2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：圓知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)講義

圓知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)講義

第1節(jié)圓的認(rèn)識(shí)

一、知識(shí)梳理

1.圓的基本概念

弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫作弦.

直徑：經(jīng)過(guò)圓心的弦叫作直徑.

圓?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫作圓弧.弧包括優(yōu)弧和劣弧，大于半圓的弧叫作優(yōu)弧，小于半圓的

弧叫作劣弧.

半圓：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)將圓分成兩條弧，每一條弧都叫作半圓.

等圓：能夠重合的兩個(gè)圓叫作等圓.

等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫作等弧.

2.圓的對(duì)稱性

圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任意一條過(guò)圓心的直線.

圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心為圓心.

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等.

在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組

量都分別相等.

3.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

設(shè)。0的半徑為r,點(diǎn)P到圓心0的距離為d,則有：

①點(diǎn)在圓外Qd>r;

②點(diǎn)在圓上Qd=r;

③點(diǎn)在圓內(nèi)Qd<r.

【例】如圖1-1所示,AB是OO的直徑，四邊形ABCD內(nèi)接于。O.若BC=CD=DA=4cm,則。O的周

長(zhǎng)為（）.C「

A.5兀cmB.671cmC.9兀cmD.871cm

圖1一1

解如圖1-2所示，連接ODQC.

VAB是。0的直徑，四邊形ABCD內(nèi)接于。O,BC=CD=DA=4cm,

AD=CD=BC.

：.ZAOD=ZDOC=ZCOB=60°.

又：0A=0D,

.?.△AOD是等邊三角形.

OA=AD=4cm.

0O的周長(zhǎng)=27ix4=87i（cm）.

故選D.圖1-2

二、分層練習(xí)

☆萬(wàn)丈高樓平地起

1.下列命題正確的個(gè)數(shù)是（）個(gè).

①直徑是圓中最大的弦；

②長(zhǎng)度相等的兩條弧一定是等??；

③半徑相等的兩個(gè)圓是等圓；

④面積相等的兩個(gè)圓是等圓；

⑤同一條弦所對(duì)的兩條弧一定是等弧；

A.2B.3C.4D.5

2.小明不慎把家里的圓形玻璃打碎了，其中四塊碎片如圖1-3所示.為了在商店配到與原來(lái)大小一樣的圓形玻

璃，小明要選擇攜帶的應(yīng)該是（）.

A.第①塊

B.第②塊

C.第③塊

D.第④塊

圖1—3

3.如圖1-4所示,AB是。O的直徑，點(diǎn)C在。O上,CDLAB,垂足為點(diǎn)D.已知CD=4,OD=3,則AB的長(zhǎng)為

4.如圖1-5所示,AB是。O的直徑，點(diǎn)C,D在AB的異側(cè)，連接AD,OD,OC,若/AOC=70。,且AD〃OC,則/AOD

欲窮千里目，更上一層樓

5.如圖1-6所示,AB,CD是。0的直徑，屈=皿.若NAOE=32。,則/COE的度數(shù)是（）.

A.32°

6.如圖1-7所示,AB是。O的直徑,BC=CD=DE,^COD=35。，則ZAOE的度數(shù)是（

A.65°

B.700

C.75°,

A

D.85°

圖1一7

7.如圖1-8所示,已知。0的半徑為2cm,AB是。O的直徑，點(diǎn)C,D是。O上的兩點(diǎn)，且冠=&=麗,則四邊

形ABCD的周長(zhǎng)為（）.

A.8cm

B.10cm

C.12cm

D.16cm

8.如圖1-9所示，在。O中，如果AB=2福那么().

A.AB=AC

B.AB=2AC

C.AB<2AC

D.AB>2AC

9.如圖1-10所示,在矩形ABCD中,AB=8,BC=3有，點(diǎn)P在邊AB上，且BP=3AP.如果圓P是以點(diǎn)P為圓心，

PD為半徑的圓，那么下列判斷正確的是().

A.點(diǎn)B,C均在圓P外

B.點(diǎn)B在圓P外，點(diǎn)C在圓P內(nèi)

C.點(diǎn)B在圓P內(nèi)點(diǎn)C在圓P外

D.點(diǎn)B.C均在圓P內(nèi)圖1-10

10.如圖1-11所示，城市A的正北方向50km的B處，有一無(wú)線電信號(hào)發(fā)射塔，該發(fā)射塔發(fā)射的無(wú)線電信號(hào)的

有效半徑為100km,AC是一條直達(dá)C城的公路，從A城開(kāi)往C城的班車速度為60km/h.

(1)當(dāng)班車從A城出發(fā)開(kāi)往C城時(shí)，有人立即打開(kāi)無(wú)線電收音機(jī)，班車行駛了0.5h時(shí)接收信號(hào)最強(qiáng)，則此時(shí)班

車到發(fā)射塔的距離是多少?(離發(fā)射塔越近，信號(hào)越強(qiáng))

⑵班車從A城到C城共行駛2h,請(qǐng)你判斷，班車到C城后還能接收到信號(hào)嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.

會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小

1L如圖1-12所示，已知點(diǎn)A是半圓上的三等分點(diǎn)，點(diǎn)B是前的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)，。。的半徑

為1.請(qǐng)問(wèn)：點(diǎn)P在MN上什么位置時(shí)，AP+8P的值最小?并給出AP+BP的最小值.

圖1-12

第2節(jié)垂徑定理

一、知識(shí)梳理

（一）垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧.

如圖2-1所示，垂徑定理的條件與結(jié)論理解如下：

1/AB是直徑,AB_LCD于點(diǎn)E,

???CE^DE,CB=DB,AC=AD.

（二）垂徑定理推論

平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧.

【例】如圖2-2所示,AB是。0的弦，點(diǎn)C,D是直線AB上的兩點(diǎn)，且AC=BD,求證:OC=OD.

證明:如圖2-3所示，過(guò)點(diǎn)0作OELAB于點(diǎn)E.

VOEXAB,

；.AE=BE.

又；AC=BD,

；.CE=DE.

.,.0E是CD的中垂線.

圖2-2圖2-3

二、分層練習(xí)

☆萬(wàn)丈高樓平地起

1.下列判斷中正確的是（）.

A.長(zhǎng)度相等的弧是等弧

B.平分弦的直線也必平分弦所對(duì)的兩條弧

C.弦的垂直平分線必平分弦所對(duì)的兩條弧

D.平分一條弧的直線必平分這條弧所對(duì)的弦

2.某蔬菜基地的圓弧形蔬菜大棚的剖面如圖2-4所示,已知4B=16成,半徑0A為10m,則中間柱CD的高度

為（）m.

A.6

B.4

C.8O

D.5圖2-4

3.如圖2-5所示點(diǎn)A,B是。O上的兩點(diǎn),AB=10,點(diǎn)P是。O上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A,B不重合）.連接AP,PB過(guò)點(diǎn)

O分別作OE,AP于點(diǎn)E,（OF1尸8于點(diǎn)F,連接EF,則EF長(zhǎng)為（）.

A.4

B.5

C.5.5

D.6

圖2-5

4.點(diǎn)P為。O內(nèi)一點(diǎn)，且OP=4.若。O的半徑為6,則過(guò)點(diǎn)P的弦長(zhǎng)不可能為（）.

A.12B.2V30C.8D.10.5

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5.劉徽是中國(guó)古代卓越的數(shù)學(xué)家之一，他在《九章算術(shù)》中提出了“割圓術(shù)”，即用內(nèi)接或外切正多邊形逐步逼

近圓來(lái)近似計(jì)算圓的面積如圖2-6所示，設(shè)。O的半徑為2,若用。0的內(nèi)接正六邊形的面積來(lái)估計(jì)。。的

面積，則。O的面積約為—(結(jié)果保留根號(hào)).

圖2-6

6.如圖2-7所示，已知。0的半徑為2,四邊形ABCD為。0的內(nèi)接四邊形，且4。=2也AB=2但則/

DAB的度數(shù)為().

A105。

B.60。

C.750

圖2-7

0.70°

7.如圖2-8所示,NP4C=30°,,在射線AC上順次截取AD

于點(diǎn)E,F.

(1)求圓心O到AP的距離；

(2)求弦EF的長(zhǎng).

圖2-8

8.如圖2-9所示,AB是。O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)P,AP=2,BP=6,^APC=30。,,則CD的長(zhǎng)為（）.

X.V15

B.2V5

C.2V15

圖2-9

9.如圖2-10所示，在半徑為行的。。中，AB,CD是互相垂直的兩條弦，垂足為點(diǎn)P,且AB=CD=4,則OP

的長(zhǎng)為（）.

A.1

5.V2

圖2-10

10.如圖2-11所示,在平面直角坐標(biāo)系中QP的圓心是（2,a）（a>2）.半徑為2,函數(shù)y=x的圖象被。P截得的弦AB

的長(zhǎng)為y=x2g,,則a的值是（）.

X.2V2

B.2+V2

C.2V3

D.2+V3

圖2-11

H.如圖2-12所示，4ABC外接圓的半徑為5,其圓心O恰好在中線CD上若AB=CD,則4ABC的面積為（）.

A.36

B.32

C.24

D.18

12.圓柱形油槽內(nèi)裝有一些油，截面如圖2-13所示，油面寬AB為6dm,再注入一些油后，油面AB上升1dm,

油面寬變?yōu)?dm,則圓柱形油槽直徑MN為（）.

A.6dm

B.8dm

C.10dm

D.12dm

圖2-13

會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小

13.如圖2-14所示，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)。為圓心的圓過(guò)點(diǎn)A（13,0）,直線y=kx-3k+44與。。相交

圖2-14

第3節(jié)圓周角定理⑴

一、知識(shí)梳理

圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫作圓心角.

圓周角：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫作圓周角.

圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.

推論1:同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等.

推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑.

推論3：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角.

【例】如圖3-1所示,直徑為10的。A經(jīng)過(guò)點(diǎn)CQ5）和點(diǎn)0（0,0）,點(diǎn)B是y軸右側(cè)OA優(yōu)弧上的一點(diǎn),

則NOBC的余弦值為（）.

24

解:如圖3-2所示，連接CA并延長(zhǎng)交。A于點(diǎn)D.

CD為直徑,，ZCOD=ZyOx=90°.

:直徑為10的OA經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0,5)和點(diǎn)0(0,0),

.\CD=10,CO=5.

???DO=yJCD2-CO2=5V3.

ZOBC=ZCDO,

5V3_V3

??

?cosNOBC=cos/CDO=器10~21

故選c.圖3-2

二、分層練習(xí)

☆萬(wàn)丈高樓平地起

1.如圖3-3所示,AB是。O的直徑，點(diǎn)C,D是。O上的兩點(diǎn).若LCAB=25。廁/ADC的度數(shù)為

C

D

圖3-3

2.如圖3-4所示，在邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，半徑為1的。0的圓心。在格點(diǎn)上，則tan/CBD的值

B

3.如圖3-5所示,AABC是。。的內(nèi)接三角形,AC是。。的直徑,NC=50°,ZABC的角平分線BD交。0于點(diǎn)D,

則NBAD的度數(shù)為（）.

C

圖3-5

4.如圖3-6所示,AABC內(nèi)接于。O,AB=AC,,連接BO并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)D.若乙4=50°?Ji!!]ZBDC的度數(shù)為

A.75°

5.76°

D.700

圖3—6

5.如圖3-7所示，點(diǎn)A,B,C,D在。O上，直徑AB交CD于點(diǎn)E.已知乙C=57。,4=45。,則Z.CEB=

6.如圖3-8所示，AB是半圓的直徑，點(diǎn)D是左的中點(diǎn)，AABC=50。,則ND4B等于（）.

A55。

B.60°

C.65°

D.70°

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7.如圖3-9所示若△4BC內(nèi)接于半徑為R的。O,且乙4=60。,,連接OB,OC,則邊BC的長(zhǎng)為（）.

A.V2R

B片R

C等

D.y/3R圖3-9

8.如圖3-10所示，在。。中MC||OB,NBOC=50。,則NO4B的度數(shù)為（）.

A25。

B.50°

C.60°

D.30°

圖3-10

9.如圖3-11所示,AD是半圓的直徑，點(diǎn)C是弧BD的中點(diǎn)乙4DC=55。廁NBAD等于（）.C

A.50°

B.55°B

C.65°

A

D.70°

圖3-11

10.如圖3-12所示,AB為0O的直徑，點(diǎn)C,D在。O上，連接AC,CD,CD交AB于點(diǎn)E.若BD=2SC,zC=20。,

則NAED的度數(shù)為（）.

A.50°

B.53°

C.55°A

D.58°