2024-2025學(xué)年浙江省金華市高三上冊9月月考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年浙江省金華市高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．3．函數(shù)的最小正周期是（

）A． B． C． D．4．比較兩組測量尺度差異較大數(shù)據(jù)的離散程度時，常使用離散系數(shù)，其定義為標(biāo)準(zhǔn)差與均值之比.某地區(qū)進行調(diào)研考試，共10000名學(xué)生參考，測試結(jié)果（單位：分）近似服從正態(tài)分布，且平均分為57.4，離散系數(shù)為0.36，則全體學(xué)生成績的第84百分位數(shù)約為（

）附：若隨機變量服從正態(tài)分布.A．82 B．78 C．74 D．705．設(shè)拋物線的焦點為F，直線l與C交于A，B兩點，，，則l的斜率是（

）A．±1 B． C． D．±26．某地響應(yīng)全民冰雪運動的號召，建立了一個滑雪場．該滑雪場中某滑道的示意圖如下所示，點、點分別為滑道的起點和終點，它們在豎直方向的高度差為．兩點之間為滑雪彎道，相應(yīng)的曲線可近似看作某三次函數(shù)圖像的一部分．綜合考安全性與趣味性，在滑道的最陡處，滑雪者的身體與地面約成的夾角．若還要兼顧滑道的美觀性與滑雪者的滑雪體驗，則、兩點在水平方向的距離約為（

）A． B． C． D．7．設(shè)三點在棱長為2的正方體的表面上，則的最小值為（

）A． B． C． D．8．已知數(shù)列滿足，，是的前項和．若，則正整數(shù)的所有可能取值的個數(shù)為（

）A．48 B．50 C．52 D．54二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知，，，的外接圓為，則（

）A．點的坐標(biāo)為 B．的面積是C．點在外 D．直線與相切10．連續(xù)投擲一枚均勻的骰子3次，記3次擲出點數(shù)之積為X，擲出點數(shù)之和為Y，則（

）A．事件“X為奇數(shù)”發(fā)生的概率 B．事件“”發(fā)生的概率為C．事件“”和事件“”相等 D．事件“”和事件“Y＝6”獨立11．設(shè)，n為大于1的正整數(shù)，函數(shù)的定義域為R，，，則（

）A． B．是奇函數(shù)C．是增函數(shù) D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．對于各數(shù)位均不為的三位數(shù)，若兩位數(shù)和均為完全平方數(shù)，則稱具有“性質(zhì)”，則具有“性質(zhì)”的三位數(shù)的個數(shù)為．13．過雙曲線的一個焦點作傾斜角為的直線，則該直線與雙曲線的兩條漸近線圍成的三角形的面積是.14．已知四面體各頂點都在半徑為3的球面上，平面平面，直線與所成的角為，則該四面體體積的最大值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知，曲線在點處的切線斜率為.(1)求的值；(2)求不等式的解集.16．如圖，在三棱臺中，上?下底面是邊長分別為4和6的等邊三角形，平面，設(shè)平面平面，點分別在直線和直線上，且滿足.(1)證明：平面；(2)若直線和平面所成角的余弦值為，求該三棱臺的體積.17．在中，角所對的邊分別為．已知成公比為q的等比數(shù)列．(1)求q的取值范圍；(2)求的取值范圍．18．已知橢圓過點，且C的右焦點為．(1)求C的方程：(2)設(shè)過點的一條直線與C交于兩點，且與線段AF交于點S．（i）若，求；（ii）若的面積與的面積相等，求點Q的坐標(biāo)．19．設(shè)為正整數(shù)，為正實數(shù)列．我們稱滿足（其中）的三元數(shù)組為“比值組”.(1)若，且為等差數(shù)列，寫出所有的比值組；(2)給定正實數(shù)，證明：中位數(shù)為4（即中）的比值組至多有3個；(3)記比值組的個數(shù)為，證明.1．C【分析】解不等式化簡集合A，利用交集的定義直接求解即得.【詳解】依題意，集合，而，所以.故選：C2．D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運算和共軛復(fù)數(shù)概念可得.【詳解】因為，所以.故選：D3．C【分析】利用三角恒等變換得到，利用求出最小正周期.【詳解】由余弦和角公式、倍角公式、降冪公式可得，所以的最小正周期為．故選：C4．B【分析】先根據(jù)題意計算標(biāo)準(zhǔn)差，從而得到正態(tài)分布，再利用正態(tài)密度曲線的軸對稱性和百分位數(shù)的定義進行求解即可.【詳解】根據(jù)題意得標(biāo)準(zhǔn)差為，所以測試結(jié)果（單位：分）近似服從正態(tài)分布，又因為，且，所以全體學(xué)生成績的第84百分位數(shù)約為.故選：B.5．D【分析】根據(jù)拋物線的定義得到如圖的拋物線，得到，可求得，做在直角三角形中，可求得，結(jié)合斜率的定義進行求解即可【詳解】下圖所示為l的斜率大于0的情況．如圖，設(shè)點A，B在C的準(zhǔn)線上的射影分別為，，，垂足為H．設(shè)，，則．而，所以，l的斜率為．同理，l的斜率小于0時，其斜率為．另一種可能的情形是l經(jīng)過坐標(biāo)原點O，可知一交點為，則，可求得，可求得l斜率為，同理，l的斜率小于0時，其斜率為．故選：D6．D【分析】以滑道的最陡處為原點建立平面直角坐標(biāo)系，由題意可知，為的中點，設(shè)三次函數(shù)的解析式為，其中，設(shè)點，則，在滑道最陡處，設(shè)滑雪者的身體與地面所成角為，由題意得出，，求出，即可得解.【詳解】以滑道的最陡處為原點建立平面直角坐標(biāo)系，由題意可知，為的中點，設(shè)三次函數(shù)的解析式為，其中，設(shè)點，則，，在滑道最陡處，，則的對稱軸為直線，則，可得，則，，在滑道最陡處，設(shè)滑雪者的身體與地面所成角為，則，所以，，，由圖可知，可得，，則.故選：D.7．B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，不妨假設(shè)A在平面中，設(shè)，，，和分別是點，在平面上的投影，利用向量不等式可得：，即可求解【詳解】將正方體置于空間直角坐標(biāo)系中，且A在平面中，點和點的連線是一條體對角線．設(shè)，，，和分別是點，在平面上的投影．可得，，，則，因為，當(dāng)且僅當(dāng)點C為的中點時，等號成立，可得，所以，當(dāng)，，且時等號成立．故選：B關(guān)鍵點點睛：本題形式簡潔，但動點很多，且?guī)缀鯖]有約束條件，這時就需要學(xué)生對于動點所在的位置進行分類討論，討論的順序、對于對稱性的使用都對學(xué)生提出了很高的要求．從幾何角度來看，點，不會位于A所在面的一側(cè)，故如果采用坐標(biāo)形式計算數(shù)量積，一定會有一項是非負(fù)的，且可以取到0．找到這一突破口后，即可將問題轉(zhuǎn)化為平面向量的問題，也就很容易得到結(jié)果了．8．D【分析】根據(jù)可得，由累加迭代法可得，進而可得，由得，進而根據(jù)等比數(shù)列的求和可得，兩種情況結(jié)合可得進而可求解.【詳解】由，得，由累加法，當(dāng)時，，因此，即得；所以，當(dāng)時，，故；由，得所以，以此類推，得，因此，即，得；又，所以，即；綜上可知，，故滿足條件的正整數(shù)所有可能取值的個數(shù)為個.故選：D關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于利用不等式將數(shù)列an的通項公式通過放縮法和累加法可求得且，再由解不等式即可得出正整數(shù)的所有可能取值.9．BC【分析】根據(jù)垂直平分線計算交點得到圓心為，再計算半徑為，得到圓方程，再依次判斷每個選項得到答案.【詳解】，的垂直平分線的斜率滿足：，，的中點為，故垂直平分線方程為；同理可得，的垂直平分線方程為：，，兩條垂直平分線的交點為：，故圓心為，，圓方程為.對選項A：點的坐標(biāo)為，錯誤；對選項B：的面積是，正確；對選項C：，正確；對選項D：到直線的距離，相交，錯誤.故選：BC10．ABC【分析】利用相互獨立事件、對立事件的概率公式計算判斷AB；寫出事件的所有基本事件判斷C；利用相互獨立事件的定義判斷D.【詳解】對于A，事件“X為奇數(shù)”等價于“3次擲出的點數(shù)都為奇數(shù)”，其發(fā)生的概率為，A正確；對于B，事件“”的對立事件為“或”，而“”等價于“3次擲出的點數(shù)均為6”，其概率為，“”等價于“擲出的3個點數(shù)中有2個6和1個5”，其概率為，因此，B正確；對于C，事件“”和事件“”包含相同的樣本點，因此是相等事件，C正確；對于D，事件“”等價于“3次擲出的點數(shù)中有2個1和1個4，或者2個2和1個1”，其概率為，事件“”等價于“3次擲出的點數(shù)中有3個2，或者2個1和1個4，或者1個1，1個2和1個3”，其概率為，而積事件等價于“3次擲出的點數(shù)中有2個1和1個4”，其概率，D錯誤．故選：ABC11．AD【分析】運用賦值判定A;運用賦值結(jié)合反證法判定B;運用特例判定C;運用賦值加累加法判定D．【詳解】令可知，，所以，A正確；令，得，令，得，則．若是奇函數(shù)，則，結(jié)合知．而令得，所以，矛盾！，故不是奇函數(shù)，B錯誤；取，則，滿足題設(shè)要求，但此時為減函數(shù)，故C錯誤；由，，…，，累加可得．設(shè)，，故，即，D正確．故選：AD.知識點點睛：本題考查抽象函數(shù)、函數(shù)的基本性質(zhì)、函數(shù)與不等式．抽象函數(shù)作為近年來的熱門考點，以形式簡潔、內(nèi)涵豐富而常見于各大模擬卷及高考卷．本題屬于難題.12．【分析】先列出具有兩位數(shù)，且每一位都不為0的完全平方數(shù)，然后根據(jù)題意組合即可.【詳解】已知經(jīng)過組合可知：具有“性質(zhì)”的組合有：；；；，此時的三位數(shù)分別為：，共個.故13．##【分析】求出過焦點的直線方程和漸近線方程后可求三角形的面積.【詳解】由雙曲線的對稱性不妨設(shè)傾斜角為的直線過右焦點，

由雙曲線可得漸近線方程為，雙曲線的半焦距為，故右焦點坐標(biāo)為，過傾斜角為的直線方程為，由可得交點坐標(biāo)為，由可得交點坐標(biāo)為，傾斜角為的直線與雙曲線的兩條漸近線圍成的三角形的面積為，故答案為.14．【分析】根據(jù)給定條件，探求四面體體積的表達(dá)式，并確定體積最大時四面體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合球半徑、球心到平面和平面的距離及長表示出最大體積的關(guān)系式，再利用均值不等式、導(dǎo)數(shù)求最值求解作答.【詳解】在中，過作于，連接，因為，平面，則平面，顯然平面，有，而平面平面，則，四面體的體積，

當(dāng)長固定時，經(jīng)過的外接圓圓心時，最大，此時為中點，并且經(jīng)過外接圓圓心，四面體的體積最大，令四面體外接球球心為，連接，則平面，平面，令，顯然四邊形是矩形，于是，且，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時，，因此，令，，由，得，當(dāng)時，，時時，，因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)，取得最大值，因此的最大值為.故關(guān)鍵點睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接問題時，關(guān)鍵是確定球心的位置，再利用球的截面小圓性質(zhì)求解.15．(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得參數(shù)值；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)的奇偶性解不等式即可.【詳解】（1）由已知，得，又函數(shù)y=fx在點處的切線斜率為，即，解得；（2）由（1）得，，則恒成立，即在上單調(diào)遞增，又，即函數(shù)為奇函數(shù)，由，可知，即，解得，即不等式的解集為.16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得，再結(jié)合線面垂直的判定定理可得結(jié)果；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，利用線面角的向量求法及棱臺的體積公式可得結(jié)果.【詳解】（1）由三棱臺知，平面，因為平面，且平面平面，所以，因為，所以，又，平面，所以平面；（2）取中點，連接，以為原點，為軸，為軸，過點做軸垂直于平面，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)三棱臺的高為，則設(shè)平面的法向量為n=x,y,z則，即，令，可得平面的一個法向量，易得平面的一個法向量，設(shè)與平面夾角為，，所以由，得，由（1）知，所以，解得，所以三棱臺的體積.17．(1)(2).【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)與三角形三邊關(guān)系列出不等式求解即可；（2）利用正弦定理、余弦定理化簡根據(jù)的取值范圍利用對勾函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）由題意知，根據(jù)三角形三邊關(guān)系知：，解得；（2）由（1）及正弦定理、余弦定理知：，由對勾函數(shù)的性質(zhì)知：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則，即的取值范圍為.18．(1)(2)（i）；（ii）或.【分析】（1）將點坐標(biāo)代入橢圓方程，再由的關(guān)系式即可得出結(jié)果；（2）（i）由可知為的中點，即可得，求出直線的方程并與橢圓聯(lián)立，利用弦長公式即可得出結(jié)果；（ii）易知直線平分，由兩三角形面積相等以及三角形相似可證明，再由點在線段的垂直平分線上，與的方程聯(lián)立可得或.【詳解】（1）根據(jù)題意有，且由橢圓的幾何性質(zhì)可知，所以.所以的方程為.（2）（i）如下圖所示：若可得，為的中點，可得，即的斜率為，所以直線的方程為；設(shè)，聯(lián)立直線和橢圓方程可得，所以，即可得因此可得；（ii）顯然的斜率存在，設(shè)的方程為，代入的方程有：，其中.則可得，以下證明：直線平分，易知軸，故只需滿足直線與的斜率之和為0.設(shè)的斜率分別為，則：，，代入，有，故直線平分，即.因為的面積等于的面積，故，即，故.故在線段的垂直平分線上.易知線段的垂直平分線為，與的方程聯(lián)立有，故的坐標(biāo)為或.19．(1)；(2)證明見解析；(3)證明見解析.【分析】（1）由以及等差數(shù)列性質(zhì)得，進而根據(jù)比值組的定義對和相應(yīng)的取值進行分類討論即可得解.（2）依據(jù)題意得固定時，則至多有一個使得成立，接著由得的取值有三種即可得證.（3）由固定時，則至多有一個使得成立，結(jié)合值的取法數(shù)可得的三元數(shù)組的個數(shù)為，同理得固定時，進而得，再對分偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況計算即可得證.【詳解】（1）因為為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，若，則，，所以當(dāng)且時，，即，此時比值組為；當(dāng)且時，，即，此時比值組為；當(dāng)且時，，即，不符合；當(dāng)且時，，即，此時比值組為；當(dāng)且時，，即，不符合；當(dāng)且時，，即，此時比值組為；當(dāng)且時，，不符合；當(dāng)且時，，不符合；綜上，若且為等差數(shù)列的所有的比值組為.（2）因為，，所以當(dāng)固定時，則至多有一個使得成立，因為，所以或或共三種取