2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)考點第七章數(shù)列等差數(shù)列及其前n項和理

等差數(shù)列及其前n項和1．等差數(shù)列的定義一般地，假如一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示．2．等差數(shù)列的通項公式假如等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，那么它的通項公式是an＝a1＋(n－1)d.3．等差中項由三個數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡潔的等差數(shù)列．這時，A叫做a與b的等差中項．4．等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為2d.(4)若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列．(5)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列．(6)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…構(gòu)成等差數(shù)列．(7)若{an}是等差數(shù)列，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差數(shù)列，其首項與{an}的首項相同，公差為eq\f(1,2)d.5．等差數(shù)列的前n項和公式設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，其前n項和Sn＝eq\f(na1＋an,2)或Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.6．等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n.數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))．7．等差數(shù)列的前n項和的最值在等差數(shù)列{an}中，a1>0，d<0，則Sn存在最大值；若a1<0，d>0，則Sn存在最小值．概念方法微思索1．“a，A，b是等差數(shù)列”是“A＝eq\f(a＋b,2)”的什么條件？提示充要條件．2．等差數(shù)列的前n項和Sn是項數(shù)n的二次函數(shù)嗎？提示不肯定．當(dāng)公差d＝0時，Sn＝na1，不是關(guān)于n的二次函數(shù)．1．（2024?北京）在等差數(shù)列中，，．記，2，，則數(shù)列A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項 C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，．由，得，而，可知數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，且前5項為負(fù)值，自第6項起先為正值．可知，，，為最大項，自起均小于0，且漸漸減?。?dāng)?shù)列有最大項，無最小項．故選．2．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層．上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊．下一層的第一環(huán)比上一層的最終一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊．已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石）A．3699塊 B．3474塊 C．3402塊 D．3339塊【答案】C【解析】方法一：設(shè)每一層有環(huán)，由題意可知從內(nèi)到外每環(huán)之間構(gòu)成等差數(shù)列，且公差，，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，，成等差數(shù)列，且，則，則，則三層共有扇面形石板塊，方法二：設(shè)第環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有環(huán)，則是以9為首項，9為公差的等差數(shù)列，，設(shè)為的前項和，則第一層、其次層、第三層的塊數(shù)分別為，，，下層比中層多729塊，，，，解得，，故選．3．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）記為等差數(shù)列的前項和．已知，，則A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，，，，故選．4．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）記為等差數(shù)列的前項和．若，，則A． B． C．10 D．12【答案】B【解析】為等差數(shù)列的前項和，，，，把，代入得．故選．5．（2024?全國）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，，，則公差的取值范圍是A． B． C． D．，【答案】A【解析】等差數(shù)列的前項和為，，，，，，解得．公差的取值范圍是，．故選．6．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）記為等差數(shù)列的前項和．若，，則的公差為A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】為等差數(shù)列的前項和，，，，解得，，的公差為4．故選．7．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）等差數(shù)列的首項為1，公差不為0．若，，成等比數(shù)列，則前6項的和為A． B． C．3 D．8【答案】A【解析】等差數(shù)列的首項為1，公差不為0．，，成等比數(shù)列，，，且，，解得，前6項的和為．故選．8．（2024?上海）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，且，則__________．【答案】【解析】依據(jù)題意，等差數(shù)列滿意，即，變形可得，所以．故答案為：．9．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）記為等差數(shù)列的前項和．若，，則__________．【答案】25【解析】因為等差數(shù)列中，，，所以，，即，則．故答案為：25．10．（2024?海南）將數(shù)列與的公共項從小到大排列得到數(shù)列，則的前項和為__________．【答案】【解析】將數(shù)列與的公共項從小到大排列得到數(shù)列，則是以1為首項、以6為公差的等差數(shù)列，故它的前項和為，故答案為：．11．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）記為等差數(shù)列的前項和．若，，則__________．【答案】100【解析】在等差數(shù)列中，由，，得，．則．故答案為：100．12．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）記為等差數(shù)列的前項和．若，，則__________．【答案】4【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由，可得，，，故答案為：4．13．（2024?北京）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則__________，的最小值為__________．【答案】0，【解析】設(shè)等差數(shù)列的前項和為，，，，解得，，，，或時，取最小值為．故答案為：0，．14．（2024?江蘇）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項和．若，，則的值是__________．【答案】16【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，則，解得．．故答案為：16．15．（2024?北京）設(shè)是等差數(shù)列，且，，則的通項公式為__________．【答案】【解析】是等差數(shù)列，且，，，解得，，．的通項公式為．故答案為：．16．（2024?上海）記等差數(shù)列的前項和為，若，，則__________．【答案】14【解析】等差數(shù)列的前項和為，，，，解得，，．故答案為：14．17．（2024?上海）已知是等差數(shù)列，若，則__________．【答案】15【解析】是等差數(shù)列，，，解得，．故答案為：15．18．（2024?上海）若等差數(shù)列的前5項的和為25，則__________．【答案】10【解析】等差數(shù)列的前5項的和為25，，．故答案為：10．19．（2024?北京）設(shè)是等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．（1）求的通項公式；（2）記的前項和為，求的最小值．【解析】（Ⅰ）是等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．，，解得，．（Ⅱ）由，，得：，或時，取最小值．20．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）記為等差數(shù)列的前項和．已知．（1）若，求的通項公式；（2）若，求使得的的取值范圍．【解析】（1）依據(jù)題意，等差數(shù)列中，設(shè)其公差為，若，則，變形可得，即，若，則，則，（2）若，則，當(dāng)時，不等式成立，當(dāng)時，有，變形可得，又由，即，則有，即，則有，又由，則有，則有，綜合可得：的取值范圍是，．21．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）記為等差數(shù)列的前項和，已知，．（1）求的通項公式；（2）求，并求的最小值．【解析】（1）等差數(shù)列中，，，，，解得，，；（2），，，，當(dāng)時，前項的和取得最小值為．強化訓(xùn)練強化訓(xùn)練1．（2024?運城模擬）已知等差數(shù)列的前項和為，滿意，且，，成等差數(shù)列，則A． B． C． D．【答案】B【解析】等差數(shù)列的前項和為，滿意，且，，成等差數(shù)列，，，即，，故公差，，且．，，故選．2．（2024?東湖區(qū)校級模擬）在等差數(shù)列中，，表示數(shù)列的前項和，則A．134 B．135 C．136 D．137【答案】B【解析】在等差數(shù)列中，，，解得，表示數(shù)列的前項和，則．故選．3．（2024?青羊區(qū)校級模擬）《周髀算經(jīng)》有這樣一個問題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種十二個節(jié)氣日影長減等寸，雨水、驚蟄、春分、清明日影之和為三丈二尺，前七個節(jié)氣日影之和為七丈三尺五寸，問立夏日影長為A．七尺五寸 B．六尺五寸 C．五尺五寸 D．四尺五寸【答案】D【解析】從冬至日起，日影長構(gòu)成數(shù)列，則數(shù)列是等差數(shù)列，則，，所以，解可得，，．故．故選．4．（2024?威海二模）我國天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣的晷長損益相同（晷是依據(jù)日影測定時刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度）．二十四節(jié)氣及晷長改變?nèi)鐖D所示，相鄰兩個節(jié)氣晷長削減或增加的量相同，周而復(fù)始．已知每年冬至的晷長為一丈三尺五寸，夏至的晷長為一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），則說法不正確的是A．相鄰兩個節(jié)氣晷長削減或增加的量為一尺 B．春分和秋分兩個節(jié)氣的晷長相同 C．立冬的晷長為一丈五寸 D．立春的晷長比立秋的晷長短【答案】D【解析】由題意知：設(shè)晷長為等差數(shù)列，公差為，則，，解得．相鄰兩個節(jié)氣晷長削減的量為一尺，故正確．秋分的晷長為：，春分的晷長為：75，春分和秋分兩個節(jié)氣的晷長相同，故正確．立冬的晷長為：即為一丈五寸，故正確．立春的晷長與立秋的晷長都為30，故不正確．故選．5．（2024?運城模擬）已知為等差數(shù)列的前項和，若，則A． B． C． D．【答案】A【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，解得．故選．6．（2024?福建模擬）等差數(shù)列的前項和為，若，是方程的兩實根．則A．10 B．5 C． D．【答案】C【解析】等差數(shù)列的前項和為，若，是方程的兩實根，，，則，故選．7．（2024?烏魯木齊三模）已知等差數(shù)列滿意，，則A．20 B．24 C．26 D．28【答案】B【解析】等差數(shù)列滿意，，設(shè)公差為，相減可得，．則，故選．8．（2024?南平三模）已知等差數(shù)列的前項和為，且滿意，，則下列結(jié)論正確的是A．有最大值32 B．有最小值10 C．有最大值 D．有最大值30【答案】D【解析】等差數(shù)列中，設(shè)公差為，由，得，所以；①又，即，化簡得；②由①②解得，；所以；令，解得；所以或6時，取得最大值，此時．故選．9．（2024?焦作四模）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，，，則A． B． C．36 D．85【答案】B【解析】由題意利用等差數(shù)列的性質(zhì)得，解得，所以，，故選．10．（2024?重慶模擬）設(shè)等差數(shù)列的公差為，前項和為，若，且，則A． B． C．1 D．3【答案】A【解析】等差數(shù)列中，，所以；又，所以；所以，解得．故選．11．（2024?唐山二模）已知等差數(shù)列的前項和為，，，則A． B．0 C．10 D．20【答案】C【解析】等差數(shù)列中，，，所以．故選．12．（2024?天津模擬）已知在等差數(shù)列中，，，則A．3 B．7 C． D．【答案】C【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)，得，所以，公差，又，所以．故選．13．（2024?梅州一模）已知等差數(shù)列的公差不為零，且，，構(gòu)成新的等差數(shù)列，為的前項和，若存在使得，則A．10 B．11 C．12 D．13【答案】D【解析】由題意可得，，，整理可得，即，，故．故選．14．（2024?寧德二模）已知等差數(shù)列的前項和為，且，則A．21 B．27 C．30 D．36【答案】B【解析】等差數(shù)列的前項和為，且，，則，故選．15．（2024?天心區(qū)校級模擬）數(shù)列是等差數(shù)列，且，，那么A． B． C．5 D．【答案】B【解析】，，數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為．，解得．，解得．故選．16．（2024?河南模擬）記等差數(shù)列的前項和為，若，，則A． B． C． D．0【答案】A【解析】等差數(shù)列的前項和為，，，也成等差數(shù)列，又，，，，故選．17．（2024?哈爾濱三模）數(shù)列是等差數(shù)列，且，，那么A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，且，，，，，解得．，．那么．故選．18．（2024?湖北模擬）已知首項為正的等差數(shù)列的前項和為，，若對于隨意的，都有，則A．8 B．9 C．8或9 D．9或10【答案】C【解析】首項為正的等差數(shù)列的前項和為，，，整理得：，可得，，可得或9時，取得最大值．對于隨意的，都有，則或9．故選．19．（2024?沙坪壩區(qū)校級模擬）設(shè)為等差數(shù)列的前項和，若，，則A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】為等差數(shù)列的前項和，，，，解得，，．故選．20．（2024?松原模擬）已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則公差A(yù)．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】等差數(shù)列中，，，則，解可得，，故選．21．（2024?三模擬）已知數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，首項，則它的前2024項的和等于A．0 B．1 C．2024 D．2024【答案】C【解析】數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，且首項，，即數(shù)列是常數(shù)列．它的前2024項的和等于2024．故選．22．（2024?運城模擬）等差數(shù)列的前項和為，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）當(dāng)時，證明：．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，．，，聯(lián)立解得：，，．（2）證明：當(dāng)時，．，．，．綜上可得：．23．（2024?安徽模擬）記為等差數(shù)列的前項和．已知，．（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）設(shè)．求數(shù)列的前項和．【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為．，．，，解得：，，．（Ⅱ），數(shù)列的前項和．24．（2024?漢中二模）設(shè)等差數(shù)列滿意，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）求的前項和及使得最小的的值．【解析】（1），，；（2），由于是二次函