數(shù)學丨金科大聯(lián)考山西省2025屆高三1月質(zhì)量檢測數(shù)學試卷及答案

金科大聯(lián)考●2025屆高三1月質(zhì)量檢測●數(shù)學題號12345678答案BCADBDAB題號91011答案BCDACABD一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.【解析】由ln父<1,解得0<父<e,所以(CRA)∩B=(1,e),故選B.(1十2i)=—1十3i,故選C.關注《高三答案》公眾號獲取更多試題【解析】橢圓的半焦距為\m十1—m=1,所以半長軸為2,所以m十1=4,m=3,故選A.【解析】由投影向量的幾何意義,(b—2a).a=(1,t—2).(1,1)=1十t—2=0,所以t=1,故選D.【解析】0<a=log32<log33=1,所以b=log2a<0,c=b>1,所以c>a>b,故選B.【解析】fI(父)=2(父—a)(父—1)十(父—a)2=(父—a)(3父—2—a),依題意=0,所以a=或a=—當時,fI為極大值點,當a=—時,fI(父)=3(父—父十,符合題意,故a=—,故選D.【解析】依題意,當n=1時,T1==a1,所以T1=a1=3,當n≥2時,an=所以所以Tn—Tn—1=2,所以Tn=2n十1,T2024=4049,故選A.【解析】看成一個圓的內(nèi)接正十邊形,任選圓的一條直徑共有C=5種選法,則直角頂點有C=8種選法,所以選中的3個點能構(gòu)成直角三角形的概率為.故選B.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.【答案】BCD(全部選對得6分,選對1個得2分,選對2個得4分,有選錯的得0分)【解析】取原樣本數(shù)據(jù)為1,2,3,4,則新樣本數(shù)據(jù)為2,3,2,3,所以兩組樣本數(shù)據(jù)的極差不一定相等,中位數(shù)有可能相等,所以A選項錯誤,C選項正確;【高三數(shù)學參考答案第1頁(共5頁)】,所以兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定相等,B選項正確;取原樣本數(shù)據(jù)為0,0.5,1,1.5,則新樣本數(shù)據(jù)為1,1.5,0,0.5,兩組樣本數(shù)據(jù)的方差可能相等,D選項正確,故選BCD.10.【答案】AC(全部選對得6分,選對1個得3分,有選錯的得0分)【解析】依題意,父=為f(父)的一個極值點,所以f=—\=0,所以a=\b,故A正確;由A可知,f(父)=bsin(父十所以f—父)=bsin—父十=bcos父為偶函數(shù),故B錯誤;f=0,所以,0)為f(父)圖象的一個對稱中心,故C正確;因為b的正負未知,所以無法判斷父=是否為極小值點,故D錯誤,故選AC.11.【答案】ABD(全部選對得6分,選對1個得2分,選對2個得4分,有選錯的得0分)【解析】由題設知,點P在正方體的內(nèi)部或表面上.當義=1時,點P在平面A1B1C1D1內(nèi)運動,所以其到平面ABCD的距離始終為1,到棱CC1的距離也為1.又因為P到棱CC1的距離即為到C1的距離,所以P的軌跡為以C1為圓心,1為半徑,且在正方體內(nèi)部或表面的部分,軌跡長度為,故A選項正確;當父=時,如圖,E,F,G,H分別為AB,CD,C1D1,A1B1的中點,點P在平面EFGH內(nèi),而對于三棱錐CBC1P,若以△BCC1為底面,則其體積V=×S△BCC1d,其中d為P到平面BCC1的距離.因為P∈平面EFGH,平面EFGHⅡ平面BCC1B1,所以P到平面BCC1B1的距離等于平面EFGH和平面BCC1B1的距離,為定值,所以三棱錐CBC1P的體積為定值,故B選項正確; 因為P到棱CC1的距離和到平面ABCD的距離相等,所以義=\(1—父)2十(1—y)2,|AP|2=父2十y2十義2=2(父—2十2(y—2十1≥1>,故C選項錯誤;因為AB是平面BCC1B1的一個法向量,所以BP與平面BCC1B1所成角的正弦值等于|cos〈AB,BP〉|=2,而(1父)2≤1(1y)2=2y—y2,義=1時等號成立,故D選項正確.故選ABD.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分. 12.【答案及評分細則】30(或\)(5分,其他結(jié)果均不得分)=30.13.【答案及評分細則】1(5分,其他結(jié)果均不得分)【解析】2a—b==1b4b=2b十≥2,當且僅當a=1,b=0時等號成立,所以a—b的最小值為1.【高三數(shù)學參考答案第2頁(共5頁)】 14.【答案及評分細則】\3(5分,其他結(jié)果均不得分)【解析】設|PF1|=m,|PF2|=n,且m>n,m—n=2a,設O到直線PF1的距離為d,過F2作直線PF1的垂線,易知2d=\,所以d2十2=十2=a2=,整理得,(m—2n)(15m—2n)2=0,因為m>n,所以m=4a,n=2a,由余弦定理,4c2=16a2十4a2—8a2=12a2,所以c=\a,C的離心率為\.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟. 【解析及評分細則】(1)由條件及余弦定理得,cosC=a2十2b—c2=\,C∈(0,π),故C=.…………2分由條件及正弦定理得,a2b=a,故ab=1.……………………4分 :△ABC的面積為absinC=\;…………6分(2)設上CAD=上BAD=α,則上ADB=α十.……………7分sin上ADBsin上BAD在△ABD中,由正弦定理得,c=BD.……………………sin上ADBsin上BAD:sin=2\sinα,解得tanα=.………………11分1tan2α4.:tan上CAB=tan2α=2tanα=3…………1tan2α4. 16.【答案】(1)詳見解析(2)3\305【解析及評分細則】(1)取SD的中點M,“△SCD為等邊三角形,:CM丄SD,…………2分“平面SCD丄平面SAD,且平面SCD∩平面SAD=SD,:CM丄平面SAD,“ADG平面SAD,:CM丄AD,……………4分又CD丄AD,CD∩CM=C,:AD丄平面SCD.“ADG平面ABCD,:平面SCD丄平面ABCD;…………6分(2)取CD的中點O,由(1)知平面SCD丄平面ABCD,:SO丄平面ABCD,…………………………7分如圖,建立空間直角坐標系,有S(0,0,\),B(2,1,0),C(0,1,0),D(0,—1,0),E(0,,\.……8分0,,\,…………,分設平面SBD的一個法向量為n1=(父1,y1,z1),則{,,有:n1=(\3,—\3,1).……………………11分設平面EBD的一個法向量為n2=(父2,y2,z2),則{,,y2=0,2十\z2=0,令y2=1,得父2=—1,z2=—\,(22【高三數(shù)學參考答案第3頁(共5頁)】:n2=(—1,1,—\).………………………13分:cos〈n1,n2〉==\3\\=—3\305,…………14分由圖知二面角SBDE為銳角, 即二面角SBDE的余弦值為3\105………………15分17.【答案】(1)(1,e2)上單調(diào)遞減,(0,1)和(e2,十∞)上單調(diào)遞增(2)[1—2e,1十2e]【解析及評分細則】(1)當a=2時,f(父)=父(ln父—2)2,fI(父)=ln父(ln父—2),………2分:當父∈(0,1)時,fI(父)>0,f(父)單調(diào)遞增,當父∈(1,e2)時,fI(父)<0,f(父)單調(diào)遞減,當父∈(e2,十∞)時,fI(父)>0,f(父)單調(diào)遞增,……………4分:f(父)在區(qū)間(1,e2)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,1)和(e2,十∞)上單調(diào)遞增;………………5分(2)fI(父)=(ln父—a)(ln父—a十2),令fI(父)=0,解得父=ea—2或父=ea,………………6分:當父∈(0,ea—2)時,fI(父)>0,f(父)單調(diào)遞增,當父∈(ea—2,ea)時,fI(父)<0,f(父)單調(diào)遞減,當父∈(ea,十∞)時,fI(父)>0,f(父)單調(diào)遞增,……………8分:f(父)在父=ea—2處取得極大值,f(ea—2)=4ea—2,…………9分a—2≥e,即a≥3時,f(父)在父=e處取得最大值,:f(e)=e(1—a)2≤4e3,解得1—2e≤a≤1十2e,:3≤a≤1十2e,……11分當a<3時,f(父)在父=ea—2或父=e處取得最大值,:f(ea—2)=4ea—2≤4e3,f(e)=e(1—a)2≤4e3,解得,1—2e≤a<3,…………14分:a的取值范圍是[1—2e,1十2e].…………15分18.【答案】(1)父2=2y(2)(i)詳見解析(ii)【解析及評分細則】(1)設動圓圓心坐標為(父,y),“動圓過定點A(0,1),截父軸所得弦長為2,:父2十(y—1)2=|y|2十1,…………………2分整理得父2=2y,即動圓圓心的軌跡方程C:父2=2y;………4分(2)(i)不妨設B(父1,y1),D(父2,y2),M(m,y0),由題滿足2,父=2y1,,父=2y2,,=y1—y2,父1—父2兩式作差得(父1十父2)(父1—父2)=2(y1—y2),………5分即m=KBD,……………6分“過點M與y軸平行的直線交曲線C于點N,:N(m,,……………7分“C:父2=2y,即y=2,:yI=父,……………8分:KNP=m=KBD,即BDⅡNP;………………9分(ii)“M在直線y=父上,:M(m,m),“M為B,D中點,:M在曲線C內(nèi)部,……………………10分:m2<2m,解得m∈(0,2),…………………11分由(i)BDⅡNP,:點B到直線NP的距離即為平行線BD和NP間距離,“直線BD:y—m=m(父—m),即m父—y—m2十m=0,直線NP:y—=m(父—m),即m父—y—=0,【高三數(shù)學參考答案第4頁(共5頁)】:平行線BD和NP間距離為d==,……12分 \1十m22\1十m2“|NP|=\1十m2|父N—父P|=\1十m2|m|,……………13分:S△BNP=.|NP|.d=.2|212|.\1十m2|m|=.|2m—m2|.|m|,“m∈(0,2),:S△BNP=(2m2—m3),……………………14分令f(m)=2m2—m3,fI(m)=4m—3m2,令fI(m)=0,解得m=0或m=,………………………15分:m∈(0,,fI(m)>0,f(m)單調(diào)遞增;,fI(m)<0,f(m)單調(diào)遞減,…………………16分:f(m)最大值為f=,42727.:△BNP面積的最大值為1×32=842727.19.【答案】(1){3,9,12}(2)詳見解析(3)存在,q=2【解析及評分細則】(1)當n=2時,A={1}或A={2},A={1,2},…………2分:31=3,32=9,31十32=12,S(A)的可能取值為3,9,12,…………………3分:S(A)的取值集合為{3,9,12};……………4分(2)設集合Ai={t1,t2,…,ti},Aj={m1,m2,…,mj},Ai與Aj中相同的元素不予考慮,其中t1<t2<…<ti,m1<m2<…<mj,假設ti>mj,則qm1十qm2十…十qmj≤q1十q2十q3十…十qti—1,…………