北師大版八年級數(shù)學核心知識點與常見題型通關(guān)講解練重難點06勾股定理之“螞蟻爬行”模型(原卷版+解析)

重難點06勾股定理之“螞蟻爬行”模型【知識梳理】螞蟻爬行的最值問題是非常經(jīng)典的一類最值問題，我們?nèi)绻軌蛴涀∽钪档奶攸c，那么解題將會更高效.【考點剖析】一、單選題1．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，圓柱的高為4cm，底面半徑為cm，在圓柱下底面的A點處有一只螞蟻，它想吃到上底面B處的食物，已知四邊形ADBC的邊AD、BC恰好是上、下底面的直徑、問：螞蟻食到食物爬行的最短距離是（）cm．A．5 B．5π C．3+ D．3+2．（2023春·山東濟寧·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，長方體的高為，底面是邊長為的正方形一只螞蟻從頂點開始爬向頂點，那么它爬行的最短路程為（

）A． B． C． D．3．（2022秋·浙江·九年級專題練習）如圖，圓柱的底面周長為16，BC＝12，動點P從A點出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面移動到BC的中點S，則移動的最短距離為（）A．10 B．12 C．14 D．204．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，在長方體透明容器（無蓋）內(nèi)的點處有一滴糖漿，容器外點處的螞蟻想沿容器壁爬到容器內(nèi)吃糖漿，已知容器長為，寬為，高為，點距底部，請問螞蟻需爬行的最短距離是（容器壁厚度不計）A． B． C． D．5．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）如圖是一個三級臺階，它的每一級的長，寬，高分別是，A和B是這個臺階相對的端點，點A處有一只螞蟻，想到B處去吃食物，則這只螞蟻爬行的最短距離為（

）A． B． C． D．6．（2022秋·福建寧德·九年級?？计谥校┤鐖D，有一個圓柱，底面圓的直徑AB＝，高BC＝12cm，P為BC的中點，一只螞蟻從點出發(fā)沿著圓柱的表面爬到點的最短距離為A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm7．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，一只蜘蛛在一塊長方體木塊的一個頂點A處，一只蒼蠅在這個長方體的對角頂點G處，若AB＝3cm，BC＝5cm，BF＝6cm，則最短的爬行距離是（）A．10 B．14 C． D．8．（2022秋·江西萍鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考期中）如圖，長方體的長為20cm，寬為15cm，高為10cm，點B離點C為5cm，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距離是（

）A．cm B．25cm C．cm D．16cm9．（2023春·八年級課時練習）如圖，桌上有一個圓柱形玻璃杯（無蓋）高6厘米，底面周長16厘米，在杯口內(nèi)壁離杯口1.5厘米的A處有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相對方向有一小蟲P，小蟲離杯底的垂直距離為1.5厘米，小蟲爬到蜜糖處的最短距離是（

）A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米10．（2021春·山東臨沂·八年級統(tǒng)考期中）如圖，圓柱形玻璃板，高為12cm，底面周長為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的A處，則螞蟻到達蜂蜜的最短距離是（）A．15cm B．16cm C．17cm D．18cm二、填空題11．（2023秋·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，圓柱形容器的高為0.9m，底面周長為1.2m，在容器內(nèi)壁離容器底部0.3m處的點B處有一蚊子．此時，一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.2m與蚊子相對的點A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為_____m．12．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）如圖是一個邊長為6的正方體木箱，點Q在上底面的棱上，，一只螞蟻從P點出發(fā)沿木箱表面爬行到點Q，則螞蟻爬行的最短路程為__________．13．（2023秋·江西宜春·八年級?？计谀┤鐖D，長方體的長，寬，高，點在上，且，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點爬到點，需要爬行的最短距離是_________．14．（2022秋·廣東揭陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在圓柱的截面ABCD中，AB＝，BC＝12，動點P從A點出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面移動到BC的中點S的最短距離為_____．三、解答題15．（2022秋·陜西咸陽·八年級?？茧A段練習）如圖，有一個高為，底面周長為的圓柱形水桶，水桶的底端處有一只螞蟻，它準備沿水桶的側(cè)面爬行到對角處去吃一滴蜂蜜，求螞蟻爬行的最短路線長．16．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，一只螳螂在樹干的點處，發(fā)現(xiàn)它的正上方點處有一只小蟲子，螳螂想捕到這只蟲子，但又怕被發(fā)現(xiàn)，于是就繞到蟲子后面吃掉它，已知樹干的半徑為，，兩點的距離為，求螳螂爬行的最短距離（π取3）．17．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，是用棱長為的兩個正方體拼成的新幾何體，求一只螞蟻從頂點出發(fā)沿著新幾何體的表面爬行到頂點的最短路程是多少？【過關(guān)檢測】一．選擇題（共7小題）1．（2022秋?市中區(qū)期中）正方體盒子的棱長為2，BC的中點為M，一只螞蟻從A點爬行到M點的最短距離為（）A． B． C．5 D．2+2．（2022秋?清新區(qū)期中）如圖所示，一圓柱高8cm，底面半徑2cm，一只螞蟻從點A爬到點B處吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（）A．12cm B．10cm C．14cm D．無法確定3．（2022春?思明區(qū)校級期中）如圖，長方體的長為15，寬為10，高為20，點B離點C的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B，需要爬行的最短距離是（）A．5 B．25 C．10+5 D．354．（2021秋?金水區(qū)校級月考）如圖：有一圓柱，它的高等于8cm，底面直徑等于4cm（π＝3），在圓柱下底面的A點有一只螞蟻，它想吃到上底面與A相對的B點處的食物，需要爬行的最短路程大約（）A．10cm B．12cm C．19cm D．20cm5．（2021春?宣化區(qū)期中）如圖，一圓柱體的底面周長為24cm，高BD為5cm，BC是直徑，一只螞蟻從點D出發(fā)沿著圓柱的側(cè)面爬行到點C的最短路程大約是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm6．（2022春?璧山區(qū)期中）如圖，一圓柱體的底面周長為10cm，高AB為12cm，BC是直徑，一只螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱的表面爬行到點C的最短路程為（）A．17cm B．13cm C．12cm D．14cm7．（2021秋?通川區(qū)校級月考）如圖是一塊長，寬，高分別是6cm，4cm和3cm的長方體木塊，一只螞蟻要從長方體木塊的一個頂點A處，沿著長方體的表面到長方體上和A相對的頂點B處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長是（）A．（3+2）cm B．cm C．cm D．cm二．填空題（共8小題）8．（2022春?涼州區(qū)期末）如圖一只螞蟻從長為5cm、寬為3cm，高是4cm的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它所爬行的最短路線的長是cm．9．（2021秋?將樂縣期中）如圖，有一圓柱，其高為12cm，底面半徑為3cm，在圓柱下底面A點處有一只螞蟻，它想得到上底面B處的食物，則螞蟻經(jīng)過的最短距離為cm．（π取3）10．（2021?南崗區(qū)校級開學）一只螞蟻從長、寬都是3，高是8的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它所行的最短路線的長是．11．（2021秋??？h期末）如圖，一只螞蟻從長為7cm、寬為5cm，高是9cm的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它所走的最短路線的長是cm．12．（2022春?芙蓉區(qū)校級期末）如圖是棱長為4cm的立方體木塊，一只螞蟻現(xiàn)在A點，若在B點處有一塊糖，它想盡快吃到這塊糖，則螞蟻沿正方體表面爬行的最短路程是cm．13．（2022春?重慶月考）如圖，一只螞蟻從長、寬都是4，高是6的長方體紙箱的A點沿紙箱表面爬到B點，那么它所行的最短路線的長是．14．（2022秋?薛城區(qū)校級月考）如圖是一個三級臺階，它的每一級長、寬、高分別是2米、0.3米、0.2米，A，B是這個臺階上兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，則螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是米．15．（2021秋?城陽區(qū)校級月考）如圖，有一個圓柱形倉庫，它的高為10m，底面半徑為4m，在圓柱形倉庫下底面的A處有一只螞蟻，它想吃相對一側(cè)中點B處的食物，螞蟻爬行的速度是50cm/min，那么螞蟻吃到食物最少需要min．（π取3）三．解答題（共2小題）16．（2021秋?七里河區(qū)校級期末）如圖，長方體的底面是邊長為1cm的正方形，高為3cm．如果用一根細線從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞一圈到達點B，請利用側(cè)面展開圖計算所用細線最短為多少．17．（2021秋?中衛(wèi)校級期中）如圖，有一個圓柱，它的高等于16cm，底面半徑等于4cm，在圓柱下底面的A點有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點相對的B點處的食物，需要爬行的最短路程是多少？．（π取3）重難點06勾股定理之“螞蟻爬行”模型【知識梳理】螞蟻爬行的最值問題是非常經(jīng)典的一類最值問題，我們?nèi)绻軌蛴涀∽钪档奶攸c，那么解題將會更高效.【考點剖析】一、單選題1．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，圓柱的高為4cm，底面半徑為cm，在圓柱下底面的A點處有一只螞蟻，它想吃到上底面B處的食物，已知四邊形ADBC的邊AD、BC恰好是上、下底面的直徑、問：螞蟻食到食物爬行的最短距離是（）cm．A．5 B．5π C．3+ D．3+【答案】A【分析】如圖，先把圓柱體沿著直線剪開，得到矩形如圖示：可得線段的長度為所求的最短距離，再利用勾股定理可得答案.【詳解】解：把圓柱體沿著直線剪開，得到矩形如下：則線段的長度為所求的最短距離.由題意得圓柱的高為：底面半徑為，所以螞蟻至少要爬行路程才能吃到食物.故選：A【點睛】本題考查平面展開最短路徑問題，弄懂圓柱展開圖是長方形，根據(jù)兩點之間線段最短是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·山東濟寧·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，長方體的高為，底面是邊長為的正方形一只螞蟻從頂點開始爬向頂點，那么它爬行的最短路程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將立體圖形展開，有三種不同的展法，連接AB，利用勾股定理求出AB的長，找出最短的即可．【詳解】解：①如圖，將長方體的正面和上面展開在同一平面內(nèi)，則AD=6dm，BD=6+9=15dm，；②如圖，將長方體的正面和右面展開在同一平面內(nèi)，AC=6+6=12dm，BC=9dm，；③將長方體的上面和左面展開在同一平面內(nèi)，則DE=6dm，BE=6+9=15dm，；∵，所以螞蟻爬行的最短路程為15dm．故選：C．【點睛】本題考查的是平面展開——最短路徑問題，此類問題先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點之間的最短路徑一般情況是利用兩點之間，線段最短．關(guān)鍵是在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問題．3．（2022秋·浙江·九年級專題練習）如圖，圓柱的底面周長為16，BC＝12，動點P從A點出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面移動到BC的中點S，則移動的最短距離為（）A．10 B．12 C．14 D．20【答案】A【分析】由于圓柱的高為12cm，S為BC的中點，故BS＝6cm，先把圓柱的側(cè)面展開，連接AS，利用勾股定理即可得出AS的長．【詳解】解：沿著S所在的母線展開，如圖，連接AS，則AB＝×16＝8，BS＝BC＝6，在Rt△ABS中，根據(jù)勾股定理AB2＋BS2＝AS2，即82＋62＝AS2，解得AS＝10．∵A，S兩點之間線段AS最短，∴點A到點S移動的最短距離為AS＝10cm．故選：A．【點睛】本題考查的是平面展開?最短路徑問題，根據(jù)題意畫出圓柱的側(cè)面展開圖，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．4．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，在長方體透明容器（無蓋）內(nèi)的點處有一滴糖漿，容器外點處的螞蟻想沿容器壁爬到容器內(nèi)吃糖漿，已知容器長為，寬為，高為，點距底部，請問螞蟻需爬行的最短距離是（容器壁厚度不計）A． B． C． D．【答案】B【分析】沿著上面的棱將A點翻折至處，分三種情況討論，利用化曲為直的思想和勾股定理求解即可．【詳解】解：沿著上面的棱將A點翻折至處，則新長方體的長、寬、高依次為，，，若螞蟻的行走路線為后壁和下壁，則最短路徑為：，若螞蟻的行走路線為左壁和下壁，則最短路徑為：，若螞蟻的行走路線為左壁和前壁，則最短路徑為：，∵，∴最短路徑為：．故選：B．【點睛】本題考查勾股定理的應用，求算術(shù)平方根．能分類討論是解題關(guān)鍵．5．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）如圖是一個三級臺階，它的每一級的長，寬，高分別是，A和B是這個臺階相對的端點，點A處有一只螞蟻，想到B處去吃食物，則這只螞蟻爬行的最短距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先將圖形平面展開，再由勾股定理根據(jù)兩點之間線段最短進行解答．【詳解】解：三級臺階平面展開圖為長方形，長為20dm，寬為（2+3）×3dm，則螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是此長方形的對角線長．設(shè)螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程為xdm，由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，解得x=25．故選：A．【點睛】本題的是平面展開-最短路徑問題，解答此類問題時要先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點之間的最短路徑．一般情況是兩點之間，線段最短．在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問題6．（2022秋·福建寧德·九年級?？计谥校┤鐖D，有一個圓柱，底面圓的直徑AB＝，高BC＝12cm，P為BC的中點，一只螞蟻從點出發(fā)沿著圓柱的表面爬到點的最短距離為A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm【答案】B【分析】把圓柱的側(cè)面展開，連接，利用勾股定理即可得出的長，即螞蟻從點爬到點的最短距離．【詳解】解：如圖：展開后線段的長度是圓柱中半圓的周長，圓柱底面直徑、高，為的中點，，在中，，螞蟻從點爬到點的最短距離為，故選：．【點睛】本題考查的是平面展開最短路徑問題，根據(jù)題意畫出圓柱的側(cè)面展開圖，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．7．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，一只蜘蛛在一塊長方體木塊的一個頂點A處，一只蒼蠅在這個長方體的對角頂點G處，若AB＝3cm，BC＝5cm，BF＝6cm，則最短的爬行距離是（）A．10 B．14 C． D．【答案】A【分析】把長方體展開，根據(jù)兩點之間線段最短得出最短路線AG，根據(jù)勾股定理，即可求出AG長度；【詳解】把長方體展開有三種情況：當蜘蛛從A出發(fā)到EF上再到G時，如下圖所示，，，在中，；當蜘蛛從A出發(fā)到BF上再到G時，如下圖所示，，，，，在中，，當蜘蛛從A出發(fā)到EH上再到G時，如下圖所示，，∴AF=9cm，在中，，．故選：A．【點睛】本題考查勾股定理的應用，掌握兩點之間線段最短是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·江西萍鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考期中）如圖，長方體的長為20cm，寬為15cm，高為10cm，點B離點C為5cm，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距離是（

）A．cm B．25cm C．cm D．16cm【答案】B【分析】分三種情況討論：把上面展開到左側(cè)面上，連結(jié)AB，如圖1；把上面展開到正面上，連結(jié)AB，如圖2；把側(cè)面展開到正面上，連結(jié)AB，如圖3，然后利用勾股定理分別計算各情況下的AB，再進行大小比較．【詳解】把上面展開到左側(cè)面上，連結(jié)AB，如圖1，AB＝（cm）把上面展開到正面上，連結(jié)AB，如圖2，AB＝（cm）；把側(cè)面展開到正面上，連結(jié)AB，如圖3，AB＝（cm）．∵＞＞25所以一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B，需要爬行的最短距離為25cm．故選：B．【點睛】本題考查了平面展開?最短路徑問題：先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點之間的最短路徑．一般情況是兩點之間，線段最短．在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問題．9．（2023春·八年級課時練習）如圖，桌上有一個圓柱形玻璃杯（無蓋）高6厘米，底面周長16厘米，在杯口內(nèi)壁離杯口1.5厘米的A處有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相對方向有一小蟲P，小蟲離杯底的垂直距離為1.5厘米，小蟲爬到蜜糖處的最短距離是（

）A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米【答案】B【分析】把圓柱沿著點A所在母線展開，把圓柱上最短距離轉(zhuǎn)化為將軍飲馬河型最短問題求解即可.【詳解】把圓柱沿著點A所在母線展開，如圖所示，作點A的對稱點B，連接PB，則PB為所求，根據(jù)題意，得PC=8，BC=6，根據(jù)勾股定理，得PB=10，故選B.【點睛】本題考查了圓柱上的最短問題，利用圓柱展開，把問題轉(zhuǎn)化為將軍飲馬河問題，靈活使用勾股定理是解題的關(guān)鍵.10．（2021春·山東臨沂·八年級統(tǒng)考期中）如圖，圓柱形玻璃板，高為12cm，底面周長為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的A處，則螞蟻到達蜂蜜的最短距離是（）A．15cm B．16cm C．17cm D．18cm【答案】A【分析】在側(cè)面展開圖中，過C作CQ⊥EF于Q，作A關(guān)于EH的對稱點A′，連接A′C交EH于P，連接AP，則AP＋PC就是螞蟻到達蜂蜜的最短距離，求出A′Q，CQ，根據(jù)勾股定理求出A′C即可．【詳解】解：沿過A的圓柱的高剪開，得出矩形EFGH，過C作CQ⊥EF于Q，作A關(guān)于EH的對稱點A′，連接A′C交EH于P，連接AP，則AP＋PC就是螞蟻到達蜂蜜的最短距離，∵AE＝A′E，A′P＝AP，∴AP＋PC＝A′P＋PC＝A′C，∵CQ＝×18cm＝9cm，A′Q＝12cm?4cm＋4cm＝12cm，在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C＝＝15cm，故選：A．【點睛】本題考查了平面展開?最短路徑問題，同時也考查了學生的空間想象能力．將圖形側(cè)面展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進行計算是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．（2023秋·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，圓柱形容器的高為0.9m，底面周長為1.2m，在容器內(nèi)壁離容器底部0.3m處的點B處有一蚊子．此時，一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.2m與蚊子相對的點A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為_____m．【答案】1【分析】畫出容器側(cè)面展開圖（見詳解），作點A關(guān)于EF的對稱點A′，根據(jù)兩點之間線段最短可知A′B的長度即為所求．【詳解】解：如圖，將容器側(cè)面展開，作點A關(guān)于EF的對稱點A′，連接A′B，則A′B為最短距離．由題意知，A′D＝0.6m，A′E＝AE=0.2m，∴BD＝0.9-0.3+0.2=0.8m，∴A′B＝＝＝1（m）．故答案為：1．【點睛】本題考查了勾股定理的應用最短路徑問題，將圓柱的側(cè)面展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進行計算是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）如圖是一個邊長為6的正方體木箱，點Q在上底面的棱上，，一只螞蟻從P點出發(fā)沿木箱表面爬行到點Q，則螞蟻爬行的最短路程為__________．【答案】10【分析】將正方體上表面如圖展開（見詳解），根據(jù)兩點之間，線段最短，即可得到：連接PQ的線段是P到Q的最短路程，再根據(jù)勾股定理計算即可．【詳解】解：將正方體上表面展開，如圖所示，∵PB＝AB＝6，AQ＝2，∴BQ＝6+2＝8，∴PQ＝＝＝10．∴螞蟻爬行的最短路程10．故答案為：10．【點睛】此題考查的是勾股定理之最短路徑問題，掌握兩點之間線段最短和利用勾股定理求邊長是解決此題的關(guān)鍵.13．（2023秋·江西宜春·八年級校考期末）如圖，長方體的長，寬，高，點在上，且，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點爬到點，需要爬行的最短距離是_________．【答案】25【分析】首先將長方體沿CH、HE、BE剪開，向右翻折，使面ABCD和面BEHC在同一個平面內(nèi)，連接AM；或?qū)㈤L方體沿CH、GD、GH剪開，向上翻折，使面ABCD和面DCHG在同一個平面內(nèi)，連接AM，或?qū)㈤L方體沿AB、AF、EF剪開，向下翻折，使面CBEH和下面在同一個平面內(nèi)，連接AM，然后分別在Rt△ADM與Rt△ABM與Rt△ACM，利用勾股定理求得AM的長，比較大小即可求得需要爬行的最短路程．【詳解】解：將長方體沿CH、HE、BE剪開，向右翻折，使面ABCD和面BEHC在同一個平面內(nèi)，連接AM，如圖1，由題意可得：MD=MC+CD=5+10=15cm，AD=20cm，在Rt△ADM中，根據(jù)勾股定理得：AM=cm；將長方體沿CH、GD、GH剪開，向上翻折，使面ABCD和面DCHG在同一個平面內(nèi)，連接AM，如圖2，由題意得：BM=BC+MC=20+5=25（cm），AB=10cm,在Rt△ABM中，根據(jù)勾股定理得：AM=cm,連接AM，如圖3，由題意得：AC=AB+CB=10+20=30（cm），MC=5cm,在Rt△ACM中，根據(jù)勾股定理得：AM=cm,∵，則需要爬行的最短距離是25．【點睛】此題考查了最短路徑問題，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解題的關(guān)鍵是將立體圖形展為平面圖形，利用勾股定理的知識求解．14．（2022秋·廣東揭陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在圓柱的截面ABCD中，AB＝，BC＝12，動點P從A點出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面移動到BC的中點S的最短距離為_____．【答案】10【分析】先把圓柱的側(cè)面展開，連接AS，利用勾股定理即可得出AS的長．【詳解】如圖所示，將其展開，∵在圓柱的截面ABCD中：，，∴，，將其展開可得如下的矩形，在中，∴．故答案為：10．【點睛】題目主要考查弧長公式、勾股定理及其在圓柱展開展開中的應用，能想到將圓柱展開應用勾股定理是解題關(guān)鍵．三、解答題15．（2022秋·陜西咸陽·八年級?？茧A段練習）如圖，有一個高為，底面周長為的圓柱形水桶，水桶的底端處有一只螞蟻，它準備沿水桶的側(cè)面爬行到對角處去吃一滴蜂蜜，求螞蟻爬行的最短路線長．【答案】螞蚊爬行的最短路線長為．【分析】先把水桶的側(cè)面展開圖如圖所示．確定AD為半周長，然后利用勾股定理求解即可．【詳解】解：水桶的側(cè)面展開圖如圖所示．由題意，易得，，由勾股定理得，，即螞蚊爬行的最短路線長為．【點睛】本題考查最短路徑問題，掌握圓柱側(cè)面展開圖，確定點B是半周長的山邊緣，用勾股定理求解是解題關(guān)鍵．16．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，一只螳螂在樹干的點處，發(fā)現(xiàn)它的正上方點處有一只小蟲子，螳螂想捕到這只蟲子，但又怕被發(fā)現(xiàn)，于是就繞到蟲子后面吃掉它，已知樹干的半徑為，，兩點的距離為，求螳螂爬行的最短距離（π取3）．【答案】75cm【分析】將圓柱形樹干的側(cè)面如圖所示展開，根據(jù)兩點之間線段最短，可得AB即為螳螂爬行的最短距離，利用勾股定理即可求出AB．【詳解】解：將圓柱形樹干的側(cè)面如圖所示展開，根據(jù)兩點之間線段最短，可得AB即為螳螂爬行的最短距離AF=2π×10≈60cm，BF=45cm∴cm答：螳螂爬行的最短距離為75cm．【點睛】此題考查的是勾股定理的應用，掌握利用勾股定理解直角三角形和兩點之間線段最短是解題關(guān)鍵．17．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，是用棱長為的兩個正方體拼成的新幾何體，求一只螞蟻從頂點出發(fā)沿著新幾何體的表面爬行到頂點的最短路程是多少？【答案】【分析】根據(jù)兩點之間線段最短，將組合體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，進而勾股定理求解即可【詳解】解：如圖，將組合體的上底面展開，點到了點的位置，螞蟻沿所在的直線運動到路程最短，．若按以下方式展開，則即螞蟻從頂點出發(fā)到頂點的最短路程是．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形是解題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測】一．選擇題（共7小題）1．（2022秋?市中區(qū)期中）正方體盒子的棱長為2，BC的中點為M，一只螞蟻從A點爬行到M點的最短距離為（）A． B． C．5 D．2+【分析】把此正方體的點M所在的面展開，然后在平面內(nèi)，利用勾股定理求點A和點M間的線段長，即可得到螞蟻爬行的最短距離．在直角三角形中，一條直角邊長等于2長，另一條直角邊長等于3，利用勾股定理可求得．【解答】解：展開正方體的點M所在的面，∵BC的中點為M，所以MC＝BC＝1，在直角三角形中AM＝＝．故選：A．【點評】本題考查了勾股定理的拓展應用．“化曲面為平面”是解決“怎樣爬行最近”這類問題的關(guān)鍵．2．（2022秋?清新區(qū)期中）如圖所示，一圓柱高8cm，底面半徑2cm，一只螞蟻從點A爬到點B處吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（）A．12cm B．10cm C．14cm D．無法確定【分析】根據(jù)兩點之間，線段最短．先將圖形展開，再根據(jù)勾股定理可知．【解答】解：如圖所示：可以把A和B展開到一個平面內(nèi)，即圓柱的半個側(cè)面是矩形：矩形的長BC＝＝2π＝6，矩形的寬AC＝8，在直角三角形ABC中，AC＝8，BC＝6，根據(jù)勾股定理得：AB＝≈10．故選：B．【點評】要求不在同一個平面內(nèi)的兩點之間的最短距離，需要把兩個點展開到一個平面內(nèi)，再計算．3．（2022春?思明區(qū)校級期中）如圖，長方體的長為15，寬為10，高為20，點B離點C的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B，需要爬行的最短距離是（）A．5 B．25 C．10+5 D．35【分析】要求螞蟻爬行的最短距離，需將長方體的側(cè)面展開，進而根據(jù)“兩點之間線段最短”得出結(jié)果．【解答】解：將長方體展開，連接A、B，根據(jù)兩點之間線段最短，（1）如圖，BD＝10+5＝15，AD＝20，由勾股定理得：AB＝＝＝＝25．（2）如圖，BC＝5，AC＝20+10＝30，由勾股定理得，AB＝＝＝＝5．（3）只要把長方體的右側(cè)表面剪開與上面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如圖：∵長方體的寬為10，高為20，點B離點C的距離是5，∴BD＝CD+BC＝20+5＝25，AD＝10，在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：∴AB＝＝＝5；由于25＜5＜5，故選：B．【點評】本題是一道趣味題，將長方體展開，根據(jù)兩點之間線段最短，運用勾股定理解答即可．4．（2021秋?金水區(qū)校級月考）如圖：有一圓柱，它的高等于8cm，底面直徑等于4cm（π＝3），在圓柱下底面的A點有一只螞蟻，它想吃到上底面與A相對的B點處的食物，需要爬行的最短路程大約（）A．10cm B．12cm C．19cm D．20cm【分析】根據(jù)兩點之間，線段最短．首先把A和B展開到一個平面內(nèi)，即展開圓柱的半個側(cè)面，得到一個矩形，然后根據(jù)勾股定理，求得螞蟻爬行的最短路程即展開矩形的對角線的長度．【解答】解：展開圓柱的半個側(cè)面，得到一個矩形：矩形的長是圓柱底面周長的一半即2π＝6，矩形的寬是圓柱的高即8．根據(jù)勾股定理得：螞蟻爬行的最短路程即展開矩形的對角線長即10．故選：A．【點評】本題考查了勾股定理的拓展應用．“化曲面為平面”是解決“怎樣爬行最近”這類問題的關(guān)鍵．本題注意只需展開圓柱的半個側(cè)面．5．（2021春?宣化區(qū)期中）如圖，一圓柱體的底面周長為24cm，高BD為5cm，BC是直徑，一只螞蟻從點D出發(fā)沿著圓柱的側(cè)面爬行到點C的最短路程大約是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm【分析】根據(jù)題意，先將圓柱體展開，再根據(jù)兩點之間線段最短．【解答】解：將圓柱體展開，連接DC，圓柱體的底面周長為24cm，則DE＝12cm，根據(jù)兩點之間線段最短，CD＝＝13（cm）．而走D﹣B﹣C的距離更短，∵BD＝5，BC＝，∴BD+BC≈13．故選：C．【點評】本題考查了平面展開﹣﹣最短路徑問題，將圓柱體展開，根據(jù)兩點之間線段最短，運用勾股定理解答即可．6．（2022春?璧山區(qū)期中）如圖，一圓柱體的底面周長為10cm，高AB為12cm，BC是直徑，一只螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱的表面爬行到點C的最短路程為（）A．17cm B．13cm C．12cm D．14cm【分析】將圓柱的側(cè)面展開，得到一個長方形，再然后利用兩點之間線段最短解答．【解答】解：如圖所示：由于圓柱體的底面周長為10cm，則AD＝10×＝5（cm）．又因為CD＝AB＝12cm，所以AC＝（cm）．故螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點C的最短路程是13cm．故選：B．【點評】此題主要考查了平面展開圖的最短路徑問題和勾股定理的計算，將圓柱的側(cè)面展開，構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．7．（2021秋?通川區(qū)校級月考）如圖是一塊長，寬，高分別是6cm，4cm和3cm的長方體木塊，一只螞蟻要從長方體木塊的一個頂點A處，沿著長方體的表面到長方體上和A相對的頂點B處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長是（）A．（3+2）cm B．cm C．cm D．cm【分析】作此題要把這個長方體中，螞蟻所走的路線放到一個平面內(nèi)，在平面內(nèi)線段最短，根據(jù)勾股定理即可計算．【解答】解：第一種情況：把我們所看到的前面和上面組成一個平面，則這個長方形的長和寬分別是9和4，則所走的最短線段是＝；第二種情況：把我們看到的左面與上面組成一個長方形，則這個長方形的長和寬分別是7和6，所以走的最短線段是＝；第三種情況：把我們所看到的前面和右面組成一個長方形，則這個長方形的長和寬分別是10和3，所以走的最短線段是＝；三種情況比較而言，第二種情況最短．故選：C．【點評】此題的關(guān)鍵是明確線段最短這一知識點，然后把立體的長方體放到一個平面內(nèi)，求出最短的線段．二．填空題（共8小題）8．（2022春?涼州區(qū)期末）如圖一只螞蟻從長為5cm、寬為3cm，高是4cm的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它所爬行的最短路線的長是cm．【分析】把此長方體的一面展開，然后在平面內(nèi)，利用勾股定理求點A和B點間的線段長，即可得到螞蟻爬行的最短距離．在直角三角形中，一條直角邊長等于長方體的高，另一條直角邊長等于長方體的長寬之和，利用勾股定理可求得．【解答】解：因為平面展開圖不唯一，故分情況分別計算，進行大、小比較，再從各個路線中確定最短的路線．（1）展開前面右面由勾股定理得AB2＝（5+3）2+42＝80；（2）展開前面上面由勾股定理得AB2＝（4+3）2+52＝74；（3）展開左面上面由勾股定理得AB2＝（5+4）2+32＝90．所以最短路徑的長為AB＝（cm）．故答案為：．【點評】本題考查了平面展開﹣最短路徑問題及勾股定理的拓展應用．“化曲面為平面”是解決“怎樣爬行最近”這類問題的關(guān)鍵．9．（2021秋?將樂縣期中）如圖，有一圓柱，其高為12cm，底面半徑為3cm，在圓柱下底面A點處有一只螞蟻，它想得到上底面B處的食物，則螞蟻經(jīng)過的最短距離為15cm．（π取3）【分析】本題應先把圓柱展開即得其平面展開圖，則A，B所在的長方形的長為圓柱的高12cm，寬為底面圓周長的一半為πr，螞蟻經(jīng)過的最短距離為連接A，B的線段長，由勾股定理求得AB的長．【解答】解：圓柱展開圖為長方形，則A，B所在的長方形的長為圓柱的高12cm，寬為底面圓周長的一半為πrcm，螞蟻經(jīng)過的最短距離為連接A，B的線段長，由勾股定理得AB＝＝＝＝15cm．故螞蟻經(jīng)過的最短距離為15cm．【點評】解答本題的關(guān)鍵是計算出圓柱展開后所得長方形長和寬的值，然后用勾股定理計算即可．10．（2021?南崗區(qū)校級開學）一只螞蟻從長、寬都是3，高是8的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它所行的最短路線的長是10．【分析】根據(jù)”兩點之間線段最短”，將點A和點B所在的兩個面進行展開，展開為矩形，則AB為矩形的對角線，即螞蟻所行的最短路線為AB．【解答】解：如圖（1）所示：AB＝＝；如圖（2）所示：AB＝＝10．由于＞10，所以最短路徑為10．【點評】本題的關(guān)鍵是將點A和點B所在的面展開，運用勾股定理求出矩形的對角線．11．（2021秋??？h期末）如圖，一只螞蟻從長為7cm、寬為5cm，高是9cm的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它所走的最短路線的長是15cm．【分析】根據(jù)題意，過A點和B點的平面展開圖分三種情況，再根據(jù)兩點之間線段最短和勾股定理可以分別求得三種情況下的最短路線，然后比較大小，即可得到A點到B點的最短路線，本題得以解決．【解答】解：由題意可得，當展開前面和右面時，最短路線長是：＝＝15（cm）；當展開前面和上面時，最短路線長是：＝＝7（cm）；當展開左面和上面時，最短路線長是：＝（cm）；∵15＜7＜，∴一只螞蟻從長為7cm、寬為5cm，高是9cm的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它所走的最短路線的長是15cm，故答案為：15．【點評】本題考查平面展開﹣最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是明確兩點之間線段最短，利用分類討論的方法解答．12．（2022春?芙蓉區(qū)校級期末）如圖是棱長為4cm的立方體木塊，一只螞蟻現(xiàn)在A點，若在B點處有一塊糖，它想盡快吃到這塊糖，則螞蟻沿正方體表面爬行的最短路程是cm．【分析】根據(jù)“兩點之間線段最短”，將點A和點B所在的各面展開，展開為矩形，AB為矩形的對角線的長即為螞蟻沿正方體表面爬行的最短距離．【解答】解：將點A和點B所在的面展開為矩形，AB為矩形對角線的長，∵矩形的長和寬分別為8cm和4cm，∴AB＝＝cm．故螞蟻沿正方體的最短路程是cm．【點評】本題的關(guān)鍵是