高中數(shù)學(xué)同步講義（人教B版2019選擇性必修一）第08講 1.2.5空間中的距離

.2.5空間中的距離TOC\o"1-3"\h\u題型1兩點(diǎn)間的距離 3題型2用向量法求點(diǎn)線距 7題型3用向量法求點(diǎn)面距 18題型4用向量法求線面距 28題型5用向量法求面面距 37題型6線線距離 50知識點(diǎn)一.兩點(diǎn)間的距離1.兩點(diǎn)間距離A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），|AB|=(2用向量表示兩點(diǎn)間距離AB=(x1?x2,y1?知識點(diǎn)二.點(diǎn)到直線的距離定義：若P為直線l外一點(diǎn)，A是l上任意一點(diǎn)，在點(diǎn)P和直線l所確定的平面內(nèi)，取一個與直線l垂直的向量n，則點(diǎn)P到直線l的距離為d==|PQ|=設(shè)e是直線l的方向向量，則點(diǎn)P到直線l的距離為d=|AP|sin<AP,e>知識點(diǎn)三.點(diǎn)到平面的距離定義：若P是平面α外一點(diǎn)，PQ⊥α，垂足為Q，A為平面α內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè)n為平面α的法向量，點(diǎn)P到平面α的距離d=|AP知識點(diǎn)四.相互平行的直線與平面之間1.定義：當(dāng)直線與平面平行時，直線上任意一點(diǎn)到平面的距離稱為這條直線與這個平面之間的距離，2.公式：如果直線l與平面α平行，n是平面α的一個法向量，A、B分別是l上和α內(nèi)的點(diǎn)，則直線l與平面α之間的距離為d＝eq\f(|\o(BA,\s\up7(→))·n|,|n|)．知識點(diǎn)五.相互平行的平面與平面之間的距離1.定義：當(dāng)平面與平面平行時，一個平面內(nèi)任意一點(diǎn)到另一個平面的距離稱為這兩個平行平面之間的距離．2.公垂線段：一般地，與兩個平行平面同時垂直的直線，稱為這兩個平面的公垂線，公垂線夾在平行平面間的部分，稱為這兩個平面的公垂線段．顯然，兩個平行平面之間的距離也等于它們的公垂線段的長.3.公式：如果平面α與平面β平行，n是平面β的一個法向量，A和B分別是平面α和平面β內(nèi)的點(diǎn)，則平面α和平面β之間的距離為d＝eq\f(|\o(BA,\s\up7(→))·n|,|n|)．題型1兩點(diǎn)間的距離【方法總結(jié)】計算兩點(diǎn)間的距離的兩種方法(1)利用|a|2＝a·a，通過向量運(yùn)算求|a|，如求A，B兩點(diǎn)間的距離，一般用|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝eq\r(\o(|\o(AB,\s\up7(→))|2))＝eq\r(\o(\o(AB,\s\up7(→))·\o(AB,\s\up7(→))))求解．(2)用坐標(biāo)法求向量的長度(或兩點(diǎn)間距離)，此法適用于求解的圖形適宜建立空間直角坐標(biāo)系時．【例題1】（2023春·陜西咸陽·高二?？茧A段練習(xí)）在棱長為2的正方體ABCD?A1B1A．2 B．423 C．2【答案】C【分析】設(shè)A1C1∩B1D【詳解】設(shè)A1C1∩B1D1=OB=平面A1BC1∩△OEB1AE=AD+故選：C【變式1-1】1.（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，底面△ABC是邊長為A．72 B．2 C．6 D．【答案】D【分析】設(shè)O是底面正△ABC的中心，A1O⊥平面ABC，CO⊥AB，以直線CO為x軸，OA1為z軸，過O平行于【詳解】如圖，O是底面正△ABC的中心，A1O⊥平面ABC，AO?AB=23，則AO=23CO⊥AB，直線CO交AB于點(diǎn)D，以直線CO為x軸，OA1為z軸，過O平行于AB的直線為則A1(0,0,3)，A(1,?AA1=(?1,3,AC設(shè)n=(x,y,則n?AC1=?4x+2P，Q兩點(diǎn)間距離的最小值即為異面直線AC1與A1故選：D．【變式1-1】2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）兩條異面直線a，b所成的角為π3，在直線a，b上分別取點(diǎn)A′，E和A，F(xiàn)，使A′A⊥a，且【答案】23或【分析】利用空間向量線性運(yùn)算得到EF=EA【詳解】由題意，得EF=所以EF2因為A′E=3,AF=4,因為A′A⊥a，所以A′因為異面直線a，b所成的角為π3當(dāng)EA′,AF的夾角為所以49=9+A′A2+16+0+2×6+0，則A當(dāng)EA′,AF的夾角為所以49=9+A′A2+16+0+2×綜上：線段AA′的長為23故答案為：23或6.【變式1-1】3.（2023春·江蘇常州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱AA1(1)用向量a,b,(2)求MN的長．【答案】(1)MN(2)58【分析】（1）根據(jù)空間向量基本定理及向量共線定理將MN轉(zhuǎn)化為a,（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果，兩邊同時平方，根據(jù)向量數(shù)量積定義及模的公式計算結(jié)果即可.【詳解】（1）解：連接AM如圖所示：因為AM=AB=1AN=所以MN=（2）因為平行六面體ABCD?A1AA1=2所以a=1,b=1,由（1）知MN=?MN=14+題型2用向量法求點(diǎn)線距【方法總結(jié)】用向量法求點(diǎn)線距的一般步驟建立空間直角坐標(biāo)系；（2）求直線的方向向量；（3）計算所求點(diǎn)與直線上某一點(diǎn)所構(gòu)成的向量在直線的方向向量上的投影長；（4）利用勾股定理求解．另外，要注意平行直線間的距離與點(diǎn)到直線的距離之間的轉(zhuǎn)化.【例題2】（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1

A．510a B．55a C．【答案】A【分析】利用基底向量，即可由空間向量的模長，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】∵在平行六面體ABCD?A1B1C1AC1=d=b=所以AC1=C1所以E到直線AC1的距離為故選：A【變式2-1】1.（多選）（2022春·江蘇常州·高二常州高級中學(xué)校考期中）已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面邊長為1，側(cè)棱長為2，點(diǎn)M，N分別為側(cè)棱CC1，DA上的動點(diǎn)，AM⊥平面α.則下列正確的有（）A．異面直線AM與B1C可能垂直B．∠AMD1恒為銳角C．AB與平面α所成角的正弦值范圍為[D．點(diǎn)N到直線BD1距離的最小值為2【答案】ACD【分析】A.先證明B1C⊥平面ABM，結(jié)合AM?平面ABM，可得B1C⊥AM；B.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法判斷；C.連接AC，AC1，等同于AB與AM所成角θ的余弦值的范圍,進(jìn)而可判斷；D.設(shè)N(m，0，0)，【詳解】在平面BCC1B1內(nèi)作BM在正四棱柱ABCD?因為AB⊥平面BCC1B1所以AB⊥又BM?平面ABM，AB?平面ABM，所以B1C⊥平面ABM，又AM所以B1C⊥以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(1,0,0)，M(0,1,x)(0≤x≤2)則MA=(1,?1,?x)，MD1=(0,?1,當(dāng)x=1時，MA⊥M如圖：連接AC，AC1，等同于AB與AM所成角θ的余弦值的范圍，在直角三角形ABM中，當(dāng)點(diǎn)M由C點(diǎn)向C1移動時，AM逐漸增大，在直角三角形ABC中，AC在直角三角形ACC1中，∴2≤AM≤6，則1AM∈[66,設(shè)N(m,0,0)，BN=(m?1,?1,0)，Bcos∠NBD1所以點(diǎn)N到直線BD1的距離為d=5m2?8故選：ACD．

【變式2-1】2.（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶一中?？计谥校┤忮FP?ABC的底面是以AC為底邊的等腰直角三角形，且AC=22，各側(cè)棱長均為3，點(diǎn)E為棱PA的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段CE上的動點(diǎn)，設(shè)Q到平面PBC的距離為d1,Q【答案】142/【分析】取AC中點(diǎn)O，連接PO,BO，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)CQ=【詳解】取AC中點(diǎn)O，連接PO,因為PA=PC=3，AC=22因為△ABC是等腰直角三角形，所以BO⊥AC又PB=3，滿足PB2因為AC∩BO=O，且兩直線在平面內(nèi)，所以如圖，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CQ=則C0,則PB=設(shè)CQ=λCE則Q0,?32所以cos∠QAB所以sin∠QAB所以d2設(shè)平面PBC的法向量為n=則n?PB=0n?PC=0則d1所以d1所以f'λ=4λ又?'λ=74所以當(dāng)λ∈0,25時，f′λ<0，f所以fλmin=f2故答案為：142【變式2-1】3．（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中校考模擬預(yù)測）三棱臺ABC?A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，(1)求三角形ABC重心G到直線B1(2)求二面角B1

【答案】(1)7(2)2【分析】（1）建立坐標(biāo)系，點(diǎn)G作GH⊥B1C1，求出GH，進(jìn)而得出三角形ABC（2）利用向量法得出二面角.【詳解】（1）因為A1B1=過點(diǎn)A作平面A1AC的垂線，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系

B2,2,0，C0,22,0，過點(diǎn)G作GH⊥B1AH=2則H2因為GH=2所以GH?B1所以GH=?2即三角形ABC重心G到直線B1C1（2）BC1=?設(shè)平面BB1C1取z=1，則設(shè)平面BFC1的法向量m取c=1，則所以，cos由圖可知，二面角B1?BC1【變式2-1】4．（2023·江蘇鹽城·鹽城中學(xué)校考三模）如圖，該幾何體是由等高的半個圓柱和14個圓柱拼接而成，點(diǎn)G為弧CD的中點(diǎn)，且C，E，D，G

(1)證明：平面BDF⊥平面BCG(2)若平面BDF與平面ABG所成二面角的余弦值為155，且線段AB長度為2，求點(diǎn)G到直線DF【答案】(1)證明見解析(2)6【分析】（1）過G作GH//CB，交底面弧于H，連接HB，有HBCG為平行四邊形，根據(jù)題設(shè)可得FB⊥HB，即FB⊥（2）構(gòu)建如下圖示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz，令半圓柱半徑為r，高為?，確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求平面BDF、平面ABG的法向量，利用空間向量夾角的坐標(biāo)表示及已知條件可得?=2r，即可求出點(diǎn)【詳解】（1）過G作GH//CB，交底面弧于H，連接HB，易知：所以HB//CG，又G為弧CD的中點(diǎn)，則H是弧所以∠HBA=45°，而由題設(shè)知：∠ABF所以FB⊥HB，即FB⊥CG，由CB⊥底面ABF，F(xiàn)B?平面ABF，則CB⊥所以FB⊥平面BCG，又FB?平面BDF，所以平面BDF⊥（2）由題意，構(gòu)建如下圖示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?令半圓柱半徑為r，高為?，則B0,2r,0，F(xiàn)2r所以FD=?2r,0,?，BD若m=x,y,z是面BDF的一個法向量，則若n=a,b,c是面ABG的一個法向量，則所以cosm整理可得?2?4r2?由題設(shè)可知，此時點(diǎn)G?1,1,2，D0,0,2，則DF=2,0,?2，所以點(diǎn)G到直線DF的距離d=

.【變式2-1】5.（2023春·江蘇鹽城·高二鹽城市大豐區(qū)南陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱錐P?ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．點(diǎn)D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點(diǎn)，M是線段AD(1)求證：MN//平面BDE(2)求點(diǎn)N到直線ME的距離；(3)在線段PA上是否存在一點(diǎn)H，使得直線NH與平面MNE所成角的正弦值為2621，若存在，求出線段【答案】(1)證明見解析(2)105(3)3【分析】（1）（2）（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計算即可.【詳解】（1）因為PA⊥底面ABC，∠建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則A(0,0,0),所以DE=(0,1,0),設(shè)n=(x,則n?DE=0n?DB=0又MN=可得MN?n=0，因為MN所以MN//平面BDE（2）因為ME=所以點(diǎn)N到直線ME的距離d=（3）設(shè)H0,0,t，t∈設(shè)平面MNE的法向量為m=則m?MN=12所以cosm即20t2?28t?3=0所以AH=題型3用向量法求點(diǎn)面距【方法總結(jié)】用向量法求點(diǎn)面距的步驟建系：建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；求點(diǎn)坐標(biāo)：寫出（求出）相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）求向量：求出相關(guān)向量的坐標(biāo)（AP，α內(nèi)兩個不共線向量，平面α的法向量n）；（4）求距離d=|AP【例題3】（2023春·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）如圖，在圓錐SO中，AB是底面圓O的直徑，SO=AB=4，AC=BC，D為SO的中點(diǎn)，N為AD

A．43 B．53 C．1 【答案】B【分析】以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC、OA、OS所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得點(diǎn)N到平面SBC的距離.【詳解】因為AC=BC，O為AB的中點(diǎn)，則由圓錐的幾何性質(zhì)可知SO⊥平面ABC以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC、OA、OS所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則S0,0,4、B0,?2,0、C2,0,0、A0,2,0、設(shè)平面SBC的法向量為n=x,y,則n?BC=2x+2又因為BN=0,3,1，所以，點(diǎn)N到平面SBC的距離為故選：B.【變式3-1】1．布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)·芬奇方磚，在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1），把三片這樣的達(dá)·芬奇方磚形成圖2的組合，這個組合表達(dá)了圖3所示的幾何體．若圖3中每個正方體的棱長為1，則點(diǎn)A到平面QGC的距離是（

）A．14 B．12 C．22【答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求平面QGC的法向量，用點(diǎn)到平面的距離公式計算即可.【詳解】建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：則C(0,2,0)，Q(1,0,2)，G(0,0,2)，A(1,1,0)，QC=(?1,2,?2)，QG=(?1,0,0),AC=(?1,1,0)，設(shè)平面QGC的法向量為n=(x,y,故選：C【變式3-1】2.（2022春·江蘇常州·高二常州高級中學(xué)?？计谥校┮阎睦忮FP?ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD

(1)求二面角T?(2)若棱PC上一點(diǎn)M到平面TBD的距離為3217，試確定點(diǎn)【答案】(1)?(2)M為PC的中點(diǎn).【分析】（1）連接AC交BD于O，過O作PD的平行線義PB于M，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可求二面角T?（2）設(shè)PM=λPC(0≤λ≤1)，利用向量示表示出點(diǎn)M到平面【詳解】（1）連接AC交BD于O，過O作PD的平行線，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則B則DT=23設(shè)平面BDT的一個法向量n則n?DT=∴平面BDT的一個法向量為n又PD⊥平面ABCD,∴∴cosDF,n∴二面角T?BD?（2）設(shè)PM=λ∴DM=則點(diǎn)M到平面TBD的距離為3λ解得λ故點(diǎn)M的坐標(biāo)為?1【變式3-1】3．（2023·吉林長春·東北師大附中?？寄M預(yù)測）如圖，在四面體ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,AC=2,AB=3,∠

(1)求點(diǎn)A到平面CDE的距離；(2)求平面BCD與平面CDE夾角的余弦值．【答案】(1)2(2)19【分析】（1）取AC中點(diǎn)F，連接FE,FD，由題意證明平面ABC⊥平面DEF，說明D（2）求出平面BCD與平面CDE的法向量，根據(jù)空間角的向量求法，即可求得答案.【詳解】（1）取AC中點(diǎn)F，連接FE,FD，因為AD=又AC⊥DE,所以AC⊥平面DEF，而FE?平面DEF，所以由已知AF=1,∠BAC=60°由AC⊥平面DEF,AC?平面ABC，得平面因此DE在平面ABC內(nèi)的射影就是直線EF，設(shè)D在面ABC的射影為H，則H在直線EF上，由題意知BE=13所以VD所以DH=1，又因為DF=1，所以H與F重合，所以DF⊥以F為原點(diǎn)，F(xiàn)A,FE,FD所在直線為則D0,0,1

AE所以B點(diǎn)坐標(biāo)為?1CB=設(shè)平面DEC的一個法向量是n1則n1?CD=x+z所以點(diǎn)A到平面CDE的距離d=（2）設(shè)平面BCD的法向量為n2則n2?CD=a故n2所以cosn由于平面BCD與平面CDE夾角范圍為[0,π所以平面BCD與平面CDE夾角的余弦值是19385【變式3-1】4.（2023春·甘肅白銀·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=2，(1)求證：平面AEF⊥平面PCD(2)求平面AEF與平面AEP所成角的余弦值；(3)若棱BP上一點(diǎn)G，滿足PG=2GB，求點(diǎn)G到平面【答案】(1)證明見解析(2)3(3)0【分析】（1）（2）（3）如圖，以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC為x軸，y軸，過D作AP平行線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計算可得.【詳解】（1）如圖，以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC為x軸，y軸，過D作AP平行線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則D0,0,0，A2,0,0，C0,2,0，P2,0,2，所以DC=0,2,0，PC=?2,2,?2，因為所以DF=13所以AF=?2設(shè)平面AEF的法向量為n=x,令x=z=1，則y平面PCD的法向量為m=a,令a=1，則c=?1，所以所以n?m=1×1+0×所以平面AEF⊥平面PCD（2）易知平面AEP的一個法向量u=設(shè)平面AEF與平面AEP所成角為θ，則cosθ所以平面AEF與平面AEP所成角的余弦值為33（3）因為棱BP上一點(diǎn)G，滿足PG=2GB，所以所以AG=所以點(diǎn)G到平面AEF的距離d=【變式3-1】5．（2023春·江西贛州·高二江西省尋烏中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，設(shè)在直三棱柱ABC?A1B1C1

(1)求異面直線A1(2)求點(diǎn)B1【答案】(1)63(2)6．【分析】（1）根據(jù)給定的幾何體，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出異面直線夾角余弦作答.（2）由（1）中坐標(biāo)系，利用空間向量求出點(diǎn)到平面的距離作答.【詳解】（1）在直三棱柱ABC?A1

則A(0,0,0),A1B=(2,0,?2),所以異面直線A1B,（2）設(shè)平面AEF的一個法向量為n=(a,則n?AE=2b+c=0于是d=所以點(diǎn)B1到平面AEF的距離為6【變式3-1】6．（2023秋·重慶長壽·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，PA=AD=2，AB=4，M、N

(1)求證：MN//平面PAD(2)求點(diǎn)D到平面PMC的距離．【答案】(1)證明見解析(2)4【分析】（1）取線段PD的中點(diǎn)E，連接AE、NE，證明出四邊形AMNE為平行四邊形，可得出MN//（2）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD、AP所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得點(diǎn)D到平面PMC的距離.【詳解】（1）證明：取PD中點(diǎn)E，連接AE、NE，因為N、E分別為PC、PD的中點(diǎn)，則NE//CD且因為四邊形ABCD為矩形，則AB//CD且因為M為AB的中點(diǎn)，所以，AM//CD且所以，AM//NE且AM=NE，故四邊形因為MN?平面PAD，AE?平面PAD，因此，MN//（2）解：因為PA⊥平面ABCD，底面ABCD以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD、AP所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則D0,2,0、P0,0,2、C4,2,0設(shè)平面PMC的法向量為n=x,y,則n?MP=?2x+2因為DC=4,0,0，故點(diǎn)D到平面PMC的距離為題型4用向量法求線面距【方法總結(jié)】求直線與平面間的距離，往往轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離求解，且這個點(diǎn)要適當(dāng)選取，以求解最為簡單為準(zhǔn)則，求直線到平面的距離的題目不多，因直線到平面的距離可以用點(diǎn)到平面的距離求解，但在求點(diǎn)到平面的距離時有時用直線到平面的距離進(jìn)行過渡.【例題4】（2021·高二課時練習(xí)）如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為1的正方形，AA1＝2，E，F(xiàn)分別為CC1，AA1的中點(diǎn)．（1）求證：D1F∥平面BDE；（2）求直線D1E與平面BDE所成角的正弦值；（3）求直線D1F與平面BDE之間的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）63；（3）2【分析】（1）推導(dǎo)出D1F∥BE，由此能證明D1F∥平面BDE；（2）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線D1E與平面BDE所成角的正弦值；（3）由D1F∥平面BDE，DD1→【詳解】解：（1）∵在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為1的正方形，AA1＝2，E，F(xiàn)分別為CC1，AA1的中點(diǎn)．∴D1F∥BE，∵D1F?平面BDE，BE?平面BDE，∴D1F∥平面BDE；（2）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則D1（0，0，2），F(xiàn)（1，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0），E（0，1，1），D1E→=（0，1，﹣1），設(shè)平面DBE的法向量m→則m?DB=設(shè)直線D1E與平面BDE所成角為θ，則sinθ=D∴直線D1E與平面BDE所成角的正弦值為63（3）∵D1F∥平面BDE，DD1→∴直線D1F與平面BDE之間的距離為：d=D【變式4-1】1．如圖，在多面體ABC?A1B1C1中，側(cè)面ABB1(1)求證：CC1∥平面(2)求直線A1C1(3)求直線A1B1【答案】(1)證明見解析；(2)45(3)85【分析】（1）先證明A1A⊥平面ABC（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)向量坐標(biāo)，求出平面ABC1的法向量，根據(jù)空間向量的夾角公式即可求得直線A1（3）結(jié)合（2）的結(jié)果，利用空間距離的向量求法，先求點(diǎn)A1到平面ABC1的距離，即可求得直線A【詳解】（1）證明：由題意CA⊥平面ABB1A1，CA?平面又側(cè)面ABB1A而A1A?平面ABB1所以A1A⊥平面ABC，又C所以A1A∥CC1,而A1故CC1∥平面（2）因為CA⊥平面ABB1A1，AB而A1A⊥故以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB,因為AA則A(0，0，0),則AB=(3,0,0),設(shè)平面ABC1的法向量為n=(即3x=04y+2設(shè)直線A1C1與平面AB則sinθ（3）因為側(cè)面ABB1A而AB?平面ABC,A1B1?平面ABC,故A則直線A1B1到平面ABC1A1C1=(0,4,?2)，平面故點(diǎn)A1到平面ABC1即直線A1B1到平面AB【變式4-1】2．如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，PA(1)求證：PB∥(2)求直線PB到平面ACQ的距離.【答案】(1)證明見解析(2)2【分析】（1）連接BD交AC于O，連接OQ，首先根據(jù)三角形中位線證明PB∥OQ，然后根據(jù)線面平行的判定定理即可證明PB∥（2）由于（1）可知由于PB∥【詳解】（1）連接BD交AC于O，連接OQ，因為底面ABCD為正方形，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)，因為Q為PD中點(diǎn)，所以PB∥因為PB?平面ACQ，OQ?平面ACQ，所以PB∥（2）因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCDPA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD故AB、AD、AP兩兩垂直，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，C2,2,0，Q0,1,1，A0,0,0設(shè)平面ACQ的法向量為n=所以n?AQ=由于PB∥BC=AD=0,2,0，B到平面即直線PB到平面ACQ的距離為23【變式4-1】3．如圖，在正四棱錐P?ABCD中，O為底面中心，AB=32，(1)求證：DM∥平面EAC；(2)求：（i）直線DM到平面EAC的距離；（ii）求直線MA與平面EAC所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)（i）355【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面EAC的法向量與DM，即可判斷出線面的位置關(guān)系.(2)利用第一問的法向量，與平行關(guān)系，用點(diǎn)到平面的距離公式d=AD?【詳解】（1）證明：連接BD，則O是BD的中點(diǎn)，且AC⊥在正四棱錐P?ABCD中，PO⊥平面ABCD，PO=3，AB=3則O0,0,0，A3,0,0，P0,0,3，B0,3,0，C?3,0,0，DDM=0,3,32，設(shè)平面EAC的法同量m=x,y,z，則m?∵DM?m=0，∴DM（2）（i）AD=?3,?3,0，∴直線DM到平面EAC的距高（ii）MA=3,0,?3∴直線MA與平面EAC所成角的正弦值為25【變式4-1】4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，AD∥BC,∠ADC=∠PAB=(1)在直線PA上找一點(diǎn)M，使得直線MC//平面PBE，并求AM(2)若直線CD到平面PBE的距離為255，求平面PBE與平面【答案】(1)2(2)2【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量垂直充要條件列出等式，解之即可求得AMAP（2）先由直線CD到平面PBE的距離為255求得PA的長度，再利用平面PBE與平面PBC法向量的夾角公式去求平面PBE與平面【詳解】（1）在四棱錐P?ABCD中，∠PAB=90°，異面直線即PA⊥AB,PA⊥CD取PD中點(diǎn)F，連接EF，又AE=DE，則PA//EF又四邊形ABCD中，AD∥BC則BE⊥AD，則三直線以E為原點(diǎn)，分別以ED、EB、EF所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖：設(shè)PA=?(?>0)，則E(0,0,0)，D(1,0,0)，P(?1,0,?)設(shè)平面PBE的一個法向量為n=(則PE?n=0PB?n=0，即設(shè)M(?1,0,t由直線MC//平面PBE，可得MC⊥則2?+0?t=0，解之得t=2?（2）由直線CD到平面PBE的距離為255，得點(diǎn)C到平面PBE的距離為又CB=(?1,0,0)，n則CB?nn=2則P(?1,0,2)，n=(2,0,1)設(shè)平面PBC的一個法向量為m=(x則CB?m=0PB?m=0，即設(shè)平面PBE與平面PBC夾角為θ則cos又0≤θ≤題型5用向量法求面面距【例題5】(多選)（2020秋·遼寧大連·高二大連八中?？计谥校┮阎襟wABCD?A1B1C1D1的棱長為1，點(diǎn)EA．點(diǎn)A到直線BE的距離是2B．點(diǎn)O到平面ABC1C．平面A1BD與平面BD．點(diǎn)P到直線AD的距離為5【答案】ABCD【分析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AA1為【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，BD(0,1,0)，A1(0,0,1)，C1(1,1,1)所以BA=(?1,0,0),設(shè)∠ABE=θ，則cos故A到直線BE的距離d1故選項A正確．易知C1平面ABC1D則點(diǎn)O到平面ABC1D故選項B正確．A1設(shè)平面A1BD的法向量為則n?A令z=1，得y所以n=(1,1,1)所以點(diǎn)D1到平面A1BD因為平面A1BD//所以平面A1BD與平面B1CD所以平面A1BD與平面B1故選項C正確．因為AP=34又AB=(1,0,0)，則AP所以點(diǎn)P到AB的距離d=故選項D正確．故選：ABCD.【變式5-1】1.（多選）（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）（多選）已知正方體ABCD?A1B1C1A．點(diǎn)A到直線BE的距離是55 B．點(diǎn)O到平面ABCC．平面A1BD與平面B1CD1間的距離為【答案】BC【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，利用直線的方向向量和平面的法向量結(jié)合空間向量數(shù)量積求得各個選項的距離，得出結(jié)論.【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，BD(0,1,0)，A1(0,0,1)，C1(1,1,1)所以BA=(?1,0,0),設(shè)∠ABE=θ，則cos故A到直線BE的距離d1易知C1平面ABC1D則點(diǎn)O到平面ABC1DA1設(shè)平面A1BD的法向量為則n?A令z=1，得y所以n=(1,1,1)所以點(diǎn)D1到平面A1BD因為平面A1BD//所以平面A1BD與平面B1CD所以平面A1BD與平面B1因為AP=34又AB=(1,0,0)，則AP所以點(diǎn)P到AB的距離d=故選：BC.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用空間向量求點(diǎn)線、點(diǎn)面、面面距離，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)科素養(yǎng)，屬中檔題.線面距、面面距實(shí)質(zhì)上都是點(diǎn)面距，求直線到平面、平面到平面的距離的前提是線面、面面平行.【變式5-1】2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐O?ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M、N、R分別是OA、(1)直線MN與平面OCD的距離；(2)平面MNR與平面OCD的距離．【答案】(1)2(2)2【分析】（1）證明出平面MNR//平面OCD，可得出MN//平面OCD，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD、AO所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得直線MN與平面（2）利用空間向量法可求得平面MNR與平面OCD的距離．【詳解】（1）解：因為OA⊥平面ABCD，四邊形ABCD以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD、AO所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C2,2,0、D0,2,0、O0,0,2、M0,0,1、因為M、R分別為PA、AD的中點(diǎn)，則MR//∵M(jìn)R?平面OCD，OD?平面OCD，∴因為AD//BC且AD=BC，R、N分別為AD、BC的中點(diǎn)，則所以，四邊形CDRN為平行四邊形，∴RN∵RN?平面OCD，CD?平面OCD，∴∵M(jìn)R∩RN=R，MR、RN?平面MNR，∵M(jìn)N?平面MNR，∴MN設(shè)平面OCD的法向量為n=x,y,則n?DC=2x=0n?所以，直線MN與平面OCD的距離為d1（2）解：因為平面MNR//平面OCD，則平面MNR與平面OCD的距離為d【變式5-1】3.（2022·高二課時練習(xí)）如圖所示的多面體是底面為ABCD的長方體被平面AEC1F所截而得的，其中AB=4，BC=2（1）求點(diǎn)C到平面AEC（2）設(shè)過點(diǎn)B平行于平面AEC1F的平面為α，求平面AE【答案】（1）43311；（2）【分析】（1）由題意，以D為原點(diǎn)，以DA,DC,DF所在的直線分別為x軸、y軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)F(0,0,z)，根據(jù)AEC1F為平行四邊形，得到AF=（2）由（1）知平面AEC1F的一個法向量為n=(1,?14,1)，又由BE=(0,0,1)，求得點(diǎn)【詳解】（1）由題意，以D為原點(diǎn)，以DA,DC,DF所在的直線分別為x軸、可得D(0,0,0),設(shè)F(0,0,z)，因為AE即(?2,0,z)=(?2,0,2)，所以z=2則AE=(0,4,1),設(shè)平面AEC1F的法向量為n取x=1，可得y=?1又由AC=(?2,4,0)所以點(diǎn)C到平面AEC1F（2）由（1）知平面AEC1F又由BE=(0,0,1)，可得點(diǎn)B到平面AEC1因為過點(diǎn)B平行于平面AEC1F所以平面AEC1F與平面α之間的距離等于但B即平面AEC1F與平面α【變式5-1】4.（2022·高二單元測試）如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為4，點(diǎn)M，N，E，F(xiàn)分別為A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中點(diǎn)，（1）證明：平面AMN∥平面EFBD；（2）求平面AMN與平面EFBD間的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）83【分析】（1）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，證明EF=MN，（2）因為平面AMN∥平面EFBD，所以點(diǎn)B到平面AMN的距離即為平面AMN與平面EFBD間的距離，求出平面AMN的法向量，從而可求的答案.【詳解】（1）證明：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(xiàn)(2，4，4)，N(4，2，4)．從而EF＝(2，2，0)，MN＝(2，2，0)，AM＝(－2，0，4)，BF＝(－2，0，4)，所以EF=MN，又EF?平面EFBD，MNBF?平面EFBD，AM因為MN∩AM＝M，所以平面AMN∥平面EFBD；（2）解：因為平面AMN∥平面EFBD，所以點(diǎn)B到平面AMN的距離即為平面AMN與平面EFBD間的距離．設(shè)n=則有n?MN=0n?由于AB＝(0，4，0)，所以點(diǎn)B到平面AMN的距離為n?所以平面AMN與平面EFBD間的距離為83【變式5-1】5.（2018秋·安徽合肥·高二合肥一六八中學(xué)?？计谀┤鐖D，四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為梯形，PD⊥底面ABCD，AB//CD,AD(1)求平面α將四棱錐P?(2)若平面α與平面PBC之間的距離為66，求直線PA與平面PBC【答案】(1)15或(2)3【分析】（1）先由面面平行的性質(zhì)定理得到AE//BC，EF//PC，進(jìn)而證得E,F分別是CD,（2）建立空間直角坐標(biāo)系如圖2，設(shè)PD的長為t，先由面面距離利用空間向量的數(shù)量積可求得t，再利用空間向量夾角余弦公式可得直線PA與平面PBC所成角的正弦值.（1）如圖1，記平面α與直線CD,PD的交點(diǎn)分別為E,F，則面因為面AEF//面PBC，面AEF∩面ABCD=AE，面所以AE//BC，同理又AB//CD，即AB//EC，所以四邊形又CD=2，故E是CD由中位線定理的推論，可知F是PD的中點(diǎn)，由條件易得SABCD=12AB由PD⊥底面ABCD，得VF?ADE=故平面α將四棱錐P?ABCD分成兩部分幾何體的體積之比為.（2）由CD,PD,DA兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系如圖2，記PD的長為則EC=0,1,0，BC=設(shè)平面PBC的法向量n=x,y,z，則有取y=t得平面PBC的法向量由條件易知點(diǎn)E到平面PBC距離為EC?nn=66，即t2所以n=故直線PA與平面PBC所成角θ滿足sinθ.【點(diǎn)睛】本題主要考查棱錐的體積公式以及利用空間向量線面角，空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.【變式5-1】6.（2023·全國·高三專題練習(xí)）底面為菱形的直棱柱ABCD?A1B1(1)在圖中作一個平面α，使得BD?α，且平面AEF//α.（不必給出證明過程，只要求作出(2)若AB=AA1=2,∠BAD=【答案】(1)見解析(2)d【分析】（1）取B1C1,D1C1的中點(diǎn)M,N，則平面BMND即為所求平面α.（2）連接AC,AC交BD于O，則AC⊥BD，分別以（1）如圖，取B1C1,D1C1的中點(diǎn)證明：由EF//MN,EF?平面BMND，MN?平面BMND，可得由AE//DN，AE?平面BMND，DN?平面BMND，可得AE∩EF=E,AE?平面AEF，EF?平面AEF,故可得平面（2）如圖，連接AC,AC交BD于O，∵在直棱柱ABCD?∴AC∴分別以DB,AC所在的直線為x,又∵所有棱長為2，∠∴A∴E∴AE=1設(shè)n=x,y,z令y=43得n=∴點(diǎn)B到平面AEF的距離?=∴平面AEF與平面α的距離d=題型6線線距離【例題6】在三棱錐S?ABC中，SA=BC=2，SC=AB=3，SB=AC=5【答案】66【分析】將三棱錐S?ABC補(bǔ)成正六面體為利用勾股定理求解長、寬、高，再建立直接坐標(biāo)系后，求出AM和CN的法向量，便可求得直線AM與【詳解】解：三棱錐S?ABC的三組對棱分別相等，因此三棱錐S?ABC的外接平行六面體為長方體，將三棱錐S?ABC放在長方體中，設(shè)長方體的長、寬、高分別為a，b，c因此以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則S0,3,2，A1,0,2，B0,0,0AM=?1設(shè)n=x,y,z令y=2，則z=32又MN=0,0,2，所以異面直線AM與CN故答案為：66【變式6-1】1．（2023秋·遼寧沈陽·高二沈陽二十中校聯(lián)考期末）如圖①菱形ABCD，∠B=60°,BE=EC=1．沿著AE將(1)求異面直線AB′與(2)求異面直線AB′與【答案】(1)3(2)2【分析】（1）根據(jù)折疊前后的幾何性質(zhì)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算得異面直線AB′與（2）根據(jù)空間向量求直線AB′與CD公垂線的方向向量，再結(jié)合空間向量坐標(biāo)運(yùn)算即可得異面直線AB【詳解】（1）圖①菱形ABCD，∠B=60°,BE=EC所以BE2+AE2=在圖②中，∠DAB′=90°，即AD所以AD⊥平面AB′E，即又B′E?平面AB′E，所以B′則E0,0,0所以AB′=則異面直線AB′與CD所成的角的余弦值為（2）由（1）得AC=1,?3,0，設(shè)m=所以AB′?m所以異面直線AB′與CD之間的距離為【變式6-1】2．（2023春·江西·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，直三棱柱ABC?A1B1C1的體積為4，D為A(1)求點(diǎn)C1到平面BCD(2)若AA1=2AB，平面BCD⊥平面ABB1A1，若平面BDE【答案】(1)2；(2)269【分析】（1）由已知可推得VC1?（2）取BD中點(diǎn)為F，可得AF⊥平面BCD，進(jìn)而可證BC⊥平面ABB1A1.然后根據(jù)已知可求得AB=1，BC=4.以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)建系，設(shè)AE=λAC，根據(jù)已知寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，得出平面BDE與平面BDC1的法向量，根據(jù)已知求出λ=12，即E為AC的中點(diǎn).將平面AC【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)A到平面BCC1B由三棱柱的性質(zhì)可知，AA1//平面BC所以，點(diǎn)D到平面BCC1B1的距離等于點(diǎn)A到平面所以，VD由已知可得，VC所以，VD?BC又VC1?BCD=（2）取BD中點(diǎn)為F，連結(jié)AF.因為AA1=2AB，D為AA1的中點(diǎn)，所以AD=因為平面BCD∩平面ABB1A1=BD，平面BCD所以，AF⊥平面BCD，因為BC?平面BCD，所以又由直三棱柱的性質(zhì)可得，AA1⊥BC，AA1∩AF=所以，BC⊥平面ABB1A1，又AB?平面ABB1A設(shè)AB=a，BC=b，則則VABC?A則由已知可得，VABC?A以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BC,BA,設(shè)AE=λAC0≤λ≤1，則B0,0,0，C4,0,0，A0,1,0，B所以，BD=0,1,1，AC=4,?1,0，所以AE=λAC設(shè)n1=x1,y1,z1是平面所以，n1=λ設(shè)n2=x2,y2,z2是平面所以，n2=1,2,?2又平面BDE與平面BDC1的夾角的余弦值為53333，所以整理可得22λ2?7λ?2=0所以λ=12，所以AE=12AC如圖，延長AA1至點(diǎn)G，使得A1G=AA連結(jié)GH、C1G、因為D,E分別是AA1、由三棱柱