2024年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：圓（填空題一）

2024年中考數(shù)學(xué)真題知識點分類匯編之圓（填空題一）

—.填空題（共20小題）

1.點尸是正五邊形ABCDE邊。E的中點，連接BF并延長與CD延長線交于點G,則N3GC的度數(shù)

為.

2.半徑為4,圓心角為90°的扇形的面積為（結(jié)果保留it）.

3.為了促進城鄉(xiāng)協(xié)調(diào)發(fā)展，實現(xiàn)共同富裕，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)計劃修建公路.如圖，窈與前是公路彎道的外、內(nèi)邊

線，它們有共同的圓心。所對的圓心角都是72°，點A,C,。在同一條直線上，公路彎道外側(cè)邊線

比內(nèi)側(cè)邊線多36米，則公路寬AC的長是米.（豆取3.14,計算結(jié)果精確到0.1）

4.如圖，A8是半圓的直徑，AC是一條弦，。是死的中點，于點E,交AC于點凡DB交AC

于點G,連結(jié)AD給出下面四個結(jié)論：

②AF=FG；

③當。G=2,G8=3時，F(xiàn)G=孚；

④當加=2助，AB=6時，△DFG的面積是必，

上述結(jié)論中，正確結(jié)論的序號有.

第1頁（共

6.如圖，在O。中，直徑AB_LCr）于點E,CD=6,BE=1,則弦AC的長為

7.若圓錐的底面半徑為3,側(cè)面積為36it,則這個圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是

8.如圖，ZVIBC內(nèi)接于。。，AD是直徑，若/8=25°,則/CAO=0.

9.某新建學(xué)校因場地限制，要合理規(guī)劃體育場地.小明繪制的鉛球場地設(shè)計圖如圖所示，該場地由。。

和扇形02c組成，OB,0c分別與交于點A,D.OA^lm,08=10",ZAOD^40°,則陰影部

分的面積為m2（結(jié)果保留it）.

10.如圖，在矩形A8CD中，BC=42AB,。為中點，OE=AB=4,則扇形EOF的面積為

11.如圖，四邊形ABC。是。。的內(nèi)接四邊形，點。在四邊形A8C。內(nèi)部，過點C作。。的切線交A8的

第2頁（共

延長線于點P,連接。4,OB.若/AOB=140°,ZBCP=35°,則NAOC的度數(shù)為

12.如圖，AB是。。的直徑，AC與。。相切，A為切點，連接BC.已知NAC2=50°,則的度數(shù)

13.用一個圓心角為126°,半徑為10C7W的扇形作一個圓錐的側(cè)面，這個圓錐的底面圓的半徑為

14.若圓錐的底面半徑是1cm,它的側(cè)面展開圖的圓心角是直角，則該圓錐的高為（

15.如圖，的直徑42平分弦（不是直徑）.若/。=35°,則NC=°.

C

16.如圖,BC是。。的弦，連接08,OC,/A是臉所對的圓周角，則/A與NO8C的和的度數(shù)是

17.如圖1是小區(qū)圍墻上的花窗，其形狀是扇形的一部分，圖2是其幾何示意圖（陰影部分為花窗）.通

過測量得到扇形AOB的圓心角為90°,。4=1優(yōu)，點C,。分別為0A,的中點，則花窗的面積為

圖1圖2

第3頁（共

18.如圖，對折邊長為2的正方形紙片ABC。，0M為折痕，以點。為圓心，0M為半徑作弧，分別交AD,

BC于E,歹兩點，則屏■的長度為（結(jié)果保留IT）.

19.若用半徑為10C7W的半圓形紙片圍成一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐底面圓的半徑為cm.

20.如圖，已知兩條平行線A、h,點A是人上的定點，AB，/2于點點、C、。分別是A,/2上的動點，

且滿足AC=BD,連接CD交線段AB于點E,BHLCD于點H,則當NBA8最大時，sinZBAH的值

第4頁（共

2024年中考數(shù)學(xué)真題知識點分類匯編之圓（填空題一）

參考答案與試題解析

一.填空題（共20小題）

1.點E是正五邊形ABCDE邊。E的中點，連接BF并延長與CD延長線交于點G,則28GC的度數(shù)為

18。

【考點】正多邊形和圓.

【專題】三角形；正多邊形與圓；運算能力；推理能力.

【答案】18°.

【分析】由正五邊形的對稱性得出BG是正五邊形ABCZJE的對稱軸，進而得到BGLOE,再求出正五

邊形的外角的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理即可得出答案.

【解答】解：由正五邊形的性質(zhì)可知，BG是正五邊形ABCDE的對稱軸，

；.NDFG=90°,

ZFDG是正五邊形ABCDE的外角,

360°

:.NFDG=*=72。,

:./BGC=90°-72°=18°,

故答案為：18°.

【點評】本題考查正多邊形和圓，掌握正五邊形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理是正確解答的關(guān)鍵.

2.半徑為4,圓心角為90°的扇形的面積為4n（結(jié)果保留n）.

【考點】扇形面積的計算.

【專題】與圓有關(guān)的計算；運算能力.

【答案】4n.

【分析】利用扇形面積公式求解.

【解答】解：扇形的面積=嗤#=4m

故答案為：41t.

2

【點評】本題考查扇形的面積，解題的關(guān)鍵是記住扇形的面積=嚼.

第5頁（共

3.為了促進城鄉(xiāng)協(xié)調(diào)發(fā)展，實現(xiàn)共同富裕，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)計劃修建公路.如圖，而與前是公路彎道的外、內(nèi)邊

線，它們有共同的圓心。，所對的圓心角都是72°,點A,C,。在同一條直線上，公路彎道外側(cè)邊線

比內(nèi)側(cè)邊線多36米，則公路寬AC的長是28.7米.（IT取3.14,計算結(jié)果精確到0.1）

【考點】弧長的計算.

【專題】與圓有關(guān)的計算；運算能力.

【答案】28.7.

【分析】利用弧長公式構(gòu)建關(guān)系式，可得結(jié)論.

72.71-0A727roe

【解答】解：由題意Ik=36,

180

：.OA-OC=-^.l（米）.

；.AC=OA-OC=28.7米.

故答案為:28.7.

【點評】本題考查弧長公式，解題的關(guān)鍵是記住弧長公式上黑.

loU

4.如圖，A8是半圓的直徑，AC是一條弦，。是前的中點，OELA8于點E,交AC于點凡DB交AC

于點G,連結(jié)AD給出下面四個結(jié)論：

②AF=FG；

③當。G=2,GB=3時，PG=孚；

④當位＞=2?,AB=6時，△QFG的面積是舊,

上述結(jié)論中，正確結(jié)論的序號有①②③.

【考點】圓周角定理；解直角三角形的應(yīng)用；圓心角、弧、弦的關(guān)系.

第6頁（共

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；解直角三角形及其應(yīng)用；幾何直觀；運算能力；推理能力.

【答案】①②③.

【分析】①根據(jù)點。是AC弧的中點得ADM=C?；。纱丝蓪Y(jié)論①進行判斷；

②先證明得再證明/AG。得/尸G,由此可對結(jié)論②進行判斷；

③在RtAADG中tanZDAC=鑒=磊，在RtAABD中tanZABD=需=等，再根據(jù)NA8D=ZDAC

得A￡>2=IO,然后由勾股定理得AG=E,再由結(jié)論②正確可對結(jié)論③進行判斷；

④先證明點。，C為半圓弧上的三等分點，則NA8￡)=/D4c=30°,由此得A￡>=3,DG=43,進而

得SzvWG=攀，然后根據(jù)得SWG=&ADG=孥，由此可對結(jié)論④進行判斷，綜

ZZN4

上所述即可得出答案.

【解答】解：①丁點。是女的中點，

：.AD=CD,

：.ZABD=ZDAC,

故結(jié)論①正確；

②,??A3是半圓的直徑，

ZAZ)B=90°,

ZADE+ZBDE=90°,

'：DE±AB,

：.ZBDE+ZABD=90°,

???ZADE=ZABD,

：.ZADE=ADAC,

：.AF=FD,

VZADB=90°,

；?NADE+NBDE=9U°,ZAGD+ZDAC=90°,

XVZADE=ZDAC,

：.ZBDE=ZAGD,

：.FD=FG,

：.AF=FG,

故結(jié)論②正確；

③???￡)G=2,GB=3,

第7頁(共

：.BD=DG^GB=5,

nr*Q

在RtZXAOG中，tanND4C=^=京，

在中，tanNA5D=^=等，

ZABD=ZDAC,

.AD2

??=r

5AD

.?.AD2=IO,

在RtAADG中，由勾股定理得：AG=s/AD2+DG2=V14,

；.AF=PG=%G=孚，

故結(jié)論③正確；

④：點。是數(shù)的中點，BD=2AD,

：.AD=DC^CB,

即點。，C為半圓弧上的三等分點，

AZABD=ZDAC=30°,

An

在中，AB=6,sinZABD=

AD=AB?sinAABD=6Xsin30°=3,

nr

在Rt^AZJG中，tan/D4C=券，

：.DG=AD-tanZDAC=3Xtan30°=J3,

:&ADG=^AD-DG=1X3xV3=孥，

'：AF=FG,

:.S&DFG='^S/\ADG—

故結(jié)論④不正確，

綜上所述：正確的結(jié)論是①②③.

故答案為：①②③.

【點評】此題主要考查了圓周角定理，圓心角，弧，弦的關(guān)系，解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握圓周角

定理，圓心角，弧，弦的關(guān)系，靈活運用銳角三角函數(shù)進行計算是解決問題的關(guān)鍵.

5.如圖，四邊形ABCO是。。的內(nèi)接四邊形，ZA=50°,則/C的度數(shù)是130°.

第8頁（共

【考點】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓周角定理.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力.

【答案】130°.

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補計算即可.

【解答】解：；四邊形A3CD是。。的內(nèi)接四邊形，

AZA+ZC=180°,

VZA=50°,

.?.ZC=130°,

故答案為：130°.

【點評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟記圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，在。。中，直徑于點E,CD=6,BE=\,貝!］弦AC的長為_3VIU_.

【考點】圓周角定理；勾股定理；垂徑定理.

【專題】與圓有關(guān)的計算；運算能力；推理能力.

【答案】3VIU.

1

【分析】由垂徑定理得CE=ED=^CD=3,設(shè)的半徑為r,則OE=OB-EB=r-1,在RtAOED

中，由勾股定理得出方程，求出r=5,即可得出AE=9,在RtaAEC中，由勾股定理即可求解.

【解答】解：：AB_LCZ),CD=6,

：.CE=ED=1c￡>=3,

設(shè)O。的半徑為r,則0E=03-EB=r-1,

在RtZXOED中，由勾股定理得：O戌+D呼=0a,即(r-1)2+32=?,

第9頁(共

解得：r=5,

OA—5,0E=4,

：.AE=OA+OE=9,

在RtAAEC中，由勾股定理得：AC=y/CE2+AE2=V32+92=3同，

故答案為：3VIU.

【點評】本題考查了垂徑定理和勾股定理等知識，熟練掌握垂徑定理，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)

鍵.

7.若圓錐的底面半徑為3,側(cè)面積為36m則這個圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是_20_°.

【考點】圓錐的計算.

【專題】與圓有關(guān)的計算；運算能力.

【答案】90.

【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式S=TT”得出圓錐的母線長，再結(jié)合扇形面積公式即可求出圓心角的度

數(shù).

【解答】解：設(shè)圓錐的母線長為/,圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是武，

..,側(cè)面積為36ir,

.".nX3X/=36ir,

解得：1=12,

，扇形面積為36TT=啕三，

36U

解得：n=90,

，圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是90度.

故答案為：90.

【點評】此題主要考查了圓錐的計算，熟練掌握圓錐的側(cè)面積公式以及與展開圖扇形面積關(guān)系，求出圓

錐的母線長是解決問題的關(guān)鍵.

8.如圖，△ABC內(nèi)接于O。，是直徑，若NB=25°,則NCW=65°.

B

【考點】三角形的外接圓與外心；圓周角定理.

第10頁（共

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運算能力.

【答案】65.

【分析】連接。，先根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得/8=/。=25°,再根據(jù)直徑所對的圓周角是直

角可得/ACr?=90°,然后利用直角三角形的兩個銳角互余進行計算，即可解答.

；/B=25°,

:.NB=ND=25°,

是的直徑，

AZACD=90°,

：.ZCAD=90°-/。=65°,

故答案為：65.

【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)?/p>

輔助線是解題的關(guān)鍵.

9.某新建學(xué)校因場地限制，要合理規(guī)劃體育場地.小明繪制的鉛球場地設(shè)計圖如圖所示，該場地由OO

和扇形08c組成，OB,0C分別與O。交于點A,D.0A=lm,OB=10m,ZA0D=40°,則陰影部

分的面積為UTTm2（結(jié)果保留n）.

【專題】與圓有關(guān)的計算；運算能力.

【答案】11TT.

2

【分析】根據(jù)扇形的面積公式（S扇形=嗤用扇形B0C的面積減去扇形AOD的面積即可求出陰影

部分的面積.

第11頁（共

407TX102407txi2407tX（102-l2）

【解答】解:陰影部分的面積為:=1lit（優(yōu)2）.

360360360

故答案為：11TT.

【點評】本題考查了扇形面積的計算，掌握扇形的面積公式是解答本題的關(guān)鍵.

10.如圖，在矩形A8CD中，BC=y[2AB,。為8c中點，OE=AB=4,則扇形EOP的面積為4TT

【考點】扇形面積的計算；矩形的性質(zhì).

【專題】與圓有關(guān)的計算；運算能力.

【答案】41T.

【分析】根據(jù)已知條件求出BC,從而求出。8,根據(jù)三角形函數(shù)求出/BOE,同理求出NCOF,進而求

出ZEOF,再利用扇形的面積公式求出扇形EOF的面積即可.

【解答】解：VO￡=AB=4,

：.BC=V2/1B=4V2,

為BC中點，

；.OB=OC=%C=2a,

???四邊形ABCO為矩形，

；.NOBE=90°,

:.cos/BOE=^=*,

：.ZBOE=45°,

同理，NCOF=45°,

A180°-/BOE-/COF=90°,

S扇形EOF=360*豆?°序=411.

故答案為：47T.

【點評】本題考查扇形面積的計算等，掌握矩形的性質(zhì)、三角函數(shù)和扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵.

11.如圖，四邊形ABC。是。。的內(nèi)接四邊形，點。在四邊形A8C。內(nèi)部，過點C作。。的切線交AB的

延長線于點P,連接。4,OB.若/4。8=140。，ZBCP=35°,則/ADC的度數(shù)為105°.

第12頁（共

【考點】切線的性質(zhì)；圓周角定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力.

【答案】105°.

【分析】連接OC,先求出N0C3的度數(shù)，再求出N3OC,接著求出NAOC的度數(shù)，緊接著求出NA5C

的度數(shù)，最后求出NAOC的度數(shù).

【解答】解：連接OC,

???點。為切點，

???OC±PC,

.,.ZOCP=90°,

VZBCP=35°,

：.ZOCB=900-ZBCP=55°,

OC=OB,

：.ZOBC=ZOCB=55°,

AZBOC=180°-ZOCB-ZOBC=70°,

VZAOB=140°,

ZAOC=360°-ZAOB-ZBOC=150°,

1

AZABC=^ZAOC=75°,

AZADC=180°-ZABC=105°.

故答案為：105°.

【點評】本題主要考查切線的性質(zhì)、圓周角定理及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，靈活運用以上知識點是解題的

關(guān)鍵.

12.如圖，A3是。。的直徑，AC與。0相切，A為切點，連接8C.已知NAC3=50°,則的度數(shù)為

40°

第13頁（共

B

【考點】切線的性質(zhì)；圓周角定理.

【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力.

【答案】400.

【分析】由切線的性質(zhì)得到乙BAC=90°,由直角三角形的性質(zhì)求出NB=90°-50°=40.

【解答】解：「AB是。。的直徑，AC與。。相切，A為切點，

：.BA±AC,

：.ZBAC^90°,

V50°,

：.ZB=90°-50°=40°.

故答案為：40°.

【點評】本題考查切線的性質(zhì)，關(guān)鍵是由切線的性質(zhì)得到/A4c=90°.

7

13.用一個圓心角為126°，半徑為10c機的扇形作一個圓錐的側(cè)面,這個圓錐的底面圓的半徑為-cm.

-2—

【考點】圓錐的計算.

【專題】與圓有關(guān)的計算；運算能力.

7

【答案】--

【分析】易得扇形的弧長，除以2TT即為圓錐的底面半徑.

【解答】解：扇形的弧長=嚓轡=7冗(cm),

loU

故圓錐的底面半徑為7TT+2n=<(cm).

7

故答案為：--

【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長,

扇形的半徑等于圓錐的母線長.

14.若圓錐的底面半徑是1cm,它的側(cè)面展開圖的圓心角是直角，則該圓錐的高為—后_c〃z.

【考點】圓錐的計算；認識平面圖形；勾股定理.

第14頁(共

【專題】與圓有關(guān)的計算；運算能力.

【答案】V15.

【分析】根據(jù)弧長公式求出圓錐的母線長，根據(jù)勾股定理計算，得到答案.

【解答】解：設(shè)扇形的母線長為

:圓錐的底面半徑是1cm,

圓錐的底面周長是2TTcm,即側(cè)面展開圖扇形的弧長是2TTcm,

解得：1=4,

由勾股定理得：圓錐的高=V42—12=V■正（5）.

故答案為：V15.

【點評】本題考查的是圓錐的計算，認識平面圖形和勾股定理，掌握圓錐的底面周長與展開后所得扇形

的弧長相等是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，的直徑A8平分弦（不是直徑）.若NZ）=35°,則/C=55°.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運算能力.

【答案】55.

【分析】設(shè)A8與8相交于點E,根據(jù)垂直定義可得4DE2=90°,然后利用直角三角形的兩個銳角

可得互余NB=55°,從而利用同弧所對的圓周角相等可得/C=/B=55°,即可解答.

【解答】解：設(shè)與C。相交于點E,

：0。的直徑A3平分弦CD（不是直徑）,

：.AB±CD,

第15頁（共

/.ZDEB=90°,

：/。=35°,

：.ZB=90°-55°,

：.ZC=ZB=55°,

故選：55.

【點評】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，熟練掌握圓周角定理，以及垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

16.如圖,是O。的弦,連接02,0C,/A是我所對的圓周角，則NA與N08C的和的度數(shù)是90°

【考點】圓周角定理.

【專題】與圓有關(guān)的計算；運算能力.

【答案】90°.

【分析】根據(jù)同弧所對圓周角與圓心角的關(guān)系，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理即可解決問題.

【解答】解：???NA是比所對的圓周角，

1

???ZA=^O.

?：OB=OC,

：.ZOBC=ZOCB.

XVZO+ZOBC+ZOCB=180°,

???NO+2NOBC=180°,

1

，一乙。+乙OBC=90°,

2

即NA+NOBC=90°.

故答案為：90°.

【點評】本題主要考查了圓周角定理，熟知圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

17.如圖1是小區(qū)圍墻上的花窗，其形狀是扇形的一部分，圖2是其幾何示意圖（陰影部分為花窗）.通

過測量得到扇形AOB的圓心角為90°,OA=lm,點C,。分別為。4,08的中點，則花窗的面積為

c一渥.

第16頁（共

AB

C\-丁D

0

圖1圖2

【考點】扇形面積的計算.

【專題】與圓有關(guān)的計算；運算能力.

【答案】今―

【分析】用扇形的面積減去△C。。的面積即可解決問題.

【解答】解：由題知，

7

_90-7r-l_n2

,扇形OAB-360-4UA

:點C,。分別是OA,08的中點，

1

AOC=OD=^（m）,

,?S^OCD=2^2^2=8（機2），

7T1

?二花窗的面積為（一一一）m2

48

,,代》加1、

故答案為：（7—二）.

48

【點評】本題主要考查了扇形面積的計算，熟知扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵.

18.如圖，對折邊長為2的正方形紙片ABC。，OM為折痕，以點。為圓心，OM為半徑作弧，分別交AD

BC于E,尸兩點，則齊的長度為—（結(jié)果保留n）.

-3-

19.若用半徑為10c機的半圓形紙片圍成一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐底面圓的半徑為二a".

【考點】圓錐的計算.

【專題】與圓有關(guān)的計算；運算能力.

【答案】5.

【分析】根據(jù)圓的周長公式計算即可.

第17頁（共

【解答】解：由題意可知：圓錐的底面周長為lOnaw,

10兀

則圓錐底面圓的半徑為---=5（cm）,

27r

故答案為：5.

【點評】本題考查的是圓錐的計算，熟記圓錐的底面圓周長是扇形的弧長是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，己知兩條平行線A、12,點A是上的定點，于點點C、。分別是/1,/2上的動點，

且滿足連接CD交線段A3于點E,BHLCD于點H,則當NR48最大時，sin/BAH的值為

【考點】切線的性質(zhì)；解直角三角形；圓周角定理.

【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；模型思想.

【答案】

【分析】由題易得四邊形AC8。是平行四邊形，從而得到BE是定長，又由/BHE=90°,得出直角對

直角的隱圓模型，再根據(jù)最大張角問題（相切時）求解即可.

【解答】解：〃必

四邊形ACBD是平行四邊形，

:.AE=BE=1AB,

為定點，5.ABL12,

為定值，

:BHLCD,

；./BHE=90°,

...點H在以BE為直徑的圓上運動（如圖，。為圓心）,

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止匕時OE=*BE=10A,

,/當AH與O。相切時NA48最大，

sinZBAH=

第18頁（共

故答案為：I

【點評】本題主要考查了切線的性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)、圓周角定理是解題的關(guān)鍵，其中識別出隱

圓模型至關(guān)重要.

第19頁（共

考點卡片

1.認識平面圖形

(1)平面圖形：

一個圖形的各部分都在同一個平面內(nèi)，如：線段、角、三角形、正方形、圓等.

(2)重點難點突破：

通過以前學(xué)過的平面圖形：三角形、長方形、正方形、梯形、圓，了解它們的共性是在同一平面內(nèi).

2.勾股定理

(1)勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方.

如果直角三角形的兩條直角邊長分別是。，b,斜邊長為C,那么/+信=,2.

(2)勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.

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(3)勾股定理公式/+必=C2的變形有：a—Vc—b,b—7c2—曲及c—7a2+爐.

(4)由于/+廬=02>/,所以c>a,同理c>b,即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角

邊.

3.矩形的性質(zhì)

(1)矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形.

(2)矩形的性質(zhì)

①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；

②角：矩形的四個角都是直角；

③邊：鄰邊垂直；

④對角線：矩形的對角線相等；

⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所在的直線;

對稱中心是兩條對角線的交點.

(3)由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

4.正方形的性質(zhì)

(1)正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.

(2)正方形的性質(zhì)

①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；

②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；

③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).

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④兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，有四條對稱

軸.

5.垂徑定理

(1)垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

(2)垂徑定理的推論

推論1：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.

推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.

6.圓心角、弧、弦的關(guān)系

(1)定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等.

(2)推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其

余各組量都分別相等.

說明：同一條弦對應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧

或劣弧.

(3)正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系

三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推

二”，一項相等，其余二項皆相等.這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與

原圖形完全重合.

(4)在具體應(yīng)用上述定理解決問題時，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分.

7.圓周角定理

(1)圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.

注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上.②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可.

(2)圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.

推論：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.

(3)在解圓的有關(guān)問題時，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌

握.

(4)注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形.利用等腰三角形的頂點和底角

的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化.②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”—圓心角轉(zhuǎn)化.③定理成立的條件是“同

一條弧所對的”兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當成同一

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條弧所對的圓周角和圓心角.

8.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

(1)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：

①圓內(nèi)接四邊形的對角互補.

②圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角(就是和它相鄰的內(nèi)角的對角).

(2)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時，要注意與圓周角定理結(jié)合起

來.在應(yīng)用時要注意是對角，而不是鄰角互補.

9.三角形的外接圓與外心

(1)外接圓：經(jīng)過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓.

(2)外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心.

(3)概念說明：

①“接”是說明三角形的頂點在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個頂點.

②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在

三角形的外部.

③找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而

一個圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個.

10.切線的性質(zhì)

(1)切線的性質(zhì)

①圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.

②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點.

③經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.

(2)切線的性質(zhì)可總結(jié)如下：

如果一條直線符合下列三個條件中的任意兩個，那么它一定滿足第三個條件，這三個條件是：①直線過圓

心；②直線過切點；③直線與圓的切線垂直.

(3)切線性質(zhì)的運用

運用切線的性質(zhì)進行計算或證明時，常常作的輔助線是連接圓心和切點，通過構(gòu)造直角三角形或相似三角

形解決問題.

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