義求出AC，結(jié)合圖形列出方程，解方程即可得到答案；（2）根據(jù)平均數(shù)的性質(zhì)即可題出建議即多次測(cè)量，求平均值．【詳解】（1）解：設(shè)DE=xm，則DC=（x+54）m．在Rt△DCB中，tan∠DBC，∴BC（x+54）．在Rt△ECA中，tanA，∴AC90，由題意得：90（x+54）=22，解得：x≈64，答：炎帝塑像DE的高度約為64m．（2）由（1）知，誤差為減小誤差的合理化建議：多次測(cè)量，求平均值．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，熟練掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．6．（2020·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）某數(shù)學(xué)興趣小組去測(cè)量一座小山的高度，在小山頂上有一高度為米的發(fā)射塔，如圖所示，在山腳平地上的處測(cè)得塔底的仰角為，向小山前進(jìn)米到達(dá)點(diǎn)處，測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，求小山的高度．【答案】小山的高度為米【分析】設(shè)塔高BC為x米，根據(jù)正切的定義列出關(guān)于x的關(guān)系式，求出x,進(jìn)而得出小山的高．【詳解】解：設(shè)為米，則米，∵∴，而米，在中，，則米，米，在中，，解得．答：小山的高度為米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，掌握銳角三角函數(shù)的概念、正確理解仰角和俯角的概念是解題的關(guān)鍵．7．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）某數(shù)學(xué)興趣小組學(xué)過(guò)銳角三角函數(shù)后，到市龍?jiān)春珗@測(cè)量塑像“夸父追日”的高度，如圖所示，在A處測(cè)得塑像頂部D的仰角為45°，塑像底部E的仰角為30.1°，再沿AC方向前進(jìn)10m到達(dá)B處，測(cè)得塑像頂部D的仰角為59.1°．求塑像“夸父追日”DE高度．（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin30.1°≈0.50，cos30.1°≈0.87，tan30.1°≈0.58，sin59.1°≈0.86，cos59.1°≈0.51，tan59.1°≈1.67）

【答案】塑像“夸父追日”DE的高度約為10.5米【分析】設(shè)，則，解Rt△BCD，求出x的值，再在Rt△ACE中，求出CE的值，從而可計(jì)算得出DE的值．【詳解】解：在Rt△ACD中，，則.設(shè)，則在Rt△BCD中，.∴∴

解得：.

在Rt△ACE中，.∴答：塑像“夸父追日”DE的高度約為10.5米.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，難度不大，但容易在計(jì)算上面出錯(cuò)．8．（2018秋·北京西城·九年級(jí)北京四中?？计谥校┤鐖D，一座商場(chǎng)大樓的頂部豎直立有一個(gè)矩形廣告牌，小紅同學(xué)在地面上選擇了在條直線上的三點(diǎn)為樓底)，，她在處測(cè)得廣告牌頂端的仰角為，在處測(cè)得商場(chǎng)大樓樓頂?shù)难鼋菫槊?已知廣告牌的高度米，求這座商場(chǎng)大樓的高度(，小紅的身高不計(jì)，結(jié)果保留整數(shù))．【答案】15米.【分析】因?yàn)樵贓處的仰角是45°，所以可得AE=AB，設(shè)AB為x米，再結(jié)合D處的仰角60°以及題中的條件，進(jìn)而求解直角三角形即可．【詳解】設(shè)AB為x米，∵在處測(cè)得商場(chǎng)大樓樓頂?shù)难鼋菫椤唷螧EA=45°，∴AE=AB=x，∴AD=AE-DE=x-5，AC=BC+AB=2.35+x，∵在處測(cè)得廣告牌頂端的仰角為，∴∠CDA=60°，∴AC=AD?tan∠CDA=AD，∴x+2.35=（x-5），∴（-1）x=2.35+5，解得，答：商場(chǎng)大樓的高度AB約為15米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了生活中仰角、俯角的問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是利用解直角三角形求三角形的邊長(zhǎng)．9．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）宋家州主題公園擬修建一座柳宗元塑像，如圖所示，柳宗元塑像（塑像中高者）在高的假山上，在處測(cè)得塑像底部的仰角為，再沿方向前進(jìn)到達(dá)處，測(cè)得塑像頂部的仰角為，求柳宗元塑像的高度.（精確到.參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】柳宗元塑像的高度約為.【分析】在中，利用正切函數(shù)的定義求得AC的長(zhǎng)，繼而求得BC的長(zhǎng)，在中，同樣利用正切函數(shù)的定義求得CD的長(zhǎng)，從而求得結(jié)果.【詳解】在中，∵，，，∴，∴∵∴在中，∵，，，∴，∴∴答：柳宗元塑像的高度約為【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用－俯角仰角問(wèn)題，要先將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，分別在兩個(gè)不同的直角三角形中，借助三角函數(shù)的知識(shí)，研究角和邊的關(guān)系.10．（2018秋·四川眉山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在“雙創(chuàng)”活動(dòng)中，某校將雙創(chuàng)宣傳牌（AB）放置在教學(xué)樓頂部（如圖所示）．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組成員小明在操場(chǎng)上的點(diǎn)D處，用高度為1m的測(cè)角儀CD，從點(diǎn)C測(cè)得宣傳牌的底部B的仰角為，然后向教學(xué)樓正方向走了4m到達(dá)點(diǎn)F處，又從點(diǎn)E測(cè)得宣傳牌頂部A的仰角為．已知教學(xué)樓高，且點(diǎn)A、B、M在同一直線上，求宣傳牌AB的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】宣傳牌AB的高度為2米【分析】過(guò)點(diǎn)C作于G，設(shè)AB為x，根據(jù)可得，然后在中解直角三角形即可.【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作于G，則，∵，∴，設(shè)AB為x，∵，∴，∴CG=4+18+x=22+x，在中，，則，即解得：，答：宣傳牌AB的高度為2米．【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形是解此題的關(guān)鍵．11．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）山西大學(xué)主校區(qū)內(nèi)有一座毛主席塑像，落成于1969年12月26日．是山西大學(xué)的標(biāo)志性建筑之一，目前已被列入保護(hù)文物．綜合與實(shí)踐小組的同學(xué)們開(kāi)展了測(cè)量這一毛主席塑像高度的活動(dòng)．他們?cè)谠撍芟竦撞克诘钠降厣?，選取一個(gè)測(cè)點(diǎn)，測(cè)量了塑像頂端的仰角，調(diào)高測(cè)傾器后二次測(cè)量了塑像頂端的仰角．為了減小測(cè)量誤差，小組在測(cè)量仰角的度數(shù)及測(cè)傾器高度時(shí)，都分別測(cè)量了兩次并取它們的平均值作為測(cè)量結(jié)果，測(cè)量數(shù)據(jù)如下表．課題測(cè)量毛主席塑像的高度組長(zhǎng)：XXX

組員：XXX，XXX，XXX測(cè)傾器，皮尺等成員測(cè)量工具測(cè)量示意圖說(shuō)明：線段的長(zhǎng)表示塑像從最高點(diǎn)到地面之間的距離，為測(cè)點(diǎn)，線段，表示測(cè)傾器（點(diǎn)在上），點(diǎn)，，，，都在同一豎直平面內(nèi)，且，；、表示兩次測(cè)量的仰角，點(diǎn)，在上．測(cè)量數(shù)據(jù)測(cè)量項(xiàng)目第一次第二次平均值的度數(shù)的度數(shù)測(cè)傾器的高測(cè)傾器的高任務(wù)：（1）根據(jù)以上測(cè)量結(jié)果，請(qǐng)你幫助該“綜合與實(shí)踐”小組求出毛主席塑像的高度；（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）（2）該綜合與實(shí)踐小組在制定方案時(shí)，討論“用已知高度的側(cè)傾器測(cè)出仰角，再測(cè)出的長(zhǎng)來(lái)計(jì)算塑像高度”的方案，但未被采納，你認(rèn)為其原因可能是什么？（寫(xiě)出一條即可）【答案】（1）毛主席塑像的高度為；（2）因?yàn)樗芟裣掳氩糠譃榈鬃?，其底部不可直接到達(dá)，不能準(zhǔn)確測(cè)出．【分析】（1）根據(jù)題意ABBC，CEBC，ABEG，ABDF，可推得四邊形BCEG與四邊形DEGF都是矩形，其中BG=CE=1.70m，，EG=DF，在AEG和ADF分別用正切函數(shù)寫(xiě)出對(duì)應(yīng)邊的式子，即可求得AG的長(zhǎng)度，則AB的長(zhǎng)度可求；（2）因?yàn)樗芟裣掳氩糠譃榈鬃涞撞坎豢芍苯拥竭_(dá)，不能準(zhǔn)確測(cè)出BC．【詳解】解：（1）由題意，得ABBC，CEBC，ABEG，ABDF，∴，∴四邊形BCEG與四邊形DEGF都是矩形，∴BG=CE=1.70m，，EG=DF，在AEG中，∠AEG=33.5°，∠AGE=90°，且，即，在ADF中，∠ADF=35.0°，∠AFD=90°，，即，∴，即，解得：AG=10.56m，∴AB=AG+BG=10.56+1.70=12.26m，答：毛主席塑像的高度為12.26米．（2）因?yàn)樗芟裣掳氩糠譃榈鬃涞撞坎豢芍苯拥竭_(dá)，不能準(zhǔn)確測(cè)出BC．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找出兩個(gè)直角三角形，并運(yùn)用正切函數(shù)寫(xiě)出對(duì)應(yīng)邊的比例式子．12．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）某公園的人工湖邊上有一座山，山頂上有一直豎的建筑物，高為10米.某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)為了測(cè)量山的高度，在公園找了一水平地面，在處測(cè)得建筑物點(diǎn)（即山頂）的仰角為，沿水平方向前進(jìn)20米到達(dá)點(diǎn)，測(cè)得建筑物頂部點(diǎn)的仰角為，求山的高度.（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】假山的高度DE約為70米．【分析】過(guò)點(diǎn)D作水平線的垂線，利用直角三角形中的三角函數(shù)解答即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作水平線的垂線，即（DE⊥AB），垂足為E，則C、D、E在一條直線上，設(shè)DE的長(zhǎng)為x米，在Rt△BCE中，∠CBE＝45°，∴CE＝BE＝CD+DE＝（10+x）米，在Rt△ADE中，∠A＝35°，AE＝AB+BE＝20+10+x＝30+x，tanA＝，∴tan35°＝≈，解得：x≈70，答：假山的高度DE約為70米．【點(diǎn)睛】此題是解直角三角形的應(yīng)用---仰角和俯角，解本題的關(guān)鍵是利用三角函數(shù)解答．13．（2017·陜西·中考真題）某市一湖的湖心島有一顆百年古樹(shù)，當(dāng)?shù)厝朔Q它為“鄉(xiāng)思柳”，不乘船不易到達(dá)，每年初春時(shí)節(jié)，人們喜歡在“聚賢亭”觀湖賞柳．小紅和小軍很想知道“聚賢亭”與“鄉(xiāng)思柳”之間的大致距離，于是，有一天，他們倆帶著側(cè)傾器和皮尺來(lái)測(cè)量這個(gè)距離．測(cè)量方法如下：如圖，首先，小軍站在“聚賢亭”的A處，用側(cè)傾器測(cè)得“鄉(xiāng)思柳”頂端M點(diǎn)的仰角為23°，此時(shí)測(cè)得小軍的眼睛距地面的高度AB為1.7米，然后，小軍在A處蹲下，用側(cè)傾器測(cè)得“鄉(xiāng)思柳”頂端M點(diǎn)的仰角為24°，這時(shí)測(cè)得小軍的眼睛距地面的高度AC為1米．請(qǐng)你利用以上測(cè)得的數(shù)據(jù)，計(jì)算“聚賢亭”與“鄉(xiāng)思柳”之間的距離AN的長(zhǎng)（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin23°≈0.3907，cos23°≈0.9205，tan23°≈0.4245，sin24°≈0.4067，cos24°≈0.9135，tan24°≈0.4452．）【答案】34米．【分析】作BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分別為點(diǎn)D、E，設(shè)AN=x米，則BD=CE=x米，再由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，作BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分別為點(diǎn)D、E，設(shè)AN=x米，則BD=CE=x米，在Rt△MBD中，MD=x?tan23°，在Rt△MCE中，ME=x?tan24°，∵M(jìn)E﹣MD=DE=BC，∴x?tan24°﹣x?tan23°=1.7﹣1，∴，解得x≈34（米）．答：“聚賢亭”與“鄉(xiāng)思柳”之間的距離AN的長(zhǎng)約為34米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題．構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】1、數(shù)學(xué)興趣小組到黃河風(fēng)景名勝區(qū)測(cè)量炎帝塑像(塑像中高者)的高度．如圖所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A處測(cè)得塑像底部E的仰角為34°，再沿AC方向前進(jìn)21m到達(dá)B處，測(cè)得塑像頂部D的仰角為60°，求炎帝塑像DE的高度．(精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67，eq\r(3)≈1.73)解：∵∠ACE＝90°，∠CAE＝34°