《備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)》課件-第七章-第6節(jié)-第一課時(shí)-證明平行和垂直

第6節(jié)立體幾何中的向量方法課程標(biāo)準(zhǔn)要求1.理解直線(xiàn)的方向向量及平面的法向量.2.能用向量語(yǔ)言表述線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的平行和垂直關(guān)系.3.能用向量方法證明有關(guān)線(xiàn)、面位置關(guān)系的一些定理(包括三垂線(xiàn)定理).4.能用向量方法解決線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的夾角的計(jì)算問(wèn)題,體會(huì)向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用.必備知識(shí)·課前回顧關(guān)鍵能力·課堂突破必備知識(shí)·課前回顧回歸教材夯實(shí)四基知識(shí)梳理1.方向向量與空間位置關(guān)系(1)直線(xiàn)的方向向量直線(xiàn)的方向向量是指和這條直線(xiàn)平行(或在這條直線(xiàn)上)的有向線(xiàn)段所表示的向量,一條直線(xiàn)的方向向量有

個(gè).(2)平面的法向量直線(xiàn)l⊥平面α,取直線(xiàn)l的方向向量,則這個(gè)向量叫做平面α的法向量.顯然一個(gè)平面的法向量有

個(gè),它們是共線(xiàn)向量.無(wú)數(shù)無(wú)數(shù)位置關(guān)系向量表示直線(xiàn)l1,l2的方向向量分別為n1,n2l1∥l2n1∥n2?n1=λn2(λ∈R)l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2=0直線(xiàn)l的方向向量為n,平面α的法向量為ml∥αn⊥m?n·m=0l⊥αn∥m?n=λm(λ∈R)平面α,β的法向量分別為n,mα∥βn∥m?n=λm(λ∈R)α⊥βn⊥m?n·m=0(3)空間位置關(guān)系的向量表示2.兩條異面直線(xiàn)所成角的求法設(shè)a,b分別是兩異面直線(xiàn)l1,l2的方向向量,則0,π3.直線(xiàn)與平面所成角的求法|cosβ|4.求二面角的大小(2)如圖②③,n1,n2分別是二面角α-l-β的兩個(gè)半平面α,β的法向量,則二面角的大小θ滿(mǎn)足|cosθ|=

,二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角).|cos<n1,n2>|5.空間中的距離(2)空間點(diǎn)面之間的距離對(duì)點(diǎn)自測(cè)ACCC第一課時(shí)證明平行和垂直關(guān)鍵能力·課堂突破類(lèi)分考點(diǎn)落實(shí)四翼考點(diǎn)一平面的法向量、直線(xiàn)的方向向量及其應(yīng)用DC2.若平面α,β的法向量分別為n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),則(

)A.α∥β B.α⊥βC.α,β相交但不垂直 D.以上均不正確解析:因?yàn)閚1·n2=2×(-3)+(-3)×1+5×(-4)=-29≠0,所以n1與n2不垂直,又n1,n2不共線(xiàn),所以α與β相交但不垂直.故選C.B題后悟通考點(diǎn)二利用向量證明平行問(wèn)題例1(2021·河北石家莊高三一檢)如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD為梯形,AD∥BC,CD⊥BC,AD=2,AB=BC=3,PA=4,M為AD的中點(diǎn),N為PC上的點(diǎn),且PC=3PN.求證:MN∥平面PAB.解題策略用向量方法證明空間中的平行關(guān)系(1)線(xiàn)線(xiàn)平行:證明兩直線(xiàn)的方向向量平行.(2)線(xiàn)面平行:一是證明直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量垂直;二是在平面內(nèi)找一向量與直線(xiàn)的方向向量共線(xiàn);三是證明直線(xiàn)的方向向量可以利用平面中的兩不共線(xiàn)向量線(xiàn)性表示.(3)面面平行:一是證明兩個(gè)平面的法向量平行;二是轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面平行、線(xiàn)線(xiàn)平行問(wèn)題.[針對(duì)訓(xùn)練]1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,A1D的中點(diǎn)為E,BD的中點(diǎn)為F,證明:CD1∥EF.2.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分別是棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中點(diǎn).求證:平面AMN∥平面EFBD.考點(diǎn)三利用向量證明垂直問(wèn)題解題策略利用空間向量證明線(xiàn)、面垂直的一般步驟(1)建立空間直角坐標(biāo)系,建系時(shí)要盡可能地利用條件中的垂直關(guān)系.(2)建立空間圖形與空間向量之間的關(guān)系,用空間向量表示出問(wèn)題中所涉及的點(diǎn)、直線(xiàn)、平面的要素.(3)通過(guò)空間向量的運(yùn)算求出直線(xiàn)的方向向量或平面的法向量,再研究垂直關(guān)系.(4)根據(jù)運(yùn)算結(jié)果解釋相關(guān)問(wèn)題.[針對(duì)訓(xùn)練]1.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作EF⊥PB于點(diǎn)F.求證:(1)PA∥平面EDB;1.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作EF⊥PB于點(diǎn)F.求證:(2)PB⊥平面EFD.2.如圖所示,已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,平面PBC⊥底面ABCD.用向量方法證明:(1)PA⊥BD;2.如圖所示,已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,平面PBC⊥底面ABCD.用向量方法證明:(2)平面PAD⊥平面PAB.考點(diǎn)四平行與垂直關(guān)系中的探索性問(wèn)題例3如圖,棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都等于2,∠ABC和∠A1AC均為60°,平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求證:BD⊥AA1;例3如圖,棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都等于2,∠ABC和∠A1AC均為60°,平面AA1C1C⊥平面ABCD.(2)在直線(xiàn)CC1上是否存在一點(diǎn)P,使BP∥平面DA1C1?若存在,求出點(diǎn)P的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解題策略立體幾何開(kāi)放性問(wèn)題的求解方法(1)根據(jù)題目的已知條件進(jìn)行綜合分析和觀(guān)察猜想,找出點(diǎn)或線(xiàn)的位置,然后加以證明,得出結(jié)論.(2)假設(shè)所求的點(diǎn)或線(xiàn)存在,并設(shè)定參數(shù)表達(dá)已知條件,根據(jù)題目要求進(jìn)行求解,若能求出參數(shù)的值且符合已知限定的范圍,則存在這樣的點(diǎn)或線(xiàn),否則不存在.[針對(duì)訓(xùn)練]1.已知在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=90°,2AB=2AD=CD,側(cè)面PAD是正三角形且垂直于底面ABCD,E是PC的中點(diǎn).(1)求證:BE⊥平面PCD;1.已知在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=90°,2AB=2AD=CD,側(cè)面PAD是正三角形且垂直于底面ABCD,E是PC的中點(diǎn).(2)在PB上是否存在一點(diǎn)F,使AF∥平面BDE?若存在,求出點(diǎn)F的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.2.(2021·湖北襄陽(yáng)模擬)如圖,多面體ABCDEF中,DE⊥平面ABCD,四邊形ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°,四邊形BDEF是正方形.(1)求證:CF∥平面AED;(1)證明:因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形,所以BC∥AD.又BC?平面ADE,AD?平面ADE,所以BC∥平面ADE,又四邊形BDEF是正方形,所以BF∥DE.因?yàn)锽F?平面ADE,DE?平面ADE,所以BF∥平面ADE,因?yàn)锽C?平面BCF,BF?平面BCF,BC∩BF=B,所以平面BCF∥平面AED,因?yàn)镃F?平面BCF,所以CF∥平面AED.備選例題例1如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.點(diǎn)D,E,N分別為棱PA,PC,BC的中點(diǎn),M是線(xiàn)段AD的中點(diǎn),PA=AC=4,AB=2.(1)求證:MN∥平面BDE;例2如圖,在三棱錐P-ABC中,AB=AC,D為BC的中點(diǎn),PO⊥平面ABC,垂足O