2025年1月廣東久洵杯調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷試題（含答案詳解）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2025屆普通高中畢業(yè)生久洵杯一月調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)本試卷共4頁(yè)，19小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)便用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．已知向量滿足，則（

）A．2 B． C． D．33．設(shè)集合，則中所有元素之和為（

）A．3 B．8 C．9 D．124．已知，設(shè)命題，命題，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．若函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，則（

）A．1 B．3 C．5 D．76．已知圓柱與圓錐的體積與側(cè)面積均相等，若的軸截面為等腰直角三角形，則與的底面半徑之比為（

）A． B． C． D．7．若，則（

）A． B． C． D．8．設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為.為上一點(diǎn)，的半徑為，過作軸的垂線，交于兩點(diǎn)，在的左側(cè).記的離心率為，點(diǎn)軌跡的離心率為，點(diǎn)軌跡的離心率為，則（

）A． B．C． D．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知正四面體的棱長(zhǎng)為，則（

）A．B．與的距離為C．二面角的正弦值為D．正四面體的體積為10．設(shè)雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為為上一點(diǎn)，且位于第一象限，直線交軸于點(diǎn)，記的面積為，則（

）A．B．C．若，則D．若，則11．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其中為給定的常數(shù)，且不為常函數(shù)，則（

）A．B．當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)C．或1是存在的充要條件D．當(dāng)時(shí)，沒有最值三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．曲線在點(diǎn)處的切線方程為.13．若樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為的平均數(shù)為22，則樣本數(shù)據(jù)的方差為.14．設(shè)為正整數(shù)，從集合的所有二元子集中任取兩個(gè)，記為，，其中與可以相同.在平面直角坐標(biāo)系中，記直線與直線的四個(gè)交點(diǎn)分別為，則以為頂點(diǎn)的四邊形為正方形的概率為.（用含的代數(shù)式表示）附參考公式：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15．如圖，在直三棱柱中，.(1)證明：平面平面；(2)若為中點(diǎn)，求平面與平面夾角的正弦值.16．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為.已知到直線的距離為，過的直線交于兩點(diǎn).(1)求的方程；(2)已知點(diǎn)，直線交于點(diǎn).若，求的面積.17．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知，外一點(diǎn)滿足，且的角平分線交于點(diǎn).(1)求；(2)證明：；(3)若，求.18．已知函數(shù)，函數(shù).(1)討論和的單調(diào)性；(2)記函數(shù)，若為減函數(shù)，且存在，使得，求的取值范圍.19．對(duì)于一個(gè)單調(diào)遞增的正整數(shù)數(shù)列，若對(duì)于任意不小于2的正整數(shù)不能表示為中若干不同項(xiàng)之和，則稱為“好數(shù)列”.(1)若數(shù)列滿足，記集合，中的元素由小到大排列得到數(shù)列，列舉的前五項(xiàng)，并判斷是否為“好數(shù)列”，若是，給出證明；若不是，請(qǐng)說明理由；(2)已知為“好數(shù)列”，對(duì)于給定的正整數(shù)，若存在正整數(shù)，使得，則記，設(shè)為的前項(xiàng)和.（i）證明：；（ii）證明：對(duì)任意的正整數(shù)，有.答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)1．D【解析】略2．C【解析】略3．C【解析】略4．A【解析】略5．B【解析】略6．C【解析】略7．D【詳解】，故，解得，故答案選D.8．D【詳解】設(shè)，故，故帶入有，同理得，下面我們開始計(jì)算離心率：由有，故，，故，故答案選D.（本題最坑點(diǎn)：兩個(gè)橢圓一橫一豎）9．ABD【解析】略10．BC【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)的斜率為的斜率為，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，記直線的斜率為，則，故，故，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由對(duì)稱性有，由有，故，由余弦定理有，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，注意到的大小隨的縱坐標(biāo)的增大而減小，故即C中情況，計(jì)算得面積為，故D錯(cuò)誤，故答案為BC.11．BCD【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，令，則，則或，當(dāng)時(shí)，取函數(shù)，則，矛盾，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，，對(duì)互換有即，又因?yàn)椴缓銥?，則用替換有，故為奇函數(shù)，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，充分性顯然成立，下面我們證明必要性，若，則由A選項(xiàng)的分析知，令則，若，則，由的任意性可知，為常函數(shù)，這與不為常函數(shù)矛盾，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，假設(shè)存在使得，則，則對(duì)于任意均成立，故，為常函數(shù)，這與不為常函數(shù)矛盾，故不存在使得.下面證明的任意取值均同號(hào)，，對(duì)于任意取即可，故的任意取值均同號(hào).若在處取到最值，則取，則，故由的任意性有，這與題設(shè)矛盾，故D正確，故答案為BCD.12．【解析】略13．20【詳解】由題知，樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為的平均數(shù)為21，故的方差為的方差為.14．【詳解】由題知，邊長(zhǎng)為的正方形有種情況，故15．(1)證明見解析(2)【詳解】解：（1）在直三棱柱中，，故，故.所以，又因?yàn)?，平面，故平?因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）因?yàn)槠矫妫裕?，所以兩兩垂?以為軸，軸，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，故.因?yàn)槠矫?，所以可作為平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則.設(shè)平面與平面所成角為，則，所以.16．(1)(2)16【詳解】解：（1）到的距離為，故（舍去）或，故的方程為.（2）設(shè).聯(lián)立，有，故，同理，故由有，故.注意到軸，故的面積為.17．(1)(2)證明見解析(3)或.【詳解】解：（1）由正弦定理有，即，因?yàn)?，?若，則，矛盾；所以，故.故.（2）假設(shè)不垂直于，過點(diǎn)作，垂足為.則，由角平分線定理有，故重合，故.（3）由（2）知，設(shè).在中，由余弦定理有，同理，故，解得.注意到，故，故.故或，由余弦定理有故或.18．(1)答案見解析(2)【詳解】解：（1）在上單調(diào)遞增，.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.綜上所述，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）的定義域?yàn)?，且為奇函?shù)，我們只需要考慮的情況..即，令..令.令，且在上單調(diào)遞增.（i）若，則，故單調(diào)遞增，，滿足題意；（ii）若，則存在，使得時(shí)且，即，矛盾，故，即.于是問題轉(zhuǎn)化為：已知.（i）若，則，此時(shí)，矛盾；（ii