八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)-全冊(cè)全套試卷測(cè)試卷附答案

八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)全冊(cè)全套試卷測(cè)試卷附答案一、八年級(jí)數(shù)學(xué)全等三角形解答題壓軸題（難）1．如圖，△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)的直線GF交AC于F，交AC的平行線BG于G點(diǎn)，DE⊥DF，交AB于點(diǎn)E，連結(jié)EG、EF．（1）求證：BG＝CF；（2）請(qǐng)你判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）BE+CF＞EF，證明詳見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）先利用ASA判定△BGDCFD，從而得出BG=CF；（2）利用全等的性質(zhì)可得GD=FD，再有DE⊥GF，從而得到EG=EF，兩邊之和大于第三邊從而得出BE+CF＞EF．【詳解】解：（1）∵BG∥AC，∴∠DBG＝∠DCF．∵D為BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD又∵∠BDG＝∠CDF，在△BGD與△CFD中，∵∴△BGD≌△CFD（ASA）．∴BG＝CF．（2）BE+CF＞EF．∵△BGD≌△CFD，∴GD＝FD，BG＝CF．又∵DE⊥FG，∴EG＝EF（垂直平分線到線段端點(diǎn)的距離相等）．∴在△EBG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，要注意判定三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．2．如圖，AB=12cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=9cm，點(diǎn)P在線段AB上以3cm/s的速度，由A向B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在線段BD上由B向D運(yùn)動(dòng)．（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=1（s），△ACP與△BPQ是否全等？說(shuō)明理由，并直接判斷此時(shí)線段PC和線段PQ的位置關(guān)系；（2）將“AC⊥AB，BD⊥AB”改為“∠CAB=∠DBA”，其他條件不變．若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能使△ACP與△BPQ全等.（3）在圖2的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)AC，BD交于點(diǎn)E，使C，D分別是AE，BE中點(diǎn)，若點(diǎn)Q以（2）中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P以原來(lái)速度從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿△ABE三邊運(yùn)動(dòng)，求出經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇．【答案】（1）△ACP≌△BPQ，理由見(jiàn)解析；線段PC與線段PQ垂直（2）1或（3）9s【解析】【分析】（1）利用SAS證得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，進(jìn)一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出結(jié)論即可；（2）由△ACP≌△BPQ，分兩種情況：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程組求得答案即可．（3）因?yàn)閂Q＜VP，只能是點(diǎn)P追上點(diǎn)Q，即點(diǎn)P比點(diǎn)Q多走PB+BQ的路程，據(jù)此列出方程，解這個(gè)方程即可求得．【詳解】（1）當(dāng)t=1時(shí)，AP=BQ=3，BP=AC=9，又∵∠A=∠B=90°，在△ACP與△BPQ中，，∴△ACP≌△BPQ（SAS），∴∠ACP=∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°，∠CPQ=90°，則線段PC與線段PQ垂直.（2）設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度x,①若△ACP≌△BPQ，則AC=BP，AP=BQ，，解得，②若△ACP≌△BPQ，則AC=BQ，AP=BP，解得，綜上所述，存在或使得△ACP與△BPQ全等.（3）因?yàn)閂Q＜VP，只能是點(diǎn)P追上點(diǎn)Q，即點(diǎn)P比點(diǎn)Q多走PB+BQ的路程，設(shè)經(jīng)過(guò)x秒后P與Q第一次相遇，∵AC=BD=9cm，C，D分別是AE，BD的中點(diǎn)；∴EB=EA=18cm.當(dāng)VQ=1時(shí)，依題意得3x=x+2×9，解得x=9；當(dāng)VQ=時(shí)，依題意得3x=x+2×9，解得x=12.故經(jīng)過(guò)9秒或12秒時(shí)P與Q第一次相遇.【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握一元一次方程的性質(zhì)與運(yùn)算.3．如圖，在中，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，以為斜邊在的下方作等腰直角三角形．（1）填空：的面積等于；（2）連接，求證：是的平分線；（3）點(diǎn)在邊上，且，當(dāng)從點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)停止時(shí)，求點(diǎn)相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)路程．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)直角三角形的面積計(jì)算公式直接計(jì)算可得；（2）如圖所示作出輔助線，證明△AEM≌△DEN（AAS），得到ME=NE，即可利用角平分線的判定證明；（3）由（2）可知點(diǎn)E在∠ACB的平分線上，當(dāng)點(diǎn)D向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E的路徑為一條直線，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CN=，根據(jù)CD的長(zhǎng)度計(jì)算出CE的長(zhǎng)度即可．【詳解】解：（1）∴，故答案為：（2）連接CE，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AC于點(diǎn)M，作EN⊥BC于點(diǎn)N，∴∠EMA=∠END=90°，又∵∠ACB=90°，∴∠MEN=90°，∴∠MED+∠DEN=90°，∵△ADE是等腰直角三角形∴∠AED=90°，AE=DE∴∠AEM+∠MED=90°，∴∠AEM=∠DEN∴在△AEM與△DEN中，∠EMA=∠END=90°，∠AEM=∠DEN，AE=DE∴△AEM≌△DEN（AAS）∴ME=NE∴點(diǎn)E在∠ACB的平分線上，即是的平分線（3）由（2）可知，點(diǎn)E在∠ACB的平分線上，∴當(dāng)點(diǎn)D向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E的路徑為一條直線，∵△AEM≌△DEN∴AM=DN，即AC-CM=CN-CD在Rt△CME與Rt△CNE中，CE=CE，ME=NE，∴Rt△CME≌Rt△CNE（HL）∴CM=CN∴CN=，又∵∠MCE=∠NCE=45°，∠CME=90°，∴CE=，當(dāng)AC=3，CD=CO=1時(shí)，CE=當(dāng)AC=3，CD=CB=7時(shí)，CE=∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路程為：，【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的綜合證明題，涉及角平分線的判定，幾何中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用上述知識(shí)點(diǎn)．4．在等邊中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn).作射線，點(diǎn)關(guān)于射線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn).連接并延長(zhǎng)，交射線于點(diǎn).（1）如圖，連接，①與的數(shù)量關(guān)系是__________；②設(shè)，用表示的大??；（2）如圖，用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.【答案】(1)①AB=AE；②∠BCF=；(2)AF-EF=CF，理由見(jiàn)詳解.【解析】【分析】（1）①根據(jù)軸對(duì)稱性，即可得到答案；②由軸對(duì)稱性，得：AE=AB，∠BAF=∠EAF=，由是等邊三角形，得AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和等于180°，即可求解；（2）作∠FCG=60°交AD于點(diǎn)G，連接BF，易證?FCG是等邊三角形，得GF=FC，再證?ACG??BCF(SAS)，從而得AG=BF，進(jìn)而可得到結(jié)論.【詳解】（1）①∵點(diǎn)關(guān)于射線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，∴AB和AE關(guān)于射線的對(duì)稱，∴AB=AE.故答案是：AB=AE；②∵點(diǎn)關(guān)于射線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，∴AE=AB，∠BAF=∠EAF=，∵是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，∴∠EAC=60°-2，AE=AC，∴∠ACE=，∴∠BCF=∠ACE-∠ACB=-60°=.（2）AF-EF=CF，理由如下：作∠FCG=60°交AD于點(diǎn)G，連接BF，∵∠BAF=∠BCF=，∠ADB=∠CDF，∴∠ABC=∠AFC=60°，∴?FCG是等邊三角形，∴GF=FC，∵是等邊三角形，∴BC=AC，∠ACB=60°，∴∠ACG=∠BCF=.在?ACG和?BCF中，∵，∴?ACG??BCF(SAS)，∴AG=BF，∵點(diǎn)關(guān)于射線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，∴AG=BF=EF，∵AF-AG=GF，∴AF-EF=CF.【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和三角形全等的判定和性質(zhì)定理，添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，是解題的關(guān)鍵.5．如圖，在邊長(zhǎng)為4的等邊△ABC中，點(diǎn)D從點(diǎn)A開(kāi)始在射線AB上運(yùn)動(dòng)，速度為1個(gè)單位/秒，點(diǎn)F同時(shí)從C出發(fā)，以相同的速度沿射線BC方向運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，連結(jié)DF交射線AC于點(diǎn)G(1)當(dāng)DF⊥AB時(shí)，求t的值；(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否始終有DG=GF?若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。(3)聰明的斯揚(yáng)同學(xué)通過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，EG的長(zhǎng)始終等于AC的一半，他想當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到圖2的情況時(shí)，EG的長(zhǎng)是否發(fā)生變化?若改變，說(shuō)明理由；若不變，求出EG的長(zhǎng)?！敬鸢浮浚?）；（2）見(jiàn)詳解；（3）不變.【解析】【分析】（1）設(shè)AD=x，則BD=4-x，BF=4+x．當(dāng)DF⊥AB時(shí)，通過(guò)解直角△BDF求得x的值，易得t的值；（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DH∥BC交AC于點(diǎn)H，構(gòu)建全等三角形：△DHG≌△FCG，結(jié)合全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)和圖中相關(guān)線段間的和差關(guān)系求得DG=GF；（3）過(guò)F作FH⊥AC，可證△ADE≌△CFH，得DE=FH，AC=EH，再證△GDE≌△GFH，可得EG=GH，即可解題．【詳解】解：（1）設(shè)AD=x，則BD=4-x，BF=4+x．當(dāng)DF⊥AB時(shí)，∵∠B=60°，∴∠DFB=30°，∴BF=2BD，即4+x=2（4-x），解得x=，故t=；（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DH∥BC交AC于點(diǎn)H，則∠DHG=∠FCG．∵△ABC是等邊三角形，∴△ADH是等邊三角形，∴AD=DH．又AD=CF，∴DH=FC．∵在△DHG與△FCG中，，∴△DHG≌△FCG（AAS），∴DG=GF；（3）如圖2，過(guò)F作FH⊥AC，在△ADE和△CFH中，，∴△ADE≌△CFH（AAS），∴DE=FH，AE=CH，∴AC=EH，在△GDE和△GFH中，∴△GDE≌△GFH（AAS），∴EG=GH，∴EG=EH=AC．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形綜合題，需要掌握全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△GDE≌△GFH是解題的關(guān)鍵．二、八年級(jí)數(shù)學(xué)軸對(duì)稱解答題壓軸題（難）6．知識(shí)背景：我們?cè)诘谑徽隆度切巍分袑W(xué)習(xí)了三角形的邊與角的性質(zhì)，在第十二章《全等三角形》中學(xué)習(xí)了全等三角形的性質(zhì)和判定，在第十三章《軸對(duì)稱》中學(xué)習(xí)了等腰三角形的性質(zhì)和判定.在一些探究題中經(jīng)常用以上知識(shí)轉(zhuǎn)化角和邊，進(jìn)而解決問(wèn)題.問(wèn)題：如圖1，是等腰三角形，，是的中點(diǎn)，以為腰作等腰，且滿足，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系.圖1發(fā)現(xiàn)：（1）與之間的數(shù)量關(guān)系為.探究：（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)（除、外）時(shí)，其他條件不變，試猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.圖2拓展：（3）當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，在備用圖中補(bǔ)全圖形，并直接寫出的形狀.備用圖【答案】（1）；（2），證明見(jiàn)解析；（3）畫圖見(jiàn)解析，等腰直角三角形.【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得；（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及等角對(duì)等邊即可證明；（3）作出圖形，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)易證，進(jìn)而根據(jù)角度的代換，得出結(jié)論．【詳解】解：（1）.∵△ABC是等腰三角形，且，，.，，，.是以為腰的等腰三角形，.在與中，，，，，.，，，，，.（2）.證明：是等腰三角形，且，，.，，，.是以為腰的等腰三角形，.在與中，，，，，.，，，，，.（3）是等腰直角三角形.提示：如圖，是等腰三角形，，，.，，，.是以為腰的等腰三角形，.在與中，，，，，.，，，，，是等腰三角形，，是等腰直角三角形.【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形及全等三角形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用角度等量代換及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．如圖所示，已知中，厘米，、分別從點(diǎn)、點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)的速度是1厘米/秒的速度，點(diǎn)的速度是2厘米/秒，當(dāng)點(diǎn)第一次到達(dá)點(diǎn)時(shí)，、同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).（1）、同時(shí)運(yùn)動(dòng)幾秒后，、兩點(diǎn)重合？（2）、同時(shí)運(yùn)動(dòng)幾秒后，可得等邊三角形？（3）、在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能否得到以為底邊的等腰，如果存在，請(qǐng)求出此時(shí)、運(yùn)動(dòng)的時(shí)間？【答案】（1）10；（2）點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)秒后，可得到等邊三角形；（3）當(dāng)點(diǎn)、在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能得到以為底邊的等腰，此時(shí)、運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)秒后，、兩點(diǎn)重合,；（2）設(shè)點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)秒后，可得到等邊三角形，如圖①，,根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得；（3）如圖②，假設(shè)是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)證是等邊三角形，再證≌（），得，設(shè)當(dāng)點(diǎn)、在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，、運(yùn)動(dòng)的時(shí)間秒時(shí)，是等腰三角形，故，，由，得；【詳解】解：（1）設(shè)點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)秒后，、兩點(diǎn)重合,解得：（2）設(shè)點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)秒后，可得到等邊三角形，如圖①,∵三角形是等邊三角形∴解得∴點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)秒后，可得到等邊三角形.（3）當(dāng)點(diǎn)、在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以得到以為底邊的等腰三角形，由（1）知10秒時(shí)、兩點(diǎn)重合，恰好在處，如圖②，假設(shè)是等腰三角形，∴，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，在和中，∵，∴≌（），∴，設(shè)當(dāng)點(diǎn)、在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，、運(yùn)動(dòng)的時(shí)間秒時(shí)，是等腰三角形，∴，，，解得：，故假設(shè)成立.∴當(dāng)點(diǎn)、在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能得到以為底邊的等腰，此時(shí)、運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：等邊三角形判定和性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì).理解等腰三角形的判定和性質(zhì),把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題是關(guān)鍵.8．?dāng)?shù)學(xué)課上，張老師舉了下面的例題：例1等腰三角形中，，求的度數(shù).（答案：）例2等腰三角形中，，求的度數(shù).（答案：或或）張老師啟發(fā)同學(xué)們進(jìn)行變式，小敏編了如下兩題：變式1:等腰三角形中，∠A=100°，求的度數(shù).變式2:等腰三角形中，∠A=45°，求的度數(shù).（1）請(qǐng)你解答以上兩道變式題.（2）解（1）后，小敏發(fā)現(xiàn)，的度數(shù)不同，得到的度數(shù)的個(gè)數(shù)也可能不同.如果在等腰三角形中，設(shè)，當(dāng)只有一個(gè)度數(shù)時(shí)，請(qǐng)你探索的取值范圍.【答案】（1）變式1:40°；變式2:90°或67.5°或45°；（2）90°≤＜180°或x=60°【解析】【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，分類討論，即可得到答案；(2)在等腰三角形中，當(dāng)只有一個(gè)度數(shù)時(shí)，只能作為頂角時(shí)，或∠A=60°，進(jìn)而可得到答案.【詳解】變式1:∵等腰三角形中，∠A=100°，∴∠A為頂角，∠B為底角，∴∠B==40°；變式2:∵等腰三角形中，∠A=45°，∴當(dāng)AB=BC時(shí)，∠B=90°，當(dāng)AB=AC時(shí)，∠B=67.5°，當(dāng)BC=AC時(shí)∠B=45°；（2）等腰三角形中，設(shè)，當(dāng)90°≤x＜180°，∠A為頂角，此時(shí)，只有一個(gè)度數(shù)，當(dāng)x=60°時(shí)，三角形是等邊三角形，此時(shí)，只有一個(gè)度數(shù)，綜上所述：90°≤x＜180°或x=60°【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，分類討論思想的應(yīng)用，是解題的關(guān)鍵.9．如圖1，△ABD，△ACE都是等邊三角形，（1）求證：△ABE≌△ADC；（2）若∠ACD=15°，求∠AEB的度數(shù)；（3）如圖2，當(dāng)△ABD與△ACE的位置發(fā)生變化，使C、E、D三點(diǎn)在一條直線上，求證：AC∥BE．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)∠AEB=15°(3)見(jiàn)解析【解析】試題分析：（1）由等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，即可得∠DAC=∠BAE，利用SAS即可判定△ABE≌△ADC；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解；（3）由（1）的方法可證得△ABE≌△ADC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可得∠AEB=∠ACD=60°，即可得∠AEB=∠EAC，從而得AC∥BE．試題解析：（1）證明：∵△ABD，△ACE都是等邊三角形∴AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAC=∠BAE，在△ABE和△ADC中，∴，∴△ABE≌△ADC；（2）由（1）知△ABE≌△ADC，∴∠AEB=∠ACD，∵∠ACD=15°，∴∠AEB=15°；（3）同上可證：△ABE≌△ADC，∴∠AEB=∠ACD，又∵∠ACD=60°，∴∠AEB=60°，∵∠EAC=60°，∴∠AEB=∠EAC，∴AC∥BE．點(diǎn)睛：本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)，證得△ABE≌△ADC是解決本題的關(guān)鍵.10．如圖，在等邊中，線段為邊上的中線．動(dòng)點(diǎn)在直線上時(shí)，以為一邊在的下方作等邊，連結(jié)．（1）求的度數(shù)；（2）若點(diǎn)在線段上時(shí)，求證：；（3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在直線上時(shí)，設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，試判斷是否為定值？并說(shuō)明理由．【答案】（1）30°；（2）證明見(jiàn)解析；（3）是定值，.【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以直接得出結(jié)論；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出，，，，由等式的性質(zhì)就可以，根據(jù)就可以得出；（3）分情況討論：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖1，由（2）可知，就可以求出結(jié)論；當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，可以得出而有而得出結(jié)論；當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，通過(guò)得出同樣可以得出結(jié)論．【詳解】（1）是等邊三角形，．線段為邊上的中線，，．（2）與都是等邊三角形，，，，，．在和中，；（3）是定值，，理由如下：①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖1，由（2）可知，則，又，，是等邊三角形，線段為邊上的中線平分，即．②當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，與都是等邊三角形，，，，，，在和中，，，同理可得：，．③當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，與都是等邊三角形，，，，，，在和中，，，同理可得：，∵，．綜上，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在直線上時(shí)，是定值，．【點(diǎn)睛】此題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形三線合一的性質(zhì)，解題中注意分類討論的思想解題.三、八年級(jí)數(shù)學(xué)整式的乘法與因式分解解答題壓軸題（難）11．把幾個(gè)圖形拼成一個(gè)新的圖形，再通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積，可以得到一個(gè)等式，也可以求出一些不規(guī)則圖形的面積．例如，由圖1，可得等式：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2（1）如圖2，將幾個(gè)面積不等的小正方形與小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b+c的正方形，試用不同的形式表示這個(gè)大正方形的面積，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？請(qǐng)用等式表示出來(lái)．（2）利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問(wèn)題：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值．（3）如圖3，將兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a和b的正方形拼在一起，B，C，G三點(diǎn)在同一直線上，連接BD和BF．若這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)滿足a+b=10，ab=20，請(qǐng)求出陰影部分的面積．【答案】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）45；（3）20．【解析】【分析】（1）此題根據(jù)面積的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一種可以是3個(gè)正方形的面積和6個(gè)矩形的面積，種是大正方形的面積，可得等式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）利用（1）中的等式直接代入求得答案即可；（3）利用S陰影=正方形ABCD的面積+正方形ECGF的面積-三角形BGF的面積-三角形ABD的面積求解．【詳解】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）∵a+b+c=11，ab+bc+ac=38，∴a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）=121﹣76=45；（3）∵a+b=10，ab=20，∴S陰影=a2+b2﹣（a+b）?b﹣a2=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣ab=×102﹣×20=50﹣30=20．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式幾何意義，解題的關(guān)鍵是注意圖形的分割與拼合，會(huì)用不同的方法表示同一圖形的面積.12．先閱讀下列材料，然后解后面的問(wèn)題．材料：一個(gè)三位自然數(shù)（百位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，個(gè)位數(shù)字為c），若滿足a+c=b，則稱這個(gè)三位數(shù)為“歡喜數(shù)”，并規(guī)定F（）=ac．如374，因?yàn)樗陌傥簧蠑?shù)字3與個(gè)位數(shù)字4之和等于十位上的數(shù)字7，所以374是“歡喜數(shù)”，∴F（374）=3×4=12．（1）對(duì)于“歡喜數(shù)”，若滿足b能被9整除，求證：“歡喜數(shù)”能被99整除；（2）已知有兩個(gè)十位數(shù)字相同的“歡喜數(shù)”m，n（m＞n），若F（m）﹣F（n）=3，求m﹣n的值．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）99或297．【解析】【分析】（1）首先由題意可得a+c=b，將歡喜數(shù)展開(kāi)，因?yàn)橐C明“歡喜數(shù)”能被99整除，所以將展開(kāi)式中100a拆成99a+a，這樣展開(kāi)式中出現(xiàn)了a+c，將a+c用b替代，整理出最終結(jié)果即可；（2）首先設(shè)出兩個(gè)歡喜數(shù)m、n，表示出F（m）、F（n）代入F（m）﹣F（n）=3中，將式子變形分析得出最終結(jié)果即可.【詳解】（1）證明：∵為歡喜數(shù)，∴a+c=b．∵=100a+10b+c=99a+10b+a+c=99a+11b，b能被9整除，∴11b能被99整除，99a能被99整除，∴“歡喜數(shù)”能被99整除；（2）設(shè)m=，n=（且a1＞a2），∵F（m）﹣F（n）=a1?c1﹣a2?c2=a1?（b﹣a1）﹣a2（b﹣a2）=（a1﹣a2）（b﹣a1﹣a2）=3，a1、a2、b均為整數(shù)，∴a1﹣a2=1或a1﹣a2=3．∵m﹣n=100（a1﹣a2）﹣（a1﹣a2）=99（a1﹣a2），∴m﹣n=99或m﹣n=297．∴若F（m）﹣F（n）=3，則m﹣n的值為99或297．【點(diǎn)睛】做此類閱讀理解類題目首先要充分理解題目，會(huì)運(yùn)用因式分解將式子變形.13．若一個(gè)正整數(shù)能表示成(是正整數(shù)，且)的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“明禮崇德數(shù)”，與是的一個(gè)平方差分解.例如：因?yàn)?，所?是“明禮崇德數(shù)”，3與2是5的平方差分解；再如：(是正整數(shù))，所以也是“明禮崇德數(shù)”，與是的一個(gè)平方差分解.(1)判斷：9_______“明禮崇德數(shù)”(填“是”或“不是”)；(2)已知(是正整數(shù)，是常數(shù)，且)，要使是“明禮崇德數(shù)”，試求出符合條件的一個(gè)值，并說(shuō)明理由；(3)對(duì)于一個(gè)三位數(shù)，如果滿足十位數(shù)字是7，且個(gè)位數(shù)字比百位數(shù)字大7，稱這個(gè)三位數(shù)為“七喜數(shù)”.若既是“七喜數(shù)”，又是“明禮崇德數(shù)”，請(qǐng)求出的所有平方差分解.【答案】（1）是；（2）k=-5；（3）m=279，，.【解析】【分析】(1)根據(jù)9=52-42，確定9是“明禮崇德數(shù)”；(2)根據(jù)題意分析N應(yīng)是兩個(gè)完全平方式的差，得到k=-5，將k=-5代入計(jì)算即可將N平方差分解，得到答案；(3)確定“七喜數(shù)”m的值，分別將其平方差分解即可.【詳解】(1)∵9=52-42，∴9是“明禮崇德數(shù)”，故答案為：是；(2)當(dāng)k=-5時(shí)，是“明禮崇德數(shù)”，∵當(dāng)k=-5時(shí)，，=，=，=，==.∵是正整數(shù)，且，∴N是正整數(shù)，符合題意，∴當(dāng)k=-5時(shí)，是“明禮崇德數(shù)”；(3)由題意得：“七喜數(shù)”m=178或279，設(shè)m==（a+b）（a-b），當(dāng)m=178時(shí)，∵178=289，∴，得（不合題意，舍去）；當(dāng)m=279時(shí)，∵279=393=931，∴①，得，∴，②，得，∴，∴既是“七喜數(shù)”又是“明禮崇德數(shù)”的m是279，，.【點(diǎn)睛】此題考查因式分解，熟練掌握平方差公式和完全平方公式是解此題的前提，(3)是此題的難點(diǎn)，解題時(shí)需根據(jù)百位與個(gè)位數(shù)字的關(guān)系確定具體的數(shù)據(jù)，再根據(jù)“明禮崇德數(shù)”的要求進(jìn)行平方差分解.14．觀察以下等式：（x+1)(x2-x+1)=x3＋1（x+3）（x2-3x+9）=x3+27（x+6）（x2-6x+36）=x3+216．．．．．．．．．．．．(1)按以上等式的規(guī)律，填空：（a+b）（___________________）=a3+b3(2)利用多項(xiàng)式的乘法法則，證明（1）中的等式成立.(3)利用（1）中的公式化簡(jiǎn)：（x+y）（x2-xy+y2）-（x-y）（x2+xy+y2）【答案】（1）a2-ab+b2；（2）詳見(jiàn)解析；（3）2y3．【解析】【分析】（1）根據(jù)所給等式可直接得到答案（a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3；（2）利用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另外一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；（3）結(jié)合題目本身的特征，利用（1）中的公式直接運(yùn)用即可．【詳解】（1）（a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3；（2）（a+b）（a2-ab+b2）=a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3；（3）（x+y）（x2-xy+y2）-（x-y）（x2+xy+y2）=x3+y3-（x3-y3）=2y3．【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，關(guān)鍵是掌握多項(xiàng)式乘法法則，注意觀察所給例題，找出其中的規(guī)律是解決本題的基本思路．15．（觀察）1×49=49，2×48=96，3×47=141，…，23×27=621，24×26=624，25×25=625，26×24=624，27×23=621，…，47×3=141，48×2=96，49×1=49．（發(fā)現(xiàn)）根據(jù)你的閱讀回答問(wèn)題：（1）上述內(nèi)容中，兩數(shù)相乘，積的最大值為；（2）設(shè)參與上述運(yùn)算的第一個(gè)因數(shù)為a，第二個(gè)因數(shù)為b，用等式表示a與b的數(shù)量關(guān)系是．（類比）觀察下列兩數(shù)的積：1×59，2×58，3×57，4×56，…，m×n，…，56×4，57×3，58×2，59×1．猜想mn的最大值為，并用你學(xué)過(guò)的知識(shí)加以證明．【答案】（1）625；（2）a+b=50；900；證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】發(fā)現(xiàn)：（1）觀察題目給出的等式即可發(fā)現(xiàn)兩數(shù)相乘，積的最大值為625；（2）觀察題目給出的等式即可發(fā)現(xiàn)a與b的數(shù)量關(guān)系是a＋b＝50；類比：由于m＋n＝60，將n＝60?m代入mn，得mn＝?m2＋60m＝?（m?30）2＋900，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出m＝30時(shí)，mn的最大值為900．【詳解】解：發(fā)現(xiàn)：（1）上述內(nèi)容中，兩數(shù)相乘，積的最大值為625．故答案為625；（2）設(shè)參與上述運(yùn)算的第一個(gè)因數(shù)為a，第二個(gè)因數(shù)為b，用等式表示a與b的數(shù)量關(guān)系是a+b=50．故答案為a+b=50；類比：由題意，可得m+n=60，將n=60﹣m代入mn，得mn=﹣m2+60m=﹣（m﹣30）2+900，∴m=30時(shí)，mn的最大值為900．故答案為900．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，配方法，二次函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識(shí)，需熟練掌握．四、八年級(jí)數(shù)學(xué)分式解答題壓軸題（難）16．為響應(yīng)“綠色出行”的號(hào)召，小王上班由自駕車改為乘坐公交車.已知小王家距離上班地點(diǎn)，他乘坐公交車平均每小時(shí)行駛的路程比他自駕車平均每小時(shí)行駛的路程的倍還多.他從家出發(fā)到上班地點(diǎn)，乘公交車所用的時(shí)間是自駕車所用時(shí)間的.（1）小王用自駕車上班平均每小時(shí)行駛多少千米？（2）上周五，小王上班時(shí)先步行了，然后乘公交車前往，共用小時(shí)到達(dá).求他步行的速度.【答案】（1）小王用自駕車上班平均每小時(shí)行駛；（2）小王步行的速度為每小時(shí).【解析】【分析】（1））設(shè)小王用自駕車上班平均每小時(shí)行駛，則他乘坐公交車上班平均每小時(shí)行駛.再利用乘公交車的方式平均每小時(shí)行駛的路程比他自用駕SS式平均每小時(shí)行駛的路程的2倍還多9千米和乘公交車所用時(shí)間是自駕車方式所用時(shí)間的，列方程求解即可；（2）設(shè)小王步行的速度為每小時(shí)，然后根據(jù)“步行時(shí)間+乘公交時(shí)間=小時(shí)”列方程解答即可.【詳解】解（1）設(shè)小王用自駕車上班平均每小時(shí)行駛，則他乘坐公交車上班平均每小時(shí)行駛.根據(jù)題意得：解得：經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解且符合題意.所以小王用自駕車上班平均每小時(shí)行駛；（2）由（1）知：小王乘坐公交車上班平均每小時(shí)行駛（）；設(shè)小王步行的速度為每小時(shí)，根據(jù)題意得：解得：.經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解且符合題意所以小王步行的速度為每小時(shí).【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵在于弄清題意、找到等量關(guān)系、列出分式方程并解答.17．某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種空調(diào)共50臺(tái)．已知購(gòu)進(jìn)一臺(tái)甲種空調(diào)比購(gòu)進(jìn)一臺(tái)乙種空調(diào)進(jìn)價(jià)少0.3萬(wàn)元；用20萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)甲種空調(diào)數(shù)量是用40萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)乙種空調(diào)數(shù)量的2倍．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）求甲、乙兩種空調(diào)每臺(tái)進(jìn)價(jià)各是多少萬(wàn)元？（2）若商場(chǎng)預(yù)計(jì)投入資金不少于10萬(wàn)元，且購(gòu)進(jìn)甲種空調(diào)至少31臺(tái)，商場(chǎng)有哪幾種購(gòu)進(jìn)方案？（3）在（2）條件下，若甲種空調(diào)每臺(tái)售價(jià)1100元，乙種空調(diào)每臺(tái)售價(jià)4300元，甲、乙空調(diào)各有一臺(tái)樣機(jī)按八折出售，其余全部標(biāo)價(jià)售出，商場(chǎng)從銷售這50臺(tái)空調(diào)獲利中拿出2520元作為員工福利，其余利潤(rùn)恰好又可以購(gòu)進(jìn)以上空調(diào)共2臺(tái)．請(qǐng)直接寫出該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)這50臺(tái)空調(diào)各幾臺(tái)．【答案】（1）0.1，0.4；（2）商場(chǎng)有3種購(gòu)進(jìn)方案：①購(gòu)買甲種空調(diào)31臺(tái)，購(gòu)買乙種空調(diào)19臺(tái)；②購(gòu)買甲種空調(diào)32臺(tái)，購(gòu)買乙種空調(diào)18臺(tái)；③購(gòu)買甲種空調(diào)33臺(tái)，購(gòu)買乙種空調(diào)17臺(tái)；（3）購(gòu)買甲種空調(diào)32臺(tái)，購(gòu)買乙種空調(diào)18臺(tái)【解析】【分析】（1）可設(shè)甲種空調(diào)每臺(tái)進(jìn)價(jià)是x萬(wàn)元，則乙種空調(diào)每臺(tái)進(jìn)價(jià)是（x+0.3）萬(wàn)元，根據(jù)等量關(guān)系用20萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)甲種空調(diào)數(shù)量＝用40萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)乙種空調(diào)數(shù)量×2，列出方程求解即可；（2）設(shè)購(gòu)買甲種空調(diào)n臺(tái)，則購(gòu)買乙種空調(diào)（50﹣n）臺(tái)，根據(jù)商場(chǎng)預(yù)計(jì)投入資金不少于10萬(wàn)元，且購(gòu)進(jìn)甲種空調(diào)至少31臺(tái)，求出n的范圍，即可確定出購(gòu)買方案；（3）找到（2）中3種購(gòu)進(jìn)方案符合條件的即為所求．【詳解】解：（1）設(shè)甲種空調(diào)每臺(tái)進(jìn)價(jià)是x萬(wàn)元，則乙種空調(diào)每臺(tái)進(jìn)價(jià)是（x+0.3）萬(wàn)元，依題意有＝×2，解得x＝0.1，x+0.3＝0.1+0.3＝0.4．答：甲種空調(diào)每臺(tái)進(jìn)價(jià)是0.1萬(wàn)元，乙種空調(diào)每臺(tái)進(jìn)價(jià)是0.4萬(wàn)元；（2）設(shè)購(gòu)買甲種空調(diào)n臺(tái)，則購(gòu)買乙種空調(diào)（50﹣n）臺(tái)，依題意有，解得31≤n≤33，∵n為整數(shù)，∴n取31，32，33，∴商場(chǎng)有3種購(gòu)進(jìn)方案：①購(gòu)買甲種空調(diào)31臺(tái)，購(gòu)買乙種空調(diào)19臺(tái)；②購(gòu)買甲種空調(diào)32臺(tái)，購(gòu)買乙種空調(diào)18臺(tái)；③購(gòu)買甲種空調(diào)33臺(tái)，購(gòu)買乙種空調(diào)17臺(tái)；（3）①購(gòu)買甲種空調(diào)31臺(tái)，購(gòu)買乙種空調(diào)19臺(tái)，（31﹣1）×（1100﹣1000）+（1100×0.8﹣1000）+（19﹣1）×（4300﹣4000）+（4300×0.8﹣4000）﹣2520＝3000﹣120+5400﹣560﹣2520＝7720﹣2520＝5200（元），不符合題意，舍去；②購(gòu)買甲種空調(diào)32臺(tái)，購(gòu)買乙種空調(diào)18臺(tái)，（32﹣1）×（1100﹣1000）+（1100×0.8﹣1000）+（18﹣1）×（4300﹣4000）+（4300×0.8﹣4000）﹣2520＝3100﹣120+5100﹣560﹣2520＝7520﹣2520＝5000（元），符合題意；③購(gòu)買甲種空調(diào)33臺(tái)，購(gòu)買乙種空調(diào)17臺(tái)，（33﹣1）×（1100﹣1000）+（1100×0.8﹣1000）+（17﹣1）×（4300﹣4000）+（4300×0.8﹣4000）﹣2520＝3200﹣120+4800﹣560﹣2520＝7320﹣2520＝4800（元），不符合題意，舍去．綜上所述，購(gòu)買甲種空調(diào)32臺(tái)，購(gòu)買乙種空調(diào)18臺(tái)．【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的應(yīng)用，以及一元一次不等式組的應(yīng)用，弄清題中的等量關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．18．甲、乙、丙三個(gè)登山愛(ài)好者經(jīng)常相約去登山，今年1月甲參加了兩次登山活動(dòng)．（1）1月1日甲與乙同時(shí)開(kāi)始攀登一座900米高的山，甲的平均攀登速度是乙的1.2倍，結(jié)果甲比乙早15分鐘到達(dá)頂峰．求甲的平均攀登速度是每分鐘多少米？（2）1月6日甲與丙去攀登另一座h米高的山，甲保持第（1）問(wèn)中的速度不變，比丙晚出發(fā)0.5小時(shí)，結(jié)果兩人同時(shí)到達(dá)頂峰，問(wèn)甲的平均攀登速度是丙的多少倍？（用含h的代數(shù)式表示）【答案】（1）甲的平均攀登速度是12米/分鐘；（2）倍.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的分式方程，從而可以求得甲的平均攀登速度；（2）根據(jù)（1）中甲的速度可以表示出丙的速度，再用甲的速度比丙的平均攀登速度即可解答本題．【詳解】（1）設(shè)乙的速度為x米/分鐘，，解得，x=10，經(jīng)檢驗(yàn)，x=10是原分式方程的解，∴1.2x=12，即甲的平均攀登速度是12米/分鐘；（2）設(shè)丙的平均攀登速度是y米/分，+0.5×60＝，化簡(jiǎn)，得y=，∴甲的平均攀登速度是丙的：倍，即甲的平均攀登速度是丙的倍．19．符號(hào)稱為二階行列式，規(guī)定它的運(yùn)算法則為：，請(qǐng)根據(jù)這一法則解答下列問(wèn)題：（1）計(jì)算：；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）根據(jù)新定義列出代數(shù)式，再進(jìn)行減法計(jì)算；（2）根據(jù)定義列式后得到關(guān)于x的分式方程，正確求解即可.【詳解】（1）原式；（2）根據(jù)題意得：解之得：經(jīng)檢驗(yàn)：是原分式方程的解所以的值為5.【點(diǎn)睛】此題考察分式的計(jì)算，分式方程的求解，依據(jù)題意正確列式是解此題的關(guān)鍵.20．水蜜桃是無(wú)錫市陽(yáng)山的特色水果，水蜜桃一上市，水果店的老板用2000元購(gòu)進(jìn)一批水密桃，很快售完；老板又用3300元購(gòu)進(jìn)第二批水蜜桃，所購(gòu)件數(shù)是第一批的倍，但進(jìn)價(jià)比第一批每件多了5元．（1）第一批水蜜桃每件進(jìn)價(jià)是多少元？（2）老板以每件65元的價(jià)格銷售第二批水蜜桃，售出80％后，為了盡快售完，剩下的決定打折促銷．要使得第二批水密桃的銷售利潤(rùn)不少于288元，剩余的仙桃每件售價(jià)最多打幾折？(利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià))【答案】（1）50；（2）6折．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)第一批水蜜桃每件進(jìn)價(jià)是x元，利用第二批水密桃進(jìn)價(jià)建立方程求解即可；（2）根據(jù)題意設(shè)剩余的仙桃每件售價(jià)最多打m折，并建立不等式，求出其解集即可得出剩余的仙桃每件售價(jià)最多打幾折.【詳解】解：（1）設(shè)第一批水蜜桃每件進(jìn)價(jià)是x元，則有：，解得，所以第一批水蜜桃每件進(jìn)價(jià)是50元.（2）由（1）得出第二批水密桃的進(jìn)價(jià)為：55元，數(shù)量為：件，設(shè)剩余的仙桃每件售價(jià)最多打m折，則有：，解得，即最多打6折.【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用以及不等式的實(shí)際應(yīng)用，理解題意并根據(jù)題意建立方程和不等式是解題的關(guān)鍵.五、八年級(jí)數(shù)學(xué)三角形解答題壓軸題（難）21．如圖四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠BAD的平分線AG交BC于點(diǎn)G．（1）求證：∠BAG=∠BGA；（2）如圖2，∠BCD的平分線CE交AD于點(diǎn)E，與射線GA相交于點(diǎn)F，∠B=50°．①若點(diǎn)E在線段AD上，求∠AFC的度數(shù)；②若點(diǎn)E在DA的延長(zhǎng)線上，直接寫出∠AFC的度數(shù)；（3）如圖3，點(diǎn)P在線段AG上，∠ABP=2∠PBG，CH∥AG，在直線AG上取一點(diǎn)M，使∠PBM=∠DCH，請(qǐng)直接寫出∠ABM：∠PBM的值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①20°；②160°；（3）或【解析】【分析】（1）根據(jù)AD//BC可知∠GAD=∠BGA，由AG平分∠BAD可知∠BAG=∠GAD，即可得答案.（2）①根據(jù)CF平分∠BCD，∠BCD=90°，可求出∠GCF的度數(shù)，由AD//BC可求出∠AEF和∠DAB的度數(shù)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠AFC的度數(shù)即可；②根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出即可；（3）根據(jù)M點(diǎn)在BP的上面和下面兩種情況討論，分別求出∠PBM和∠ABM的值即可.【詳解】（1）∵AD∥BC，∴∠GAD=∠BGA，∵AG平分∠BAD，∴∠BAG=∠GAD，∴∠BAG=∠BGA；（2）①∵CF平分∠BCD，∠BCD=90°，∴∠GCF=45°，∵AD∥BC，∠ABC=50°，∴∠AEF=∠GCF=45°；∠DAB=180°﹣50°=130°，∵AG平分∠BAD，∴∠BAG=∠GAD=65°，∴∠AFC=65°﹣45°=20°；②如圖：∵∠AGB=65°，∠BCF=45°，∴∠AFC=∠CGF+∠BCF=115°+45°=160°；（3）有兩種情況：①當(dāng)M在BC的下方時(shí)，如圖：∵∠ABC=50°，∠ABP=2∠PBG，∴∠ABP=（）°，∠PBG=（）°，∵AG∥CH，∴∠BCH=∠AGB=65°，∵∠BCD=90°，∴∠DCH=∠PBM=90°﹣65°=25°，∴∠ABM=∠ABP+∠PBM=（+25）°=（）°，∴∠ABM：∠PBM=（）°：25°=；②當(dāng)M在BC的上方時(shí)，如圖：同理得：∠ABM=∠ABP﹣∠PBM=（﹣25）°=（）°，∴∠ABM：∠PBM=（）°：25°=；綜上，∠ABM：∠PBM的值是或．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)，熟練掌握平行線性質(zhì)是解題關(guān)鍵.22．已知：如圖①，BP、CP分別平分△ABC的外角∠CBD、∠BCE，BQ、CQ分別平分∠PBC、∠PCB，BM、CN分別是∠PBD、∠PCE的角平分線．（1）當(dāng)∠BAC=40°時(shí)，∠BPC=，∠BQC=；（2）當(dāng)BM∥CN時(shí)，求∠BAC的度數(shù)；（3）如圖②，當(dāng)∠BAC=120°時(shí)，BM、CN所在直線交于點(diǎn)O，直接寫出∠BOC的度數(shù)．【答案】(1)70°，125°；(2)∠BAC=60°(3)45°【解析】分析：（1）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)分別表示出∠DBC與∠BCE，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得∠CBP+∠BCP，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；根據(jù)角平分線的定義得出∠QBC=∠PBC，∠QCB=∠PCB，求出∠QBC+∠QCB的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠MBC+∠NCB=180°，依此求解即可；（3）根據(jù)題意得到∠MBC+∠NCB，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得到∠BOC的度數(shù).詳解：（1）∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠BCE=180°+∠A=220°，∵BP、CP分別是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分線，∴∠CBP+∠BCP=（∠DBC+∠BCE）=110°，∴∠BPC=180°﹣110°=70°，∵BQ、CQ分別是∠PBC、∠PCB的角平分線，∴∠QBC=∠PBC，∠QCB=∠PCB，∴∠QBC+∠QCB=55°，∴∠BQC=180°﹣55°=125°；（2）∵BM∥CN，∴∠MBC+∠NCB=180°，∵BM、CN分別是∠PBD、∠PCE的角平分線，∴（∠DBC+∠BCE）=180°，即（180°+∠BAC）=180°，解得∠BAC=60°；（3）∵∠BAC=120°，∴∠MBC+∠NCB=（∠DBC+∠BCE）=（180°+α）=225°，∴∠BOC=225°﹣180°=45°．點(diǎn)睛：本題考查三角形外角的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是溝通外角和內(nèi)角的關(guān)系．23．如圖1：中，是高，是的平分線，．（1）求的度數(shù)（2）當(dāng)，請(qǐng)用表示，并寫出推導(dǎo)過(guò)程（3）當(dāng)是的外角的平分線，如圖2則此時(shí)的度數(shù)是多少，用表示，直接寫出結(jié)果．【答案】（1）15o;(2);(3)【解析】【分析】（1）先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得∠BAC=180°-∠B-∠C=70°，利用角平分線的定義得∠EAC=∠BAC=35°，而∠DAC=90°-∠C=20°，通過(guò)∠EAD=∠EAC-∠DAC即可得到結(jié)果．（2）猜想∠DAE=（β-α），重復(fù)（1）的過(guò)程找出∠BAD和∠BAE的度數(shù)，二者做差即可得出結(jié)論；（3）作∠BAC的內(nèi)角平分線AE′，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出∠EAE′=∠CAE+∠CAE′=∠CAB+∠CAF=90°，進(jìn)而求出∠DAE的度數(shù).【詳解】解:（1）,是的平分線，,在中，,.（2）,是的平分線，,在△ACD中，，.（3）.如圖，作∠CAB的內(nèi)角平分線AE′，則∠DAE′=．因?yàn)锳E是∠ACB的外角平分線，所以∠EAE′=∠CAE+∠CAE