高中數(shù)學同步講義（人教B版2019必修四）第27講 11.4.1直線與平面垂直

.4.1直線與平面垂直TOC\o"1-3"\h\u題型1概念辨析題 3◆類型1位置關(guān)系判斷 3◆類型2概念辨析 7題型2線面垂直的證明 9題型3線面垂直證明線線平行 20題型4線面垂直證明線線垂直 26題型5勾股定理證明垂直 35題型6垂直小題 37題型7探索性問題 43知識點一.異面直線所成的角1．定義：如果a，b是空間中的兩條異而直線，過空間中任意一點，分別作與a，b平行或重合的直線a'，b'，則a'與b'所成角的大小,稱為異面直線a與b所成角的大小.2.異面直線所成的角θ的取值范圍：0°<θ≤90°.3.垂直：空間中兩條直線l，m所成角的大小為90°時，稱l與m垂直，記作l⊥m.知識點二.直線與平面垂直1.直線與平面垂直的定義定義如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直記法l⊥α有關(guān)概念直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．它們唯一的公共點P叫做垂足圖示畫法畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直2.直線與平面垂直的判定定理（簡稱線面垂直的判定定理）文字語言如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直符號語言l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α圖形語言3.線面垂直判定定理的推論：如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于同一個平面．符號語言：a∥b，________?b⊥α，知識點三.直線與平面垂直的性質(zhì)1.線面垂直的性質(zhì)（1）如果兩條平行直線中，有一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線這個平面.也垂直于這個平面（2）過空間中一點，有且只有一條直線與已知平面垂直.2.直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言垂直于同一個平面的兩條直線平行符號語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b圖形語言作用①線面垂直?線線平行②作平行線3.直線與平面垂直的性質(zhì)定理推論：一條直線垂直于一個平面，它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直．符號語言：a⊥α，__b?α___?a⊥b，如圖：題型1概念辨析題【方法總結(jié)】理解線面垂直的判定定理注意以下幾點:(1)定理可表述為"線線垂直,則線面垂直"(2)"兩條相交直線"是關(guān)鍵詞,一定不要忽視這個條件,否則將導(dǎo)致結(jié)論錯誤,即"線不在多,相交就行"(3)要證明一條直線與一個平面垂直,只需在平面內(nèi)找到兩條相交直線和該直線垂直即可,至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點無關(guān)緊要.(4)線面垂直的判定定理與線面垂直的定義往往在證題過程中要反復(fù)交替使用?！纛愋?位置關(guān)系判斷【例題1】（2023·全國·高一專題練習）已知α是平面，l、m、n是空間三條不同的直線，則下列命題中正確的個數(shù)為（

）①若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，則l⊥α；②若l⊥m，l⊥n，則m//n；③若三條直線l、m、n兩兩相交，則直線l、m、n共面；④若m⊥α，n⊥α，l//m，則l//nA．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)線線，線面的位置關(guān)系逐項分析即得.【詳解】根據(jù)題意，依次分析4命題，對于①，當m與n相交時，可得l⊥α，①錯誤；對于②，垂直于同一直線的兩條直線可以平行、相交，也可以異面，②錯誤；對于③，當3條直線交于一點時，直線l、m、n可能異面，③錯誤；對于④，若m⊥α，n⊥α，則m//n，又由l//m，則l//n，④正確；所以4個命題中，有1個正確；故選：B．【變式1-1】1．（2023·全國·高一專題練習）設(shè)α是空間中的一個平面，l，m，n是三條不同的直線，則（

）A．若m?α，n?α，lB．若l//m，m//nC．若l//m，m⊥αD．若m?α，n⊥α【答案】B【分析】AD可舉出反例，B選項，由線面垂直的判定定理得n⊥α；C選項，可得到【詳解】A選項，l與α相交、平行或l?如圖1，當m//n時，l與B選項，因為l//m，m//因為l⊥α，則由線面垂直的判定定理得C選項，因為m⊥α，n⊥因為l//m，所以D選項，若m?α，n⊥α，l⊥如圖2，滿足m?α，n⊥α，l⊥故D錯誤．故選：B．【變式1-1】2．（2023春·全國·高一專題練習）已知直線l和平面α，則“l(fā)垂直于α內(nèi)任意直線”是“l(fā)⊥A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．非充分非必要條件【答案】C【分析】根據(jù)線面垂直的判定和性質(zhì)，結(jié)合題意，即可容易判斷和選擇.【詳解】若l垂直于α內(nèi)任意直線，顯然有l(wèi)⊥若l⊥α，則l垂直于平面故“l(fā)垂直于α內(nèi)任意直線”是“l(fā)⊥故選：C.【變式1-1】3．（2023·全國·高一專題練習）已知直線l⊥平面α①若m⊥l，則②若m⊥α，則③若m//α，則④若m//l，則上述判斷中正確的是（

）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【答案】B【分析】根據(jù)線面的位置關(guān)系，線面垂直的性質(zhì)定理，線面平行的性質(zhì)定理及線面垂直的性質(zhì)逐項分析即得.【詳解】對于①，當m?平面α也可以有m⊥l對于②，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知②正確；對于③，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得存在n?α且m∥n．而直線l⊥平面α對于④，根據(jù)直線l⊥平面α，可在平面α內(nèi)找到兩條相交直線p，n，且l⊥p，l⊥n，又m∥l即②③④正確．故選：B．【變式1-1】4．（多選）（2023·全國·高一專題練習）（多選）下列命題中，不正確的是（

）A．若直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥αB．若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)沒有與l垂直的直線C．若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與l垂直D．若直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則l⊥α【答案】ABD【分析】根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系進行判斷即可.【詳解】當l與α內(nèi)的一條直線垂直時，不能保證l與平面α垂直，所以A不正確；當l與α不垂直時，l可能與α內(nèi)的無數(shù)條平行直線垂直，所以B不正確，C正確；若l在α內(nèi)，l也可以和α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，故D錯誤.故選：ABD【變式1-1】5．（多選）（2023·全國·高一專題練習）已知m、n是兩條不同的直線，α、β是兩個不重合的平面，給定下列四個命題，其中是真命題的是（

）A．若m⊥n，nB．若m⊥α，nC．若m⊥α，nD．若m?α，n?β【答案】BC【分析】根據(jù)線面垂直的定義和性質(zhì)，以及面面平行的性質(zhì)即可判斷.【詳解】對于A，直線m垂直于平面α內(nèi)的一條直線n，則直線m與平面α不一定垂直，所以A不是真命題；對于B，因為m⊥α，n?對于C，因為m⊥α，n⊥對于D，分別在兩個平行平面α，β內(nèi)的直線m，n平行或異面，所以D不是真命題．故選：BC.◆類型2概念辨析【例題1-2】下列說法正確的有________(填序號)．①垂直于同一條直線的兩條直線平行；②如果一條直線與一個平面內(nèi)的一條直線不垂直，那么這條直線就一定不與這個平面垂直；③如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，那么這條直線與這個平面垂直；④若l與平面α不垂直，則平面α內(nèi)一定沒有直線與l垂直．【答案】②【解析】因為空間內(nèi)與一條直線同時垂直的兩條直線可能相交，可能平行，也可能異面，故①不正確．由線面垂直的定義可得，故②正確．因為這兩條直線可能是平行直線，故③不正確．如圖，l與α不垂直，但a?α，l⊥a，故④不正確．【變式1-2】1.下面四個命題：①過一點和一條直線垂直的直線有且只有一條；②過一點和一個平面垂直的直線有且只有一條；③過一點和一條直線垂直的平面有且只有一個；④過一點和一個平面垂直的平面有且只有一個．其中正確的是()A．①④B．②③C．①②D．③④【答案】B【解析】過一點和一條直線垂直的直線有無數(shù)條，故①不正確；過一點和一個平面垂直的平面有無數(shù)個，故④不正確；易知②③均正確．故選B.【變式1-2】2.若三條直線OA，OB，OC兩兩垂直，則直線OA垂直于()A．平面OABB．平面OACC．平面OBCD．平面ABC【答案】C【解析】∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC?平面OBC，∴OA⊥平面OBC.【變式1-1】3.如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的：①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正五邊形的兩邊．能保證該直線與平面垂直的是________(填序號)．【解析】根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，平面內(nèi)這兩條直線必須是相交的，①③④中給定的兩直線一定相交，能保證直線與平面垂直．而②梯形的兩邊可能是上、下底邊，它們互相平行，不滿足定理條件．故填①③④.【變式1-1】4.直線a⊥直線b，a⊥平面β，則b與β的位置關(guān)系是()A．b⊥β B．b∥βC．b?β D．b?β或b∥β【答案】D【解析】以如圖所示的正方體ABCD－A1B1C1D1為模型．A1A⊥平面ABCD，A1A⊥A1B1，AA1⊥AB，A1B1∥平面ABCD，AB?平面ABCD，故選D．題型2線面垂直的證明【方法總結(jié)】證明線面垂直的關(guān)鍵是分析幾何圖形，尋找隱含的和題目中推導(dǎo)出的線線垂直關(guān)系，進而證明線面垂直.三角形全等、等腰三角形底邊上的中線、梯形的高、菱形和正方形的對角線、三角形中的勾股定理等都是找線垂直的方法.【例題2】（2023春·全國·高一專題練習）在棱長為2的正方體ABCD?A1B1【答案】證明見解析【分析】連接BD,BC1，證明AC⊥平面D1DB，B【詳解】如圖，連接BD,BCDD1⊥平面ABCD，AC所以DD1⊥AC，且所以AC⊥平面D由D1B?平面D因為C1D1⊥平面所以C1又C1D1所以B1C⊥又BD1?平面B因為AC∩B1C=所以D1B⊥【變式2-1】1．（2023·全國·高一專題練習）如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為CC1的中點，AC【答案】證明見解析.【分析】要證明A1O⊥平面MBD，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知，只需證明直線A1【詳解】【證明】∵四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥∵AA1⊥平面ABCD∴AA又∵A1A?平面∴BD⊥平面A而A1∴BD⊥令正方體的棱長為2，連接OM，A1則有A1∴A1∴A1又OM?平面BDM,∴A1O⊥平面【變式2-1】2．（2023·高一課時練習）如圖所示，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2，∠ABC【答案】證明見解析【分析】分別利用三角形相似和等腰三角形性質(zhì)可得CG⊥AD、BG⊥AD，再由線面垂直的判定定理可得AD⊥【詳解】由AB=BC=可得△ABC≌△BCD又由G為AD的中點，所以CG⊥因為G為AD的中點，可得BG⊥又因為CG∩BG=G且CG,BG?因為E,F分別為AC,DC的中點，所以EF//【變式2-1】3．（2023·全國·高一專題練習）如圖，在三棱錐P?ABC中，PA=(1）證明：PO⊥平面ABC(2)求點O到平面PAC的距離.【答案】(1)證明見解析(2)42【分析】（1）證明PO⊥AB，（2）點O到平面PAC距離，即為三棱錐O?PAC面PAC的高，計算出VO【詳解】（1）證明：因為PA=PB,O為連接OC，因為AC⊥BC，所以又PA=PC，所以△PCO因為AB∩CO=O，所以PO⊥平面ABC（2）因為PA=所以PO=PCS△VP設(shè)點P到AC的距離為?，則?=PC設(shè)點O到平面PAC的距離為d，則VO因為VO?PAC=V即點O到平面PAC的距離為424【變式2-1】4．（2021春·陜西榆林·高一陜西省神木中學?？茧A段練習）將如圖①所示的矩形ABMD沿CD翻折后構(gòu)成一個四棱錐M?ABCD(如圖②），若在四棱錐M?ABCD(1)求證：MD⊥平面MAC(2)求四棱錐M?【答案】(1)證明見解析(2)2【分析】（1）利用勾股定理證明線線垂直，根據(jù)線面垂直判定定理，可得答案；（2）利用線面垂直判定定理以及三角形的性質(zhì)，結(jié)合棱錐的體積公式，可得答案.【詳解】(1)證明：在△MAD中，MA∴MA2又∵MD⊥MC,MC∴MD⊥平面（2）如圖，取CD的中點F，連接MF，在△ACD中，CD=AC由（1）可知MD⊥平面MAC，且AC在面MAC內(nèi)，∴又∵CD∩MD=D，CD,MD又∵MF?平面MCD，∴在△MCD中，MC=MD又∵CD∩AC=C∴V【變式2-1】5．（2023·全國·高一專題練習）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，(1）證明：EF//平面PAD(2)【證明】EF⊥平面PAB(3)若PB⊥平面AEF，求四棱錐E【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)2【分析】（1）取AP的中點為M，連接MD,ME，證明四邊形EFDM為平行四邊形即可證明（2）證明DM⊥平面ABP，再結(jié)合EF（3）由題可求得AB=【詳解】(1)證明：如圖，取AP的中點為M，連接MD,因為E,M,F分別是所以ME//AB,所以ME//所以四邊形EFDM為平行四邊形，所以EF//又MD?平面PAD，EF?平面所以EF//平面PAD（2）證明：因為PD=AD=1，AP所以DM⊥因為PD⊥平面ABCD，AB?平面所以PD⊥AB因為底面ABCD是矩形，所以AD⊥AB因為PD∩AD=所以AB⊥平面PAD因為DM?平面PAD所以AB⊥因為AB∩AP=所以DM⊥平面ABP因為由（1）知EF//所以EF⊥平面PAB（3）解：因為PD⊥平面ABCD所以PD⊥又PD=AD=1因為PB⊥平面AEF,AE所以PB⊥又E是PB的中點，所以AB=所以直角梯形ABCF的面積S=因為點E到平面ABCF的距離d=所以VE【變式2-1】6．（2023·高一課時練習）已知圓錐的軸截面SAB是等腰直角三角形，SA=2a，Q是底面圓O內(nèi)一點，且(1)求證：OD⊥(2)求三棱錐S?【答案】(1)證明見解析(2)a【分析】（1）根據(jù)空間中線線垂直，線面垂直的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系即可證明．（2）先通過空間中垂直關(guān)系證明AS⊥平面OCD【詳解】（1）∵SO⊥底面，AQ∴SO又∵AQ⊥OQ，SO∩OQ=O，SO?∴AQ⊥平面∵OD?平面SOQ∴AQ⊥又∵D是點O在SQ上的射影，即OD且AQ∩SQ=Q，AQ?平面SAQ∴OD⊥平面（2）∵圓錐的軸截面SAB是等腰直角三角形，C是AS中點，O是AB中點，∴OC又由(1)知，OD⊥平面∴OD且OC∩OD=O，OC?平面OCD∴AS⊥平面又∵SA∴VS?當且僅當OD=所以三棱錐S?OCD的體積最大值為【變式2-1】7.如圖，AB為⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，M為圓周上任意一點，AN⊥PM，N為垂足．(1)求證：AN⊥平面PBM.(2)若AQ⊥PB，垂足為Q，求證：NQ⊥PB.【證明】(1)∵AB為⊙O的直徑，∴AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM.又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM.又AN?平面PAM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，∴AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB?平面PBM，∴AN⊥PB.又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，∴PB⊥平面ANQ.又NQ?平面ANQ，∴PB⊥NQ.題型3線面垂直證明線線平行【方法總結(jié)】直線與平面垂直的性質(zhì)定理給出了判定兩條直線平行的另一種方法?！纠}3】（2022·高一課時練習）如圖所示，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M是AB上一點，N【答案】證明見解析【解析】根據(jù)正方體的性質(zhì)，易證AD1⊥平面A1DC，又因為MN【詳解】因為四邊形ADD1A又CD⊥平面ADD1A1所以CD⊥因為A1所以AD1⊥又MN⊥平面A所以MN∥【點睛】本題主要考查了線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，還考查了空間想象的能力，屬于基礎(chǔ)題.【變式3-1】1．（2020·高一課時練習）如圖，正方體A1B1C1D1求證：EF//【答案】證明見詳解.【分析】連接AB1，B1C，BD，B1D1，根據(jù)線面垂直的判定定理，證明AC⊥平面BDD1B1，推出【詳解】連接AB1，B1C，因為在正方體A1B1C1D1－ABCD所以DD又AC⊥BD，DD1∩BD=D，所以AC⊥平面BDD1同理可證：BD又AC∩B1C=C，AC?所以BD1⊥因為EF與異面直線AC、A1即EF⊥AC，又在正方體A1B1C1所以四邊形A1B1所以EF⊥因為AC∩B1C=C，AC?所以EF⊥平面AC因此EF//【點睛】本題主要考查證明線線平行，熟記線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理即可，屬于?？碱}型.【變式3-1】2．（2020·高一課時練習）如圖所示，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，E∈平面ABCD，【答案】見解析.【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得EF//【詳解】由長方體ABCD?A1AB∩AD=A，因為EF⊥平面ABCD，故EF【點睛】本題考查線面垂直的性質(zhì)即垂直于同一平面的兩條直線是平行的，屬于容易題.【變式3-1】3．（2023春·全國·高一專題練習）如圖（1），在梯形ABCD中，AD?//?BC且AD⊥CD，線段AD上有一點E，滿足CD=DE=1，AE=BC=2，現(xiàn)將△ABE，【答案】證明見解析【分析】在△BEC中，求得BE=2，結(jié)合勾股定理證得BE⊥EC，AB⊥BE，從而證得AB⊥平面BDE，再在Rt△EDC和△BDC【詳解】【證明】在Rt△EDC中，所以EC=2，在△BEC中，EC=2，BC由余弦定理得BE=所以EC2+同理可得，在△ABE中，AB=2在△ABD中，AB2因為BD∩BE=B，BD，BE?平面BDE在Rt△EDC中，在△BDC中，BD2因為ED∩BD=D，ED,BD?所以AB?//?【變式3-1】4．（2023春·全國·高一專題練習）已知空間幾何體ABCDE中，△ABC，△ECD是全等的正三角形，平面ABC⊥平面BCD，平面ECD(1)若BD=2BC(2)【證明】AE//【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由勾股定理逆定理得線線垂直，由面面垂直得線面垂直，再得線線垂直；（2）分別取BC，DC中點M，N，由面面垂直得線面垂直，再得線線平行，證得平行四邊形AMNE為平行四邊形后可得證結(jié)論．【詳解】（1）因為△ABC、△ECD是全等的正三角形，所以又因為BD=2BC=22因為平面ECD⊥平面BCD，且平面ECD∩平面BCD=CD，BC?所以BC⊥平面ECD，又因為DE?平面所以BC⊥（2）分別取BC，DC中點M，N，連接AM，EN，MN，因為△ABC是等邊三角形，所以AM⊥BC因為平面ABC⊥平面BCD，AM?平面ABC，所以AM⊥平面同理EN⊥平面BCD，且EN所以AM//EN，且所以四邊形AMNE是平行四邊形，所以AE//MN，又所以AE//【變式3-1】5．（2023·高一課時練習）如圖，已知正方體A1C．(1)求證：A1C⊥B1D1；(2)M，N分別為B1D1與C1D上的點，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求證：MN∥A1C．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】(1)線線垂直的思路是證明直線垂直于另一直線所在的平面.(2)直線與直線的平行，利用線面垂直的性質(zhì)垂直于同一平面的兩直線平行.【詳解】（1）如下圖，連接A1C1．因為CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1?平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1．因為四邊形A1B1C1D1是正方形，所以A1C1⊥B1D1．又因為CC1∩A1C1＝C1，所以B1D1⊥平面A1C1C．又因為A1C?平面A1C1C，所以B1D1⊥A1C．（2）如上圖，連接B1A，AD1．因為B1C1=AD，B1C1∥AD所以四邊形ADC1B1為平行四邊形，所以C1D∥AB1，因為MN⊥C1D，所以MN⊥AB1．又因為MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，所以MN⊥平面AB1D1．由（1）知A1C⊥B1D1．同理可得A1C⊥AB1．又因為AB1∩B1D1＝B1，所以A1C⊥平面AB1D1．所以A1C∥MN．故答案為：A1C⊥B1D1；MN∥A1C.題型4線面垂直證明線線垂直【方法總結(jié)】性質(zhì)定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，提供了“垂直”與“平行”關(guān)系轉(zhuǎn)化的依據(jù)。【例題4】（2023春·全國·高一專題練習）如圖，直三棱柱ABC?A1B【答案】證明見解析【分析】利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理求解即可.【詳解】因為直三棱柱ABC?所以BB1⊥平面ABC，并且所以BC⊥又因為BC⊥AB1，且AB所以BC⊥平面A又因為AB?平面A所以BC⊥【變式4-1】1．（2023春·全國·高一專題練習）如圖，已知四邊形ABCD和四邊形CDEF都是直角梯形，AB//DC，DC//EF，AB=5，DC=3，EF=1，∠【答案】證明見解析【分析】根據(jù)直角梯形中的垂直關(guān)系，由線面垂直的判定和性質(zhì)可證得CD⊥FN；根據(jù)長度關(guān)系證得△BCF【詳解】∵四邊形ABCD和四邊形CDEF都是直角梯形，AB//DC，DC∴CD⊥CB，CD⊥CF，CB∩CF=C又FN?平面CBF，∴∵AB=5，DC=3，EF∴CF=3∴△BCF是等邊三角形，又N為BC中點，∴又CB∩CD=C，CB,CD?∵AD?平面ABCD，【變式4-1】2．（2023·全國·高一專題練習）如圖所示，在三棱錐S?ABC中，∠SAB=∠SAC(1)證明：SC⊥(2)求三棱錐S?ABC的體積【答案】(1)證明見解析(2)125【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證得BC⊥平面SAC（2）計算出SA的長以及△ABC的面積，利用錐體的體積公式可求得三棱錐S【詳解】（1）證明：因為∠SAB=∠SAC=∠ACB∵AB∩AC=A，AB、AC?平面∵BC?平面ABC，∵BC⊥AC，SA∩AC=A，SA、AC∵SC?平面SAC，（2）解：∵AC=BC=5，∴△ABC的面積為S∵SA⊥AB，SB=55因為SA⊥平面ABC，因此，V【變式4-1】3．（2023·高一課時練習）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1(1)A1(2)A1C⊥【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1）在正方體ABCD?A1B1∵BD?平面ABCD，∴A又四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥又A1A∩AC=A，A1又A1C?平面A（2）與（1）中證明A1C⊥BD同理可證A1C，∴A1C⊥【變式4-1】4．（2020春·北京·高一統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PD⊥平面ABCD(1)證明：EF//（2）證明:AC⊥【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）證明EF//（2）通過證明PD⊥AC和AC⊥BD證明AC⊥【詳解】（1）∵底面ABCD為正方形，F(xiàn)為對角線AC與BD的交點，∴F為DB中點，∵E為棱PD的中點，∴EF∵PB?平面PBC，∴EF//（2）∵PD⊥平面ABCD，AC?平面∴PD∵底面ABCD為正方形，∴AC∵PD∴AC⊥平面∵PB?平面PDB，∴【點睛】本題考查線面平行的證明，考查利用線面垂直證明線線垂直，屬于基礎(chǔ)題.【變式4-1】5．（2023春·全國·高一專題練習）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AC=C(1)求證：BC⊥(2)求證：BC1【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）先由線面垂直的判定定理證明BC⊥平面AC（2）利用面面平行的判定定理先證明平面A1EC//【詳解】（1）∵AA1⊥底面ABC且BC∴A又∵AC⊥BC且AC∩A∴BC⊥平面又∵A1C∴（2）取A1B1的中點F因為E,F分別為AB,A1所以四邊形EBFA1是平行四邊形，所以因為FB?平面A1EC，A所以FB//平面A1EC，同理可得C又因為C1F∩BF=所以平面A1EC//又因為BC1?所以BC1//【變式4-1】6.（2023春·全國·高一專題練習）如圖所示，已知AB⊥平面BCD，M，N分別是AC，AD的中點，BC(1)求證：MN//平面BCD(2)求證：CD⊥【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】1）根據(jù)中位線定理，可得MN//CD，即可由線面平行的判定定理證明MN//（2）由已知推導(dǎo)出AB⊥CD，再由CD⊥BC，得CD⊥【詳解】（1）∵M，N分別是AC，AD∴MN∵MN?平面BCD，且CD?∴MN//平面（2）∵AB⊥平面BCD，M，N分別是AC，∴AB∵BC⊥CD，AB∴CD⊥平面∵BM?平面ABC，【變式4-1】7．（2023·高一課前預(yù)習）如圖，四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB求證：(1)BC⊥平面PAB(2)AE⊥【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用線面垂直的判定定理即可得證；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論及線面垂直的判定定理證得AE⊥平面PBC【詳解】（1）∵底面ABCD為矩形，∴BC⊥∵PA⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，∴又∵AB∩PA=A，∴BC⊥平面PAB（2）∵AE?平面PAB，BC⊥平面PAB，∴∵PA=AB，E是PB的中點，∴又∵PB∩BC=B，PB,BC?∵PC?平面PBC，∴AE【變式4-1】8．（2023·高一課時練習）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，又PA⊥(1)求證：AD⊥(2)設(shè)F是PD的中點，求證：CF∥平面PAE．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）由題意可得AE⊥BC，根據(jù)BC∥AD，推斷出AE⊥AD，又PA⊥AD，進而根據(jù)線面垂直的判定定理證出AD⊥平面PAE，最后利用線面垂直的性質(zhì)可得AD⊥PE；（2）取AD的中點G，易得FG∥PA，CG∥AE，即可證明平面CFG∥平面PAE，進而可得CF∥平面PAE．【詳解】（1）因為底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，且E為BC的中點，所以又BC∥AD，所以又PA⊥底面ABCD,AD?底面因為AE?平面PAE,PA?平面PAE,∵PE?平面PAE，所以（2）取AD的中點G，連接FG,∵G,F是中點，∴∵FG∥PA，F(xiàn)G?平面PAE，PA?平面PAE，∴FG∵CG∥AE，CG?平面PAE，AE?平面PAE，∴CG又FG?平面CFG,CG∴平面CFG∥平面PAE，∵CF?平面CFG，∴CF∥題型5勾股定理證明垂直【例題5】如圖，在底面為直角梯形的四棱錐P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝2eq\r(3)，BC＝6.求證：BD⊥平面PAC．【解析】∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA．∵∠BAD和∠ABC都是直角，∴tan∠ABD＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(3),3)，tan∠BAC＝eq\f(BC,AB)＝eq\r(3)，∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°.∴∠AEB＝90°，即BD⊥AC，又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．【變式5-1】1.如圖，在四面體A-BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，且EF＝eq\r(2).求證：BD⊥平面ACD.【證明】取CD的中點為G，連接EG，F(xiàn)G.又∵E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，∴FG∥BD，EG∥AC.∵AC＝BD＝2，則EG＝FG＝1.∵EF＝eq\r(2)，∴EF2＝EG2＋FG2，∴EG⊥FG，∴BD⊥EG.∵∠BDC＝90°，∴BD⊥CD.又EG∩CD＝G，∴BD⊥平面ACD.【變式5-1】2.在正方體中ABCD－A1B1C1D1中，P為DD1的中點，O為底面ABCD的中心．求證：B1O⊥平面PAC．【解析】如圖所示，連接AB1、CB1、B1D1、PB1、PO.設(shè)AB＝a，則AB1＝CB1＝B1D1＝eq\r(2)a，AO＝OC＝eq\f(\r(2),2)a，∴B1O⊥AC．∵B1O2＝OB2＋BBeq\o\al(2,1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2＋a2＝eq\f(3,2)a2，PBeq\o\al(2,1)＝PDeq\o\al(2,1)＋B1Deq\o\al(2,1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a))2＋(eq\r(2)a)2＝eq\f(9,4)a2，OP2＝PD2＋DO2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2＝eq\f(3,4)a2，∴B1O2＋OP2＝PBeq\o\al(2,1)，∴B1O⊥OP.又PO∩AC＝O，∴B1O⊥平面PAC．題型6垂直小題【方法總結(jié)】判定定理條件中的“兩條相交直線”是關(guān)鍵性詞語，此處強調(diào)“相交”，若兩條直線平行，則直線與平面不一定垂直?！纠}6】如圖已知四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥面ABCD，則圖中共有直角三角形的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4【答案】D【解析】∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AD，又∵ABCD為矩形，∴BC⊥AB，CD⊥AD，又PA⊥BC，PA⊥CD，PA∩AB＝A，PA∩AD＝A，∴BC⊥面PAB，CD⊥面PAD，∴BC⊥PB，CD⊥PD，∴直角三角形為：Rt△PAB，Rt△PAD，Rt△PBC，Rt△PDC共4個．【變式6-1】1.如圖所示，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上異于A、B的點，則△PAB、△PAC、△PBC、△ABC中，直角三角形的個數(shù)是________個.【答案】4【解析】∵PA⊥⊙O所在的平面，∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，∴△PAB、△PAC為直角三角形．又∵AB為⊙O的直徑，∴AC⊥BC，∴△ABC為直角三角形．又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，∴△PBC為直角三角形．【變式6-1】2.如圖所示，已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一個點Q滿足PQ⊥QD，則a的值等于________.【答案】2【解析】∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QD，又∵PQ⊥QD，PA∩PQ＝P，∴QD⊥平面PAQ．∴AQ⊥QD，即Q在以AD為直徑的圓上，當圓與BC相切時，點Q只有一個，故BC＝2AB＝2．【變式6-1】3.已知三棱錐S－ABC的各頂點都在一個半徑為r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC＝eq\r(2)r，則球的體積與三棱錐體積之比是()A．π B．2πC．3π D．4π【答案】D【解析】此三棱錐的高為球的半徑，ABC所在大圓面積為πr2，三棱錐的底面易知為等腰直角三角形．腰長為eq\r(2)r，所以三棱錐底面面積為eq\f(1,2)(eq\r(2r))2＝r2，∴球體積與三棱錐體積之比為4π，故選D．【變式6-1】4．（2022春·浙江·高一期中）如圖，正方體ABCD?A1A．MB⊥AB．MB⊥平面A1C1C．MB∥CD．MB⊥B1C【答案】D【分析】由正方體的性質(zhì)知BD=BA1，M是A1D的中點可證出MB⊥A1D，MB⊥【詳解】因為正方體中BD=BA所以BM⊥A1D，又因為B1D1//BD，BD因為AD1∩因為A1B//D1C,所以A1B//平面B1D1C所以平面A1DB//平面B1D所以MB∥平面B1若MB⊥平面A1C1D，則MB又BD⊥AC，BD∩BM=B，所以又B1C//A1D，所以AC⊥故選：D【變式6-1】5．（多選）（2023·全國·高一專題練習）如圖，在長方體ABCD?A1B1A．直線B1M與BN是異面直線 B．ADC．BN∥平面ADM D．【答案】AB【分析】由異面直線的定義可判斷A；由該幾何體是長方體可判斷B；取DD1的中點為Q，連接AQ，構(gòu)造平行四邊形即可判斷C；通過AD∥B1【詳解】由B1M與平面BCC1B1相交于點B1，且B故B1M與根據(jù)題意知ABCD?A1B1取DD1的中點為Q，連接AQ，QN∥AB且QN=又AQ與平面ADM相交于點A，故AQ與平面ADM不平行，即BN與平面ADM不平行，故C錯誤；因為AD∥B1C1，且B1C故選：AB．【變式6-1】6．（多選）（2023·全國·高一專題練習）已知正方體ABCD?A1A．AE//面A1BC．A1E⊥AD【答案】BC【分析】AE與平面A1BB1相交于點A，判斷選項A，體對角線與異面的面對角線相互垂直，判斷選項B，等邊三角形A1BC【詳解】AE與平面A1BB∵AC⊥DD∴AC⊥BD1∴AC⊥連接A1B,∵E為B∴A1E⊥B由于A1B1⊥B1C,故A故選：BC.題型7探索性問題【例題7】（2023春·全國·高一專題練習）已知正方體ABCD?A1B1C1(1)求證：EF//平面B(2)在線段BD上是否存在點H，使得EH⊥平面BC1(3)求EF到平面BC【答案】(1)證明見解析(2)存在，BH(3)3【分析】（1）由平行四邊形和三角形中位線性質(zhì)可證得EF//（2）取BD中點H，由等腰三角形三線合一性質(zhì)和勾股定理可證得EH⊥BD，EH⊥C1H，由線面垂直的判定可得（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)論可知所求距離為EH的長，由（2）可知EH=【詳解】（1）連接AB∵B1C1//BC//AD，∵E,F分別為AA1∵C1D?平面BC1D，EF（2）取BD中點為H，∵ED=BE∴EH⊥BD，C∴EH=B又C1E=22∵BD∩C1H=H，BD,C則線段BD上存在點H，H為BD中點，使得EH⊥平面BC1（3）∵EF//平面BC1D，∴EF到平面由（2）知：當H為BD中點時，EH⊥平面BC1D，則點E到平面又EH=3，∴直線EF到平面BC【變式7-1】1．（2023春·全國·高一專題練習）如圖，在四棱錐A－BCDE中，四邊形BCDE為菱形，AB=AD=3(1）證明：DF∥平面CEG．(2)點H為線段BD上一點，設(shè)BH=【答案】(1)證明見解析；(2)0.【分析】（1）取AG的中點Ⅰ，記BD∩CE=O，連接FⅠ，DⅠ，GO，由三角形中位線定理可得FI∥CG，（2）由已知可得△ABC≌△ABE，則GC＝GE，得OC⊥OG，結(jié)合已知可得OC⊥平面ABD，則OC⊥AG，利用余弦定理求出GO，再由勾股定理的逆定理可得BG⊥OG，由線面垂直的判定可得AG⊥平面CEG，從而可得H與B重合，進而可求得結(jié)果.【詳解】(1)證明：如圖，取AG的中點Ⅰ，記BD∩在△ACG中，F(xiàn)，Ⅰ分別為AC，AG的中點，所以FI∥CG，同理，在△BDⅠ中，有GO∥DI，因為CG,GO?平面IFD，F(xiàn)I所以CG∥平面IFD，GO∥平面IFD，因為CG∩GO=G，所以平面GCO∥平面IFD，又DF?所以DF∥平面CEG．（2）解：因為底面BCDE是菱形，所以O(shè)C⊥OD．因為AE＝AC，BC＝BE，所以△ABC≌△ABE，則GC＝GE，又因為點O是EC的中點，所以O(shè)C⊥OG．因為OG∩DO=所以O(shè)C⊥平面ABD，因為AG?所以O(shè)C⊥AG．因為AB=AD=3所以cos∠ABD則OG=則OG又因為OC∩OG=所以AG⊥平面CEG．若AH⊥平面CEG，則H與B重合．故t=0【變式7-1】2．（2022春·湖北武漢·高一校聯(lián)考期末）若圖，三棱柱ABC?A1B1C1的側(cè)面BCC1B1是平行四邊形，B(1)求證：EF//平面A(2)在線段AB上是否存在點P，使得BC1⊥平面EFP【答案】(1)證明見解析(2)存在，AP【分析】（1）取A1C1中點G，連接FG、CG，證明出四邊形FECG（2）取AB的中點P，連接PE、PF，證明出平面EFP//平面ACC1A1，BC1【詳解】(1)證明：取A1C1中點G，連接FG因為F、G分別是A1B1所以FG//B1在平行四邊形BCC1B1中，因為E是BC的中點，所以EC//B1所以EC//FG且EC=FG，所以四邊形又因為FE?平面A1C1CA，GC?平面（2）解：當點P為線段AB的中點時，BC1⊥取AB的中點P，連接PE、PF.因為BC1⊥CC1，BC因為P、E分別為AB、BC的中點，則PE//∵PE?平面ACC1A1，AC?又因為EF//平面ACC1A1，EF所以，BC1⊥故當點P是線段AB的中點時，BC1⊥平面EFP【變式7-1】3．（2023春·全國·高一專題練習）如圖，四邊形ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分別是AB，PC的中點．(1)求證：MN∥(2)試確定當△PAD中PA與AD滿足什么關(guān)系時，MN⊥平面PCD？并說明理由．【答案】(1)證明見詳解(2)當PA=【分析】（1）根據(jù)題意可證EN∥AM且EN=AM，則AMNE為平行四邊形，即AE∥MN，結(jié)合線面平行的判定定理說明；（2）根據(jù)線面垂直的判定和性質(zhì)均可得MN⊥平面PCD?AE【詳解】（1）取PD的中點E，連接AE∵E,N分別為PD,PC的