2024年中考數(shù)學壓軸題型隱圓問題3種模型

專題13隱圓問題3種模型

壓軸題密押

通用的解題思路：

隱圓一般有如下呈現(xiàn)方式：（1）定點定長：當遇到同一個端點出發(fā)的等長線段時，通常以這個端點為圓心，

等線段長為半徑構造輔助圓；（2）定弦定角：當遇到動點對定點對定線段所張的角為定值時，通常把張角

轉化為圓周角構造輔助圓。當遇到直角時，通常以斜邊為直徑構造輔助圓。（3）四點共圓：對角互補的四

邊形的四個頂點共圓。隱圓常與線段最值結合考查。

壓軸題預測

類型1：定點定長

1.（2023?新城區(qū)校級三模）圓的定義：在同一平面內，到定點的距離等于定長的所有點所組成的圖形.

（1）己知：如圖1,OA=OB=OC,請利用圓規(guī)畫出過A、B.。三點的圓.若NAOB=70。，則/4CB=

35°

如圖，RtAABC中，NABC=90。，ZBCA=30°,AB=2.

（2）已知，如圖2.點P為AC邊的中點，將AC沿54方向平移2個單位長度，點A、P、C的對應點分

別為點E、F,求四邊形引才C的面積和N3E4的大小.

（3）如圖3,將AC邊沿3C方向平移a個單位至DF,是否存在這樣的a,使得直線DF上有一點。，滿

足N3Q4=45。且此時四邊形B4D尸的面積最大？若存在，求出四邊形獷面積的最大值及平移距離a,

若不存在，說明理由.

【分析】（1）利用圓的定義知A,B,C三點共圓，再利用圓周角定理求解.

（2）根據(jù)圖形的平移性質，判定平移后圖形形狀，繼而確定面積的計算方式和方法，角度問題也迎刃而解.

（3）因角度不變，借助圓周角定點在圓周上運動時角度不變的思想，判斷出。點能夠向右移動的最大距離,

求出四邊形的最大面積.

【解答】（1）以。為圓心，為半徑作輔助圓，如圖,

ZAOB=70°，

;.ZACB=35°,

故答案為35。.

(2)連接PB,PE,如圖,

RtAABC中，ZABC=90°,ZBCA=30°,AB=2.

r.AC=4,ZB4c=60。，BC=273.

尸為RtAABC斜邊AC中點，

:.BP^-AC^2,

2

線段AC平移到DF之后，AB=AD=PE=2,BP=AE=2,

.??四邊形ABPE為菱形，

Nfi4c=60°,

:.ZBEA=30°,

CF//BD,且ZABC=90°,

，四邊形為直角梯形，

:.S=g(BD+CF)xBC=gx6x26=6?,

(3)如圖所示，以AB為斜邊在AB的右側作等腰直角三角形。18,以。為圓心，為半徑作O,

當AC邊沿3c方向平移。個單位至小時，

滿足ZBO4=45°且此時四邊形BADF的面積最大，

二直線DF與。相切于點Q,

連接。。交AD于G,過點。作于

則ZAHO=NO/IG=〃QG=90°,ZOAH^45°,ZGDQ=30°,

ZABC=9Q°,ZBG4=30°,AB=2,

BC=2A/3,OA=OB=OQ=垃,

：.AH=OH=I,HG=—,OG=—,

33

:.GQ=^2-^~,￡>G=2GQ=2夜一

AO=A"+HG+GO=1+3+2及-迪=1+20-G,

33

tz—1+2,\/2-，x/s,

此時直角梯形ABO的最大面積為：

s=1x(BF+AD)XA5=1X(2^+1+2A/2-A/3+1+272-A/3)X2=4^+2.

【點評】本題主要考查圖形的平移，圓心角，圓周角之間的關系，解題的關鍵是數(shù)形結合，找到極值點求

解.

2.(2024?蘭州模擬)綜合與實踐

【問題情境】在數(shù)學綜合實踐課上，“希望小組”的同學們以三角形為背景，探究圖形變化過程中的幾何問

題，如圖，在AABC中，AB=AC,NBAC=90。，點D為平面內一點(點A,B,。三點不共線)，AE為

的中線.

【初步嘗試】(1)如圖1,小林同學發(fā)現(xiàn)：延長AE至點使得ME=AE,連接。0.始終存在以下兩

個結論，請你在①，②中挑選一個進行證明：

@DM^AC；②ZMZM+NZMB=180°；

【類比探究】⑵如圖2,將4)繞點A順時針旋轉90。得到AF,連接CF.小斌同學沿著小林同學的思

考進一步探究后發(fā)現(xiàn)：AE=-CF,請你幫他證明；

2

【拓展延伸】(3)如圖3,在(2)的條件下，王老師提出新的探究方向：點。在以點A為圓心，AD為半

徑的圓上運動(AD>AB),直線AE與直線CF相交于點G,連接3G,在點。的運動過程中3G存在最大

值.若筋=4,請直接寫出3G的最大值.

【分析】(1)利用S4s證明AABEMAMDE,可得=再結合AB=AC,即可證得。暇=AC；由全

等三角形性質可得ZBAE=ZDME,再運用平行線的判定和性質即可證得ZMDA+ZDAB=180°；

(2)延長AE至點〃，使得加E=AE,連接DM.利用&4S證得AACF三ADM4,可得CF=AM,再由

AE=-AM,可證得

22

(3)延長94至使A〃=AD,設AM交CF于N,連接B版交CF于K,取AC中點尸，連接GP,

可證得AAC尸=AABM(S4S),利用三角形中位線定理可得A￡7ABM,即4;〃3對，利用直角三角形性質

n\^GP=-AC=-AB=2,得出點G在以尸為圓心，2為半徑的尸上運動，連接3尸并延長交；產于G',

22

可得3G的長為3G的最大值，再運用勾股定理即可求得答案.

【解答】(1)證明：①-AE為人鉆￡>的中線，

:.BE=DE,

在AABE和AMDE中,

BE=DE

<NAEB=ZMED,

AE=ME

:.^ABE=AMDE(SAS),

AB=AC,

.\DM=AC；

②由①知AABE3AMDE,

:.ZBAE=ZDME,

:.AB//DM,

:.ZMDA+ZDAB=180°；

(2)證明：延長AE至點使得血石=鉆，連接。0.

圖2

由旋轉得：AF=AD,NZMF=90。，

ZBAC=90°,ZDAF+ZBAC-^ZBAD+ZCAF=360°,

..ZBAD+ZCAF=180°,

由(1)②得：ZMZM+ZZMB=180。，DM=AB=AC,

.\ZCAF=ZMDA,

在AACF和ADM4中，

AF=AD

<ZCAF=ZMDA,

AC=DM

.\AACF=M)MA(SAS)f

:.CF=AM,

AE=-AM,

2

AE=-CF；

2

(3)如圖3,延長A4至M,使=設40交CF于N,連接風0交CF于K,取AC中點尸，連

接GP,

F

圖3

由旋轉得：AF=AD,ZDAF=90°,

:.AF=AM,ZMAF=180°-90°=90°,

ZBAC=900,

/.ZMAF+Z.CAM=ZBAC+Z.CAM,

即ZCAF=ZBAM,

在AACF和AABW中，

AC=AB

<ZCAF=ZBAM,

AF=AM

:.AACF=AABM(SAS),

:.ZAFC=ZAMB,^ZAFN=AKMN,

-ZANF=ZKNM,

:.ZFAN=ZMKN=90°,

.\BM±CF,

E、A分別是08、DM的中點，

.?.人石是ABDM的中位線，

:.AE//BMf即AG//BM,

.\AG±CF,

ZAGC=90°,

?點P是AC的中點，

:.GP=-AC=-AB=2,

22

.?.點G在以尸為圓心，2為半徑的：尸上運動,

連接成并延長交,：尸于G'

，3G的長為BG的最大值,

在RtAABP中，BP=JA印2+4-、=必+22=26,

.-.BG'=BP+PG'=2^/5+2,

的最大值為2石+2.

【點評】本題是幾何綜合題，考查了三角形的全等的性質與判定，兩直線垂直的判定，三角形中位線定理，

勾股定理，圓的性質，熟練掌握全等三角形的判定定理是解決本題的關鍵.

3.（2022?番禺區(qū)二模）已知拋物線>=依2+云-］（4>0）與x軸交于點A,3兩點，OA<OB,AB=4.其

頂點C的橫坐標為-1.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）設點。在拋物線第一象限的圖象上，DELAC垂足為E,OF//y軸交直線AC于點當ADEF面

積等于4時，求點。的坐標；

（3）在（2）的條件下，點M是拋物線上的一點，M點從點3運動到達點C,FM工FN交直線BD于點N,

延長與線段OE的延長線交于點7/,點尸為N,F,a三點構成的三角形的外心，求點尸經過的路線

長.

【分析】（1）利用對稱性，求得A和3的坐標，然后用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式；

（2）證明ACG4和ADEF都為等腰直角三角形，利用等面積法求得DF=4,再求得直線AC的解析式為

y=x-l,設點。的坐標，得到點P的坐標，然后求解即可；

（3）先求得ZBDF=45°,推出點P的運動路徑時HN的中點繞點F逆時針旋轉90。得到N2H的中點之間

的弧長，證明四邊形。以/石為正方形，即可求解.

【解答】解：（1）.,點A,點3兩點關于直線x=-1對稱，AB—4,

.?.4(1,0),6(-3,0),

.3

代入y=ax2+Z?x——得，

3

a+b——=0r1

.2,解得："=5,

9a-3b——=0b=l

[21

拋物線的解析式為y=-x2+x--.

"22

(2)如圖1所示：

DP//y軸//GC,

.\ZGCA=ZDFE,

2

拋物線的解析式為y=；/+X-|=1(X+1)-2,

頂點C(-l,-2),

A(1,O),

r.AG=2,CG=2,

;.ACG4為等腰直角三角形，

ZGCA=ZDFE=45°,

DEYAC,

」.ADEF為等腰直角三角形，

:.DE=EF,DF=^2DE,

S^EF=；DE-EF=4,

DE=2A/2,

:.DF=yf2x2y/2=4,

設直線AC的解析式為丫=區(qū)+6,則

k+b=Ok=l

解得:

-k+b=-2b=-l

直線AC的解析式為y=x-1,

設點D(x,—x2+x--),則F(x,x-1),

22

1311

:.DF=-x19+x------(x—1)=—％92一=4,

2222

解得：%=3或尤=—3(舍),

.-.￡)(3,6),F(3,2).

(3)如圖2所示，

A/VFH是直角三角形，

/.ANFH的外心是斜邊NH的中點，

當點M位于點5時，其外心是斜邊乜乂的中點，

當點M位于點。時，得△生產石，其外心是斜邊乂區(qū)的中點，即外石的中點,

D(3,6),5(-3,0),

3+3

tanZBDF=——=1,

6

:.ZBDF=45°,

由(2)得，NFDE=45°,

ZDBA=ZBAC=45°,

:.BD//AC,

:.FN±BD,

尸平分ZBDE,ZBDE=90°,

.?.點D,N,F,"四點共圓，

二點尸在線段DF的垂直平分線上，即點尸在上運動，即點尸的運動軌跡是一條線段.

Z.DN2F=ZN2DH=NDHF=90°,FN2=FE,

四邊形DV?尸E為正方形，

此時點尸在。尸上，且EP=2；

當點M與點C重合時，此時點P在。尸上，即為外，且理=砍=2,

由題意，BN2=BD-DN2=4,BF=25,N4=2也,FN2/!DHl,

:ZFN[SABH\D,

BN2—,解得Fg=質,

BD

:.F^=45,

由勾股定理可得：45=1，

即點P的運動軌跡長為1.

【點評】本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，包括待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，三角形外接圓的性質，弧

長公式，勾股定理，三角函數(shù)解直角三角形等，理解題意，作出相應輔助線是解題的關鍵.

4.（2021?紅谷灘區(qū)校級模擬）（1）學習心得：小剛同學在學習完“圓”這一章內容后，感覺到有一些幾何

問題，如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以使問題變得非常容易.

例如：如圖1,在AABC中，AB=AC,ABAC=80°,。是AABC外一點，且AD=AC,求N3DC的度數(shù).若

以點A為圓心，AB為半徑作輔助圓A,則點C、。必在A上，ZB4c是A的圓心角，而N3DC是圓

周角，從而可容易得到NBDC=_40。—.

(2)問題解決:

如圖，在四邊形ABCD中，ZBAD=ZBCD=9Q>°,NBDC=25。,求NBAC的度數(shù).

(3)問題拓展：

拋物線y=-；(x-l)2+3與y軸交于點A,頂點為3,對稱軸BC與x軸交于點C,點尸在拋物線上，直線

PQ//3C交x軸于點。，連接3。.

①若含45。角的直線三角板如圖所示放置，其中，一個頂點與C重合，直角頂點。在3。上，另一頂點E在

尸。上，求。的坐標；

②若含30。角的直角三角板一個頂點與點C重合，直角頂點。在2。上，另一個頂點E在尸。上，點。與點

B,點。不重合，求點P的坐標.

【分析】(1)利用同弦所對的圓周角是所對圓心角的一半求解.

(2)由A、B、C、。共圓，得出NBDC=Nfi4C,

(3)①先求出拋物線頂點的坐標，再由點￡)、C、。、E共圓，得出NCQB=NOEO=45。，求出CQ,

再求點Q的坐標.

②分兩種情況，I、當30。的角的頂點與點C重合時，II、當60。的角的頂點與點C重合時，運用點。、C、

Q、E共圓，求出CQ即點P的橫坐標，再代入拋物線求出點P的縱坐標，即可求出點P的坐標.

【解答】解：(1)AB=AC,AD=AC,

,以點A為圓心，點3、C、。必在A上，

ZBAC是A的圓心角，而N3D。是圓周角，

ZBDC=-ABAC=40°,

2

(2)如圖2,

■/ZBAD=NBCD=90。,

，點A、B、C、。共圓,

:.ZBDC=ZBAC,

NBDC=25。,

.\ZBAC=25°,

.?.點B的坐標為(1,3),

45。角的直角三角板如圖所示放置，其中，一個頂點與。重合，直角頂點。在5Q上，另一頂點石在尸。上,

.?.點。、C、。、石共圓，

ZCQB=ZCED=45°,

/.CQ=BC=3,

.?.點。的坐標為(4,0),

I、當30。的角的頂點與點C重合時，

,直角三角板30。角的頂點與點C重合，直角頂點。在上，另一個頂點E在PQ上

:.點D、C、Q、E共圓，

ZCQB=ZCED=6Q°,

:.CQ=^-BC=y/3,

02=1+73,

.?.把1+有L代入＞=一一1（％-1）2+3得'=一9,

44

...點尸的坐標是（1+拓，2）

直角三角板60。角的頂點與點。重合，直角頂點。在5。上，另一個頂點石在尸。上

.?.點。、C、。、石共圓，

ZCQB=ZCED=30°f

:.CQ=y/3BC=3A/3,

OQ=1+3y/3,

.?.把1+36代入y=-，（x-l）2+3得y=_"，

"44

二點P的坐標是（1+3』，-，）

綜上所述，點P的坐標是（1+退，》或（1+3君，

【點評】本題主要考查了圓的綜合題，解題的關鍵就是運用同弦對的圓周角相等.

類型2：定弦定角

1.（2022?雁塔區(qū)校級三模）問題提出

（1）如圖①，已知AASC為邊長為2的等邊三角形，則AABC的面積為—6_；

問題探究

（2）如圖②，在AABC中，已知NBAC=120。，BC=6百,求AABC的最大面積；

問題解決

（3）如圖③，某校學生禮堂的平面示意為矩形ABCD,其寬AB=20米，長3。=24米，為了能夠監(jiān)控到

禮堂內部情況，現(xiàn)需要在禮堂最尾端墻面CD上安裝一臺攝像頭”進行觀測，并且要求能觀測到禮堂前端

墻面AB區(qū)域，同時為了觀測效果達到最佳，還需要從點〃出發(fā)的觀測角4MB=45。，請你通過所學知識

進行分析，在墻面CD區(qū)域上是否存在點M滿足要求？若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由.

【分析】（1）作于。，由勾股定理求出題的長，即可求出面積；

（2）作AABC的外接圓O,可知點A在BC上運動，當HO_L3C時，AABC的面積最大，求出的長，

從而得出答案；

（3）以AS為邊,在矩形ABCD的內部作一個等腰直角三角形AOB,且NAOB=90。，過O作HG_LAB于

H,交CD于G,利用等腰直角三角形的性質求出。4,OG的長，則以O為圓心，為半徑的圓與CD相

交，從而：。上存在點滿足Z4MB=45。，此時滿足條件的有兩個點過監(jiān)作于F,作

“。，加/于石，連接OF,利用勾股定理求出OE的長，從而解決問題.

【解答】解：（1）作ADLBC于。，

A4BC是邊長為2的等邊三角形,

AD=VAB2-BD2=73,

.?.AABC的面積為一x2x真=5

2

故答案為：百；

（2）作AABC的外接圓二O,

ZfiL4C=120°,BC=6y/3,

.,.點A在5C上運動,

圖②

當AO_L3C時，AABC的面積最大，

:.ZBOA=60°,BH=CH=30,

:.OH=3,03=6,

:.AH=OA-OH=6-3=3,

1lr-

;.AASC的最大面積為—x6括x3=9j3；

2

(3)存在，以AB為邊，在矩形ABCD的內部作一個等腰直角三角形493,且NAOB=90。,

過O作“G_LA3于交CD于G,

B

圖③

AB=20米，

:.AH=OH=10^,04=10忘米，

3c=24米，

.?.OG=14米，

100>14,

，以。為圓心，Q4為半徑的圓與CD相交，

O上存在點滿足N4MB=45。，此時滿足條件的有兩個點M,

過作//_LAB于尸，作EO_LM/于E,連接',

D

圖③

.-.EF=OH=10^z,0Ml=10&米,

EM,=14米,

:.OE=JOM；-ME=2米,

:.CM}=8尸=8米,

同理CM?=2H+OE=10+2=12（米），

MC的長度為8米或12米.

【點評】本題是四邊形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質，矩形的性質，等腰直角三角形的性質，勾

股定理，垂徑定理等知識，熟練掌握定角定邊的基本模型是解題的關鍵.

2.（2023?浦橋區(qū)校級模擬）問題提出：（1）如圖①，AA5c為等腰三角形，NC=120。，AC=3C=8,D

是AB上一點，且CD平分AABC的面積，則線段CD的長度為4.

B

圖②圖③

問題探究：（2）如圖②，AABC中，ZC=120°,AB=10,試分析和判斷AABC的面積是否存在最大值,

若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由.

問題解決：（3）如圖③，2023年第九屆絲綢之路國際電影開幕式在西安曲江競技中心舉行，主辦方要在會

場旁規(guī)劃一個四邊形花圃A5co，滿足3c=600米，CD=300米，ZC=60°,NA=60。，主辦方打算過3C

的中點M點（入口）修建一條徑直的通道ME（寬度忽略不計）其中點E（出口）為四邊形ABCD邊上一

點，通道VE把四邊形ABCD分成面積相等并且盡可能大的兩部分，分別規(guī)劃成不同品種的花圃以供影迷

休閑觀賞.問是否存在滿足上述條件的通道ME?若存在，請求出點A距出口的距離短的長；若不存在,

請說明理由.

【分析】（1）由題意可知，8是AABC的中線，利用等腰三角形的性質推出CD，AB,利用三角函數(shù)求解

即可解決問題；

（2）當AABC的AB邊上的高CD最大時，三角形ABC的面積最大，即CD過圓心O,連接AO.求出CD

的最大值即可得出答案；

（3）連接DA/,BD.首先證明NBDC=90。，求出瓦＞,推出ABDC的面積是定值，要使得四邊形ABCD

的面積最大，只要A4BD的面積最大即可，因為3。為定值，為定角=60。，推出當AABD是等邊三角

形時，求出四邊形ABCD的面積最大值，然后再求出NMDE=90。，構建方程解決問題即可.

【解答】解：（1）如圖①，

圖①

CD平分AABC的面積,

AD—DB,

AC=5C=8,

:.CDLAB,ZACD=ZBCD=-ZACB=60°,

2

/.CZ)=ACcosZACD=8cos60°=4,

.??CD的長度為4,

故答案為：4；

（2）存在.如圖②,

圖②

AB=10,NACB=120。都是定值,

.?.點。在AB上，并且當點。在AB的中點時，AABC的面積最大;

連接OC交AB于點。，則CD_LAB,AD=BD=-AB=5,

2

ZACD=-ZACB=60°,

2

“cAD5AD5A/3

..tan2^ACD-......fCD------------------

CDtan6003

=-ABCD=^^-

一?q

23

答：AABC的面積最大值是苧

BD,

圖③

M是的中點,

/.CM=-BC=300，

2

:.CM=CD,

又ZC=60°,

NCMD是等邊二角形,

/.ZMDC=ZCMD=60°,CM=DM=BM,

ZCBD=ZMDB=30°,

，NBDC=90。,

:.BD=CD-tan60°=300百米，

在AABD中，8￡>=3006米，NA=60。為定值，

由（2）可知當鉆=4）時，即AABD為等邊三角形時A4BD的面積最大,

此時也為四邊形ABCD的最大值（A3DC的面積不變），

=5x300x30。用j3。。后=112500。

AABD是等邊三角形，

:.ZADB=60°,

ZADM=ZADB+ZBDM=90°,

由^\EMD+S&CDM=弓2at，付：

-DEx300+—x3002=-x112500^,

242

解得：DE=225A/3,

:.AE=AD-DE=300A/3-225A/3=75A/3（米），

答：點A距出口的距離AE的長為75百米.

【點評】本題是圓的綜合題，考查了勾股定理，垂徑定理，解直角二角形，等邊二角形的判定和性質等知

識，解題的關鍵是理解題意構造輔助圓，靈活運用所學知識解決問題，難度較大，屬于中考壓軸題.

3.(2023?柯城區(qū)校級一模)如圖，點A與點8的坐標分別是(1,0),(5,0),點尸是該直角坐標系內的一個

動點.

(1)使NAPB=30。的點P有無數(shù)個;

(2)若點尸在y軸上，且NAPB=30。，求滿足條件的點尸的坐標；

(3)當點P在y軸上移動時，NAPB是否有最大值？若有,求點P的坐標，并說明此時NAPB最大的理由；

若沒有，也請說明理由.

5-

4-

3-

2-

1-WB

IIII

-4-3-2-1O12345X

【分析】(1)已知點A、點5是定點，要使Z4PB=30。，只需點P在過點A、點3的圓上，且弧所對

的圓心角為60。即可，顯然符合條件的點P有無數(shù)個.

(2)結合(1)中的分析可知：當點P在y軸的正半軸上時，點尸是(1)中的圓與y軸的交點，借助于垂

徑定理、等邊三角形的性質、勾股定理等知識即可求出符合條件的點尸的坐標；當點尸在y軸的負半軸上

時，同理可求出符合條件的點P的坐標.

(3)由三角形外角的性質可證得：在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角大于同弧所對的圓外角.要NAPB最

大，只需構造過點A、點3且與y軸相切的圓，切點就是使得NAPB最大的點P,然后結合切線的性質、

三角形外角的性質、矩形的判定與性質、勾股定理等知識即可解決問題.

【解答】解：（1）以4?為邊，在第一象限內作等邊三角形ABC,

以點C為圓心，AC為半徑作?C,交y軸于點耳、P2.

在優(yōu)弧上任取一點P,如圖1,

則ZAPB」ZACB=1*60。=30。.

22

.?.使ZAPB=30。的點P有無數(shù)個.

故答案為：無數(shù).

(2)①當點尸在y軸的正半軸上時，

過點C作CG_LAB,垂足為G,如圖1.

點4(1,0)，點3(5,0),

；Q=1,OB=5.

「點C為圓心，CG±AB,

:.AG^BG=-AB=2.

2

/.OG=OA+AG=3.

,AA5C是等邊三角形，

,\AC=BC=AB=4.

:.CG=^AC--AG2

=>/42-22

=2A/3.

.?.點C的坐標為(3,2下).

過點C作軸，垂足為。，連接Cg,如圖1,

.點C的坐標為(3,273),

；.CD=3,OD=2A/3.

片、￡是：C與y軸的交點,

:.ZAPtB=ZAP2B=30°.

CP2=CA=4,CD=3,

DP2=442-32=由.

點C為圓心，CD±I]P2,

:.P.D=P,D^yp.

12V

.?.2(0,2鳳近).6(0,20+").

②當點尸在y軸的負半軸上時，

同理可得：4(0,-2石-S).巴(0,-26+嶼).

綜上所述：滿足條件的點P的坐標有：

(0,2^/3—^7)>(0,2\/3+?J1')>(0,—2A/3—A/7)(0,—2^/3+^7).

(3)當過點A、3的一￡與y軸相切于點尸時，ZAPB最大.

2

理由：可證：ZAPB^ZAEH,當NAPB最大時，ZAEH最大.由sinNAEH=——得：當AE最小即PE最

AE

小時，ZAEH最大.所以當圓與y軸相切時，ZAPB最大.

①當點尸在y軸的正半軸上時，

連接E4,作EH_Lx軸，垂足為H,如圖2.

E與y軸相切于點尸，

:.PE±OP.

EHLAB,OP工OH,

ZEPO=ZPOH=ZEHO=90°.

.?.四邊形OPE"是矩形.

:.OP=EH,PE=OH=3.

EA=3.

ZEHA=90°,AH=2,EA=3f

EH=dEA2-AH。

=732-22

=百

：.OP=y/5

:.p（o,5.

②當點尸在y軸的負半軸上時，

同理可得：尸（0,-?。?

理由：

①若點尸在y軸的正半軸上，

在y軸的正半軸上任取一點M（不與點尸重合），

連接Ml,MB,交E于點N,連接N4,如圖2所示.

N/WB是AAMV的外角，

:.ZANB>ZAMB.

ZAPB=ZANB,

:.ZAPB>ZAMB.

②若點尸在y軸的負半軸上，

同理可證得：ZAPB>ZAMB.

綜上所述：當點尸在y軸上移動時，Z4P3有最大值，

此時點P的坐標為（0,A/5）和（0,-正）.

J*____?）

~~O'x

-圖1

【點評】本題考查了垂徑定理、圓周角定理、勾股定理、等邊三角形的性質、矩形的判定與性質，切線的

性質、三角形外角性質等知識，綜合性強.同時也考查了創(chuàng)造性思維，有一定的難度.構造輔助圓是解決

本題關鍵.

類型3：四點共圓

1.（2022?中原區(qū)校級模擬）閱讀下列材料，并完成相應的任務.

西姆松定理是一個平面幾何定理，其表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點

作三邊或其延長線的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）.

某數(shù)學興趣小組的同學們嘗試證明該定理.

如圖（1）,已知AABC內接于O,點P在。上（不與點A,B,C重合），過點P分別作

AB,BC,AC的垂線，垂足分別為點。，E,F.求證：點。，E,尸在同一條直線上.

如下是他們的證明過程（不完整）：

如圖（1）,連接PB,PC,DE,EF,取PC的中點Q,連接QE.QF,

貝l」EQ=_FQ=gpC=PQ=CQ,（依據(jù)1）

.■點E,F,P,C四點共圓，

:.ZFCP+ZFEP=18O°.（依據(jù)2）

又-ZACP+ZABP=18O°,

:.ZFEP=ZABP.

同上可得點B,D,P,E四點共圓，

任務:

（1）填空:

①依據(jù)］指的是中點的定義及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；

②依據(jù)2指的是—.

(2)請將證明過程補充完整.

(3)善于思考的小虎發(fā)現(xiàn)當點尸是3c的中點時，BD=CF,請你利用圖(2)證明該結論的正確性.

【分析】(1)利用直角直角三角形斜邊上的中線的性質和圓內接四邊形對角互補即可；

(2)利用直角三角形斜邊上中線的性質證明點E,F,P,C和點3,D,P,E四點分別共圓，再說

明NEEP+ND￡P=180。，可證明結論；

(3)連接PB,PC,利用HL證明RtAPBD三RtAPCF,從而得出結論.

【解答】(1)解：①依據(jù)1指的是中點的定義及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，

②依據(jù)2指的是圓內接四邊形對角互補，

故答案為：①直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；②圓內接四邊形對角互補；

(2)解：如圖(1),連接P3,PC,DE,EF,取PC的中點。，連接QE.QF,

貝?。軪。=/。=；尸。=尸。=。。，

:.點、E,F,P,C四點共圓，

;.NFC尸+NFE尸=180°,

又：ZACP+ZABP=180°,

:.ZFEP=ZABP,

同上可得點3,D,P,E四點共圓，

:.ZDBP=ZDEP,

ZABP+ZDBP=180°,

ZFEP+ZDEP=180°,

:.點、D,E,尸在同一直線上;

（3）證明：如圖，連接B4,PB,PC,

BP=PC,

:.BP=PC,APAD=ZPAC,

又-PDLAD,PFYAC,

:.PD=PF,

RtAPBD=RtAPCF(HL),

;.BD=CF.

【點評】本題主要考查了四點共圓，以及圓內接四邊形的性質，角平分線的性質，全等三角形的判定與性

質等知識，證明RtAPBD=RtAPCF是解題的關鍵.

2.（2021?哈爾濱模擬）（1）【學習心得】

于彤同學在學習完“圓”這一章內容后，感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以

使問題變得非常容易.

例如：如圖1,在A4BC中，AB=AC,ZBAC=90°,。是AABC外一點，且AD=AC,求"DC的度數(shù).若

以點A為圓心，為半徑作輔助；A,則點C、。必在A上，44c是A的圓心角，而N3DC是圓周

角，從而可容易得到NfiDC=45

（2）【問題解決】

如圖2,在四邊形/WCD中，ZBAD=ZBCD=90°,NBDC=25。,求NBAC的度數(shù).

（3）【問題拓展】

如圖3,如圖，E,尸是正方形ABCD的邊相>上兩個動點，滿足AE=O/.連接CF交班）于點G,連接

BE交AG于點、H.若正方形的邊長為2,則線段D"長度的最小值是—.

【分析】（1）利用同弦所對的圓周角是所對圓心角的一半求解.

（2）由A、B、C、。共圓，得出ZBDC=/a4C,

（3）根據(jù)正方形的性質可得AB=AD=CD,ZBAD=ZCDA,ZADG=ZCDG,然后利用“邊角邊”證

明AABE和ADCF全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得4=/2,利用“SAS”證明AADG和ACDG全

等，根據(jù)全等二角形對應角相等可得N2=N3,從而得到4=N3,然后求出/討/6=90。，取AB的中點O,

連接OH、OD,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得08=，AB=1,利用勾股定理列式求

2

出C?,然后根據(jù)三角形的三邊關系可知當。、D、”三點共線時，DH的長度最小.

【解答】解：（1）如圖1,AB=AC,AD=AC,

,以點A為圓心，AB為半徑作圓A,點3、C、。必在（A上，

NS4c是A的圓心角，而NBZJC是圓周角，

ZBDC=-ABAC=45°,

2

故答案為：45；

（2）如圖2,取瓦）的中點O,連接AO、CO.

■.NBAD=NBCD=90。,

.?.點A、B、C、。共圓，

:.ZBDC=ZBAC，

■ZBDC=25°,

:.ZBAC=25°,

（3）如圖3,在正方形ABC。中，AB=AD=CD,ZBAD=ZCDA,ZADG=ZCDG,

在AABE和ADCF中，

AB=CD

<NBAD=ZCDA,

AE=DF

二.AABE二ADCF(SAS),

.-.Z1=Z2,

在AADG和ACDG中,

AD=CD

ZADG=ZCDG,

DG=DG

:.^ADG=^CDG(SAS),

...N2=N3,

/.Z1=Z3,

ZBAH+Z3=ZBAD=90°,

/.Zl+Z￡H77=90o,

ZAHB=180°-90°=90°,

取AB的中點O,連接O〃、OD,

2

在RtAAOD中，OD=^AO2+AD2=#+22=45,

根據(jù)三角形的三邊關系，OH+DH>OD,

.?.當O、D、〃三點共線時，的長度最小,

最小值=OD-OH=y/5-l.

（解法二：可以理解為點”是在RtAAHB,A5直徑的半圓AB上運動當O、H、。三點共線時,?！ㄩL

度最?。?/p>

故答案為：A/5-I.

BC

圖3

【點評】本題主要考查了圓的綜合題，需要掌握垂徑定理、圓周角定理、等腰直角三角形的性質以及勾股

定理等知識，難度偏大，解題時