2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章數(shù)列1.3等比數(shù)列1.3.1第1課時(shí)等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式學(xué)案含解析北師大版必修5

PAGE§3等比數(shù)列3．1等比數(shù)列第1課時(shí)等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式學(xué)問(wèn)點(diǎn)一等比數(shù)列的定義[填一填]一般地，假如一個(gè)數(shù)列從其次項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫作等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫作等比數(shù)列的公比．通常用字母eq\a\vs4\al(q)表示公比．[答一答]1．對(duì)等比數(shù)列的定義中“從第2項(xiàng)起”和“比是同一個(gè)常數(shù)”這兩點(diǎn)如何理解？提示：通過(guò)列舉反例來(lái)分析．我們知道一個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)沒(méi)有前一項(xiàng)，所以強(qiáng)調(diào)“從第2項(xiàng)起”；“比是常數(shù)”和“比是同一個(gè)常數(shù)”的意義不一樣，如數(shù)列1,5,3,7中，eq\f(a2,a1)＝5是常數(shù)，eq\f(a3,a2)＝eq\f(3,5)是常數(shù)，eq\f(a4,a3)＝eq\f(7,3)是常數(shù)，比都是常數(shù)，但是很明顯該數(shù)列不是等比數(shù)列，所以強(qiáng)調(diào)“比是同一個(gè)常數(shù)”，這是等比數(shù)列定義的核心．學(xué)問(wèn)點(diǎn)二等比數(shù)列的通項(xiàng)公式[填一填]設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，則通項(xiàng)公式是：an＝a1qn－1.[答一答]2．等比數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)的方法有哪些？提示：等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法：(1)歸納猜想(將來(lái)用數(shù)學(xué)歸納法證明)．(2)累乘法：eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)＝eq\f(an,a1)＝qn－1，即an＝a1qn－1.(3)迭代(遞推)法：an＝an－1q＝an－2q2＝an－3q3＝…＝an－(n－1)qn－1＝a1qn－1.1．對(duì)于正確理解等比數(shù)列的定義，還應(yīng)留意以下幾方面：①由于等比數(shù)列每一項(xiàng)都可能作分母，故每一項(xiàng)均不為0，因此q也不能為0.②“從第2項(xiàng)起”是因?yàn)槭醉?xiàng)沒(méi)有“前一項(xiàng)”．③eq\f(an＋1,an)均為同一常數(shù)，即比值相等，由此體現(xiàn)了公比的意義，同時(shí)還要留意公比是每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)之比，防止前后次序顛倒．④假如一個(gè)數(shù)列不是從第2項(xiàng)起而是從第3項(xiàng)或第4項(xiàng)起每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都是同一個(gè)常數(shù)，此數(shù)列不是等比數(shù)列．這時(shí)可以說(shuō)此數(shù)列從第2項(xiàng)起或從第3項(xiàng)起是一個(gè)等比數(shù)列．⑤假如一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比盡管是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，但卻是不同的常數(shù)，這時(shí)此數(shù)列不是等比數(shù)列．⑥常數(shù)列都是等差數(shù)列，但卻不肯定是等比數(shù)列．如常數(shù)列是各項(xiàng)都為0的數(shù)列，它就不是等比數(shù)列．當(dāng)常數(shù)列各項(xiàng)不為0時(shí)，它是等比數(shù)列，且公比q＝1.2．等比數(shù)列的增減性(1)當(dāng)a1>0，q>1或0<q<1，a1<0時(shí)，等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．(2)當(dāng)q>1，a1<0或0<q<1，a1>0時(shí)，等比數(shù)列{an}是遞減數(shù)列．(3)當(dāng)q＝1時(shí)，等比數(shù)列{an}是常數(shù)列．(4)當(dāng)q<0時(shí)，等比數(shù)列{an}是搖擺數(shù)列．類(lèi)型一等比數(shù)列的推斷與證明【例1】下面四個(gè)數(shù)列：(1)1,1,2,4,8,16,32,64；(2)在數(shù)列{an}中，eq\f(a2,a1)＝2，eq\f(a3,a2)＝2；(3)常數(shù)列a，a，…，a，…；(4)在數(shù)列{an}中，eq\f(an＋1,an)＝q(q為常數(shù)，q≠0)，其中n∈N＋.其中是等比數(shù)列的是________(只填序號(hào))．【思路探究】利用定義法推斷一個(gè)數(shù)列是否是等比數(shù)列需從以下三個(gè)方面把握：(1)從其次項(xiàng)起；(2)每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比；(3)同一個(gè)常數(shù)．【解析】(1)eq\f(1,1)＝1，eq\f(2,1)＝2，不符合“同一”，故其不是等比數(shù)列．(2)不肯定是等比數(shù)列，當(dāng)數(shù)列{an}只有3項(xiàng)時(shí)，{an}是等比數(shù)列；當(dāng)數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)超過(guò)3時(shí)，不肯定符合“每一”．(3)不肯定是等比數(shù)列．當(dāng)常數(shù)列各項(xiàng)都為0時(shí)，它就不是等比數(shù)列，當(dāng)常數(shù)列各項(xiàng)均不為0時(shí)，它是等比數(shù)列．(4)等比數(shù)列的定義用式子的形式表示出來(lái)就是：在數(shù)列{an}中，對(duì)隨意n∈N＋，有eq\f(an＋1,an)＝q(q為常數(shù)，q≠0)，那么{an}是等比數(shù)列．【答案】(4)規(guī)律方法由等比數(shù)列的定義可知，一個(gè)數(shù)列是否為等比數(shù)列，要看這個(gè)數(shù)列各相鄰兩項(xiàng)的比是否為同一個(gè)常數(shù)q，即對(duì)隨意n∈N＋，是否有eq\f(an＋1,an)＝q(q≠0)．留意：不能用特別值法，即由eq\f(a3,a2)＝eq\f(a2,a1)得數(shù)列{an}為等比數(shù)列是錯(cuò)誤的．下面各數(shù)列肯定是等比數(shù)列的是①④(填序號(hào))．①－1，－2，－4，－8；②1,2,3,4；③x，x，x，x；④eq\f(1,a)，eq\f(1,a2)，eq\f(1,a3)，eq\f(1,a4).解析：依據(jù)等比數(shù)列的定義，①④是等比數(shù)列，②不是等比數(shù)列，③中x可能為0，故③不肯定是等比數(shù)列．【例2】已知數(shù)列的首項(xiàng)a1＝5，前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋5(n∈N＋)，證明{an＋1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．【思路探究】要證{an＋1}是等比數(shù)列，只需證eq\f(an＋1＋1,an＋1)＝常數(shù)(不為零)即可，而an＋1與an可由Sn＋1－Sn與Sn－Sn－1得到．【解】由Sn＋1＝2Sn＋n＋5知，Sn＝2Sn－1＋n＋4(n≥2)．兩式相減，得Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，即an＋1＝2an＋1，從而an＋1＋1＝2(an＋1)(n≥2)．當(dāng)n＝1時(shí)，S2＝2S1＋6，即a1＋a2＝2a1＋又a1＝5，所以a2＝11，滿(mǎn)意a2＋1＝2(a1＋1)．故對(duì)于隨意的n∈N＋，都有an＋1＋1＝2(an＋1)．又a1＝5，則a1＋1≠0，從而eq\f(an＋1＋1,an＋1)＝2.所以數(shù)列{an＋1}是以6為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．所以an＋1＝6×2n－1，則an＝3×2n－1.規(guī)律方法在由條件得出an＋1＋1＝2(an＋1)(n≥2)時(shí)，不能想當(dāng)然地得出數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列，這是因?yàn)榈仁絘n＋1＋1＝2(an＋1)僅對(duì)n≥2成立，只能表明數(shù)列{an＋1}從第2項(xiàng)起是等比數(shù)列，因此必需驗(yàn)證eq\f(a2＋1,a1＋1)＝2是否成立．即便an＋1＋1＝2(an＋1)對(duì)隨意的n∈N＋都成立，也不能干脆判定數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列，還需指出a1＋1≠0才可得出結(jié)論．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sn＝eq\f(1,3)(an－1)(n∈N＋)．(1)求a1，a2；(2)求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列．解：(1)由S1＝eq\f(1,3)(a1－1)，得a1＝eq\f(1,3)(a1－1)，∴a1＝－eq\f(1,2).又S2＝eq\f(1,3)(a2－1)，即a1＋a2＝eq\f(1,3)(a2－1)，得a2＝eq\f(1,4).(2)證明：當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(1,3)(an－1)－eq\f(1,3)(an－1－1)，得eq\f(an,an－1)＝－eq\f(1,2)，又eq\f(a2,a1)＝－eq\f(1,2)，所以{an}是首項(xiàng)為－eq\f(1,2)，公比為－eq\f(1,2)的等比數(shù)列．類(lèi)型二等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用【例3】在等比數(shù)列{an}中，(1)若a4＝27，q＝－3，求a7；(2)若a2＝18，a4＝8，求a1和q；(3)若a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3.【思路探究】【解】(1)解法一：由a4＝a1·q3，得27＝a1·(－3)3，得a1＝－1，故a7＝a1·q6＝(－1)×(－3)6＝－729.解法二：a7＝a4·q3＝27×(－3)3＝－729.(2)由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q＝18，,a1q3＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝27，,q＝\f(2,3)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－27，,q＝－\f(2,3).))(3)由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q4－a1＝15①，,a1q3－a1q＝6②，))由eq\f(①,②)得eq\f(q2＋1,q)＝eq\f(5,2)，故q＝eq\f(1,2)或q＝2，當(dāng)q＝eq\f(1,2)時(shí)，a1＝－16，a3＝a1q2＝－4；當(dāng)q＝2時(shí)，a1＝1，a3＝a1q2＝4.規(guī)律方法等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1·qn－1中有四個(gè)量a1，q，n，an，一般已知其中的三個(gè)可求得第四個(gè)，我們將這類(lèi)問(wèn)題歸結(jié)為公式的正用、逆用、變形運(yùn)用問(wèn)題．當(dāng)然對(duì)于等比數(shù)列來(lái)說(shuō)，可能有時(shí)計(jì)算起來(lái)方法不當(dāng)，會(huì)特別繁瑣，所以方法的選取特別重要．一般來(lái)說(shuō)，涉及到列出方程組的問(wèn)題，大多采納兩式相比，消掉首項(xiàng)a1.在等比數(shù)列{an}中，a1＋a3＝10，a4＋a6＝eq\f(5,4)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為(A)A．a(chǎn)n＝24－n B．a(chǎn)n＝2n－4C．a(chǎn)n＝2n－3 D．a(chǎn)n＝23－n解析：設(shè)公比為q，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a3＝10，,a4＋a6＝\f(5,4)))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a1q2＝10，,a1q3＋a1q5＝\f(5,4)，))故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝8，,q＝\f(1,2).))因此，an＝8×(eq\f(1,2))n－1＝24－n.類(lèi)型三等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合問(wèn)題【例4】有四個(gè)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，且第一個(gè)數(shù)和第四個(gè)數(shù)的和是16，其次個(gè)數(shù)和第三個(gè)數(shù)和為12，求這四個(gè)數(shù)．【思路探究】本題由給出的條件，設(shè)出各數(shù)，列出相應(yīng)的方程可解得，但在設(shè)四個(gè)數(shù)時(shí)，依據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的對(duì)稱(chēng)性設(shè)出，可簡(jiǎn)化解題過(guò)程．【解】解法一：設(shè)四個(gè)數(shù)依次為a－d，a，a＋d，eq\f((a＋d)2,a)，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－d＋\f((a＋d)2,a)＝16,a＋a＋d＝12))，解得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4,d＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝9,d＝－6))，故所得四個(gè)數(shù)為：0,4,8,16或15,9,3,1.解法二：設(shè)四個(gè)數(shù)依次為eq\f(2a,q)－a，eq\f(a,q)，a，aq(a≠0)，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2a,q)－a＋aq＝16,\f(a,q)＋a＝12))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝8,q＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3,q＝\f(1,3)))，∴所求的四個(gè)數(shù)為：0,4,8,16或15,9,3,1.解法三：設(shè)四個(gè)數(shù)分別為x，y,12－y,16－x，由條件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0,y＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝15,y＝9))，故所求四數(shù)為：0,4,8,16或15,9,3,1.規(guī)律方法合理地設(shè)出所求數(shù)是解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵，一般地，三數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)為eq\f(a,q)，a，aq；三數(shù)成等差數(shù)列可設(shè)為a－d，a，a＋d.三個(gè)正數(shù)成等差數(shù)列，它們的和等于15，假如它們分別加上1,3,9，就成為等比數(shù)列，求這三個(gè)數(shù)．解：設(shè)所求的三個(gè)數(shù)分別為a－d，a，a＋d，則由題設(shè)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝15，,(a＋3)2＝(a－d＋1)(a＋d＋9).))解此方程組，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,d＝2，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,d＝－10.))∵所求的三個(gè)數(shù)均為正數(shù)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,d＝－10))不合題意，舍去．∴所求的三個(gè)數(shù)分別為3,5,7.——易錯(cuò)警示系列——混淆基本公式致誤基本量法是求解數(shù)列各個(gè)量的最基本方法，而基本公式的正確記憶則是關(guān)鍵．【例5】已知{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，{bn}是等比數(shù)列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10.求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式．【錯(cuò)解】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q4，S4＝8＋6d.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋3d＋2q4＝27，,8＋6d－2q4＝10，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d＝3,q＝\r(4,8))).所以an＝3n－1，bn＝2(eq\r(4,8))n.【錯(cuò)解分析】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式錯(cuò)記為bn＝b1qn，導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤．【正解】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q.由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d.由條件，得方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋3d＋2q3＝27，,8＋6d－2q3＝10，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d＝3，,q＝2，))所以an＝3n－1，bn＝2n，n∈N＋.已知等比數(shù)列{an}的前三項(xiàng)依次為a－1，a＋1，a＋4，則an＝(B)A．4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n B．4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－1C．4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n D．4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－1解析：由題意得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，解得a＝5，故a1＝4，a2＝6，所以q＝eq\f(3,2)，an＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－1.一、選擇題1．設(shè)等比數(shù)列的前三項(xiàng)依次為eq\r(2)，eq\r(3,2)，eq\r(6,2)，則它的第四項(xiàng)是(A)A．1 B.eq\r(8,2)C.eq\r(9,2) D.eq\r(12,12)解析：∵a1＝eq\r(2)，a2＝eq\r(3,2)，則q＝eq\f(\r(3,2),\r(2))，∴a4＝a1·q3＝eq\r(2)·eq\f(2,2\r(2))＝1.2．下列各組數(shù)成等比數(shù)列的是(C)①1，－2,4，－8；②－eq\r(2)，2，－2eq\r(2)，4；③