高三數(shù)學(xué)新高考“8+4+4”小題狂練(5)(原卷+解析)

2021屆新高考“8+4+4”小題狂練（5）一、單項(xiàng)選擇題：1.已知復(fù)數(shù)滿足，則()A. B. C. D.2.已知集合，，則()A. B. C. D.3.空氣質(zhì)量指數(shù)簡(jiǎn)稱，是定量描述空氣質(zhì)量的指數(shù)，空氣質(zhì)量指數(shù)小于50表示空氣質(zhì)量為優(yōu).下圖是某市一周的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，則下列說法錯(cuò)誤的是()A.該市這周有4天的空氣質(zhì)量指數(shù)為優(yōu) B.該市這周空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)是31C.該市這周空氣質(zhì)量指數(shù)的極差是65 D.該市這周空氣質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)是534.函數(shù)的部分圖象大致是()A. B.C. D.5.已知，，若是充分不必要條件，則的取值范圍為()A. B. C. D.6.已知，，且，則最小值是()A.6 B.8 C.12 D.167.踢毽子是中國(guó)民間傳統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目之一，起源于漢朝，至今已有兩千多年的歷史，是一項(xiàng)簡(jiǎn)便易行的健身活動(dòng).某單位組織踢毽子比賽，把10人平均分成甲、乙兩組，其中甲組每人在1分鐘內(nèi)踢毽子的數(shù)目分別為26，29，32，45，51；乙組每人在1分鐘內(nèi)踢毽子的數(shù)目分別為28，31，38，42，49.從甲、乙兩組中各隨機(jī)抽取1人，則這兩人踢毽子的數(shù)目之和為奇數(shù)的概率是()A. B. C. D.8.已知是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集是()A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分）9.下圖是2010—2020年這11年我國(guó)考研人數(shù)統(tǒng)計(jì)圖，則關(guān)于這11年考研人數(shù)下列說法錯(cuò)誤的是（）.A.2010年以來我國(guó)考研報(bào)名人數(shù)逐年增多B.這11年來考研報(bào)名人數(shù)的極差超過260萬人C.2015年是這11年來報(bào)考人數(shù)最少的一年D.2015年的報(bào)錄比最低10.關(guān)于雙曲線與雙曲線，下列說法正確是（）.A.它們有相同的漸近線 B.它們有相同的頂點(diǎn)C.它們的離心率不相等 D.它們的焦距相等11.下列命題中正確的為（）.A.在中，若，則B.在空間中，若直線、、滿足：，，則C.的圖像的對(duì)稱中心為D.已知過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，則12.如圖，已知函數(shù)（其中，，）的圖象與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，，，，.則下列說法正確的有（）.A.的最小正周期為12 B.C.的最大值為 D.在區(qū)間上單調(diào)遞增三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知向量，，則向量在方向上投影為________.14.的展開式中，所有項(xiàng)的系數(shù)和為________，項(xiàng)的系數(shù)為________.15.2020年春，新型冠狀病毒引發(fā)的疫情牽動(dòng)著億萬人的心，八方馳援戰(zhàn)疫情，眾志成城克時(shí)難，社會(huì)各界紛紛支援湖北，共抗新型冠狀病毒肺炎.某醫(yī)院派出了5名醫(yī)生和3名護(hù)士共8人前往武漢參加救治工作.現(xiàn)將這8人分成兩組分配到兩所醫(yī)院去，若要求每組至多5人，且護(hù)士所在組必須有醫(yī)生，則不同的分配方案共有________種（用數(shù)字作答）.16.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載，斜解立方為“塹堵”，即底面是直角三角形的直三棱柱（直三棱柱為側(cè)棱垂直于底面的三棱柱）.如圖，棱柱為一個(gè)“塹堵”，底面的三邊中的最長(zhǎng)邊與最短邊分別為，，且，，點(diǎn)在棱上，且，則當(dāng)?shù)拿娣e取最小值時(shí)，異面直線與所成的角的余弦值為________.2021屆新高考“8+4+4”小題狂練（1）一、單項(xiàng)選擇題：1.已知復(fù)數(shù)滿足，則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知可求出，結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算對(duì)其進(jìn)行整理得，從而可求出共軛復(fù)數(shù).【詳解】解：由題意可得：，則.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查了共軛復(fù)數(shù)的求解.本題的關(guān)鍵是對(duì)進(jìn)行整理變形.2.已知集合，，則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先解不等式得集合A,B，再根據(jù)交集概念求結(jié)果.【詳解】由題意得，中，則.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查集合交集運(yùn)算、一元二次不等式解集，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.3.空氣質(zhì)量指數(shù)簡(jiǎn)稱，是定量描述空氣質(zhì)量的指數(shù)，空氣質(zhì)量指數(shù)小于50表示空氣質(zhì)量為優(yōu).下圖是某市一周的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，則下列說法錯(cuò)誤的是()A.該市這周有4天的空氣質(zhì)量指數(shù)為優(yōu) B.該市這周空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)是31C.該市這周空氣質(zhì)量指數(shù)的極差是65 D.該市這周空氣質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)是53【答案】B【解析】【分析】由圖可知該市這周空氣質(zhì)量指數(shù)，從而可計(jì)算平均數(shù)，中位數(shù)，極差，即可選出正確答案.【詳解】解：由圖可知該市這周空氣質(zhì)量指數(shù)為，則平均數(shù)為，有4天的空氣質(zhì)量指數(shù)小于50，按大小排列為，則中位數(shù)為，極差為故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)據(jù)分析，考查了平均數(shù)的求解，考查了中位數(shù)的求解，考查了極差的求解.4.函數(shù)的部分圖象大致是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，排除C、D；當(dāng)時(shí)，，所以，排除B.【詳解】設(shè)，因?yàn)椋缘膱D象關(guān)于軸對(duì)稱.所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，排除C、D；當(dāng)時(shí)，，所以，排除B，故選：A【點(diǎn)睛】解決本類題時(shí)，通常是利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、函數(shù)值等排除選項(xiàng).5.已知，，若是的充分不必要條件，則的取值范圍為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解絕對(duì)值不等式和分式不等式對(duì)命題進(jìn)行化簡(jiǎn)，依據(jù)二者的關(guān)系可得，即可求出的取值范圍.【詳解】解：因?yàn)椋?即，因?yàn)?，所以，?因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以，解得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了已知命題關(guān)系求參數(shù)的取值范圍，考查了絕對(duì)值不等式的求解，考查了分式不等式的求解.本題的關(guān)鍵是對(duì)命題進(jìn)行化簡(jiǎn).6.已知，，且，則的最小值是()A.6 B.8 C.12 D.16【答案】B【解析】【分析】先化簡(jiǎn)條件得，再利用1的代換以及基本不等式求最值即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以，所以（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.7.踢毽子是中國(guó)民間傳統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目之一，起源于漢朝，至今已有兩千多年的歷史，是一項(xiàng)簡(jiǎn)便易行的健身活動(dòng).某單位組織踢毽子比賽，把10人平均分成甲、乙兩組，其中甲組每人在1分鐘內(nèi)踢毽子的數(shù)目分別為26，29，32，45，51；乙組每人在1分鐘內(nèi)踢毽子的數(shù)目分別為28，31，38，42，49.從甲、乙兩組中各隨機(jī)抽取1人，則這兩人踢毽子的數(shù)目之和為奇數(shù)的概率是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先確定從甲、乙兩組中各隨機(jī)抽取1人總事件數(shù)，再確定抽取兩人踢毽子的數(shù)目之和為奇數(shù)所包含事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求解.【詳解】從甲、乙兩組中各隨機(jī)抽取1人有種取法；其中抽取兩人踢毽子的數(shù)目之和為奇數(shù)有種取法；從而所抽兩人踢毽子的數(shù)目之和為奇數(shù)的概率是故選：C【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.8.已知是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)條件確定其單調(diào)性與奇偶性，化簡(jiǎn)不等式為，再根據(jù)單調(diào)性與奇偶性轉(zhuǎn)化不等式為，解得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增.因?yàn)椋允桥己瘮?shù).因?yàn)?，所以，即?則，解得.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、利用單調(diào)性與奇偶性解不等式，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分）9.下圖是2010—2020年這11年我國(guó)考研人數(shù)統(tǒng)計(jì)圖，則關(guān)于這11年考研人數(shù)下列說法錯(cuò)誤的是（）.A.2010年以來我國(guó)考研報(bào)名人數(shù)逐年增多B.這11年來考研報(bào)名人數(shù)的極差超過260萬人C.2015年是這11年來報(bào)考人數(shù)最少的一年D.2015年的報(bào)錄比最低【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)人數(shù)統(tǒng)計(jì)圖判斷ABC，由報(bào)錄比判斷D．【詳解】由統(tǒng)計(jì)圖表，2015年比2014年考研報(bào)名人數(shù)少，A錯(cuò)；考研人數(shù)最大是330萬，最小是145萬左右，極差估計(jì)是185萬，B錯(cuò)；報(bào)考人數(shù)最少是2010年，C錯(cuò)；從報(bào)錄比圖看2015年報(bào)錄比最低，D正確．故選：ABC．【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)圖表，正確認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)圖表是解題關(guān)鍵．10.關(guān)于雙曲線與雙曲線，下列說法正確的是（）.A.它們有相同的漸近線 B.它們有相同的頂點(diǎn)C.它們的離心率不相等 D.它們的焦距相等【答案】CD【解析】【分析】求解兩個(gè)雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，漸近線方程，離心率，焦距判斷選項(xiàng)即可．【詳解】解：雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，漸近線方程：，離心率為：，焦距為10．雙曲線，即：，它的頂點(diǎn)坐標(biāo)，漸近線方程：，離心率為：，焦距為10．所以它們的離心率不相等，它們的焦距相等．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，是基本知識(shí)的考查．11.下列命題中正確的為（）.A.在中，若，則B.在空間中，若直線、、滿足：，，則C.的圖像的對(duì)稱中心為D.已知過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，則【答案】AC【解析】【分析】本題首先可通過正弦函數(shù)性質(zhì)判斷出A正確；在空間中根據(jù)、無法證明判斷出B錯(cuò)誤；再然后在函數(shù)上任取一點(diǎn)，求出點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，通過判斷點(diǎn)也在函數(shù)上得出C正確；最后通過取直線與軸平行這種情況即可判斷出D錯(cuò)誤.【詳解】A項(xiàng)：因?yàn)?，，，所以，故A正確；B項(xiàng)：在空間中，若、無法證明，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)：在函數(shù)上任取一點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)也在函數(shù)上，所以函數(shù)的圖像的對(duì)稱中心為，故C正確；D項(xiàng)：拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，若直線與軸平行，則直線方程為，此時(shí)交點(diǎn)坐標(biāo)為、，，故D錯(cuò)誤，故選：AC.【點(diǎn)睛】本題考查正弦函數(shù)性質(zhì)以及線線平行的證明，考查函數(shù)對(duì)稱中心的判斷以及拋物線與直線相交的相關(guān)問題的求解，考查推理能力，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性與綜合性，是中檔題.12.如圖，已知函數(shù)（其中，，）的圖象與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，，，，.則下列說法正確的有（）.A.的最小正周期為12 B.C.的最大值為 D.在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】【分析】由題意可得：，，可得，，，的坐標(biāo)，根據(jù)，可得方程，進(jìn)而解出，，．判斷出結(jié)論．【詳解】解：由題意可得：，，，，，，．，，，，把代入上式可得：，．解得，，可得周期．，，解得．可知：不對(duì)．，，解得．函數(shù)，可知正確．時(shí)，，，可得：函數(shù)在單調(diào)遞增．綜上可得：ACD正確．故選：ACD．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)方程的解法、三角函數(shù)求值、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于較難題．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知向量，，則向量在方向上的投影為________.【答案】【解析】【分析】首先可以根據(jù)題意寫出，然后求出以及的值，再然后設(shè)向量與的夾角為，最后根據(jù)即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，，設(shè)向量與的夾角為，則向量在方向上的投影，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查向量在另一向量上的投影的相關(guān)計(jì)算，考查向量乘法的坐標(biāo)表示，考查向量的模的相關(guān)計(jì)算，考查根據(jù)向量的數(shù)量積公式求向量在另一向量上的投影，考查計(jì)算能力，是中檔題.14.的展開式中，所有項(xiàng)的系數(shù)和為________，項(xiàng)的系數(shù)為________.【答案】(1).1(2).【解析】【分析】令可得所有項(xiàng)的系數(shù)和，把多項(xiàng)式化為二項(xiàng)式，然后由二項(xiàng)式定理可得的系數(shù)．【詳解】令，則展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為，，展開式通項(xiàng)公式為，令，，∴的系數(shù)為．故答案為：1；－20．【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，考查賦值法求二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)和，掌握二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式是解題基礎(chǔ)．15.2020年春，新型冠狀病毒引發(fā)的疫情牽動(dòng)著億萬人的心，八方馳援戰(zhàn)疫情，眾志成城克時(shí)難，社會(huì)各界紛紛支援湖北，共抗新型冠狀病毒肺炎.某醫(yī)院派出了5名醫(yī)生和3名護(hù)士共8人前往武漢參加救治工作.現(xiàn)將這8人分成兩組分配到兩所醫(yī)院去，若要求每組至多5人，且護(hù)士所在組必須有醫(yī)生，則不同的分配方案共有________種（用數(shù)字作答）.【答案】180【解析】【分析】對(duì)所分配的醫(yī)生和護(hù)士分為5種情況，根據(jù)分類分步計(jì)數(shù)原理可得到結(jié)果．【詳解】由已知條件得將5名醫(yī)生和3名護(hù)士分配到兩所醫(yī)院的情況如下：①1所醫(yī)院4名醫(yī)生，另1所醫(yī)院1名醫(yī)生，3名護(hù)士，有種分配方案；②1所醫(yī)院3名醫(yī)生，1名護(hù)士，另1所醫(yī)院2名醫(yī)生，2名護(hù)士，有種分配方案；③1所醫(yī)院4名醫(yī)生，1名護(hù)士，另1所醫(yī)院1名醫(yī)生，2名護(hù)士，有種分配方案；④1所醫(yī)院3名醫(yī)生，2名護(hù)士，另1所醫(yī)院2名醫(yī)生，1名護(hù)士，有種分配方案；⑤1所醫(yī)院3名醫(yī)生，另1所醫(yī)院2名醫(yī)生，3名護(hù)士，有種分配方案；所以共有種分配方案，故答案為：180.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合知識(shí)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，進(jìn)行合適的分類是本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．16.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載，斜解立方為“塹堵”，即底面是直角三角形的直三棱柱（直三棱柱為側(cè)棱垂直于底面的三棱柱）.如圖，棱柱為一個(gè)“塹堵”，底面的三邊中的最長(zhǎng)邊與最短邊分別為，，且，，點(diǎn)在棱上，且，則當(dāng)?shù)拿娣e取最小值時(shí)，異面直線與所成的角的余弦值為________.【答案】【解析】【分析】