2024年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：三角形（解答題）

2024年中考數(shù)學(xué)真題知識點分類匯編之三角形(解答題)

—.解答題(共21小題)

1.如圖，點C在線段上，AB^AD,NB=ND,BC=DE.

(1)求證：AABC義AADE；

(2)若/BAC=60°,求/ACE的度數(shù).

2.如圖，在平行四邊形ABC。中，點E在邊AQ上，AB=AF,連接BR點。為BE的中點，AO的延長

線交邊BC于點E,連接EP.

(1)求證：四邊形是菱形；

(2)若平行四邊形A8CD的周長為22,CE=1,ZBA￡>=120°,求AE的長.

1

3.已知△ABC是等腰三角形，AB=AC,/MAN="BAC,/MAN在/BAC的內(nèi)部，點M、N在8c上，

點M在點N的左側(cè)，探究線段8M、NC、之間的數(shù)量關(guān)系.

(1)如圖①，當(dāng)NBAC=90°時，探究如下:

由/8AC=90°,A8=AC可知，將AACN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△A8P,則CN=BP且

=90°,連接PM,易證△AMP之△AMN,可得MP=MN,在RtAPBM中,BM2+BP2^MP2,則有BM2+NC2

=MN2.

(2)當(dāng)/8AC=60°時，如圖②：當(dāng)NB4c=120°時，如圖③，分別寫出線段BW、NC、MN之間的

數(shù)量關(guān)系，并選擇圖②或圖③進(jìn)行證明.

A

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊三角形0A2的邊。2在尤軸上，點A在第一象限，的長度是一

元二次方程/-5尤-6=0的根，動點P從點0出發(fā)以每秒2個單位長度的速度沿折線04-AB運動,

動點0從點。出發(fā)以每秒3個單位長度的速度沿折線。B-8A運動，P、0兩點同時出發(fā)，相遇時停止

運動.設(shè)運動時間為/秒(0<t<3.6),△0PQ的面積為S.

(1)求點A的坐標(biāo);

(2)求S與f的函數(shù)關(guān)系式；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)S=6舊時，點M在y軸上，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點N,使得以點0、P、M、

N為頂點的四邊形是菱形.若存在，直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

5.如圖，在口48。中，點。是的中點，連接C。并延長，交D4的延長線于點E.求證：AE=BC.

6.如圖，在△ABC中，ZC=90°,ZB=30°,AC=3cm,是△ABC的角平分線.動點尸從點A出

發(fā)，以次“i/s的速度沿折線AO-DB向終點8運動.過點P作尸。〃A3,交AC于點Q,以尸。為邊

作等邊三角形PQE,且點C,E在P。同側(cè).設(shè)點尸的運動時間為f(s)。＞0),△PQE與△ABC重合

部分圖形的面積為S(cm2).

(1)當(dāng)點尸在線段上運動時，判斷△AP。的形狀(不必證明)，并直接寫出A。的長(用含/的代

數(shù)式表示).

(2)當(dāng)點E與點C重合時，求/的值.

(3)求S關(guān)于，的函數(shù)解析式，并寫出自變量才的取值范圍.

7.己知：AABC.

(1)尺規(guī)作圖：畫出△ABC的重心G.(保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明)

(2)在(1)的條件下，連接AG,BG.已知△ABG的面積等于5cm2,則△ABC的面積是,

8.如圖，△ABC的中線8。，CE交于點。，點RG分別是。8,OC的中點.

(1)求證：四邊形。斯G是平行四邊形;

(2)當(dāng)BD=CE時，求證：nOEFG是矩形.

9.如圖，48是NCAD的平分線，AC^AD,求證：NC=/D.

c

10.數(shù)學(xué)活動課上為了測量學(xué)校旗桿的高度，某小組進(jìn)行了以下實踐活動：

(1)準(zhǔn)備測量工具

①測角儀：把一根細(xì)線固定在半圓形量角器的圓心處，細(xì)線的另一端系一個小重物，制成一個簡單的測

角儀(圖1),利用它可以測量仰角或俯角；

②皮尺.

(2)實地測量數(shù)據(jù)

①將這個測角儀用手托起，拿到眼前，使視線沿著測角儀的直徑剛好到達(dá)旗桿的最高點(圖2)；

②用皮尺測出所站位置到旗桿底部的距離為168%，眼睛到地面的距離為1.6m.

(3)計算旗桿高度

①根據(jù)圖3中測角儀的讀數(shù)，得出仰角a的度數(shù)為；

②根據(jù)測量數(shù)據(jù)，畫出示意圖4,AB^1.6m,16.8m,求旗桿CD的高度(精確到0.1〃z)；

(參考數(shù)據(jù)：sin35°^0.57,cos35°"0.82,tan35°^0.70,sin55°弋0.82,cos55°20.57,tan55°

仁1.43)

③若測量者仍站在原處(8點)，能否用三角板替代測角儀測出仰角a?若能，請寫出測量方法；若不

能，該如何調(diào)整位置才能用三角板測出仰角a,請寫出測量方法.

■

圖1

P

X

AQT-------

5

—-----------------#----------］讀數(shù)為55.BC

A

圖2圖3圖4

n.【探究】

(1)已知△ABC和△AOE都是等邊三角形.

①如圖1,當(dāng)點。在8C上時，連接CE.請?zhí)骄緾A,CE和CO之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②如圖2,當(dāng)點。在線段的延長線上時，連接CE.請再次探究CA,CE和之間的數(shù)量關(guān)系，

并說明理由.【運用】

(2)如圖3,等邊三角形A8C中，AB=6,點E在AC上，CE=25點。是直線2C上的動點，連

接。E,以。E為邊在。E的右側(cè)作等邊三角形OEF,連接CF.當(dāng)為直角三角形時，請直接寫

(1)在71,/2所在的平面內(nèi)求作直線I,使得1//11//12,且/與人間的距離恰好等于I與12間的距離;

(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)

(2)在(1)的條件下，若/1與/2間的距離為2,點A,B,C分別在/,h,/2上，且△ABC為等腰直

角三角形，求AABC的面積.

13.如圖，點A、D、B、E在同一條直線上，AD=BE,AC=DF,BC=EF.

(1)求證：AABC^ADEF；

(2)若/A=55°,/E=45°,求/尸的度數(shù).

14.如圖，在△ABC和△&￡￡)中，AB=AE,/BAE=/CAD,AC^AD.求證：AABC^AAED.

A

15.【問題背景】

某校八年級數(shù)學(xué)社團(tuán)在研究等腰三角形“三線合一”性質(zhì)時發(fā)現(xiàn)：

①如圖，在△ABC中，AD±BC,BD=CD,則有NB=NC；

②某同學(xué)順勢提出一個問題：既然①正確，那么進(jìn)一步推得AB=AC,即知AB+BO=AC+CD.若把①

中的8￡>=CD替換為4?+8Z)=AC+C。，還能推出/8=NC嗎？

基于此，社團(tuán)成員小軍、小民進(jìn)行了探索研究，發(fā)現(xiàn)確實能推出并分別提供了不同的證明

方法.

小軍小民

證明：分別延長。8,證明：

DC至E,B兩點，使.?.△AO2與△AOC

得……均為直角三角形

根據(jù)勾股定理，

得……

【問題解決】

(1)完成①的證明；

(2)把②中小軍、小民的證明過程補充完整.

16.【實踐課題】測量湖邊觀測點A和湖心島上鳥類棲息點尸之間的距離.

p?

A

【實踐工具】皮尺、測角儀等測量工具

【實踐活動】某班甲小組根據(jù)胡岸地形狀況，在岸邊選取合適的點艮測量A,B兩點間的距離以及/

PAB^WZPBA,測量三次取平均值，得到數(shù)據(jù)：43=60米，ZPAB=79°,ZPBA=64°.畫出示意圖，

如圖1：

【問題解決】(1)計算A,尸兩點間的距離.

(參考數(shù)據(jù)：sin64°~0.90,sin79°=0.98,cos79°-0.19,sin37°心0.60,tan37°心0.75)

【交流研討】甲小組回班匯報后，乙小組提出了另一種方案：

如圖2,選擇合適的點DE,F,使得A,D,E在同一條直線上，5.AD^DE,ZDEF^ZDAP,當(dāng)F,

D,尸在同一條直線上時，只需測量跖即可.

(2)乙小組的方案用到了.(填寫正確答案的序號)

①解直角三角形

②三角形全等

【教師評價】甲、乙兩小組的方案都很好，對于實際測量，要根據(jù)現(xiàn)場地形狀況選擇可實施的方案.

17.如圖，點。、E分別是等邊三角形ABC邊BC、AC上的點，且8D=CE,BE與AO交于點尸.求證:

AD=BE.

A

18.如圖，在AABC中，點。為BC邊的中點，過點8作BE〃AC交的延長線于點E.

(1)求證：△BDEgACDA.

(2)AD±BC,求證：BA=BE.

19.如圖，△ABC是O。的內(nèi)接三角形,AB是。。的直徑，過點B作O。的切線與AC的延長線交于點D,

點“在。。上，AC^CE,CE交AB于點、F.

(1)求證：/CAE=ND；

(2)過點C作CG_LAB于點G,若。4=3,BD=3五,求BG的長.

20.如圖1,在△ABC中，AB=6,BC=8,點尸為AB上一點，AP^x,過點尸作PQ〃8C交AC于點。.點

P,。的距離為yi,ZkABC的周長與△AP。的周長之比為”.

(1)請直接寫出yi,”分別關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并注明自變量尤的取值范圍；

(2)在給定的平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)yi,中的圖象，并分別寫出函數(shù)yi,”的一條性質(zhì)；

(3)結(jié)合函數(shù)圖象，請直接寫出yi>”時x的取值范圍(近似值保留小數(shù)點后一位，誤差不超過0.2).

9

8

7

6

5

4

3

2

1

~0123456789力

圖1圖2

21.如圖，在△ABC中，A8=6,5C=8,點尸為A3上一點，過點P作PQ〃8C交AC于點Q.設(shè)AP的

長度為羽點尸，。的距離為yi,△ABC的周長與△AP。的周長之比為”.

(1)請直接寫出yi,"分別關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并注明自變量％的取值范圍；

(2)在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)yi,”的圖象；請分別寫出函數(shù)山，"的一條性質(zhì)；

(3)結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出yi>”時］的取值范圍.(近似值保留一位小數(shù)，誤差不超過0.2)

%

9"--「--r--T--T--R--R--R--T-

8

7

6

BC

O123456789%

2024年中考數(shù)學(xué)真題知識點分類匯編之三角形(解答題)

參考答案與試題解析

一.解答題(共21小題)

1.如圖，點C在線段AD上，AB=AD,NB=/D,BC=DE.

(1)求證：AABC義AADE；

(2)若NBAC=60°,求/ACE的度數(shù).

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】圖形的全等；運算能力；推理能力.

【答案】(1)證明見解答；

(2)/ACE的度數(shù)是60°.

【分析】(1)由BC=OE,ZB=ZD,AB=AD,根據(jù)"SAS”證明

(2)由全等三角形的性質(zhì)得AC^AE,ZBAC^ZDAE=60°,貝(INAEC=NACE,^ZAEC+ZACE

=2ZAC￡=120°,求得/ACE=60°.

【解答】(1)證明：在△ABC和△AOE中，

BC=DE

乙B=乙D,

AB=AD

：.AABC^AADE(SAS).

(2)解：由(1)得△ABC會ZkAOE,

：.AC=AE,ZBAC=ZDAE=60°,

???ZAEC=NACE,

VZAEC+ZACE=2ZACE=180°-ZZ)AE=120°,

AZACE=60°,

；./ACE的度數(shù)是60°.

【點評】此題重點考查全等三角形的判定與性質(zhì)，適當(dāng)選擇全等三角形的判定定理證明aABC四△ADE

是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，在平行四邊形ABC。中，點P在邊上，AB=AF,連接8尸，點。為的中點，AO的延長

線交邊BC于點E,連接EE

(1)求證：四邊形A8所是菱形；

(2)若平行四邊形ABC。的周長為22,CE=1,ZBAD=120°,求AE的長.

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì);菱形的判定與性質(zhì).

【專題】多邊形與平行四邊形；矩形菱形正方形；運算能力;推理能力.

【答案】(1)見解析；

(2)2.5.

【分析】(1)根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可；

(2)證明△A2E是等邊三角形，求出A8可得結(jié)論.

【解答】(1)證明：?..四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AD//BC,

：.NAFO=NEBO,

是8P的中點，

：.OB=OF,

在△AOP和AEOB中，

/.AFO=AEBO

Z.AOF=Z-BOE,

,OF=0B

:.AAOF沿AEOB(A4S),

：.OA=OC,

'：OB=OF,

...四邊形ABEF是平行四邊形，

'：AB=AF,

...四邊形A8所是菱形；

(2)解：,：AD//BC,

：.ZBAD+ZABC=180°,

\9ZBAD=120°,

ZABE=60°,

???△ABE是等邊三角形，

：.AE=AB,

'：AD=BC,AF=BE,

：.EC=DF=\,

。：DF〃EC,

???四邊形EFDC是平行四邊形,

：.CD=EF,

9：AB+BC+CD+AD=12,

???AB+BE+1+CD+AF+1=12,

???4AB=10,

：.AB=AE=2.5.

【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)

鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題.

1

3.已知△ABC是等腰三角形，AB=AC,ZMAN=^ZBAC,/A/4N在/8AC的內(nèi)部，點A/、N在8C上，

點M在點N的左側(cè)，探究線段8M、NC、之間的數(shù)量關(guān)系.

(1)如圖①，當(dāng)NBAC=90°時，探究如下：

由NBAC=90°,AB=AC可知，將△ACN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△4BP,則CN=BP且

=90°,連接PM,易證△AMP0ZXAMN,可得MP=MN,在RtAPBM中，BM2+BP2=MP2,則有BM2+NC2

=MN2.

(2)當(dāng)/8AC=60°時，如圖②：當(dāng)NBAC=120°時，如圖③，分別寫出線段NC、MN之間的

數(shù)量關(guān)系，并選擇圖②或圖③進(jìn)行證明.

A

MN

【考點】三角形綜合題.

【專題】證明題；幾何直觀.

【答案】圖②的結(jié)論是8序+NC2+8M?NC=MN2,圖③的結(jié)論是：BM2+NC2-BM'NC^MN1.證明過

程詳見解析.

【分析】類比（1）中示例方法在圖②③中構(gòu)造輔助線，先證△ACN經(jīng)△AB。（SAS）,再證△AQMgA

ANM,最后利用勾股定理轉(zhuǎn)化等線段即可.

【解答】解：圖②的結(jié)論是8M2+NC2+BM?NC=MN2.

證明：'：AB=AC,ZBAC=60°,

.1.△ABC是等邊三角形，

AZABC=ZACB=60°,

以點B為頂點在△ABC外作NABK=60°,在8K上截取BQ=CN,連接Q4、QM,過點Q作

垂足為H,

_N\~cB

D/\

/圖②'

：AB^AC,ZC=ZABQ,CN=BQ,

：./\ACN^AABQ(SAS),

:.AN=AQ,NCAN=/QAB,

又?.?/CAN+/8AM=30°,

：.ZBAM+ZQAB=30°,

AAQM^AANM(SAS),

：.MN=QM；

9：ABQ=60°,ZABC=60°,

：.ZQBH=60°,

：.ZBQH=30°,

：.BH=^BQ,QH=^-BQ,

1

???HM=BM+BH=BM+jBQ,

在Rt/XQHM中，可得：。3+8序=。加2,即(BQ)-+(BM+^BQ)2^QM2,

整理得B研+BG+BM，BQ=QM1.

：.BM2+NC2+BM-NC=MN2.

圖③的結(jié)論是：BW+NG-BM?NC=MM.

證明：以點8為頂點在△ABC外作NABK=30°,在8K上截取BQ=CN,連接Qi、QM,過點0作

QH±BC,垂足為X,

N?_______\________

BV/MjvV

圖③'

,：AB^AC,ZC^ZABQ,CN=BQ,

：.AACN^AABQ(SAS),

:.AN=AQ,ZCAN^ZQAB,

又：/CAN+/BAM=60°,

：.ZBAM+ZQAB=6Q°,即/QAM=NMAN,

又：

:.AAQM沿4ANM(SAS),

：.MN=QM,

在RtZXBQH中，NQBH=60°,NBQH=30°,

：.BH=^BQ,QH=^-BQ,

HM=BM-BH=BM-^BQ,

在中，可得：QH2+HM2=QM,即(?B。)2+(BM-^BQ)2^QM2,

整理得BM^BQ2-BM-BQ=QM2.

：.BM2+NC2-BM'NC^MN1.

【點評】本題主要考查全等三角形得判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股

定理、直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)知識和添加合適的輔助線是解題關(guān)鍵.

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊三角形。48的邊。8在無軸上，點A在第一象限，。4的長度是一

元二次方程，-5尤-6=0的根，動點尸從點。出發(fā)以每秒2個單位長度的速度沿折線OA-AB運動,

動點。從點。出發(fā)以每秒3個單位長度的速度沿折線。3-運動，P、0兩點同時出發(fā)，相遇時停止

運動.設(shè)運動時間為/秒(0</<3.6),△。尸。的面積為S.

(1)求點A的坐標(biāo)；

(2)求S與f的函數(shù)關(guān)系式；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)S=6舊時，點M在y軸上，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點N,使得以點。、P、M、

N為頂點的四邊形是菱形.若存在，直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

【專題】三角形；幾何直觀；推理能力.

【答案】(1)點A的坐標(biāo)為A(3,3V3)；

f|V3t2(0<t<2)

(2)<-1V3t2+6V3t(2<t<3)；

「寧百t+2773(3<t<3.6)

2

(3)點N的坐標(biāo)為N(2,4+2遮)，N(2,2V3-4),N(-2,2百)，N4(2,&?)?

【分析】(1)運用因式分解法解方程求出0A的長，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出OA=O8=OC=6,Z

OAB=ZAOB^ZABO=60°,過點A作AC_L尤軸，垂足為C,求出AC的長即可；

(2)分0<fW2,2</(3和3<f<3.6三種情況，運用三角形面積公式求解即可；

(3)當(dāng)5A遍時求出t=2,得OP=4,分OP為邊和對角線兩種情況可得點M的坐標(biāo)；當(dāng)

-|V3?+6V3/=6V3,-竽俗+278=68時，不存在以點。、P、M、N為頂點的四邊形是菱形.

【解答】解：(1)x2-5x-6=0,解得xi=6,X2=-L

???OA的長度是x2-5x-6=0的根，

：.0A=6f

VAOAB是等邊三角形，

：.0A=0B=0C=6,ZOAB=ZAOB=ZABO=60°,

.\ZOAC=30°,

11

???0C=件=.x6=3,

：.AC=y/OA2-OC2=V62-32=3V3,

???點A的坐標(biāo)為A(3,3V3)；

(2)當(dāng)0V/W2時，過P作軸，垂足為點。,

：.PD=y/OP2-OD2=V（2t）2-t2=V3/,

：.S=^OQ'PD=1又3txV3r=|V3?,

AZAQE=3Q°,

又A0=12-3t,

A￡=6-子，QE=JAQ2_4E?=6A/3---Z,

又0P=2t,

??S—2x2?XX（6V3=-2V3^+6V3f;

當(dāng)3<f<3.6時，過。作。尸_LA8,垂足為R

1

同理可得，BF=^OB=3,

：.OF=<OB2-BF2=3V3,

/.S=1x3V3x(18-5t)=一號Wr+27后

f|V3t2(0<t<2)

綜上所述5=<-|g/+6bt(2VtW3)；

、一號同+2773(3<t<3,6)

3

(3)當(dāng)5?及=60g時，

解得￡=2,

???OP=2X2=4,

過點P作PG±x軸于點G,則0G=尸=2,

：.PG=70P2-0G2=V42-22=2V3,

，點尸的坐標(biāo)為(2,2V3)；

當(dāng)OP為邊時，將OP沿軸向下平移4個單位得N(2,2V3-4),此時M(0,4),四邊形POMN是菱

形；將。尸沿y軸向上平移4個單位得N(2,2V3+4),此時M(0,4),四邊形POMN是菱形；如圖，

作點尸關(guān)于軸的對稱點N(-2,2V3),當(dāng)M(0,4V3)時，四邊形PMN。是簍形;

當(dāng)。尸為對角線時，設(shè)OP的中點為T,過點T作力軸，交y軸于點延長MT到M使77V

：.0N=2TN,

：.ON2=OT2+TN2,

1

即ON2=21+(-ON)2

2

4

解得

3-

2

：.NH=^y[3,08=2,

N(2,|V3)；

當(dāng)-4V3r+6V3/=6A/3，

解得f=2,不符合題意，此情況不存在;

1q

當(dāng)-亨百什27遙=6次時，

4

解得/=2-<3,

不符合題意，此情況不存在；

2

綜上，點N的坐標(biāo)為N(2,4+2V3),N(2,2百一4),N(-2,2百)，N4(2,

【點評】本題是三角形綜合題，主要考查運用因式分解法解一元二次方程，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定

理，30。角所對的直角邊等于斜邊的一半，三角形的面積，菱形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是正確

作出輔助線和分類討論.

5.如圖，在口428中，點。是42的中點，連接C。并延長，交D4的延長線于點E.求證：AE=BC.

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì).

【專題】圖形的全等；多邊形與平行四邊形；推理能力.

【答案】見解析.

【分析】根據(jù)A4s證明△4?！?/\2。。即可得出結(jié)論.

【解答】證明：?..點。是A8的中點，

：.AO=OB,

?/四邊形ABCD是平行四邊形，

C.AD//BC,

：.ZE^ZBCO,

又/AOE=/BOC,

：.AAOE^ABOC(AAS),

C.AE^BC.

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，證明AAOE四△BOC是解題的關(guān)

鍵.

6.如圖，在△ABC中，ZC=90°,ZB=30",AC=3cm,是△ABC的角平分線.動點尸從點A出

發(fā)，以舊61/5的速度沿折線4。-。8向終點8運動.過點尸作PQ〃A3,交AC于點Q,以尸。為邊

作等邊三角形PQE,且點C,E在尸。同側(cè).設(shè)點P的運動時間為f(s)(f>0),△PQE與△ABC重合

部分圖形的面積為S(cm2).

(1)當(dāng)點尸在線段AO上運動時，判斷△AP。的形狀(不必證明)，并直接寫出A。的長(用含t的代

數(shù)式表示).

(2)當(dāng)點E與點。重合時，求f的值.

(3)求S關(guān)于，的函數(shù)解析式，并寫出自變量f的取值范圍.

【考點】三角形綜合題.

【專題】幾何綜合題；應(yīng)用意識.

爭2,(0<t<|)

【答案】(1)△AP0是等腰三角形，AQ=t；(2)I；(3)S=,—孥12+6百竽，(1<t<2).

LY(t-l)2,(2<t<4)

【分析】(1)根據(jù)角平分線+平行線可得△APQ是等腰三角形，再用特殊角即可求AQ的長；

(2)當(dāng)E、C重合時，AE=2AQ,即2f=3,求/值即可；

(3))①當(dāng)點尸在上，點E在AC上時，重合部分是等邊三角形尸。E,如圖作PGLQE于點G,

②當(dāng)點尸在上，點E在AC延長線上時，重合部分時四邊形尸。CF.③當(dāng)點尸在DB上，重合部分

時直角三角形PQC,分類討論畫出圖形計算求解即可.

【解答】解：(1)如圖，過。作于點8,

'：PQ//AB,

：.ZBAD=ZQAP,

'：AD是角平分線，

./CAD=NBAD,

：.ZCAD=ZQAP9

:?QA=QP,

：.AAPQ是等腰三角形.

：.AH=^AP=^t,

VZCAD=30°,

故△AP。是等腰三角形，AQ=t.

(2)如圖所示，E、C重合時圖形.

???△PQE是等邊三角形，

：.QE=QP,

由(1)得QA=QP,

：.AE=2AQ,即2r=3,

t=亍

(3)①當(dāng)點尸在上，點E在AC上時，重合部分是等邊三角形尸。E,如圖作PGLQE于點G,

：.PG=/尸=苧3

「△PQE是等邊三角形，

QE=PQ=AQ=t,

；.S=WQE，PG=*Z.

由⑵知當(dāng)點EC重合時，/=9，

：.S=^-t2(0</<|).

②當(dāng)點尸在A。上，點E在AC延長線上時，重合部分時四邊形PQC尸.

在RtZ\FCE中，CE=2t-3,ZE=60°,

；.CF=CE?tan60°=V3(2f-3),

:.S?CE=3⑵-3)?百(2-3)=空(2f-3)2,

:.S=SAPAC-SAPCE=$2一噂(2r-3)2=一攣戶+6W，一挈(-<?<2).

4L4L2

③當(dāng)點尸在。2上，重合部分時直角三角形尸0C,

S=^CQ-CP=^Ct-1)?V3(/-1)=芽(?-1)2,(2W/W4).

(0<t<|)

綜上所述，S=._苧/+6?_孥，(|<t<2).

/o

I受(t-1)2,(2<t<4)

【點評】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)和判定、等邊三角形的

性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)知識點和分類討論思想是解題關(guān)鍵.

7.已知：AABC.

(1)尺規(guī)作圖：畫出AABC的重心G.(保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明)

(2)在(1)的條件下，連接AG,BG.已知的面積等于5c”，，則△ABC的面積是15cm2.

【考點】三角形的重心；作圖一復(fù)雜作圖；三角形的面積.

【專題】作圖題；三角形；運算能力.

【答案】(1)圖形見解析過程；

(2)15.

【分析】(1)根據(jù)三角形的重心是三角形三條中線的交點即可解決問題.

(2)根據(jù)三角形重心的性質(zhì)即可解決問題.

【解答】解：(1)分別作出A8邊和8c邊的垂直平分線，與A8和BC邊分別交于點N和點M,

(2)?.?點G是△ABC的重心,

：.AG^2MG,

,?AABG的面積等于5cm2,

：.ABMG的面積等于25cm1,

：.AABM的面積等于7.5c機2.

又是△ABC的中線，

.,.△ABC的面積等于15cm2.

故答案為：15.

【點評】本題主要考查了三角形的重心、三角形的面積及作圖一復(fù)雜圖形，熟知三角形重心的定義及性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，△ABC的中線8。，CE交于點。，點RG分別是。8,OC的中點.

(1)求證：四邊形DEFG是平行四邊形；

(2)當(dāng)BO=CE時，求證：nOEFG是矩形.

【考點】三角形的重心；三角形中位線定理；平行四邊形的判定與性質(zhì)；矩形的判定.

【專題】三角形；多邊形與平行四邊形；矩形菱形正方形；運算能力；推理能力.

【答案】(1)證明見解析過程；

(2)證明見解析過程.

【分析】(1)利用三角形的中位線定理可得出。E與EG平行且相等，據(jù)此可解決問題.

(2)由CE可得出DF=EG,再根據(jù)矩形的判定即可解決問題.

【解答】(1)證明：：8。和CE是△ABC的中線，

/.點E和點。分別為AB和AC的中點，

是△ABC的中位線，

1

：.DE//BC,DE=^BC.

同理可得，

1

FG//BC,FG=^BC,

J.DE//FG,DE=FG,

四邊形DEFG是平行四邊形.

(2)證明：:△ABC的中線8。，CE交于點O,

.?.點。是△ABC的重心，

.?.80=20。，C0=20E.

又；點尸，G分別是。3,0C的中點，

：.0F=FB,OF=GC,

22

：.DF=^BD,EG=^CE.

；BD=CE,

：.DF=EG.

又：四邊形DEFG是平行四邊形，

平行四邊形DEPG是矩形.

【點評】本題主要考查了三角形的重心、三角形中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)及矩形的判定,

熟知三角形中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)及矩形的判定是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，A8是/C4D的平分線，AC=AD,求證：ZC=ZD.

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】圖形的全等；推理能力.

【答案】見解答過程.

【分析】由角平分線的定義可得/CAB=/D48,利用SAS可判定△ABC會△A8D從而可求得/C=

ZD.

【解答】證明：「AB是/CAD的平分線，

；./CAB=NDAB,

.?.在△ABC和△ABO中,

AC=AD

Z.CAB=/-DAB,

AB=AB

：.AABC^AABD（SAS'）,

.,.NC=ND

【點評】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記全等三角形的判定條件與性質(zhì)并靈

活運用.

10.數(shù)學(xué)活動課上為了測量學(xué)校旗桿的高度，某小組進(jìn)行了以下實踐活動：

（1）準(zhǔn)備測量工具

①測角儀：把一根細(xì)線固定在半圓形量角器的圓心處，細(xì)線的另一端系一個小重物，制成一個簡單的測

角儀（圖1）,利用它可以測量仰角或俯角；

②皮尺.

（2）實地測量數(shù)據(jù)

①將這個測角儀用手托起，拿到眼前，使視線沿著測角儀的直徑剛好到達(dá)旗桿的最高點（圖2）；

②用皮尺測出所站位置到旗桿底部的距離為16.8/n,眼睛到地面的距離為1.6根.

（3）計算旗桿高度

①根據(jù)圖3中測角儀的讀數(shù)，得出仰角a的度數(shù)為35。；

②根據(jù)測量數(shù)據(jù)，畫出示意圖4,48=1.6m，BC=16.8m,求旗桿CD的高度（精確到0.1M；

（參考數(shù)據(jù)：sin35°心0.57,cos35°仁0.82,tan35°仁0.70,sin55°"0.82,cos55°20.57,tan55°

F.43）

③若測量者仍站在原處（8點），能否用三角板替代測角儀測出仰角a?若能，請寫出測量方法；若不

能，該如何調(diào)整位置才能用三角板測出仰角a,請寫出測量方法.

圖1

【考點】三角形綜合題.

【專題】常規(guī)題型；運算能力.

【答案】(1)35°；(2)13.4m；(3)不能，向右走5m,用45°直角三角板測量即可(答案不唯一,

向左走用30°三角板測量也可以).

【分析】(1)根據(jù)測角儀得出度數(shù)為55°,所以a為90°-55°=35°；

(2)解直角三角形AQE即可求出答案.

(3)由三角板的度數(shù)可知沒有35。，所以直接測量不出，根據(jù)三角板的度數(shù)為45?；蛘?0°可知,

向右走或者向左走一定距離就可用三角板測量，再利用特殊角求長度即可.

【解答】(1)根據(jù)測角儀得出度數(shù)為55°,所以a為90°-55°=35°；

故答案為：35°；

(2)VBC=16.8m,

.,.AE—16.8m,

在Rt/VIOE中，tana=器，

￡\E=A_E?tana=16.8X0.7^11.76m,

???CD=CE+DEm3.4m.

即旗桿的高度CO為13.4%

(3)?..三角板只有30°、60°的三角板和45°的三角板，而8點的仰角為35

三角板測不出仰角a的度數(shù)；

如圖，作EF=DE,則△DEB為等腰直角三角形，ZDFE=45°,

：.DE=EF^11.8m,

16.8m,

：.AF=AE-EF=5mf

???向右走5根，用45°直角三角板測量即可(答案不唯一，向左走用30。三角板測量也可以).

D

，?

?

,Z/

,///

三’------cE

B~產(chǎn)C

【點評】本題主要考查了三角形綜合和銳角三角函數(shù)的實際應(yīng)用，掌握解直角三角形和三角板的特征是

解題關(guān)鍵.

11.【探究】

(1)已知△ABC和△ADE都是等邊三角形.

①如圖1,當(dāng)點。在8C上時，連接CE.請?zhí)骄緾A,CE和CO之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②如圖2,當(dāng)點。在線段8c的延長線上時，連接CE.請再次探究CA,CE和之間的數(shù)量關(guān)系，

并說明理由.【運用】

(2)如圖3,等邊三角形A2C中，AB=6,點E在AC上，CE=2<3.點。是直線2C上的動點，連

接。E,以。E為邊在。E的右側(cè)作等邊三角形OER連接CF.當(dāng)△CEF為直角三角形時，請直接寫

【考點】三角形綜合題.

【專題】壓軸題；存在型；模型思想；應(yīng)用意識.

【答案】(1)①CE+CD=C4,理由詳見解析；@CA+CD=CE,理由詳見解析；(2)6-百或6+2b.

【分析】(1)①根據(jù)條件易證△A3。gAACE(SAS),再進(jìn)行線段轉(zhuǎn)化易得答案；②與第①小問思路一

樣，證出△A3。g(SAS)即可；

(2)由△CEF為直角三角形可知，需要分類討論確定哪個角是直角三角形，再根據(jù)點。的位置關(guān)系去

討論即可，因為點D是動點，所以按照前面兩問帶給我們的思路，去構(gòu)造類似的全等三角形，進(jìn)而討

論求解即可.

【解答】解：(1)①CE+CZ)=CA.理由如下，

:AABC和△ADE是等邊三角形，

：.AB=AC=BCfAD=AE=DE,ZBAC=ZDAE=60°,

ZBAC-ZDAC=ZDAE-ADAC,

：.ZBAD=ZCAEf

在△A30和△ACE中，

AB=AC

Z-BAD=Z.CAE,

AD=AE

：.AABD^AACE(SAS),

???CE=BD

?；BD+CD=BC,

：.CE+CD=CA.

@CA+CD=CE.理由如下，

???AABC和△4￡>￡是等邊三角形，

：.AB=AC=BCfAD=AE=DE,ZBAC=ZDAE^60°,

???/BAC+/DAC=ZDAE+ZDAC.

：.ZBAD=ZCAE,

在△A3。和△ACE中，

AB=AC

Z-BAD=Z-CAE,

AD=AE

：.AABD^AACE(SAS),

：.CE=BD,

■:CB+CD=BD,

:.CA+CD=CE.

(2)過E作即〃A3,則△即。為等邊三角形.

①當(dāng)點。在H左側(cè)時，如圖1,

;ED=EF,ZDEH=ZFEC,EH=EC,

：.^EDH^/\EFC(SAS),

；./ECF=NEHD=120°,

此時△CEF不可能為直角三角形.

A

②當(dāng)點。在H右側(cè)，且在線段CH上時，如圖2,

同理可得.,.△￡!汨名(SAS),

：.ZFCE=ZEHD=60°,ZFEC=ZDHE<Z//￡C=60°,

此時只有/PCE有可能為90°,

當(dāng)NFCE=90。時，ZEDH=90°,

C.EDLCH,

,:CH=CE=2同

：.CD=^CH=V3,

又：4B=6,

:.BD=6一痘.

圖2

③當(dāng)點。在H右側(cè)，且HC延長線上時，如圖3,

此時只有/CEP=90°,

:/DEF=60°,

:./CED=30°,

；NECH=60°,

:./EDC=CED=30°,

：.CD=CE=243,

.?.BD=6+2V3.

圖3

綜上：8。的長為6-百或6+2W.

【點評】本題主要考查三角形綜合題，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，已知直線

(1)在/I,/2所在的平面內(nèi)求作直線/,使得/〃且/與/I間的距離恰好等于/與/2間的距離；

(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)

(2)在(1)的條件下，若與/2間的距離為2,點A,B,C分別在/,Z1,及上，且△A8C為等腰直

角三角形，求△ABC的面積.

【考點】三角形綜合題.

【專題】幾何綜合題；幾何直觀；推理能力.

【答案】(1)圖形見解答；

5

(2)△ABC的面積為1或-.

2

【分析】(1)利用尺規(guī)作圖方法，過直線上任意一點作/1的垂線，再根據(jù)垂直平分線的作法即可作

出直線I;

(2)分三種情況畫出圖形分別計算即可.

【解答】解：(1)如圖1,直線/即為所求作的直線；

(2)①當(dāng)NA4c=90°,時，如圖2,

?：l//h//l2,直線人與h間的距離為2,且/與人間的距離等于/與h間的距離，

根據(jù)圖形的對稱性可知：BC=2,

：.AB=AC=42,

圖2

②當(dāng)/ABC=90。，BA=BC時，

如圖3,分別過點A,C作直線/i的垂線，垂足為N,

:./AMB=NBNC=90°,

?：l//h//l2,直線/1與12間的距離為2,且/與間的距離等于/與12間的距離,

：.CN=2,AM=1,

VZMAB+ZABM=9Q°,NNBC+/ABM=9Q°,

:.AAMB冬二BNC(AAS),

：.BM=CN=2,

在心△ABM中，由勾股定理得4解=4序+8序=12+22=5,

：.AB=V5,

15

??S"BC~2"8.BC—2?

l2

圖4

SAABC=o'