直線與方程習(xí)題課

1.直線x-y+1=0的傾斜角等于（）A.

B.C.

D.

斜率k=，傾斜

角選B.B2.已知α∈R，直線xsinα-y+1=0的斜率的取值范圍是（）A.（-∞,+∞）B.（0,1］C.［-1,1］D.（0,+∞）直線xsinα-y+1=0的斜率是k=sinα，又因?yàn)?1≤sinα≤1，所以-1≤k≤1，選C.C4.直線ax+y-1=0與直線y=-2x+1互相垂直，則a=

.

由題知（-a）×（-2）=-1，所以a=-，填-.易錯(cuò)點(diǎn)：兩直線互相垂直，若斜率都存在，可得到斜率之積為-1.5.若直線ax+2y-6=0與x+（a-1）y-（a2-1）=0平行，則點(diǎn)P（-1，0）到直線ax+2y-6=0的距離等于

.

因?yàn)閮芍本€平行，所以有a（a-1）=2，即a2-a-2=0，解得a=2或a=-1，但當(dāng)a=2時(shí)，兩直線重合，不合題意，故只有a=-1，所以點(diǎn)P到直線ax+2y-6=0的距離等于5，填5.

易錯(cuò)點(diǎn)：判斷兩直線平行時(shí)要檢驗(yàn)是否重合.53.若三條直線y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一點(diǎn)，則點(diǎn)（m,n）可能是（）A.（1，-3）

B.（3，-1）C.（-3，1）

D.（-1，3）

y=2x

x+y=3所以m+2n+5=0，所以點(diǎn)（m,n）可能是（1，-3），選A.A由，得x=1y=2.1.直線的傾斜角：理解直線的傾斜角的概念要注意三點(diǎn)：（1）直線向上的方向；（2）與x軸的正方向；（3）所成的最小正角，其范圍是［0,π）.2.直線的斜率：（1）定義：傾斜角不是90°的直線它的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，常用k表示，即k=tanα.α=90°的直線斜率不存在；（2）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P（x1,y1）,Q（x2,y2）的直線的斜率公式（其中x1≠x2）.3.直線的方程：由直線的幾何要素確定（1）點(diǎn)斜式：y-y0=k（x-x0）,直線的斜率為k且過(guò)點(diǎn)（x0,y0）；（2）斜截式：y=kx+b,直線的斜率為k，在y軸上的截距為b；（3）兩點(diǎn)式：直線過(guò)兩點(diǎn)（x1,y1）,（x2,y2）,且x1≠x2,y1≠y2；（4）截距式：直線在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b；（5）一般式Ax+By+C=0（A，B不全為零）.

4.兩條直線的平行與垂直：已知直線l1：y=k1x+b1;l2：y=k2x+b2，則直線l1∥l2

k1=k2且b1≠b2；直線l1⊥l2

k1·k2=-1.

5.求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，一般通過(guò)聯(lián)立方程組求解.

6.點(diǎn)到直線的距離：點(diǎn)P（x0,y0）到直線l：Ax+By+C=0的距離特別地，點(diǎn)P（x0,y0）到直線x=a的距離d=x0-a；點(diǎn)P（x0,y0）到直線y=b的距離d=y0-b；兩條平行線l1：Ax+By+C1=0與l2：Ax+By+C2=0的距離

7.若P（x1,y1）,Q（x2,y2），則線段PQ的中點(diǎn)是

重點(diǎn)突破：直線的傾斜角與斜率已知點(diǎn)A（-3，4），B（3，2），過(guò)點(diǎn)P（2，-1）的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，求直線l的斜率k的取值范圍.從直線l的極端位置PA，PB入手，分別求出其斜率，再考慮變化過(guò)程斜率的變化情況.直線PA的斜率k1=-1，直線PB的斜率k2=3，所以要使l與線段AB有公共點(diǎn)，直線l的斜率k的取值范圍應(yīng)是k≤-1或k≥3.直線的傾斜角和斜率的對(duì)應(yīng)關(guān)系是一個(gè)比較難的知識(shí)點(diǎn)，建議通過(guò)正切函數(shù)y=tanx在［0,）∪（,π）上的圖象變化來(lái)理解它.已知點(diǎn)A（-3，4），B（3，2），過(guò)點(diǎn)P（2，-1）的直線l與線段AB沒(méi)有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k的取值范圍為

.可用補(bǔ)集思想求得-1<k<3.-1＜k＜3重點(diǎn)突破：直線方程的求法

(Ⅰ)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-5，2)且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的2倍的直線方程；(Ⅱ)若一直線被直線4x+y+6=0和3x-5y-6=0截得的線段的中點(diǎn)恰好在坐標(biāo)原點(diǎn)，求這條直線方程.(Ⅰ)討論截距為零和不為零兩種情況，分別設(shè)出直線方程，代入求解.(Ⅱ)設(shè)所求直線與已知一直線的交點(diǎn)坐標(biāo)A(a,b)，與另一直線的交點(diǎn)B，因?yàn)樵c(diǎn)為AB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)B(-a,-b)在相應(yīng)的直線上，聯(lián)立方程組求解.(Ⅰ)①當(dāng)橫截距、縱截距均為零時(shí)，設(shè)所求的直線方程為y=kx，將(-5，2)代入得k=-,此時(shí)直線方程y=-x,即2x+5y=0；②當(dāng)橫截距、縱截距都不是零時(shí)，設(shè)所求的直線方程為將(-5，2)代入得a=-，此時(shí)直線方程為x+2y+1=0.綜上所述，所求直線方程為2x+5y=0或x+2y+1=0.

（Ⅱ）設(shè)所求直線與直線4x+y+6=0,3x-5y-6=0分別相交于A，B.設(shè)A（a,-4a-6），則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式知B（-a,4a+6），將B（-a,4a+6）代入3x-5y-6=0，得3（-a）-5（4a+6）-6=0，解得a=

從而求得所以所求直線方程為

應(yīng)用直線方程的幾種形式假設(shè)直線方程時(shí)須注意其應(yīng)用的適用條件；選用恰當(dāng)?shù)膮⒆兞?，可?jiǎn)化運(yùn)算量.求適合下列條件的直線方程.（Ⅰ）過(guò)點(diǎn)P（3，2），且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)Q（0，-4），且傾斜角為直線x+y+3=0的傾斜角的一半.

(Ⅰ)當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為零時(shí)，設(shè)其方程為所以解得a=5，此時(shí)直線方程為x+y-5=0；當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均為零時(shí)，設(shè)其方程為y=kx，所以2=3k，則k=，此時(shí)直線方程為y=

x.綜上所述，所求的直線方程為x+y-5=0或y=

x.(Ⅱ)易得直線x+y+3=0的斜率為-,則傾斜角為π，所以所求直線的傾斜角為，故斜率為,由點(diǎn)斜式得所求的直線方程為y=x-4.

重點(diǎn)突破：有關(guān)距離

已知直線l1：2x-y+a=0（a>0），直線l2：-4x+2y+1=0和直線l3：x+y-1=0，且l1與l2的距離是（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）能否找到一點(diǎn)P，使得P點(diǎn)同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：①P是第一象限的點(diǎn)；②P點(diǎn)到l1的距離是P點(diǎn)到l2的距離的；③點(diǎn)P到l1的距離與點(diǎn)P到l3的距離的比為若能，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，說(shuō)明理由.

（Ⅰ）利用l1與l2的距離是可求得a的值.（Ⅱ）先假設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為P（x0,y0），然后借助題設(shè)中的3個(gè)條件列方程組，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，解題時(shí)不可忽視“P是第一象限的點(diǎn)”這一條件.

（Ⅰ）直線l2：2x-y-

=0所以l1與l2的距離所以因?yàn)閍>0,所以a=3.（Ⅱ）假設(shè)存在點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P（x0,y0），若P點(diǎn)滿足條件②，則P點(diǎn)在與l1,l2平行的直線l′：2x-y+C=0上，且解得C=或.所以2x0-y0+

=0,或2x0-y0+

=0.若P點(diǎn)滿足條件③，則由點(diǎn)到直線距離公式，有即所以x0-2y0+4=0或3x0+2=0，由于P點(diǎn)在第一象限，所以3x0+2=0是不可能的.聯(lián)立方程2x0-y0+

=0和x0-2y0+4=0，

x0=3

y0=

(不合，舍去)

2x0-y0+=0

x0-2y0+4=0所以存在點(diǎn)P(

)同時(shí)滿足三個(gè)條件.解得由，解得利用兩平行線間的距離公式時(shí)，x，y項(xiàng)對(duì)應(yīng)的系數(shù)必須相同；解決存在性問(wèn)題，先假設(shè)存在，再加以推證.已知點(diǎn)P（2，-1），過(guò)P點(diǎn)作直線l.（Ⅰ）若原點(diǎn)O到直線l的距離為2，求l的方程；（Ⅱ）求原點(diǎn)O到直線l的距離取最大值時(shí)l的方程，并求原點(diǎn)O到l的最大距離.

(Ⅰ)①當(dāng)l⊥x軸時(shí)，滿足題意，所以所求直線方程為x=2；

②當(dāng)l不與x軸垂直時(shí)，直線方程可設(shè)為y+1=k(x-2)，即kx-y-2k-1=0.

由已知得

解得k=.所以所求直線方程為3x-4y-10=0.

綜上，所求直線方程為x=2或3x-4y-10=0.

(Ⅱ)結(jié)合幾何圖形，可知當(dāng)l⊥直線OP時(shí)，距離最大為5，此時(shí)直線l的方程為2x-y-5=0.經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，1）的直線l分別與兩坐標(biāo)軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn).(Ⅰ)求當(dāng)△ABO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積最小時(shí)直線l的方程；(Ⅱ)求當(dāng)OA+OB最小時(shí)直線l的方程；(Ⅲ)當(dāng)PA·PB最小時(shí)直線l的方程；求引入?yún)?shù)表示直線方程，建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，確定當(dāng)目標(biāo)函數(shù)取最值時(shí)的參數(shù)，從而求得直線方程.設(shè)直線方程為y-1=k（x-2），顯然k<0.令x=0，得y=1-2k；令y=0，得所以A（0,1-2k），B（2-

,0）.（Ⅰ）△ABO的面積當(dāng)且僅當(dāng)-

=-4k，即k=-時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)直線方程為y-1=-（x-2），所以當(dāng)△ABO的面積最小時(shí)直線l的方程為x+2y-4=0.（Ⅱ）OA+OB=（1-2k）+（2-）=3+（-）+（-2k）≥3+2當(dāng)且僅當(dāng)-

=-2k，即k=-時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)直線方程為y-1=-（x-2），所以當(dāng)最小時(shí)直線l的方程為（Ⅲ）PA·PB當(dāng)且僅當(dāng)即k=-1時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)直線方程為y-1=-（x-2），所以當(dāng)最小時(shí)直線l的方程為x+y-3=0.解決與最值相關(guān)的問(wèn)題，一般有兩種思路，一種是用函數(shù)的思想，建立目標(biāo)函數(shù)求解；另一種是用幾何性質(zhì)求解.1.求斜率一般有兩種方法，其一，已知直線上兩點(diǎn)，根據(jù)

求斜率；其二，已知傾斜角α或α的三角函數(shù)值，根據(jù)k=tanα求斜率.斜率范圍與傾斜角范圍的轉(zhuǎn)化，要結(jié)合y=tanx在［0，）和（，π）上的變化規(guī)律，