2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題復(fù)習(xí)講義

動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題復(fù)習(xí)講義

解題要點(diǎn)剖析

解點(diǎn)動(dòng)問(wèn)題的關(guān)鍵是在運(yùn)動(dòng)中尋找不變.解題方法是：

1.動(dòng)中取靜即在運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中探究不變量.

2.以靜制動(dòng)有些問(wèn)題是求最值或形成特殊的幾何圖形，本質(zhì)就是在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中運(yùn)動(dòng)到特殊位置時(shí)形成

的關(guān)系.在動(dòng)的過(guò)程中抓住靜的瞬間，由一般向特殊轉(zhuǎn)化.

解題步驟是：

1.讀題，辨析是遞進(jìn)關(guān)系還是并列關(guān)系.

2.確定動(dòng)點(diǎn)背景，確定動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)以及它們之間的關(guān)系，動(dòng)點(diǎn)在什么圖形上運(yùn)動(dòng)(直線、射線、折線、三

角形、四邊形等).

3.分類，確定分類依據(jù)，從特殊位置入手確定自變量范圍，找不變或相等關(guān)系(全等、相似、面積、勾

股、底或高為定長(zhǎng)、定角等)，動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)構(gòu)成的圖形要逐一分析.

4.作圖，要作出每個(gè)狀態(tài)的典型圖形.

5.函數(shù)或方程，通過(guò)位置關(guān)系建立起數(shù)量關(guān)系.

6看臨界，要考慮臨界狀態(tài)能否成立的情況.

解題時(shí)，往往需要通過(guò)數(shù)形結(jié)合揭示題目各數(shù)據(jù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過(guò)圖形，探究數(shù)量關(guān)系，再由數(shù)

量關(guān)系研究圖形特征，使問(wèn)題化難為易，只要善于運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，由形想數(shù)，由數(shù)定形，把動(dòng)點(diǎn)運(yùn)

動(dòng)的時(shí)間t與運(yùn)動(dòng)過(guò)程中特定圖形的形狀和大小聯(lián)系起來(lái)，利用方程就可以解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題.以下例題重點(diǎn)解

決動(dòng)點(diǎn)與圖形面積的問(wèn)題.

考題解析

例1(四川)如圖4-1所示，已知AABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(3,0),B(0,4),C(-3,0).動(dòng)點(diǎn)M,N同時(shí)從點(diǎn)A出

發(fā),M沿A-C運(yùn)動(dòng),N沿折線A-B-C運(yùn)動(dòng)，均以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度移動(dòng)，當(dāng)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)C時(shí),

另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間記為t秒，連接MN.

⑴求直線BC的表達(dá)式；

(2)移動(dòng)過(guò)程中，將AAMN沿直線MN翻折，點(diǎn)A恰好落在BC邊上點(diǎn)D處，求此時(shí)t值及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)點(diǎn)M,N移動(dòng)時(shí)，記AABC在直線MN右側(cè)部分的面積為S,求S關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式.

思路分析(D利用待定系數(shù)法可求BC的表達(dá)式.

(2)依題意可得AM=AN=t,根據(jù)翻折性質(zhì)得四邊形AMDN為菱形，作NF，x軸，連接AD交MN于0；結(jié)

合已知條件得M(3—1,0).當(dāng)點(diǎn)N在AB邊上移動(dòng)時(shí)住△ANFs^ABO,可得4F=卜NF=gt,從而得

N(3—|t).根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得3-］，|。設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y),再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得點(diǎn)D的坐

標(biāo)為(3彳)由點(diǎn)D在邊BC上，代入直線BC的表達(dá)式中即可得點(diǎn)D的坐標(biāo).

⑶①當(dāng)0<t<5時(shí),AABC在直線MN右側(cè)部分為AAMN,根據(jù)三角形面積公式即可得出S關(guān)于t的函數(shù)

關(guān)系式；②當(dāng)5<t<6時(shí)，AABC在直線MN右側(cè)部分為四邊形ABNM油△CNFs^CBO,可得NF=

I(10—t),最后由S=SABC-SCNM=l-AC.OB-\-CM-NF代入數(shù)值即可得S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.

規(guī)范解答⑴設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=kx+b(k#O).

代入B(0,4),C(-3,0)狷｛_3：；二°解得￡二：

故直線BC的表達(dá)式為y=[x+4.

⑵由題意彳導(dǎo)點(diǎn)N在AB上移動(dòng),AM=AN=t.

VAAMN沿直線MN翻折，點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，

四邊形AMDN為菱形.

如圖4-2所示，過(guò)點(diǎn)N作NFLx軸，垂足為點(diǎn)F,連接AD,交MN于點(diǎn)01.

VA(3,0),B(0,4),

OA=3,OB=4.

由勾股定理，得AB=VOX2+OB2=V32+42=5.

.?.點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3-t,0).

由NF_LOA.BO±OA,得NF/7B0,；.△ANFs△ABO.

AN_AF_NF

AB~AO~BO'

t_AF_NF

5"3-41

34

AF=-tNF=-t.

5f5

點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3-|t.|t).

:點(diǎn)O為菱形AMDN對(duì)角線的交點(diǎn)，???黑..點(diǎn)O的坐標(biāo)為。(3-]，11).

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y),

?.?上一—J3一Lt■—V■

2525

解得％=3-^t.

???點(diǎn)D的坐標(biāo)為((3-舐，))

又：D在直線BC上，

"4x(3-汨+4=)

3

解得±=詈

*e*點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-澤.

⑶①當(dāng)0<t<5HtAABC在直線MN右側(cè)部分為△AMNf

1142r

2

S=SAMN=--AM-NF=--t--t=-t.

②當(dāng)5<t<6時(shí),AABC在直線MN右側(cè)部分為四邊形ABNM,如圖4-3所示過(guò)點(diǎn)N作NFLAC,垂足為

點(diǎn)F.

?/AM=AB+BN=t,AB=BC=5,

BN=t-5,CN=5-(t-5)=10-t.

XVACNF^ACBO,

.CN_NF

''CB~BO'

即*=竽

54

解得NF=110-)

S=SABC—SCNM—^AC-OB—3cM-NF.

=|X6x4-|X(6-t)x|(10-t)

解后反思本題是雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，動(dòng)點(diǎn)的連線是軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是用t表示對(duì)稱

點(diǎn)的坐標(biāo)，再將其代入解析式，也就是將其靜止，這是上面說(shuō)的“動(dòng)中取靜”.本題有了情境，求具體點(diǎn)需要

具備很好的運(yùn)算能力和幾何知識(shí)，這也是今后處理動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題需要不斷訓(xùn)練的能力.

例2如圖4-4所示，在AOBC中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,2V3),AB

±y軸，點(diǎn)A為垂足,OH_LBC,點(diǎn)H為垂足.動(dòng)點(diǎn)P,Q分別從點(diǎn)O,A同時(shí)出發(fā).點(diǎn)P沿線段OH向點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)

Q沿線段AO向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，速度都是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.；tB

(1)求證:OB=CB;/\

(2)已知AOPQ的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及定義域；Q

⑶當(dāng)PQLOB(垂足為點(diǎn)M)時(shí)，求五邊形ABHPQ的面積的值._____\「

0\Cx

思路分析(1)通過(guò)兩點(diǎn)之間的距離公式計(jì)算可得OB=CB.I

⑵分別以0<2(=4。-4Q=2百-t)為底、點(diǎn)P橫坐標(biāo)的絕對(duì)值yt為高求△OPQ的面黑”品可

求出函數(shù)關(guān)系式.

(3)將五邊形的面積看成S五邊形ABHPQ=S四邊形0A陽(yáng)~S^OPQ，而四邊形OABH的面積為S四邊形

OABH=S2kOAB+S^OHB=S4OHB+S2kOHC=SAOBC,即可求出五邊形的面積.

規(guī)范解答⑴證明：20.??0B=1(0-2)2+(0-2V3)2=4.CB=1(4-2)2+(0-2V3)2=4.

???OB=CB.

(2)易證4OBC為等邊三角形.

VOHXBC,

.,.ZBOH=ZCOH=30°.

???ZAOB=30°.

如圖4-5所示，過(guò)點(diǎn)P作PELOA,垂足為點(diǎn)E.

在RtAPEO中,NEPO=3()o,PO=t,

E0=-P0=

22

由勾股定理，得PE=梟

又?：0Q=4。-AQ=2百一t,

,,S=-0Q-PE=-(2>j3-tY—t=--t2+-t.

2y2vJ242

即s=-^t2+|t(0<t<2V3).

(3)易證RtAOAB^RtAOHB^RtAOHC,

S加方開mABH=SfMB+SOHB=SOHB+S°HC=S0Rc=5X4X2A/3=4-\/3.

易證AOPQ為等邊三角形，

.?.OQ=OP.

即2遍-yt.解得t=V3.

將"百代入$=-當(dāng)2+"(0<[<2^)中，得

42

SOPQ=-乎X(V3)+1XV3=^.

.??$碼底ABHPQ=S-—SOPQ=4值一警寸值

解后反思本題是雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，通過(guò)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)將含t的表達(dá)式轉(zhuǎn)化成平面幾何中的長(zhǎng)度，是解題關(guān)鍵,

而抓住某個(gè)靜止?fàn)顟B(tài)去研究靜止?fàn)顟B(tài)的平面幾何關(guān)系，則是運(yùn)動(dòng)問(wèn)題簡(jiǎn)單化，這就是上面所說(shuō)的“動(dòng)中取

靜”.

例3如圖4-6所示，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC是矩形，0A=4,0C=3,動(dòng)點(diǎn)P

從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線CB方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正半軸

方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s).

⑴當(dāng)t=ls時(shí)，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)0、P、A三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式；

⑵當(dāng)t=2s時(shí).求tanZQPA的值；

⑶當(dāng)線段PQ與線段AB相交于點(diǎn)BM=2AM時(shí)*求t(s)的值；

(4)連接CQ,當(dāng)點(diǎn)P,Q在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，記ACQP與矩形0ABC重疊部分的面積為S,求S與t的函數(shù)解析式.

思路分析(1)當(dāng)t=ls時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，由點(diǎn)0、P、A的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可求得拋物線的表達(dá)

式；

⑵當(dāng)t=2s時(shí),可知點(diǎn)P與點(diǎn)B重合在RtABAQ中可求得tanZQPA的直

⑶用t可表示出BP和AQ的長(zhǎng)，由ZiPBMsZiQAM可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值；

(4)當(dāng)點(diǎn)Q在線段OA上時(shí)，得S=SACPQ;當(dāng)點(diǎn)Q在線段OA上,且點(diǎn)P在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，由相

似三角形的性質(zhì)可用t表示出AM的長(zhǎng)，由S=5兩邊把Bea.=S矩形0ABe-SACQ-SAAMQ,可求得S與t的關(guān)

系式；當(dāng)點(diǎn)Q在0A的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)CQ交AB于點(diǎn)M,利用AAQUsaBCM可用t表示出AM,從而可

表示出BM,由(S=SACBM,求得答案.

規(guī)范解答⑴當(dāng)t=1s時(shí),則CP=2.

：OC=3,四邊形OABC是矩形，

.IP(2,3),且A(4,0).

由題意，知拋物線過(guò)原點(diǎn)O,可設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=ax2+bx(a豐0).

代入認(rèn)得｛普2憶室解得憶j

故過(guò)O,P,A三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式為y=-；%2+3x.

4

⑵當(dāng)t=2s時(shí)，則CP=2x2=4=BC,即點(diǎn)P與點(diǎn)B重合,OQ=2,如圖4-7所示

，AQ=OA-OQ=4-2=2,且AP=OC=3.

(3)當(dāng)線段PQ與線段AB相交于點(diǎn)M時(shí)，則可知點(diǎn)Q在線段0A上，點(diǎn)P在線段CB的延長(zhǎng)線上,

如圖4-8所示,

則CP=2t,OQ=t,

BP=PC-CB=2t-4,AQ=OA-OQ=4-t.

PC/7OA,

AAPBM^AQAM.

???—=型，且BM-2AM.

AQAM

.??舒=2.解得1=3.

4-t

所以，線段PQ與線段AB相交于點(diǎn)M,且BM=2AM時(shí),t為3s.

(4)當(dāng)0<t<2時(shí)，如圖4-9所示.

由題意可知CP=2t,

當(dāng)2<t<4時(shí)，設(shè)PQ交AB于點(diǎn)M,如圖4-10所示.

由題意可知PC=2t,OQ=t，貝！］.BP=2t-4,AQ=4-t,

同(3)可得募=BM2t-4

AM4—t1

BM=—-AM.

4-t

3-71M=—?AM.解得AM=

4-tt

..S_S四邊形BCQM_S華篇ABCSoQ^AMC

1A1224

???s=SBCM=-x4x—=

2tt'

f3t,0<t<2;

綜上可知S=]24—F

3t,2<t<4;

I24

t>4.

解后反思本題為點(diǎn)動(dòng)問(wèn)題，用t和速度表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)度，化“動(dòng)”為“靜”是一般思路.在第(4)問(wèn)

中確定出P,Q的位置，關(guān)注臨界狀態(tài)，進(jìn)行分類討論來(lái)確定重合部分的面積是解題的關(guān)鍵.

例4(四川)如圖4-12所示,已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCO為梯形,BC〃AO,四個(gè)頂

點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(4,0),B(l,4),C(0,4)Q(0,0).一動(dòng)點(diǎn)P從O出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿0A的方向向A

運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿A-B-C的方向向C運(yùn)動(dòng).兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)若其中

一個(gè)到達(dá)終點(diǎn)，另一個(gè)也隨之停止，設(shè)其運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

⑴求過(guò)A,B,C三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式；

⑵當(dāng)t為何值時(shí),PB與AQ互相平分；

⑶連接PQ,設(shè)APAQ的面積為S探索S與t的函數(shù)關(guān)系式.當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值?最大值是多少？

思路分析⑴設(shè)拋物線的表達(dá)式，運(yùn)用待定系數(shù)法可以直接求出拋物線的表達(dá)式.

(2)根據(jù)PB與AQ互相平分可以得出四邊形BQPA是平行四邊形，得出QB=PA,建立等量關(guān)系可以

求出t值.

(3)分點(diǎn)Q在AB上和在BC上,根據(jù)三角形的面積公式表示出S與t的關(guān)系式就可以求出其答案.

規(guī)范解答(1)設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=ax2+bx+c(aH0),代入A,B,C三點(diǎn)彳導(dǎo)

16a+4b+c=0,\a=~3'

a+b+c=4,解彳<b=-

c=4.3，

Vc=4.

ii

???y=——7+-%+4.

y33

⑵如圖4-13所示，要使得PB與AQ互相平分，則四邊形BQPA是平行四邊形.AB=

,(4—1)2+(0—4)2=5

BQ=PA.

??2t-5=4-t.

???yQ=2t-sin?=^t,xP=t,

???SPAQ=—t)=^(4t—t2).

?1?當(dāng)t=2時(shí),SApAQ有最大值.最大值為y.

②當(dāng)1WtW3時(shí)，點(diǎn)Q在線段BC上運(yùn)動(dòng)，則SPAQ=Ix4(4-t)=8-2t.

.,.當(dāng)t=決寸,SAPAQ有最大值，最大值為3.

綜上所述,當(dāng)t=2|時(shí).SAPAQ有最大值，最大值為y.

解后反思本題是要抓住所求的幾何特征，即兩線段互相平分，這兩條線段可看成是平行四邊形的兩條對(duì)角

線，將這個(gè)靜止?fàn)顟B(tài)中線段的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化成為關(guān)于t的代數(shù)式，是解決問(wèn)題的一般思路，而繼續(xù)求最值時(shí)，

則是題目特殊再到一般的過(guò)程，這就是“以靜制動(dòng)”.

例5如圖4-14所示,已知點(diǎn)A從(1,0)出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，以O(shè),A

為頂點(diǎn)作菱形OABC,使點(diǎn)B,C在第一象限內(nèi)，且/AOC=60。.以P(0,3)為圓心、

PC為半徑作圓.設(shè)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)了t秒，求：

(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)(用含t的代數(shù)式表示)；

(2)當(dāng)點(diǎn)A在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，所有使OP與菱形OABC的邊所在直線相切的t

的值

思路分析⑴過(guò)C向x軸引垂線，利用三角函數(shù)求出相應(yīng)的橫、縱坐標(biāo).圖4-14

⑵?P與菱形OABC的邊所在直線相切，則可分與OC相切、與OA相切、與AB相切三種情況討論.

規(guī)范解答⑴如圖4-15所示過(guò)點(diǎn)C作CD_Lx軸于點(diǎn)D.

VOA=l+t.

；.OC=l+t.

OD=OC-cos60°=—,DC=OC-sin60°=唾上2

22

???點(diǎn)c的坐標(biāo)為(手，空把).

圖4-15

(2)①當(dāng)。P與OC相切時(shí)(圖4-15)切點(diǎn)為C,此時(shí)PC±OC.

???OC=OPcos30°.

1+t=3x——.

2

解得g竽-

②當(dāng)OP與OA,即與x軸相切時(shí)（圖4-16）,則切點(diǎn)為O,PC=OP.

過(guò)點(diǎn)P作PEXOC于點(diǎn)E,則0E=10C.

O_3V3

???—=0P-COS30

2一21

解得t=3V3-1.

③當(dāng)。P與AB所在直線相切時(shí)（圖4-17）,設(shè)切點(diǎn)為F.PF交0C于點(diǎn)G,則PFXOC.

；.FG=CD=中

.?.PC=PF=PG+FG

=OP-sin30°=2+

222

過(guò)點(diǎn)C作CH±y軸于點(diǎn)H,則PH2+CH2=PC2.

...甘?+產(chǎn)+t)_31=[|+駕邛.

化簡(jiǎn)，得((t+l)2-18V3(t+1)+27=0.

解得：t+1=9V3±6V6.

vt=9V3-6V6-1<0,

t=9-/3+6-\/6—1.

綜上所述，所求t的值是苧-1,3V3-1和9V3+6V6-1.

解后反思本題是點(diǎn)動(dòng)帶動(dòng)的形的變化，利用幾何性質(zhì)用字母表示點(diǎn)C的坐標(biāo)，是解決后續(xù)問(wèn)題的

關(guān)鍵，同時(shí)，在圖形的變化后，要畫出臨界狀態(tài)，即圓與不同邊相切的狀態(tài)的圖形.將線段的長(zhǎng)度再轉(zhuǎn)化成

t的值是解決此類問(wèn)題的思維過(guò)程.

全真模擬訓(xùn)練

1.（湖北）直線y=-|x+3交X軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,頂點(diǎn)為D的拋物線y=~^x2+2mx-3m

24

經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,交x軸于另一點(diǎn)C,分別連接BD,AD,CD,如圖所示.

(1)直接寫出拋物線的表達(dá)式和點(diǎn)A,C,D的坐標(biāo).

(2)動(dòng)點(diǎn)P在線段BD上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q在線段CA上以每

秒3個(gè)單位長(zhǎng)的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，PQ交線段AD于點(diǎn)E.

①當(dāng)乙DPE=NC4D時(shí)，求t的值；

②過(guò)點(diǎn)E作EMLBD,垂足為點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)P作PN1BD交線段AB或AD于點(diǎn)N,當(dāng)PN=EM時(shí).求t的

值.

(第1題)

2.如圖(a)所示，在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為0(0,0),A(14,0),B(9,5B),C(3,3

遮)，動(dòng)點(diǎn)P與Q同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，點(diǎn)P沿0A方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A

運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿折線OC-CB-BA運(yùn)動(dòng)，在OC,CB,BA上運(yùn)動(dòng)的速度分別為3,百卷(單位長(zhǎng)度/秒)，當(dāng)P,Q中

的一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).

⑴求BC所在直線的表達(dá)式；

⑵如圖(b)所示，當(dāng)點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求△AQP的面積S關(guān)于t的函數(shù)解析式及S的最大值；