2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)提高講義：數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想

知識(shí)梳理

1.以數(shù)助形

要在解題中有效地實(shí)現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”，最好能夠明確“數(shù)”與“形”常見的結(jié)合點(diǎn)，從“以數(shù)助形”角度來(lái)看，主要有

以下兩個(gè)結(jié)合點(diǎn)：

⑴利用數(shù)軸、坐標(biāo)系把幾何問(wèn)題代數(shù)化(在高中我們還將學(xué)到用“向量”把幾何問(wèn)題代數(shù)化).

(2)利用面積、距離、角度等幾何量來(lái)解決幾何問(wèn)題，例如，利用勾股定理證明直角，利用三角函數(shù)研究角的

大小，利用線段比例證明相似，等等.

2.以形助數(shù)

幾何圖形在數(shù)學(xué)中所具有的最大優(yōu)勢(shì)就是直觀易懂，所以在談到“數(shù)形結(jié)合”思想時(shí)，就更偏好于“以形助數(shù)”的

方法，利用幾何圖形解決某些不易求解的代數(shù)問(wèn)題.幾何圖形直觀地運(yùn)用于代數(shù)中主要體現(xiàn)在幾個(gè)方面：

(1)利用相關(guān)的幾何圖形幫助記憶代數(shù)公式，例如，利用圖形面積關(guān)系記憶完全平方公式與平方差公式.

(2)利用數(shù)軸及平面直角坐標(biāo)系對(duì)一些代數(shù)表達(dá)式賦予幾何意義，通過(guò)構(gòu)造幾何圖形，進(jìn)而幫助求解相關(guān)的代

數(shù)問(wèn)題，或者簡(jiǎn)化相關(guān)的代數(shù)運(yùn)算.

典型例題

例1

在等腰△ABC中,4B=2C=5,BC=6,,P是底邊上任一點(diǎn)，求P到兩腰的距離之和.分析P到兩腰距離之和

等于腰上的高(用面積法易證).

解J5?—=4,4x6+5=稱

例2

已知a,b均為正數(shù)，且a+b=2.求Va2+4+，爐+1的最小值.

分析可把y/a2+4+后41看作點(diǎn)(a,0)到點(diǎn)(0,2)和點(diǎn)(2,-1)的距離之和,這就相當(dāng)于求x軸上一點(diǎn)到點(diǎn)(0,2)和

點(diǎn)(2,1)的距離之和的最小值，即為兩點(diǎn)連線的長(zhǎng)度，也就是解因?yàn)閍+b=2

所以a-2=b

所以+Vb^Tl=7(a-0)2+(0-2)2+/(a-2尸+(0一(一1))2

即為(a,0倒點(diǎn)(0,2)和點(diǎn)(2,-1)的距離之和.

所以最小值為J(0—2尸+(2+=V13

例3

若將數(shù)軸折疊，使得點(diǎn)A與-2表示的點(diǎn)重合，若數(shù)軸上M,N兩點(diǎn)之間的距離為2012(M在N的左側(cè)),且

M,N兩點(diǎn)經(jīng)過(guò)折疊后互相重合，則M,N兩點(diǎn)表示的數(shù)分別是M：,N:.

BA

_______1I11.111,1111.

-6-5-4-3-2-10)2345x

圖25-1

分析A與-2重合可知，中點(diǎn)應(yīng)為-右又因?yàn)镹—M=2012,并且M,N關(guān)于中點(diǎn)對(duì)稱，則M為-1006|,N為1005

1

2

解一10061,1005：

例4

數(shù)軸上標(biāo)出若干個(gè)點(diǎn)，每相鄰兩點(diǎn)相距一個(gè)單位，點(diǎn)A,B,C,D分別表示整數(shù)a,b,c,d,且d-2a=10,則

原點(diǎn)在()的位置.

A.點(diǎn)AB.點(diǎn)BC.點(diǎn)CD.點(diǎn)D

ABCDx

圖25-2

分析d-2a=10可化為d-a=10+a,而d-a就是AD的距離7,a為--3,,則B為原點(diǎn).解B

雙基訓(xùn)練

1一次函數(shù)y=mx+|m川的圖像過(guò)點(diǎn)(0,2),且y隨x的增大而增大，則m=().

A.-1B.3C.lD.-1或3

2.下列說(shuō)法正確的是().

A.若a,b,c是小ABC的三邊，則a2+b2=c2

B.若a,b,c是RtAABC的三邊，則a2+b2=c2

C.若a,b,c是RtAABC的三邊,/A=90。,則a2+b2=c2

D若a,b,c是RtAABC的三邊,/C=90。廁a2+b2=c2

3.點(diǎn)P(-3,5)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)是().

A.(3,5)B.(5,-3)C.(3,-5)D.(-3,-5)

4.下列各組數(shù)中，不能構(gòu)成直角三角形的一組是().

A.1,2,V5B.1,2,V3C.3,4,5D.6,8,12

5.已知點(diǎn)A(3,2),AC±x軸,垂足為C,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為().

A.(0,0)B.(0,2)C.(3,0)D.(0,3)

6.若實(shí)數(shù)a、b、c滿足a+b+c=0,且a<b<c廁函數(shù)y=ax+c的圖像可能是().

7.把△ABC各點(diǎn)的橫坐標(biāo)都乘以-1,縱坐標(biāo)都乘以-1,符合上述要求的圖是().

8.已知正比例函數(shù)y=kx(厚0)的函數(shù)值y隨x的增大而增大，則一次函數(shù)y=x+k的圖像大致是().

A.2,3,4B.1,V2,V3C.5,12,13D.9,40,41

10.直線y=2x+b與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(2,0),則關(guān)于x的方程2x+b=0的解是x=

11.斜邊的邊長(zhǎng)為17厘米，一條直角邊長(zhǎng)為8厘米的直角三角形的面積是一

12.點(diǎn)A(3,b)在第一象限,那么點(diǎn)B(3,-b)在第象限.

13.一個(gè)三角形三邊之比是10：8：6,則按角分類它是—三角形.

14.直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為3和4,則斜邊上的高為

15.已知x軸上的點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為3,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為—.

16.一長(zhǎng)方形的一邊長(zhǎng)為3厘米，面積為12平方厘米，那么它的一條對(duì)角線長(zhǎng)是.

17一次函數(shù)丫二)^!!的圖像與正比例函數(shù)y=2x的圖像平行且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,-2),貝kb=

18.點(diǎn)A(2,y)與點(diǎn)B(x,-3)關(guān)于y軸對(duì)稱，則xy=.

19.已知點(diǎn)A(a-1,5)和點(diǎn)B(2,b-1)關(guān)于x軸對(duì)稱，求((a+6產(chǎn)03的值

20.已知關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解共有2個(gè)，則a的取值范圍是」

能力提升

21.如圖25-3所示，半圓I和半圓II的面積之和等于半圓III的面積，則△ABC為（）.

C.銳角三角形D.不能確定

22.下列條件中，不能判斷一個(gè)三角形是直角三角形的是（）.

A.三個(gè)角的比為1:2:3B.三條邊滿足關(guān)系a2^b2-c2

C.三條邊的比為1:2:3D.三個(gè)角滿足關(guān)系ZB+ZC=N4

23.甲、乙兩人同時(shí)沿著一條筆直的公路朝同一方向前行，開始時(shí)，乙在甲前2千米處，甲、乙兩人行走的路

程S（千米）與時(shí)間t（小時(shí)）的函數(shù)圖像（如圖25-4所示），下列說(shuō)法正確的是（）.

A.乙的速度為4千米/時(shí)B.經(jīng)過(guò)1小時(shí)，甲追上乙

C.經(jīng)過(guò)0.5小時(shí)，乙行走的路程約為2千米D.經(jīng)過(guò)1.5小時(shí)，乙在甲的前面

24.一次函數(shù)y=kx+6的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,2）,且與直線y=）平行，則該一次函數(shù)的表達(dá)式為.

25.將如圖25-5所示的五個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形組成的十字形剪拼成一個(gè)正方形.

圖25-5

26.如圖25-6所示,△ABC是一塊銳角三角形余料，邊AD=80毫米,BC=120毫米,要把它加工成一個(gè)矩形零件，

使矩形的一邊在BC上,其余兩個(gè)定點(diǎn)分別在AB,AC±,設(shè)該矩形的長(zhǎng)QM=y毫米，寬MN=x毫米.當(dāng)x與y分

別取什么值時(shí)，矩形PQMN的面積最大?最大面積是多少？

圖25-6

27如圖25-7所示的圓柱體中底面圓的半徑是"高為2,若一只小蟲從點(diǎn)A出發(fā)沿著圓柱體的側(cè)面爬行到C

71

點(diǎn)，則小蟲爬行的最短路程是多少?(結(jié)果保留根號(hào))

28.某通信公司推出①②兩種通信收費(fèi)方式供用戶選擇，其中一種有月租費(fèi)1另一種尢月租費(fèi)1且兩種收費(fèi)方

式的通信時(shí)間x(分鐘)與收費(fèi)y(元)之間的函數(shù)關(guān)系如圖25-8所示.

(1)有月租費(fèi)的收費(fèi)方式是(填①或②)，月租費(fèi)是^一元.

(2)分別求出①②兩種收費(fèi)方式中y與自變量x之間的函數(shù)關(guān)系式.

(3)請(qǐng)你根據(jù)用戶通信時(shí)間的多少，給出經(jīng)濟(jì)實(shí)惠的選擇建議.

W元:］……-

此第，「;一

I4)2(io3員4、05Go力分鐘

圖25-8

29.如圖25-9所示,有一塊直角三角形紙片，兩直角邊.AC=6厘米,BC=8厘米，現(xiàn)將直角邊AC沿直線A

D折疊，使AC恰好落在斜邊AB上，且點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，求CD的長(zhǎng).

A

CDB

圖25-9

30.正比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖像如圖25-10所示，它們的交點(diǎn)為A(4,B3)為,一次函數(shù)與y軸的交點(diǎn).

⑴求正比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達(dá)式.

(2)求^AOB的面積.M

X\O1/234r

￥

圖25-10

拓展資源

31.如圖25-11所示，點(diǎn)P是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn),P力=3,PB=4,PC=5,,求PD的長(zhǎng).

32.如圖25-12所示是一根木棒放在數(shù)軸上，木棒的左端與數(shù)軸上的點(diǎn)A重合，右端與點(diǎn)B重合.

X

圖25-12

（1）若將木棒沿?cái)?shù)軸向右水平移動(dòng)，則當(dāng)它的左端移動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，它的右端在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)為20；若將木

棒沿?cái)?shù)軸向左水平移動(dòng)，則當(dāng)它的右端移動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，則它的左端在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)為5（單位：厘米）,由此可

得到木棒長(zhǎng)為一厘米.

（2）由題⑴的啟發(fā)，請(qǐng)你借助“數(shù)軸”這個(gè)工具幫助小紅解決下列問(wèn)題：

一天，小紅去問(wèn)曾當(dāng)過(guò)數(shù)學(xué)老師現(xiàn)在退休在家的爺爺?shù)哪挲g，爺爺說(shuō)：“我若是你現(xiàn)在這么大，你還要40年

才出生；你若是我現(xiàn)在這么大，我已經(jīng)125歲，是老壽星了，哈哈！”那么爺爺現(xiàn)在多少歲了？

33.如圖25-13所示，圖①是一塊邊長(zhǎng)為1,周長(zhǎng)記為”的正三角形紙板，沿圖①的底邊剪去一塊邊長(zhǎng)為之的

正三角形紙板后得到圖②，然后沿同一底邊依次剪去一塊更小的正三角形紙板（即其邊長(zhǎng)為前一塊被剪掉正三角形

紙板邊長(zhǎng)的》后得圖③，④，…，記第n（吟3）塊紙板的周長(zhǎng)為Pn，則P團(tuán)-P回.1=

第25講

1.B2.D3.D4.D5.C

6.A7.C8.A9.A10.2

11.60平方厘米12.四13.直角14.y15.(3,0)或(-3,0)

16.5厘米17.-818.619.-120.-l<a<0

2