2025年外研版高一數(shù)學(xué)下冊月考試卷

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年外研版高一數(shù)學(xué)下冊月考試卷59考試試卷考試范圍：全部知識點(diǎn)；考試時間：120分鐘學(xué)校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五六總分得分評卷人得分一、選擇題(共7題，共14分)1、已知a＞0，且a≠1，則在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=a-x和y=loga（-x）的圖象有可能是（）

A.

B.

C.

D.

2、若a為常數(shù)，且a＞1，0≤x≤2π，則函數(shù)f(x)=cos2x+2asinx-1的最大值為（）A.B.C.D.3、【題文】設(shè)集合則（）A.B.C.D.4、【題文】對定義例則函數(shù)是（）

A奇函數(shù)B偶函數(shù)。

C既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D非奇非偶函數(shù)5、如圖所示，在棱長為1的正方體的面對角線上存在一點(diǎn)P使得最短，則的最小值為（）

A.B.C.D.26、若點(diǎn)B在直線b上，b在平面β內(nèi)，則B、b、β之間的關(guān)系可記作（）A.B∈b∈βB.B∈b?βC.B?b?βD.B?b∈β7、已知函數(shù)f（x）=設(shè)b＞a≥0，若f（a）=f（b），則a?f（b）的取值范圍是（）A.[2）B.[﹣+∞）C.[﹣﹣）D.[﹣]評卷人得分二、填空題(共7題，共14分)8、已知函數(shù)f（x）=5x3，則f（2012）+f（-2012）=____．9、已知為第四象限角，則10、【題文】要制作一個容器為4高為的無蓋長方形容器，已知該容器的底面造價是每平方米20元，側(cè)面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是_______（單位：元）11、【題文】．若直線將圓：平分，且不過第四象限，則直線的斜率的取值范圍是____．12、【題文】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是____.13、在△ABC中，A=60°，AC=3，AB=2，那么BC的長度為____．14、若復(fù)數(shù)z=（1+mi）（2-i）（i是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為______．評卷人得分三、解答題(共6題，共12分)15、【題文】如圖所示，圓柱的高為2，底面半徑為AE、DF是圓柱的兩條母線，過作圓柱的截面交下底面于四邊形ABCD是正方形.

（Ⅰ）求證

（Ⅱ）求四棱錐E-ABCD的體積.16、【題文】（本小題滿分12分）

（Ⅰ）已知函數(shù)在上具有單調(diào)性，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）已知向量兩兩所成的角相等，且求．17、已知且．

（1）化簡f（a）；

（2）若求的值．18、已知向量a鈫?=(3,鈭?1)b鈫?=(12,32)

若存在非零實(shí)數(shù)kt

使得x鈫?=a鈫?+(t2鈭?3)b鈫?y鈫?=鈭?ka鈫?+tb鈫?

且x鈫?隆脥y鈫?

試求：k+t2t

的最小值．19、從某校隨機(jī)抽取100

名學(xué)生，獲得了他們一周課外閱讀時間(

單位：小時)

的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖：。排號分組頻數(shù)1[0,2)62[2,4)83[4,6)174[6,8)225[8,10)256[10,12)127[12,14)68[14,16)29[16,18)2合計1(

Ⅰ)

從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生；試估計這名學(xué)生該周課外閱讀時間少于12

小時的概率；

(

Ⅱ)

求頻率分布直方圖中的ab

的值；

(

Ⅲ)

假設(shè)同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，試估計樣本中的100

名學(xué)生該周課外閱讀時間的平均數(shù)在第幾組(

只需寫結(jié)論)

20、已知鈻?ABC

的頂點(diǎn)A(0,1)AB

邊上的中線CD

所在的直線方程為2x鈭?2y鈭?1=0AC

邊上的高BH

所在直線的方程為y=0

．

(1)

求鈻?ABC

的頂點(diǎn)BC

的坐標(biāo)；

(2)

若圓M

經(jīng)過不同的三點(diǎn)ABP(m,0)

且斜率為1

的直線與圓M

相切于點(diǎn)P

求圓M

的方程．評卷人得分四、作圖題(共1題，共5分)21、某潛艇為躲避反潛飛機(jī)的偵查，緊急下潛50m后，又以15km/h的速度，沿北偏東45°前行5min，又以10km/h的速度，沿北偏東60°前行8min，最后擺脫了反潛飛機(jī)的偵查．試畫出潛艇整個過程的位移示意圖．評卷人得分五、計算題(共2題，共18分)22、有一組數(shù)據(jù)：x1，x2，x3，，xn（x1≤x2≤x3≤≤xn），它們的算術(shù)平均值為10，若去掉其中最大的xn，余下數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值為9；若去掉其中最小的x1，余下數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值為11．則x1關(guān)于n的表達(dá)式為x1=____；xn關(guān)于n的表達(dá)式為xn=____．23、計算：．評卷人得分六、證明題(共4題，共8分)24、初中我們學(xué)過了正弦余弦的定義，例如sin30°=，同時也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根據(jù)如圖，設(shè)計一種方案，解決問題：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，設(shè)AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面積S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．25、如圖，設(shè)△ABC是直角三角形，點(diǎn)D在斜邊BC上，BD=4DC．已知圓過點(diǎn)C且與AC相交于F，與AB相切于AB的中點(diǎn)G．求證：AD⊥BF．26、求證：（1）周長為21的平行四邊形能夠被半徑為的圓面所覆蓋．

（2）桌面上放有一絲線做成的線圈，它的周長是2l，不管線圈形狀如何，都可以被個半徑為的圓紙片所覆蓋．27、AB是圓O的直徑，CD是圓O的一條弦，AB與CD相交于E，∠AEC=45°，圓O的半徑為1，求證：EC2+ED2=2．參考答案一、選擇題(共7題，共14分)1、D【分析】

當(dāng)a＞1時，函數(shù)y=a-x是減函數(shù)，圖象過點(diǎn)（0，1），函數(shù)y=loga（-x）是減函數(shù)；圖象過點(diǎn)（-1，0）；

故D滿足條件．

當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)y=a-x是增函數(shù)，圖象過點(diǎn)（0，1），函數(shù)y=loga（-x）是增函數(shù)；圖象過點(diǎn)（-1，0）；

沒有滿足條件的選項(xiàng)．

故選D．

【解析】【答案】當(dāng)a＞1時；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)求得滿足條件的選項(xiàng)．當(dāng)0＜a＜1時，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)；

可得沒有滿足條件的選項(xiàng)；從而得出結(jié)論．

2、B【分析】試題分析：因?yàn)?≤x≤2π，所以因?yàn)閍＞1，所以時，取得最大值為考點(diǎn)：三角函數(shù)同角關(guān)系式和一元二次函數(shù)的最值問題【解析】【答案】B3、B【分析】【解析】

試題分析：根據(jù)題意，由于集合那么結(jié)合數(shù)軸法來表示集合可知，那么選B.

考點(diǎn)：交集的運(yùn)算。

點(diǎn)評：主要是考查了集合的交集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題?！窘馕觥俊敬鸢浮緽4、B【分析】【解析】

【解析】【答案】B5、B【分析】【解答】如圖所示，把對角面A1C繞A1B旋轉(zhuǎn)至A1BC′D1′；

使其與△AA1B在同一平面上，連接AD1′；

則AD1′==為所求的最小值．故選B．

【分析】中檔題，將空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題，是解答立體幾何問題的一種常見思路。本題利用對稱性，在三角形中應(yīng)用余弦定理，凸顯所學(xué)知識應(yīng)用的靈活性。6、B【分析】【解答】解：由題意，點(diǎn)B在直線b上，b在平面β內(nèi)，則B、b、β之間的關(guān)系可記作B∈b?β

故選B

【分析】由題意，點(diǎn)B在直線b上，b在平面β內(nèi)，點(diǎn)與面之間的關(guān)系是屬于關(guān)系，線與面之間的關(guān)系是包含關(guān)系，由此三者之間的關(guān)系易得7、A【分析】【解答】解：由函數(shù)f（x）=作出其圖像如圖，

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在[0；1）和[1，+∞）上都是單調(diào)函數(shù)；

所以，若滿足a＞b≥0，時f（a）=f（b）；

必有b∈[0；1），a∈[1，+∞）；

由圖可知，使f（a）=f（b）的b∈[1）；

f（a）∈[1；2）．

由不等式的可乘積性得：b?f（a）∈[2）．

∴a?f（b）的取值范圍是[2）．

故選：A．

【分析】由函數(shù)f（x）=作出其圖像如，利用數(shù)形結(jié)合思想能求出a?f（b）的取值范圍．二、填空題(共7題，共14分)8、略

【分析】

函數(shù)f（x）=5x3是奇函數(shù)；

∴f（2012）+f（-2012）=f（2012）-f（2012）=0．

故答案為：0．

【解析】【答案】由函數(shù)f（x）=5x3是奇函數(shù)；能求出f（2012）+f（-2012）的值．

9、略

【分析】為第四象限角，則【解析】【答案】10、略

【分析】【解析】

試題分析：假設(shè)底面長方形的長寬分別為則該容器的最低總造價是當(dāng)且僅當(dāng)?shù)臅r區(qū)到最小值.

考點(diǎn)：函數(shù)的最值.【解析】【答案】8811、略

【分析】【解析】則因?yàn)橹本€把圓平分，所以直線經(jīng)過圓心因?yàn)橹本€不過第四象限，所以直線斜率存在，設(shè)直線方程為若直線過原點(diǎn)，則有解得若直線不過原點(diǎn)，則直線直線經(jīng)過第一，二，三象限，所以解得而當(dāng)時，經(jīng)過第一、二象限，符合條件。綜上可得，【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】（2，+∞）13、【分析】【解答】解：∵在△ABC中；A=60°，AC=3，AB=2；

∴由余弦定理可得：BC2=AC2+AB2﹣2AC?AB?cosA=9+4﹣2×3×2×cos60°=7．

∴BC=．

故答案為：．

【分析】由已知及余弦定理即可求值．14、略

【分析】解：z=（1+mi）（2-i）=2+m+（m-1）i；

∵復(fù)數(shù)z=（1+mi）（2-i）（i是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)；

∴2+m=0；

即m=-2；

故答案為：-2．

根據(jù)純虛數(shù)的概念；確定復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部滿足的條件即可．

本題主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，要求熟練掌握復(fù)數(shù)的相關(guān)概念，比較基礎(chǔ)．【解析】-2三、解答題(共6題，共12分)15、略

【分析】【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)AE是圓柱的母線，所以下底面，又下底面，則

又截面ABCD是正方形，所以⊥又⊥面又面即可得到BC⊥BE；

（Ⅱ）根據(jù)錐體的體積公式即可求四棱錐E-ABCD的體積．

試題解析：（Ⅰ）AE是圓柱的母線；

下底面，又下底面，3分。

又截面ABCD是正方形，所以⊥又

⊥面又面（7分）

（Ⅱ）因?yàn)槟妇€垂直于底面，所以是三棱錐的高（8分）；

由（Ⅰ）知⊥面面面⊥面

又面面面

面即EO就是四棱錐的高（10分）

設(shè)正方形的邊長為則

又為直徑，即

在中，即

（12分）

考點(diǎn)：1.棱柱、棱錐、棱臺的體積；2.空間中直線與直線之間的垂直關(guān)系．【解析】【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）16、略

【分析】【解析】

試題分析：（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)是二次函數(shù)，其圖象對稱軸為

又在上具有單調(diào)性；

所以或

解得或

故實(shí)數(shù)的取值范圍是或．

（Ⅱ）當(dāng)向量兩兩所成的角為時，=

當(dāng)向量兩兩所成的角為時；

=

=

所以=

故=或

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)向量運(yùn)算。

點(diǎn)評：第一問中考查二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)，第二問中主要把握好向量模和數(shù)量積間的轉(zhuǎn)化.【解析】【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）或17、略

【分析】

（1）由已知可得sinα∈（0；1），cosα∈（0，1），利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡化簡得解．

（2）由已知可求sinα+cosα=兩邊平方可得sinαcosα=將所求通分后化簡即可計算得解．

本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．【解析】解：（1）∵

∴sinα∈（0；1），cosα∈（0，1）；

∴=cosα?+sinα?=1-sinα+1-cosα=2-sinα-cosα．

（2）∵=2-sinα-cosα；

∴sinα+cosα=

∴兩邊平方可得：1+2sinαcosα=解得：sinαcosα=

∴====．18、略

【分析】

根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式和性質(zhì)，分別求出|a鈫?|=2|b鈫?|=1

且a鈫??b鈫?=0

由此將x鈫??y鈫?=0

化簡整理得到k=14(t3鈭?3t).

將此代入k+t2t

可得關(guān)于t

的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可得到k+t2t

的最小值．

本題以向量的數(shù)量積運(yùn)算為載體，求k+t2t

的最小值.

著重考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式、運(yùn)算性質(zhì)，以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．【解析】解：隆脽a鈫?=(3,鈭?1)b鈫?=(12,32)

隆脿|a鈫?|=(3)2+(鈭?1)2=2|b鈫?|=(12)2+(32)2=1

且a鈫??b鈫?=3隆脕12+(鈭?1)隆脕32=0

隆脽x鈫?=a鈫?+(t2鈭?3)b鈫?y鈫?=鈭?ka鈫?+tb鈫?

且x鈫?隆脥y鈫?

隆脿x鈫??y鈫?=0

即(a鈫?+(t2鈭?3)b鈫?)(鈭?ka鈫?+tb鈫?)=0

展開并化簡，得鈭?ka鈫?2+(鈭?kt2+3k+t)a鈫??b鈫?+t(t2鈭?3)b鈫?2=0

將|a鈫?|=2|b鈫?|=1

和a鈫??b鈫?=0

代入上式；可得。

鈭?4k+t(t2鈭?3)=0

整理得k=14(t3鈭?3t)

隆脿k+t2t=14(t3鈭?3t)+t2t=14t2+t鈭?34=14(t+2)2鈭?74

由此可得，當(dāng)t=鈭?2

時，k+t2t

的最小值等于鈭?74

．19、略

【分析】

(

Ⅰ)

根據(jù)頻率分布表求出1

周課外閱讀時間少于12

小時的頻數(shù)，再根據(jù)頻率=脝碌脢媒脩霉鹵戮脠脻脕驢

求頻率；

(

Ⅱ)

根據(jù)小矩形的高=脝碌脗脢脳茅戮脿

求ab

的值；

(

Ⅲ)

利用平均數(shù)公式求得數(shù)據(jù)的平均數(shù)；可得答案．

本題考查了頻率分布表與頻率分布直方圖，再頻率分布直方圖中頻率=

小矩形的面積=

小矩形的高隆脕

組距=脝碌脢媒脩霉鹵戮脠脻脕驢

．【解析】解：(

Ⅰ)

由頻率分布表知：1

周課外閱讀時間少于12

小時的頻數(shù)為6+8+17+22+25+12=90

隆脿1

周課外閱讀時間少于12

小時的頻率為90100=0.9

(

Ⅱ)

由頻率分布表知：數(shù)據(jù)在[4,6)

的頻數(shù)為17隆脿

頻率為0.17隆脿a=0.085

數(shù)據(jù)在[8,10)

的頻數(shù)為25隆脿

頻率為0.25隆脿b=0.125

(

Ⅲ)

數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1隆脕0.06+3隆脕0.08+5隆脕0.17+7隆脕0.22+9隆脕0.25+11隆脕0.12+13隆脕0.06+15隆脕0.02+17隆脕0.02=7.68(

小時)

隆脿

樣本中的100

名學(xué)生該周課外閱讀時間的平均數(shù)在第四組．20、略

【分析】

(1)

由AC

邊上的高BH

所在直線的方程為y=0

即x

軸，得到AC

邊所在直線的方程為x=0

即y

軸，把x=0

與2x鈭?2y鈭?1=0

聯(lián)立即可求出C

的坐標(biāo)，因?yàn)辄c(diǎn)B

在x

軸上，可設(shè)B

的坐標(biāo)為(b,0)

利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出AB

的中點(diǎn)D

的坐標(biāo)，把D

的坐標(biāo)代入到中線CD

的方程中即可求出b

的值；得到B

的坐標(biāo)；

(2)

根據(jù)A

和B

的坐標(biāo)求出線段AB

的垂直平分線方程；根據(jù)B

和P

的坐標(biāo)求出線段BP

的垂直平分線方程，設(shè)出圓心M

的坐標(biāo)，代入AB

垂直平分線方程得到壟脵

然后根據(jù)斜率為1

的方程與圓相切，利用兩直線垂直時斜率乘積為鈭?1

得到直線MP

的斜率為鈭?1

根據(jù)M

和P

的坐標(biāo)表示出直線MP

的斜率讓其等于鈭?1

得到壟脷

聯(lián)立壟脵壟脷

即可求出圓心M

的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求出線段MA

的長度即為圓的半徑，根據(jù)所求的圓心M

和半徑寫出圓的方程即可．

此題考查學(xué)生掌握三角形的中線所在直線的方程及高所在直線的方程的求法與應(yīng)用，掌握兩直線垂直時斜率滿足的關(guān)系，掌握直線與圓相切時滿足的條件，靈活運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及兩點(diǎn)間的距離公式化簡求值，是一道中檔題．【解析】解：(1)AC

邊上的高BH

所在直線的方程為y=0

所以直線AC

的方程為：x=0

又直線CD

的方程為：2x鈭?2y鈭?1=0

聯(lián)立得{2x鈭?2y鈭?1=0x=0

解得{y=鈭?12x=0

所以C(0,鈭?12)

設(shè)B(b,0)

則AB

的中點(diǎn)D(b2,12)

代入方程2x鈭?2y鈭?1=0

解得b=2

所以B(2,0)

(2)

由A(0,1)B(2,0)

可得，圓M

的弦AB

的中垂線方程為4x鈭?2y鈭?3=0

注意到BP

也是圓M

的弦，所以，圓心在直線x=m+22

上；

設(shè)圓心M

坐標(biāo)為(m+22,n)

因?yàn)閳A心M

在直線4x鈭?2y鈭?3=0

上；所以2m鈭?2n+1=0壟脵

又因?yàn)樾甭蕿?

的直線與圓M

相切于點(diǎn)P

所以kMP=鈭?1

即nm+22鈭?m=鈭?1

整理得m鈭?2n鈭?2=0壟脷

由壟脵壟脷

解得m=鈭?3n=鈭?52

所以，圓心M(鈭?12,鈭?52)

半徑MA=14+494=502

則所求圓方程為(x+12)2+(y+52)2=504

化簡得x2+y2+x+5y鈭?6=0

．四、作圖題(共1題，共5分)21、解：由題意作示意圖如下；

【分析】【分析】由題意作示意圖。五、計算題(共2題，共18分)22、略

【分析】【分析】先表示n個數(shù)的和，在分別表示去掉最大或最小數(shù)后的數(shù)據(jù)的和，經(jīng)過代數(shù)式變形可得到答案．【解析】【解答】解：由題意知，有：（x2+x3++xn）÷（n-1）=11；

∴（x2+x3++xn）=11（n-1）；

∵（x1+x2+x3++xn）÷n=10；

∴[x1+11（n-1）]÷n=10，∴x1=11-n；

又∵（x1+x2+x3++xn-1）÷（n-1）=9；

∴（x1+x2+x3++xn-1）=9（n-1）

∴[（x1+x2+x3++xn-1）+xn]÷n=10；

∴[9（n-1）+xn]÷n=10，∴xn=n+9．

故答案為：11-n；n+9．23、略

【分析】【分析】利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則，特殊角的三角函數(shù)值，絕對值的代數(shù)意義，以及零指數(shù)冪法則計算即可得到結(jié)果．【解析】【解答】解：原式=-2+2×-3++1=-3．六、證明題(共4題，共8分)24、略

【分析】【分析】（1）過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E；根據(jù)正弦的定義可以表示出CE的長度，然后利用三角形的面積公式列式即可得解；

（2）根據(jù)S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根據(jù)正弦與余弦的定義分別把BD、AD、CD，AB，AC轉(zhuǎn)化為三角形函數(shù)，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E；

則CE=AC?sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB?CE=c?bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根據(jù)題意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB?ACsin（α+β）=BD?AD+CD?AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．25、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割線定理：AG2=AF?AC，可證明△BAF∽△AED，則∠ABF+∠DA