2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)3.1.2第1課時(shí)單調(diào)性的定義與證明1課時(shí)作業(yè)含解析新人教B版必修第一冊(cè)

PAGEPAGE4課時(shí)作業(yè)22單調(diào)性的定義與證明(1)時(shí)間：45分鐘分值：100分eq\a\vs4\al(一、選擇題每小題6分，共計(jì)36分)1．若函數(shù)y＝f(x)，x∈[－4,4]的圖像如右圖所示，則函數(shù)f(x)的全部單調(diào)遞減區(qū)間為(C)A．[－4，－2]B．[1,4]C．[－4，－2]和[1,4]D．[－4，－2]∪[1,4]解析：由題圖可知，f(x)在[－4，－2]和[1,4]兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減，故選C.2．在區(qū)間(－∞，0)上為增函數(shù)的是(D)A．y＝－2x B．y＝eq\f(2,x)C．y＝|x| D．y＝－x2解析：A，B，C項(xiàng)中函數(shù)在區(qū)間(－∞，0)上為減函數(shù)，不符合要求；D項(xiàng)中函數(shù)在區(qū)間(－∞，0)上為增函數(shù)，在區(qū)間(0，＋∞)上為減函數(shù)，符合要求．3．設(shè)(a，b)，(c，d)都是f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1<x2，則f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系為(D)A．f(x1)<f(x2) B．f(x1)>f(x2)C．f(x1)＝f(x2) D．不能確定解析：由函數(shù)單調(diào)性的定義，知所取兩個(gè)自變量必需是同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的值，才能由該區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性來比較函數(shù)值的大小，而本題中的x1，x2不在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，所以f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系不能確定．故選D.4．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?a，b)，且對(duì)其內(nèi)隨意實(shí)數(shù)x1，x2均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，則f(x)在(a，b)上是(B)A．增函數(shù) B．減函數(shù)C．不增不減函數(shù) D．既增又減函數(shù)解析：∵(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1－x2<0，,fx1－fx2>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1－x2>0，,fx1－fx2<0.))即當(dāng)x1<x2時(shí)，f(x1)>f(x2)或當(dāng)x1>x2時(shí)，f(x1)<f(x2)．不論哪種狀況，都說明f(x)在(a，b)上為減函數(shù)．5．已知函數(shù)y＝ax和y＝－eq\f(b,x)在(0，＋∞)上都是減函數(shù)，則函數(shù)f(x)＝bx＋a在R上是(A)A．減函數(shù)且f(0)<0 B．增函數(shù)且f(0)<0C．減函數(shù)且f(0)>0 D．增函數(shù)且f(0)>0解析：因?yàn)閥＝ax和y＝－eq\f(b,x)在(0，＋∞)都是減函數(shù)，所以a<0，b<0，f(x)＝bx＋a為減函數(shù)且f(0)＝a<0，故選A.6．若函數(shù)f(x)＝4x2－kx－8在[5,8]上是單調(diào)函數(shù)，則k的取值范圍是(C)A．(－∞，40) B．[40,64]C．(－∞，40]∪[64，＋∞) D．[64，＋∞)解析：對(duì)稱軸為x＝eq\f(k,8)，則eq\f(k,8)≤5或eq\f(k,8)≥8，解得k≤40或k≥64.eq\a\vs4\al(二、填空題每小題8分，共計(jì)24分)7．函數(shù)y＝f(x)的圖像如圖所示，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，1]和(1，＋∞)．解析：由題圖可知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，1]和(1，＋∞)．8．函數(shù)f(x)＝eq\f(ax＋1,x＋2)(a為常數(shù))在(－2,2)內(nèi)為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a>eq\f(1,2).解析：函數(shù)f(x)＝eq\f(ax＋1,x＋2)＝a＋eq\f(1－2a,x＋2)，由于f(x)在(－2,2)內(nèi)為增函數(shù)，所以1－2a<0，即a>eq\f(1,2).9．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－1x＋4a，x<1，,－x＋1，x≥1))是定義在R上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是[eq\f(1,7)，eq\f(1,3))．解析：如圖，要使f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)，必需同時(shí)滿意3個(gè)條件：①g(x)＝(3a－1)x＋4a在(－∞，1)上為減函數(shù)；②h(x)＝－x＋1在[1，＋∞)上為減函數(shù)；③g(1)≥h(1)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－1<0，,3a－1×1＋4a≥－1＋1.))∴eq\f(1,7)≤a<eq\f(1,3).三、解答題共計(jì)40分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟10．(10分)推斷函數(shù)f(x)＝eq\f(x－2,x＋1)(x≥0)的單調(diào)性．解：f(x)＝eq\f(x－2,x＋1)＝eq\f(x＋1－3,x＋1)＝1－eq\f(3,x＋1)，任取x1，x2∈[0，＋∞)且x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝(1－eq\f(3,x1＋1))－(1－eq\f(3,x2＋1))＝eq\f(3,x2＋1)－eq\f(3,x1＋1)＝eq\f(3x1－x2,x1＋1x2＋1)，∵0≤x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0，于是f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，故函數(shù)f(x)＝eq\f(x－2,x＋1)在[0，＋∞)上為增函數(shù)．11．(15分)畫出下列函數(shù)的圖像，并寫出其單調(diào)區(qū)間．(1)f(x)＝－eq\f(1,x＋2)；(2)f(x)＝|x|·|x－2|；(3)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≤0，,－2x＋2，x>0.))解：(1)畫出f(x)＝－eq\f(1,x＋2)的圖像，如圖所示，可得其單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－2)和(－2，＋∞)，無單調(diào)遞減區(qū)間．(2)由題意，得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥2或x<0,－x2＋2x，0≤x<2))，畫出圖像如圖所示，由圖像，知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)和(1,2)，單調(diào)遞增區(qū)間是[0,1]和[2，＋∞)．(3)畫出f(x)的圖像如圖所示，由圖像知，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0]和(0，＋∞)，無單調(diào)遞增區(qū)間．12．(15分)設(shè)f(x)是定義在(0，＋∞)上的函數(shù)，滿意條件：(1)f(xy)＝f(x)＋f(y)；(2)f(2)＝1；(3)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．假如f(2)＋f(x－3)≤2，求x的取值范圍．解：∵f(xy)＝f(x)＋f(y)，∴令x＝y(tǒng)＝2，得f(4)＝f(2)＋f(2)＝2f(2)．又f(2)＝1，∴f(4)＝2.∵f(2)＋f(x－3)＝f[2(x－3)