人教版八年級數(shù)學(xué)上冊-全冊全套試卷測試卷附答案

人教版八年級數(shù)學(xué)上冊全冊全套試卷測試卷附答案一、八年級數(shù)學(xué)全等三角形解答題壓軸題（難）1．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點D（m，m+8）在第二象限，點B（0，n）在y軸正半軸上，作DA⊥x軸，垂足為A，已知OA比OB的值大2，四邊形AOBD的面積為12．（1）求m和n的值．（2）如圖2，C為AO的中點，DC與AB相交于點E，AF⊥BD，垂足為F，求證：AF＝DE．（3）如圖3，點G在射線AD上，且GA＝GB，H為GB延長線上一點，作∠HAN交y軸于點N，且∠HAN＝∠HBO，求NB﹣HB的值．【答案】（1）（2）詳見解析；（3）NB﹣FB＝4（是定值），即當(dāng)點H在GB的延長線上運動時，NB﹣HB的值不會發(fā)生變化．【解析】【分析】（1）由點D，點B的坐標(biāo)和四邊形AOBD的面積為12，可列方程組，解方程組即可；（2）由（1）可知，AD＝OA＝4，OB＝2，并可求出AB＝BD＝，利用SAS可證△DAC≌△AOB，并可得∠AEC＝90°，利用三角形面積公式即可求證；（3）取OC＝OB，連接AC，根據(jù)對稱性可得∠ABC＝∠ACB，AB＝AC，證明△ABH≌△CAN，即可得到結(jié)論.【詳解】解：（1）由題意解得；（2）如圖2中，由（1）可知，A（﹣4，0），B（0，2），D（﹣4，4），∴AD＝OA＝4，OB＝2，∴由勾股定理可得：AB＝BD＝，∵AC＝OC＝2，∴AC＝OB，∵∠DAC＝∠AOB＝90°，AD＝OA，∴△DAC≌△AOB（SAS），∴∠ADC＝∠BAO，∵∠ADC+∠ACD＝90°，∴∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠AEC＝90°，∵AF⊥BD，DE⊥AB，∴S△ADB＝?AB?AE＝?BD?AF，∵AB＝BD，∴DE＝AF．（3）解：如圖，取OC＝OB，連接AC，根據(jù)對稱性可得∠ABC＝∠ACB，AB＝AC，∵AG＝BG，∴∠GAB＝∠GBA，∵G為射線AD上的一點，∴AG∥y軸，∴∠GAB＝∠ABC，∴∠ACB＝∠EBA，∴180°﹣∠GBA＝180°﹣∠ACB，即∠ABG＝∠ACN，∵∠GAN＝∠GBO，∴∠AGB＝∠ANC，在△ABG與△ACN中，，∴△ABH≌△ACN（AAS），∴BF＝CN，∴NB﹣HB＝NB﹣CN＝BC＝2OB，∵OB＝2∴NB﹣FB＝2×2＝4（是定值），即當(dāng)點H在GB的延長線上運動時，NB﹣HB的值不會發(fā)生變化．【點睛】本題屬于三角形綜合題，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是相結(jié)合添加常用輔助線，構(gòu)造圖形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．2．（1）問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問題的方法是延長FD到點G，使DG＝BE，連結(jié)AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；（2）探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；（3）結(jié)論應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等．接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進，1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E，F(xiàn)處，且兩艦艇與指揮中心O之間夾角∠EOF=70°，試求此時兩艦艇之間的距離．（4）能力提高：如圖4，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點M，N在邊BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，試求出MN的長．【答案】（1）EF＝BE＋FD；（2）EF＝BE＋FD仍然成立；（3）210；（4）MN＝．【解析】試題分析：（1）由△AEF≌△AGF，得EF=GF，又由BE=DG，得EF=GF=DF+DG=DF+BE；（2）延長FD到點G，使DG=BE，連接AG，證明△ABE≌△ADG，再證△AEF≌△AGF，得EF=FG，即可得到答案；（3）連接EF，延長AE，BF相交于點C，根據(jù)探索延伸可得EF=AE+FB，即可計算出EF的長度；（4）在△ABC外側(cè)作∠CAD=∠BAM，截取AD=AM，連接CD，DN，證明△ACD≌△ABM，得到CD=BM，再證MN=ND，則求出ND的長度，即可得到答案．解：（1）由△AEF≌△AGF，得EF=GF，又由BE=DG，得EF=GF=DF+DG=DF+BE；（2）EF＝BE＋FD仍然成立．證明：如答圖1，延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG，∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADG＋∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADG，在△ABE與△ADG中，AB＝AD，∠B＝∠ADG，BE＝DG，∴△ABE≌△ADG．∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG．又∵∠EAF＝∠BAD，∴∠FAG＝∠FAD＋∠DAG＝∠FAD＋∠BAE＝∠BAD－∠EAF＝∠BAD－∠BAD＝∠BAD，∴∠EAF＝∠GAF．在△AEF與△AGF中，AE=AG，∠EAF＝∠GAF，AF=AF，∴△AEF≌△AGF．∴EF＝FG．又∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF．∴EF＝BE＋FD．（3）如答圖2，連接EF，延長AE，BF相交于點C，在四邊形AOBC中，∵∠AOB＝30°＋90°＋20°＝140°，∠FOE＝70°＝∠AOB，又∵OA＝OB，∠OAC＋∠OBC＝60°＋120°＝180°，符合探索延伸中的條件，∴結(jié)論EF＝AE＋FB成立．∴EF＝AE＋FB＝1.5×（60＋80）＝210（海里）.答：此時兩艦艇之間的距離為210海里；（4）如答圖3，在△ABC外側(cè)作∠CAD=∠BAM，截取AD=AM，連接CD，DN，在△ACD與△ABM中，AC=AB，∠CAD=∠BAM，AD=AM，則△ACD≌△ABM，∴CD=BM=1，∠ACD=∠ABM=45°，∵∠NAD=∠NAC+∠CAD=∠NAC+∠BAM=∠BAC-∠MAN=45°，∴∠MAD=∠MAN+∠NAD=90°=2∠NAD，又∵AM=AD，∠NCD+∠MAD=（∠ACD+∠ACB）+90°=180°，∴對于四邊形AMCD符合探索延伸，則ND=MN，∵∠NCD=90°，CD=1，CN=3，∴MN=ND=．3．探究與發(fā)現(xiàn)：如圖（1）所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品一圓規(guī)，我們，不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖（1）觀察“規(guī)形圖（1）”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）請你直接利用以上結(jié)論，解決以下問題：①如圖（2），把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點B、C，若∠A＝40°，則∠ABX+∠ACX＝°．②如圖（3），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度數(shù)．【答案】（1）∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由見解析；（2）①50；②∠DCE＝85°．【解析】【分析】（1）首先連接AD并延長至點F，然后根據(jù)外角的性質(zhì)，即可判斷出∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；（2）①由（1）可得∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X，然后根據(jù)∠A＝40°，∠X＝90°，即可求解；（3）②由∠A＝40°，∠DBE＝130°，求出∠ADE+∠AEB的值，然后根據(jù)∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC，求出∠DCE的度數(shù)即可.【詳解】（1）如圖，∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由是：過點A、D作射線AF，∵∠FDC＝∠DAC+∠C，∠BDF＝∠B+∠BAD，∴∠FDC+∠BDF＝∠DAC+∠BAD+∠C+∠B，即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；（2）①如圖（2），∵∠X＝90°，由（1）知：∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X＝90°，∵∠A＝40°，∴∠ABX+∠ACX＝50°，故答案為：50；②如圖（3），∵∠A＝40°，∠DBE＝130°，∴∠ADE+∠AEB＝130°﹣40°＝90°，∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，∴∠ADC＝∠ADB，∠AEC＝∠AEB，∴∠ADC+∠AEC＝＝45°，∴∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC＝40°+45°＝85°．【點睛】本題主要考查了三角形外角性質(zhì)以及角平分線的定義的運用，熟知三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵.4．已知點P是線段MN上一動點，分別以PM，PN為一邊，在MN的同側(cè)作△APM，△BPN，并連接BM，AN．（Ⅰ）如圖1，當(dāng)PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°時，試猜想BM，AN之間的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證明你的猜想；（Ⅱ）如圖2，當(dāng)△APM，△BPN都是等邊三角形時，（Ⅰ）中BM，AN之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請證明你的結(jié)論；若不成立，試說明理由．（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，連接AB得到圖3，當(dāng)PN＝2PM時，求∠PAB度數(shù)．【答案】（1）BM＝AN，BM⊥AN．（2）結(jié)論成立.（3）90°．【解析】【分析】(1)根據(jù)已知條件可證△MBP≌△ANP，得出MB＝AN，∠PAN＝∠PMB，再延長MB交AN于點C，得出,因此有BM⊥AN；(2)根據(jù)所給條件可證△MPB≌△APN，得出結(jié)論BM＝AN；(3)取PB的中點C，連接AC，AB，通過已知條件推出△APC為等邊三角形，∠PAC＝∠PCA＝60°，再由CA＝CB，進一步得出∠PAB的度數(shù).【詳解】解：（Ⅰ）結(jié)論：BM＝AN，BM⊥AN．理由：如圖1中，∵MP＝AP，∠APM＝∠BPN＝90°，PB＝PN，∴△MBP≌△ANP（SAS），∴MB＝AN．延長MB交AN于點C．∵△MBP≌△ANP，∴∠PAN＝∠PMB，∵∠PAN+∠PNA＝90°，∴∠PMB+∠PNA＝90°，∴∠MCN＝180°﹣∠PMB﹣∠PNA＝90°，∴BM⊥AN．（Ⅱ）結(jié)論成立理由：如圖2中，∵△APM，△BPN，都是等邊三角形∴∠APM＝∠BPN＝60°∴∠MPB＝∠APN＝120°，又∵PM＝PA，PB＝PN，∴△MPB≌△APN（SAS）∴MB＝AN．（Ⅲ）如圖3中，取PB的中點C，連接AC，AB．∵△APM，△PBN都是等邊三角形∴∠APM＝∠BPN＝60°，PB＝PN∵點C是PB的中點，且PN＝2PM，∴2PC＝2PA＝2PM＝PB＝PN，∵∠APC＝60°，∴△APC為等邊三角形，∴∠PAC＝∠PCA＝60°，又∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠ABC＝30°，∴∠PAB＝∠PAC+∠CAB＝90°．【點睛】本題是一道關(guān)于全等三角形的綜合性題目，充分考查了學(xué)生對全等三角形的判定定理及其性質(zhì)的應(yīng)用的能力，此類題目常常需要數(shù)形結(jié)合，借助輔助線才得以解決，因此，作出合理正確的輔助線是解題的關(guān)鍵.5．在平面直角坐標(biāo)系中，點A（0，5），B（12，0），在y軸負(fù)半軸上取點E，使OA＝EO，作∠CEF＝∠AEB，直線CO交BA的延長線于點D．（1）根據(jù)題意，可求得OE＝；（2）求證：△ADO≌△ECO；（3）動點P從E出發(fā)沿E﹣O﹣B路線運動速度為每秒1個單位，到B點處停止運動；動點Q從B出發(fā)沿B﹣O﹣E運動速度為每秒3個單位，到E點處停止運動．二者同時開始運動，都要到達相應(yīng)的終點才能停止．在某時刻，作PM⊥CD于點M，QN⊥CD于點N．問兩動點運動多長時間△OPM與△OQN全等？【答案】（1）5；（2）見解析；（3）當(dāng)兩動點運動時間為、、10秒時，△OPM與△OQN全等【解析】【分析】（1）根據(jù)OA=OE即可解決問題．（2）根據(jù)ASA證明三角形全等即可解決問題．（2）設(shè)運動的時間為t秒，分三種情況討論：當(dāng)點P、Q分別在y軸、x軸上時；當(dāng)點P、Q都在y軸上時；當(dāng)點P在x軸上，Q在y軸時若二者都沒有提前停止，當(dāng)點Q提前停止時；列方程即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵A（0，5），∴OE＝OA＝5，故答案為5．（2）如圖1中，∵OE＝OA，OB⊥AE，∴BA＝BE，∴∠BAO＝∠BEO，∵∠CEF＝∠AEB，∴∠CEF＝∠BAO，∴∠CEO＝∠DAO，在△ADO與△ECO中，，∴△ADO≌△ECO（ASA）．（2）設(shè)運動的時間為t秒，當(dāng)PO＝QO時，易證△OPM≌△OQN．分三種情況討論：①當(dāng)點P、Q分別在y軸、x軸上時PO＝QO得：5﹣t＝12﹣3t，解得t＝（秒），②當(dāng)點P、Q都在y軸上時PO＝QO得：5﹣t＝3t﹣12，解得t＝（秒），③當(dāng)點P在x軸上，Q在y軸上時，若二者都沒有提前停止，則PO＝QO得：t﹣5＝3t﹣12，解得t＝（秒）不合題意；當(dāng)點Q運動到點E提前停止時，有t﹣5＝5，解得t＝10（秒），綜上所述：當(dāng)兩動點運動時間為、、10秒時，△OPM與△OQN全等．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．二、八年級數(shù)學(xué)軸對稱解答題壓軸題（難）6．（1）如圖①，D是等邊△ABC的邊BA上一動點（點D與點B不重合），連接DC，以DC為邊，在BC上方作等邊△DCF，連接AF，你能發(fā)現(xiàn)AF與BD之間的數(shù)量關(guān)系嗎？并證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；（2）如圖②，當(dāng)動點D運動至等邊△ABC邊BA的延長線時，其他作法與（1）相同，猜想AF與BD在（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；（3）Ⅰ.如圖③，當(dāng)動點D在等邊△ABC邊BA上運動時（點D與B不重合），連接DC，以DC為邊在BC上方和下方分別作等邊△DCF和等邊△DCF′，連接AF，BF′，探究AF，BF′與AB有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的探究的結(jié)論；Ⅱ．如圖④，當(dāng)動點D在等邊△ABC的邊BA的延長線上運動時，其他作法與圖③相同，Ⅰ中的結(jié)論是否成立？若不成立，是否有新的結(jié)論？并證明你得出的結(jié)論．【答案】（1）AF=BD，理由見解析；（2）AF與BD在（1）中的結(jié)論成立，理由見解析；（3）Ⅰ.AF+BF′=AB，理由見解析，Ⅱ．Ⅰ中的結(jié)論不成立，新的結(jié)論是AF=AB+BF′，理由見解析．【解析】【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得BC=AC，∠BCA=60°，DC=CF，∠DCF=60°，從而得∠BCD=∠ACF，根據(jù)SAS證明△BCD≌△ACF，進而即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)SAS證明△BCD≌△ACF，進而即可得到結(jié)論；（3）Ⅰ．易證△BCD≌△ACF（SAS），△BCF′≌△ACD（SAS），進而即可得到結(jié)論；Ⅱ．證明△BCF′≌△ACD，結(jié)合AF=BD，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）結(jié)論：AF=BD，理由如下：如圖1中，∵△ABC是等邊三角形，∴BC=AC，∠BCA=60°，同理知，DC=CF，∠DCF=60°，∴∠BCA-∠DCA=∠DCF-∠DCA，即：∠BCD=∠ACF，在△BCD和△ACF中，∵，∴△BCD≌△ACF（SAS），∴BD=AF；（2）AF與BD在（1）中的結(jié)論成立，理由如下：如圖2中，∵△ABC是等邊三角形，∴BC=AC，∠BCA=60°，同理知，DC=CF，∠DCF=60°，∴∠BCA+∠DCA=∠DCF+∠DCA，即∠BCD=∠ACF，在△BCD和△ACF中，∵，∴△BCD≌△ACF（SAS），∴BD=AF；（3）Ⅰ．AF+BF′=AB，理由如下：由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），則BD=AF；同理：△BCF′≌△ACD（SAS），則BF′=AD，∴AF+BF′=BD+AD=AB；Ⅱ．Ⅰ中的結(jié)論不成立，新的結(jié)論是AF=AB+BF′，理由如下：同理可得：，，在△BCF′和△ACD中，，∴△BCF′≌△ACD（SAS），∴BF′=AD，又由（2）知，AF=BD，∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′，即AF=AB+BF′．【點睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)定理，三角形全等的判定和性質(zhì)定理，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)定理，是解題的關(guān)鍵．7．在等邊△ABC中，點D在BC邊上，點E在AC的延長線上，DE=DA(如圖1)．(1)求證：∠BAD=∠EDC；(2)若點E關(guān)于直線BC的對稱點為M(如圖2)，連接DM，AM．求證：DA=AM．【答案】(1)見解析；(2)見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得出∠BAC=∠ACB=60°，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和和外角性質(zhì)，進行計算即可.（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，可得DM=DA，然后結(jié)合（1）可得∠MDC=∠BAD，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和，求出∠ADM=60°即可.【詳解】解：(1)如圖1，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，∴∠BAD=60°﹣∠DAE，∠EDC=60°﹣∠E，又∵DE=DA，∴∠E=∠DAE，∴∠BAD=∠EDC．(2)由軸對稱可得，DM=DE，∠EDC=∠MDC，∵DE=DA，∴DM=DA，由(1)可得，∠BAD=∠EDC，∴∠MDC=∠BAD，∵△ABD中，∠BAD+∠ADB=180°﹣∠B=120°，∴∠MDC+∠ADB=120°，∴∠ADM=60°，∴△ADM是等邊三角形，∴AD=AM．【點睛】本題主要考察了軸對稱和等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握這些性質(zhì).8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣3，0），點B是y軸正半軸上一動點，點C、D在x正半軸上．（1）如圖，若∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，BD、CE是△ABC的兩條角平分線，且BD、CE交于點F，直接寫出CF的長_____．（2）如圖，△ABD是等邊三角形，以線段BC為邊在第一象限內(nèi)作等邊△BCQ，連接QD并延長，交y軸于點P，當(dāng)點C運動到什么位置時，滿足PD＝DC？請求出點C的坐標(biāo)；（3）如圖，以AB為邊在AB的下方作等邊△ABP，點B在y軸上運動時，求OP的最小值．【答案】（1）6；（2）C的坐標(biāo)為（12，0）；（3）.【解析】【分析】（1）作∠DCH＝10°，CH交BD的延長線于H，分別證明△OBD≌△HCD和△AOB≌△FHC，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等解答；（2）證明△CBA≌△QBD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BDQ＝∠BAC＝60°，求出CD，得到答案；（3）以O(shè)A為對稱軸作等邊△ADE，連接EP，并延長EP交x軸于點F．證明點P在直線EF上運動，根據(jù)垂線段最短解答．【詳解】解：（1）作∠DCH＝10°，CH交BD的延長線于H，∵∠BAO＝60°，∴∠ABO＝30°，∴AB＝2OA＝6，∵∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，∴∠ABC＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∵BD是△ABC的角平分線，∴∠ABD＝∠CBD＝40°，∴∠CBD＝∠DCB，∠OBD＝40°﹣30°＝10°，∴DB＝DC，在△OBD和△HCD中，∴△OBD≌△HCD（ASA），∴OB＝HC，在△AOB和△FHC中，∴△AOB≌△FHC（ASA），∴CF=AB=6，故答案為6；（2）∵△ABD和△BCQ是等邊三角形，∴∠ABD＝∠CBQ＝60°，∴∠ABC＝∠DBQ，在△CBA和△QBD中，∴△CBA≌△QBD（SAS），∴∠BDQ＝∠BAC＝60°，∴∠PDO＝60°，∴PD＝2DO＝6，∵PD＝DC，∴DC＝9，即OC＝OD+CD＝12，∴點C的坐標(biāo)為（12，0）；（3）如圖3，以O(shè)A為對稱軸作等邊△ADE，連接EP，并延長EP交x軸于點F．由（2）得，△AEP≌△ADB，∴∠AEP＝∠ADB＝120°，∴∠OEF＝60°，∴OF＝OA＝3，∴點P在直線EF上運動，當(dāng)OP⊥EF時，OP最小，∴OP＝OF＝則OP的最小值為．【點睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．9．如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D為BC的中點，AB=DE，BE∥AC．（1）求證：△ABC≌△DEB；（2）連結(jié)AD、AE、CE，如圖2．①求證：CE是∠ACB的角平分線；②請判斷△ABE是什么特殊形狀的三角形，并說明理由．【答案】（1）詳見解析；（2）①詳見解析；②△ABE是等腰三角形，理由詳見解析.【解析】【分析】（1）由AC//BE，∠ACB=90°可得∠DBE=90°，由AC=BC，D是BC中點可得AC=BD，利用HL即可證明△ABC≌△DEB；（2）①由（1）得BE=BC，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠BCE=45°，進而可得∠ACE=45°，即可得答案；②根據(jù)SAS可證明△ACE≌△DCE，可得AE=DE，由AB=DE可得AE=AB即可證明△ABE是等腰三角形.【詳解】（1）∵∠ACB=90°，BE∥AC∴∠CBE=90°∴△ABC和△DEB都是直角三角形∵AC=BC，點D為BC的中點∴AC=BD又∵AB=DE∴△ABC≌△DEB（H.L.）（2）①由（1）得：△ABC≌△DEB∴BC=EB又∵∠CBE=90°∴∠BCE=45°∴∠ACE=90°-45°=45°∴∠BCE=∠ACE∴CE是∠ACB的角平分線②△ABE是等腰三角形，理由如下：在△ACE和△DCE中∴△ACE≌△DCE（SAS）.∴AE=DE又∵AB=DE∴AE=AB∴△ABE是等腰三角形【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的判斷與性質(zhì)，熟練掌握判定定理是解題關(guān)鍵.10．如果一個三角形能被一條線段割成兩個等腰三角形，那么稱這條線段為這個三角形的特異線，稱這個三角形為特異三角形．（1）如圖1，是等腰銳角三角形，，若的角平分線交于點，且是的一條特異線，則度．（2）如圖2，中，，線段的垂直平分線交于點，交于點，求證：是的一條特異線；（3）如圖3，若是特異三角形，，為鈍角，不寫過程，直接寫出所有可能的的度數(shù)．【答案】（1）72；（2）證明見解析；（3）∠B度數(shù)為：135°、112.5°或140°.【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出∠C=∠ABC=∠BDC=2∠A，據(jù)此進一步利用三角形內(nèi)角和定理列出方程求解即可；（2）通過證明△ABE與△AEC為等腰三角形求解即可；（3）根據(jù)題意分當(dāng)BD為特異線、AD為特異線以及CD為特異線三種情況分類討論即可.【詳解】（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC，∵BD是△ABC的一條特異線，∴△ABD與△BCD為等腰三角形，∴AD=BD=BC，∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A，設(shè)∠A=x，則∠C=∠ABC=∠BDC=2x，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，即：x+2x+2x=180°，∴x=36°，∴∠BDC=72°，故答案為：72；（2）∵DE是線段AC的垂直平分線，∴EA=EC，∴△EAC為等腰三角形，∴∠EAC=∠C，∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，∵∠B=2∠C，∴∠AEB=∠B，∴△EAB為等腰三角形，∴AE是△ABC的一條特異線；（3）如圖3，當(dāng)BD是特異線時，如果AB=BD=DC，則∠ABC=∠ABD+∠DBC=120°+15°=135°；如果AD=AC，DB=DC，則∠ABC=∠ABD+∠DBC=75°+37.5°=112.5°；如果AD=DB，DC=DB，則∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+60°=90°，不符合題意，舍去；如圖4，當(dāng)AD是特異線時，AB=BD，AD=DC，則：∠ABC=180°?20°?20°=140°；當(dāng)CD為特異線時，不符合題意；綜上所述，∠B度數(shù)為：135°、112.5°或140°.【點睛】本題主要考查了等腰三角形性質(zhì)的綜合運用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.三、八年級數(shù)學(xué)整式的乘法與因式分解解答題壓軸題（難）11．（閱讀材料）因式分解：．解：將“”看成整體，令，則原式．再將“”還原，原式．上述解題用到的是“整體思想”，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法.（問題解決）（1）因式分解：；（2）因式分解：；（3）證明：若為正整數(shù)，則代數(shù)式的值一定是某個整數(shù)的平方．【答案】（1）．（2）；（3）見解析.【解析】【分析】（1）把（x-y）看作一個整體，直接利用十字相乘法因式分解即可；（2）把a+b看作一個整體，去括號后利用完全平方公式即可將原式因式分解；（3）將原式轉(zhuǎn)化為，進一步整理為（n2+3n+1）2，根據(jù)n為正整數(shù)得到n2+3n+1也為正整數(shù)，從而說明原式是整數(shù)的平方．【詳解】（1）；（2）；（3）原式．∵為正整數(shù)，∴為正整數(shù)．∴代數(shù)的值一定是某個整數(shù)的平方．【點睛】本題考查因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)讀題，理解題意，掌握整體思想解決問題的方法．12．一個四位數(shù)，記千位上和百位上的數(shù)字之和為，十位上和個位上的數(shù)字之和為，如果，那么稱這個四位數(shù)為“和平數(shù)”．例如：1423，，，因為，所以1423是“和平數(shù)”．（1）直接寫出：最小的“和平數(shù)”是，最大的“和平數(shù)”是；（2）將一個“和平數(shù)”的個位上與十位上的數(shù)字交換位置，同時，將百位上與千位上的數(shù)字交換位置，稱交換前后的這兩個“和平數(shù)”為一組“相關(guān)和平數(shù)”．例如：1423與4132為一組“相關(guān)和平數(shù)”求證：任意的一組“相關(guān)和平數(shù)”之和是1111的倍數(shù)．（3）求個位上的數(shù)字是千位上的數(shù)字的兩倍且百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和是12的倍數(shù)的所有“和平數(shù)”；【答案】（1）1001，9999；（2）見詳解；（3）2754和4848【解析】【分析】（1）根據(jù)和平數(shù)的定義，即可得到結(jié)論；（2）設(shè)任意的兩個“相關(guān)和平數(shù)”為，（a，b，c，d分別取0，1，2，…，9且a≠0，b≠0），于是得到=1100（a+b）+11（c+d）=1111（a+b），即可得到結(jié)論．（3）設(shè)這個“和平數(shù)”為，于是得到d=2a，a+b=c+d，b+c=12k，求得2c+a=12k，即a=2、4，6，8，d=4、8、12（舍去）、16（舍去）；①、當(dāng)a=2，d=4時，2（c+1）=12k，得到c=5則b=7；②、當(dāng)a=4，d=8時，得到c=4則b=8，于是得到結(jié)論；【詳解】解：（1）由題意得，最小的“和平數(shù)”1001，最大的“和平數(shù)”9999，故答案為：1001，9999；（2）設(shè)任意的兩個“相關(guān)和平數(shù)”為，（a，b，c，d分別取0，1，2，…，9且a≠0，b≠0），則=1100（a+b）+11（c+d）=1111（a+b）；即兩個“相關(guān)和平數(shù)”之和是1111的倍數(shù)．（3）設(shè)這個“和平數(shù)”為，則d=2a，a+b=c+d，b+c=12k，∴2c+a=12k，即a=2、4，6，8，d=4、8、12（舍去）、16（舍去），①當(dāng)a=2，d=4時，2（c+1）=12k，可知c+1=6k且a+b=c+d，∴c=5則b=7，②當(dāng)a=4，d=8時，2（c+2）=12k，可知c+2=6k且a+b=c+d，∴c=4則b=8，綜上所述，這個數(shù)為：2754和4848．【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，正確的理解新概念和平數(shù)”是解題的關(guān)鍵．13．已知一個三位自然數(shù)，若滿足百位數(shù)字等于十位數(shù)字與個位數(shù)字的和，則稱這個數(shù)為“和數(shù)”，若滿足百位數(shù)字等于十位數(shù)字與個位數(shù)字的平方差，則稱這個數(shù)為“諧數(shù)”．如果一個數(shù)即是“和數(shù)”，又是“諧數(shù)”，則稱這個數(shù)為“和諧數(shù)”．例如，，是“和數(shù)”，，是“諧數(shù)”，是“和諧數(shù)”．（1）最小的和諧數(shù)是，最大的和諧數(shù)是；（2）證明：任意“諧數(shù)”的各個數(shù)位上的數(shù)字之和一定是偶數(shù)；（3）已知（，且均為整數(shù)）是一個“和數(shù)”，請求出所有．【答案】（1）110；954；（2）見解析；（3）或853或826.【解析】【分析】（1）根據(jù)“和數(shù)”與“諧數(shù)”的概念求解可得；（2）設(shè)“諧數(shù)”的百位數(shù)字為x、十位數(shù)字為y，個位數(shù)字為z，根據(jù)“諧數(shù)”的概念得x=y2-z2=（y+z）（y-z），由x+y+z=（y+z）（y-z）+y+z=（y+z）（y-z+1）及y+z、y-z+1必然一奇一偶可得答案；（3）先判斷出2≤b+2≤9、10≤3c+7≤19，據(jù)此可得m=10b+3c+817=8×100+（b+2）×10+（3c-3），根據(jù)“和數(shù)”的概念知8=b+2+3c-3，即b+3c=9，從而進一步求解可得．【詳解】（1）最小的和諧數(shù)是110，最大的和諧數(shù)是954.（2）設(shè)：“諧數(shù)”的百位數(shù)字為，十位數(shù)字為y，個位數(shù)字為z（且且均為正數(shù)），由題意知，，∴，z∵與奇偶性相同，∴與必一奇一偶，∴必是偶數(shù)，∴任意“諧數(shù)”的各個數(shù)位上的數(shù)字之和一定是偶數(shù)；（3）∵，∴，∵，∴，∴，∴，，∵m為和數(shù)，∴，即，∴或或，∴或853或826.【點睛】本題考查因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意、熟練掌握“和數(shù)”與“諧數(shù)”的概念及整式的運算、不等式的性質(zhì)．14．我們知道某些代數(shù)恒等式可用一些卡片拼成的圖形面積來解釋，例如：圖A可以用來解釋，實際上利用一些卡片拼成的圖形面積也可以對某些二次三項式進行因式分解．

（1）圖B可以解釋的代數(shù)恒等式是

；（2）現(xiàn)有足夠多的正方形和矩形卡片（如圖C），試畫出一個用若干張1號卡片、2號卡片和3號卡片拼成的矩形（每兩塊紙片之間既不重疊，也無空隙，拼出的圖中必須保留拼圖的痕跡），使該矩形的面積為，并利用你所畫的圖形面積對進行因式分解．【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）根據(jù)圖所示，可以得到長方形長為2a，寬為a+b，面積為：2a（a+b），或四個小長方形和正方形面積之和；（2）①根據(jù)題意，可以畫出相應(yīng)的圖形然后完成因式分解.試題解析：（1）（2）①根據(jù)題意，可以畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示②因式分解為：15．在現(xiàn)今“互聯(lián)網(wǎng)+”的時代，密碼與我們的生活已經(jīng)緊密相連，密不可分．而諸如“123456”、生日等簡單密碼又容易被破解，因此利用簡單方法產(chǎn)生一組容易記憶的6位數(shù)密碼就很有必要了．有一種用“因式分解法產(chǎn)生的密碼，方便記憶，其原理是：將一個多項式分解因式，如多項式：x3+2x2﹣x﹣2因式分解的結(jié)果為（x﹣1）（x+1）（x+2），當(dāng)x＝18時，x﹣1＝17，x+1＝19，x+2＝20，此時可以得到數(shù)字密碼171920．（1）根據(jù)上述方法，當(dāng)x＝21，y＝7時，對于多項式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些數(shù)字密碼？（寫出兩個）（2）若多項式x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21因式分解后，利用本題的方法，當(dāng)x＝27時可以得到其中一個密碼為242834，求m、n的值．【答案】（1）可以形成的數(shù)字密碼是：212814、211428；（2）m的值是56，n的值是17．【解析】【分析】（1）先將多項式進行因式分解，然后再根據(jù)數(shù)字密碼方法形成數(shù)字密碼即可；（2）設(shè)x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21＝（x+p）（x+q）（x+r），當(dāng)x＝27時可以得到其中一個密碼為242834，得到方程解出p、q、r，然后回代入原多項式即可求得m、n【詳解】（1）x3﹣xy2＝x（x2﹣y2）＝x（x+y）（x﹣y），當(dāng)x＝21，y＝7時，x+y＝28，x﹣y＝14，∴可以形成的數(shù)字密碼是：212814、211428；（2）設(shè)x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21＝（x+p）（x+q）（x+r），∵當(dāng)x＝27時可以得到其中一個密碼為242834，∴27+p＝24，27+q＝28，27+r＝34，解得，p＝﹣3，q＝1，r＝7，∴x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21＝（x﹣3）（x+1）（x+7），∴x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21＝x3+5x2﹣17x﹣21，∴得，即m的值是56，n的值是17．【點睛】本題屬于閱讀理解題型，考查知識點以因式分解為主，本題第一問關(guān)鍵在于理解題目中給到的數(shù)字密碼的運算規(guī)則，第二問的關(guān)鍵在于能夠?qū)⒃囗検皆O(shè)成（x+p）（x+q）（x+r），解出p、q、r四、八年級數(shù)學(xué)分式解答題壓軸題（難）16．小明和小強兩名運動愛好者周末相約到濱江大道進行跑步鍛煉．（1）周六早上6點，小明和小強同時從家出發(fā)，分別騎自行車和步行到離家距離分別為4500米和1200米的濱江大道入口匯合，結(jié)果同時到達.若小明每分鐘比小強多行220米，求小明和小強的速度分別是多少米/分？（2）兩人到達濱江大道后約定先跑1000米再休息.小強的跑步速度是小明跑步速度的倍，兩人在同起點，同時出發(fā)，結(jié)果小強先到目的地分鐘．①當(dāng)，時，求小強跑了多少分鐘？②小明的跑步速度為_______米/分（直接用含的式子表示）．【答案】（1）小強的速度為80米/分，小明的速度為300米/分；（2）①小強跑的時間為3分；②．【解析】【分析】（1）設(shè)小強的速度為x米/分，則小明的速度為（x+220）米/分，根據(jù)路程除以速度等于時間得到方程，解方程即可得到答案；（2）①設(shè)小明的速度為y米/分，由m＝3，n＝6，根據(jù)小明的時間-小強的時間=6列方程解答；②根據(jù)路程一定，時間與速度成反比，可求小強的時間進而求出小明的時間，再根據(jù)速度=路程除以時間得到答案.【詳解】（1）設(shè)小強的速度為x米/分，則小明的速度為（x+220）米/分，根據(jù)題意得：＝．解得：x＝80．經(jīng)檢驗，x＝80是原方程的根，且符合題意．∴x+220＝300．答：小強的速度為80米/分，小明的速度為300米/分．（2）①設(shè)小明的速度為y米/分，∵m＝3，n＝6，∴，解之得.經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，∴小強跑的時間為：（分）②小強跑的時間：分鐘，小明跑的時間：分鐘，小明的跑步速度為：分．故答案為：．【點睛】此題考查分式方程的應(yīng)用，正確理解題意根據(jù)路程、時間、速度三者的關(guān)系列方程解答是解題的關(guān)鍵.17．一件工程，甲隊單獨完成這項工程所需天數(shù)是乙隊單獨完成這項工程所需天數(shù)的；若由甲隊先做20天，剩下的工程再由甲、乙兩隊合作60天完成．(1)求甲、乙兩隊單獨完成這項工程各需多少天？(2)已知甲隊每天的施工費用為8.6萬元，乙隊每天的施工費用為5.4萬元，工程預(yù)算的施工費用為1000萬元，若在甲、乙工程隊工作效率不變的情況下使施工時間最短，問安排預(yù)算的施工費用是否夠用？若不夠用，需追加預(yù)算多少萬元？【答案】(1)甲、乙兩隊單獨完成這項工程分別需120天、180天(2)工程預(yù)算的施工費用不夠用，需追加預(yù)算8萬元【解析】試題分析：（1）首先表示出甲、乙兩隊需要的天數(shù)，進而利用由甲隊先做20天，剩下的工程再由甲、乙兩隊合作60天完成得出等式求出答案；（2）首先求出兩隊合作需要的天數(shù)，進而求出答案．試題解析：解：（1）設(shè)乙隊單獨完成這項工程需要x天，則甲隊單獨完成這項工程需要x天．根據(jù)題意，得，解得：x=180．經(jīng)檢驗，x=180是原方程的根，∴=×180=120，答：甲、乙兩隊單獨完成這項工程分別需120天和180天；（2）設(shè)甲、乙兩隊合作完成這項工程需要y天，則有，解得y=72．需要施工費用：72×（8.6+5.4）=1008（萬元）．∵1008＞1000，∴工程預(yù)算的施工費用不夠用，需追加預(yù)算8萬元．點睛：此題主要考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次方程的應(yīng)用，正確得出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．18．小明家準(zhǔn)備裝修一套新住房，若甲、乙兩個裝飾公司，合做需6周完成，需工錢5.2萬元；若甲公司單獨做4周后，剩下的由乙公司來做，還需9周才能完成，需工錢4.8萬元，若只選一個公司單獨完成，從節(jié)約開支角度考慮，小明家是選甲公司、還是乙公司請你說明理由．【答案】從節(jié)約開支角度考慮，應(yīng)選乙公司單獨完成【解析】試題分析：需先算出甲乙兩公司獨做完成的周數(shù)．等量關(guān)系為：甲6周的工作量+乙6周的工作量=1；甲4周的工作量+乙9周的工作量=1；還需算出甲乙兩公司獨做需付的費用．等量關(guān)系為：甲做6周所需錢數(shù)+乙做6周所需錢數(shù)=5.2；甲做4周所需錢數(shù)+乙做9周所需錢數(shù)=4.8．試題解析：解：設(shè)甲公司單獨完成需x周，需要工錢a萬元，乙公司單獨完成需y周，需要工錢b萬元．依題意得：，解得：．經(jīng)檢驗：是方程組的根，且符合題意．又，解得：．即甲公司單獨完成需工錢6萬元，乙公司單獨完成需工錢4萬元．答：從節(jié)約開支角度考慮，應(yīng)選乙公司單獨完成．點睛：本題主要考查分式的方程的應(yīng)用，根據(jù)題干所給的等量關(guān)系求出兩公司單獨完成所需時間和工錢，然后比較應(yīng)選擇哪個公司．19．閱讀下面的解題過程：已知，求的值。解：由知≠0，所以∴，故的值為評注：該題的解法叫做“倒數(shù)法”，請你利用“倒數(shù)法”解下面的題目已知，求的值?！敬鸢浮浚窘馕觥俊痉治觥渴紫雀鶕?jù)解答例題可得=7，進而可得x+=8，再求的倒數(shù)的值，進而可得答案．【詳解】∵=，∴=7，x+=8．∵=x2++1=（x+）2﹣2+1=82﹣1=63，∴=．【點睛】本題主要考查了分式的混合運算，關(guān)鍵是理解例題的解法，掌握解題方法后，再根據(jù)例題方法解答．20．楊梅是漳州的特色時令水果.楊梅一上市，水果店的老板用1200元購進一批楊梅，很快售完；老板又用2500元購進第二批楊梅，所購件數(shù)是第一批的2倍，但進價每件比第一批多了5元.（1）第一批楊梅每件進價多少元？（2）老板以每件150元的價格銷售第二批楊梅，售出后，為了盡快售完，決定打折促銷.要使得第二批楊梅的銷售利潤不少于320元，剩余的楊梅每件售價至少打幾折（利潤售價進價）？【答案】（1）120元（2）至少打7折．【解析】【分析】（1）設(shè)第一批楊梅每件進價是x元，則第二批每件進價是（x+5）元，再根據(jù)等量關(guān)系：第二批楊梅所購件數(shù)是第一批的2倍；（2）設(shè)剩余的楊梅每件售價y元，由利潤=售價-進價，根據(jù)第二批的銷售利潤不低于320元，可列不等式求解．【詳解】解：(1)設(shè)第一批楊梅每件進價是x元，則解得經(jīng)檢驗，x=120是原方程的解且符合題意．答：第一批楊梅每件進價為120元．(2)設(shè)剩余的楊梅每件售價打y折．則解得y≥7.答：剩余的楊梅每件售價至少打7折．【點睛】考查分式方程的應(yīng)用,一元一次不等式的應(yīng)用，讀懂題目，從題目中找出等量關(guān)系以及不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵.五、八年級數(shù)學(xué)三角形解答題壓軸題（難）21．?dāng)?shù)學(xué)活動課上，老師提出了一個問題：我們知道，三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，那么三角形的一個內(nèi)角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在何種數(shù)量關(guān)系？（1）獨立思考，請你完成老師提出的問題：如圖所示，已知∠DBC和∠BCE分別為△ABC的兩個外角，試探究∠A和∠DBC，∠BCE之間的數(shù)量關(guān)系.解：⑵合作交流，“創(chuàng)新小組”受此問題的啟發(fā)：分別作外角∠CBD和∠BCE的平分線BF和CF，交于點F（如圖所示），那么∠A與∠F之間有何數(shù)量關(guān)系？請寫出解答過程.【答案】（1）∠DBC+∠BCE－∠A=180o（2）∠A+∠F=90o【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，三角形內(nèi)角和定理計算即可.（2）根據(jù)角平分線可知∠FBC+∠FCB=（∠DBC+∠BCE，）再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，結(jié)合（1）即可解答.【詳解】⑴∠DBC+∠BCE－∠A=180o.∠DBC+∠BCE=∠ABC+∠A+∠ACB+∠A=180°+∠A即∠DBC+∠BCE－∠A=180o.（2）∠A+∠F=90°∵BF和CF分別平分∠CBD和∠BCE，∴∠CBF=∠CBD，∠BCF=∠BCE.∴∠CBF+∠BCF=(∠CBD+∠BCE).∵∠CBF+∠BCF=180o－∠F，∠DBC+∠BCE=180o+∠A.∴180o－∠F=（∠CBD+∠BCE）=(180o+∠A)∴∠A+∠F=90o.【點睛】本題考查了三角形外角性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.22．(1)如圖①，你知道∠BOC＝∠B＋∠C＋∠A的奧秘嗎？請用你學(xué)過的知識予以證明；(2)如圖②，設(shè)x＝∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E，運用(1)中的結(jié)論填空．x＝____________°；x＝____________°；x＝____________°；(3)如圖③，一個六角星，其中∠BOD＝70°，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________°.【答案】（1）證明見解析.(2)180；180；180；(3)140【解析】【分析】（1）首先延長BO交AC于點D，可得BOC=∠BDC+∠C，然后根據(jù)∠BDC=∠A+∠B，判斷出∠BOC=∠B+∠C+∠A即可．（2）a、首先根據(jù)外角的性質(zhì)，可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，然后根據(jù)∠1+∠2+∠E=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180，據(jù)此解答即可．b、首先根據(jù)外角的性質(zhì)，可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，然后根據(jù)∠1+∠2+∠E=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180，據(jù)此解答即可．c、首先延長EA交CD于點F，EA和BC交于點G，然后根據(jù)外角的性質(zhì)，可得∠GFC=∠D+∠E，∠FGC=∠A+∠B，再根據(jù)∠GFC+∠FGC+∠C=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，據(jù)此解答即可．（3）根據(jù)∠BOD=70°，可得∠A+∠C+∠E=70°，∠B+∠D+∠F=70°，據(jù)此求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)是多少即可．【詳解】(1)證明：如圖，延長BO交AC于點D，則∠BOC＝∠BDC＋∠C，又∵∠BDC＝∠A＋∠B，∴∠BOC＝∠B＋∠C＋∠A.(2)180；180；180(3)140【點睛】（1）此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：三角形的內(nèi)角和是180°．（2）此題還考查了三角形的外角的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①三角形的外角和為360°．②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角．23．如圖①，在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C＞∠B，F(xiàn)是AE上一點，且FD⊥BC于D點．(1)試猜想∠EFD，∠B，∠C的關(guān)系，并說明理由；(2)如圖②，當(dāng)點F在AE的延長線上時，其余條件不變，(1)中的結(jié)論還成立嗎？說明理由．①②【答案】(1)∠EFD＝∠C－∠B.（）成立，理由見解析.【解析】【分析】先根據(jù)AE平分∠BAC推出∠BAE=∠BAC=[180°-（∠B+∠C）]，再根據(jù)外角的定義求出∠FED=∠B+∠BAE，然后利用直角三角形的性質(zhì)求出∠EFD=90°-∠FED．【詳解】解：(1)∠EFD＝∠C－∠B.理由如下：由AE是∠BAC的平分線知∠BAE＝∠BAC.由三角形外角的性質(zhì)知∠FED＝∠B＋∠BAC，故∠B＋∠BAC＋∠EFD＝90°①.在△ABC中，由三角形內(nèi)角和定理得∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，即∠C＋∠B＋∠BAC＝90°②.②－①，得∠EFD＝∠C－∠B.(2)成立．理由如下：由對頂角相等和三角形的外角性質(zhì)知：∠FED＝∠AEC＝∠B＋∠BAC，故∠B＋∠BAC＋∠EFD＝90°①.在△ABC中，由三角形內(nèi)角和定理得：∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，即∠B＋∠BAC＋∠C＝90°②.②－①，得∠EFD＝∠C－∠B.【點睛】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理和直角三角形的性質(zhì)，命題時經(jīng)常將多個知識點聯(lián)系在一起進行考查，這樣更能訓(xùn)練學(xué)生的解題能力．24．如圖1，在△ABC中，∠B=90°，分別作其內(nèi)角∠ACB與外角∠DAC的平分線，且兩條角平分線所在的直線交于點E．（1）∠E=°；（2）分別作∠EAB與∠ECB的平分線，且兩條角平分線交于點F．①依題意在圖1中補全圖形；②求∠AFC的度數(shù)；（3）在（2）的條件下，射線FM在∠AFC的內(nèi)部且∠AFM=∠AFC，設(shè)EC與AB的交點為H，射線HN在∠AHC的內(nèi)部且∠AHN=∠AHC，