2024-2025學(xué)年浙江省嘉興市高三上冊(cè)第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年浙江省嘉興市高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一?單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知集合，則（）A. B. C. D.2.已知平面向量，則（）A.2 B.10 C. D.3.在的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)為（）A.15 B. C.270 D.4.在中，角的對(duì)邊分別為.已知，則（）A.1 B.2 C.1或2 D.或5.函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A. B. C. D.6.若隨機(jī)變量，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.7.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，底面，為對(duì)角線與的交點(diǎn)，若，則三棱錐的外接球的體積為（）A. B. C. D.8.北宋數(shù)學(xué)家沈括在酒館看見(jiàn)一層層壘起的酒壇，想求這些酒壇的總數(shù)，經(jīng)過(guò)反復(fù)嘗試，終于得出了長(zhǎng)方臺(tái)形垛積的求和公式.如圖，由大小相同的小球堆成的一個(gè)長(zhǎng)方臺(tái)形垛積，第一層有個(gè)小球，第二層有個(gè)小球，第三層有個(gè)小球.....依此類推，最底層有個(gè)小球，共有層.現(xiàn)有一個(gè)由小球堆成的長(zhǎng)方臺(tái)形垛積，共7層，小球總個(gè)數(shù)為168，則該垛積的第一層的小球個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4二?多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某地區(qū)5家超市銷售額（單位：萬(wàn)元）與廣告支出（單位：萬(wàn)元）有如下一組數(shù)據(jù)：超市ABCDE廣告支出（萬(wàn)元）1461014銷售額（萬(wàn)元）620364048下列說(shuō)法正確是（）參考公式：樣本相關(guān)系數(shù)A.根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算得到與之間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則B.與之間的樣本相關(guān)系數(shù)C.若殘差的平方和越小，則模型的擬合效果越好D.若該地區(qū)某超市的廣告支出是3萬(wàn)元，則該超市的銷售額一定是17.6萬(wàn)元10.已知分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）A.三角形的周長(zhǎng)是12B.若雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且雙曲線的焦距為8，則雙曲線為C.若，則的位置不唯一D.若是雙曲線左支上一動(dòng)點(diǎn)，則最小值是11.已知增函數(shù)的定義域?yàn)檎麛?shù)集，的取值也為正整數(shù)，且滿足.下列說(shuō)法正確的是（）AB.C.D.對(duì)任意正整數(shù)，都有第Ⅱ卷三?填空題：本題共3小題，共15分.12.已知復(fù)數(shù)，則______.13.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則__________.14.甲乙兩人進(jìn)行一場(chǎng)抽卡游戲，規(guī)則如下：有編號(hào)的卡片各1張，兩人輪流從中不放回的隨機(jī)抽取1張卡片，直到其中1人抽到的卡片編號(hào)之和等于12或者所有卡片被抽完時(shí)，游戲結(jié)束.若甲先抽卡，求甲抽了3張卡片時(shí)，恰好游戲結(jié)束的概率是______.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知數(shù)列an首項(xiàng)，且滿足.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求滿足條件的最大整數(shù).16.如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是正方形，.（1）若是中點(diǎn)，證明：；（2）若，求平面與平面所成角的正切值.17.平面內(nèi)有一點(diǎn)和直線，動(dòng)點(diǎn)滿足：到點(diǎn)的距離與到直線的距離的比值是.點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是曲線，曲線上有四個(gè)動(dòng)點(diǎn).（1）求曲線的方程；（2）若在軸上方，，求直線的斜率；（3）若都在軸上方，，直線，求四邊形的面積的最大值.18.已知函數(shù)，其中是實(shí)數(shù).（1）若，求單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)不具有單調(diào)性，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若恒成立，求的最小值.19.正整數(shù)集，其中.將集合拆分成個(gè)三元子集，這個(gè)集合兩兩沒(méi)有公共元素.若存在一種拆法，使得每個(gè)三元子集中都有一個(gè)數(shù)等于其他兩數(shù)之和，則稱集合是“三元可拆集”.（1）若，判斷集合是否為“三元可拆集”，若是，請(qǐng)給出一種拆法；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若，證明：集合不是“三元可拆集”；（3）若，是否存在使得集合是“三元可拆集”，若存在，請(qǐng)求出的最大值并給出一種拆法；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。2024-2025學(xué)年浙江省嘉興市高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一?單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】解一元二次不等式得到，再由交集運(yùn)算即可.【詳解】所以故選:D2.已知平面向量，則（）A.2 B.10 C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式求解即可.【詳解】，.故選：A.3.在的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)為（）A.15 B. C.270 D.【正確答案】A【分析】利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式解決問(wèn)題.【詳解】設(shè)二項(xiàng)展開(kāi)式的第項(xiàng)為：，由.所以含的項(xiàng)的系數(shù)為.故選：A4.在中，角的對(duì)邊分別為.已知，則（）A.1 B.2 C.1或2 D.或【正確答案】C【分析】根據(jù)余弦定理即可求解.【詳解】由余弦定理可得,即，解得或，故選：C5.函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)圖像即可判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】畫(huà)出與的圖像如圖所示：根據(jù)圖像可知，交點(diǎn)個(gè)數(shù)是個(gè).故選：C.6.若隨機(jī)變量，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】運(yùn)用正態(tài)分布的概率、期望、方差性質(zhì)，結(jié)合期望、方差結(jié)論逐個(gè)驗(yàn)證即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，變量，這里，所以，A選項(xiàng)正確.對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)檎龖B(tài)分布圖象關(guān)于對(duì)稱，.根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性，，B選項(xiàng)正確.對(duì)于C選項(xiàng)，若，則.對(duì)于，根據(jù)期望的性質(zhì).所以，C選項(xiàng)正確.對(duì)于D選項(xiàng)，若，則，對(duì)于，根據(jù)方差的性質(zhì).所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D.7.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，底面，為對(duì)角線與的交點(diǎn)，若，則三棱錐的外接球的體積為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用空間幾何體及球的特征確定球心，結(jié)合球體體積公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)榈酌?，底面，即，根?jù)題意可知為等邊三角形，為直角三角形，而，則，取的中點(diǎn)，連接，所以，易知，則，所以三棱錐的外接球的球心為F，，∴該外接球的體積為.故選：B8.北宋數(shù)學(xué)家沈括在酒館看見(jiàn)一層層壘起的酒壇，想求這些酒壇的總數(shù)，經(jīng)過(guò)反復(fù)嘗試，終于得出了長(zhǎng)方臺(tái)形垛積的求和公式.如圖，由大小相同的小球堆成的一個(gè)長(zhǎng)方臺(tái)形垛積，第一層有個(gè)小球，第二層有個(gè)小球，第三層有..........依此類推，最底層有個(gè)小球，共有層.現(xiàn)有一個(gè)由小球堆成的長(zhǎng)方臺(tái)形垛積，共7層，小球總個(gè)數(shù)為168，則該垛積的第一層的小球個(gè)數(shù)為（）A1 B.2 C.3 D.4【正確答案】B【分析】設(shè)各層的小球個(gè)數(shù)為數(shù)列an，利用，可得，，利用等差數(shù)列的求和公式，求得，根據(jù)題意，列出方程，求得的值，進(jìn)而求得該垛積的第一層的小球個(gè)數(shù).【詳解】設(shè)各層的小球個(gè)數(shù)為數(shù)列an由題意得，因?yàn)椋傻?，則，因?yàn)榍?層小球總個(gè)數(shù)為168，所以，即，解得或（舍去），所以，可得，即該垛積的第一層的小球個(gè)數(shù)為個(gè).故選：B.二?多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某地區(qū)5家超市銷售額（單位：萬(wàn)元）與廣告支出（單位：萬(wàn)元）有如下一組數(shù)據(jù)：超市ABCDE廣告支出（萬(wàn)元）1461014銷售額（萬(wàn)元）620364048下列說(shuō)法正確的是（）參考公式：樣本相關(guān)系數(shù)A.根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算得到與之間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則B.與之間的樣本相關(guān)系數(shù)C.若殘差的平方和越小，則模型的擬合效果越好D.若該地區(qū)某超市的廣告支出是3萬(wàn)元，則該超市的銷售額一定是17.6萬(wàn)元【正確答案】AC【分析】計(jì)算樣本中心點(diǎn)并代入線性回歸方程可得從而判斷A，利用可判斷B，由殘差的概念可判斷C，由線性回歸方程只能進(jìn)行數(shù)據(jù)估計(jì)可判斷D.【詳解】由題意，，，樣本中心點(diǎn)為，代入中，可得，故A正確；由，得，，，所以，故B錯(cuò)誤；由殘差的計(jì)算可知，若殘差的平方和越小，則模型的擬合效果越好，故C正確；若該地區(qū)某超市的廣告支出是3萬(wàn)元，則該超市的銷售額估計(jì)值為（萬(wàn)元），但不一定是17.6萬(wàn)元，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）A.三角形的周長(zhǎng)是12B.若雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且雙曲線的焦距為8，則雙曲線為C.若，則的位置不唯一D.若是雙曲線左支上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是【正確答案】ACD【分析】結(jié)合雙曲線和圓的性質(zhì)以及點(diǎn)到直線的距離公式可得A正確；由相同漸近線方程設(shè)出雙曲線方程，再由焦距解出即可得B錯(cuò)誤；由橢圓的軌跡和圓的位置關(guān)系得到C正確；由雙曲線的定義結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系得到D正確；【詳解】由題意可得雙曲線，，，，，，圓心坐標(biāo)，半徑，A，，，，所以三角形的周長(zhǎng)是12，故A正確；B，由題意可設(shè)雙曲線的方程為或，變形為標(biāo)準(zhǔn)形式或，，又雙曲線的焦距為8，所以，所以雙曲線為或，故B錯(cuò)誤；C，，所以點(diǎn)軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，且，，，所以軌跡方程為，圓心坐標(biāo)代入橢圓方程可得，所以圓心在橢圓上，又點(diǎn)是圓上點(diǎn)，畫(huà)出圖形可得所以，的位置不唯一，故C正確；D，由雙曲線的定義可得，所以，所以，因?yàn)?，所以?dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，又因?yàn)榈淖钚≈禐椋缘淖钚≈凳?，故D正確；故選：ACD.11.已知增函數(shù)的定義域?yàn)檎麛?shù)集，的取值也為正整數(shù)，且滿足.下列說(shuō)法正確的是（）A.B.C.D.對(duì)任意正整數(shù)，都有【正確答案】ABD【分析】列出的值，歸納規(guī)律，可得問(wèn)題結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉檎麛?shù)，且單調(diào)遞增.因?yàn)椋ㄈ?，則，所以矛盾），所以或（且）若（且），令，則；再令，則，因?yàn)?，所以，即，這與矛盾.所以不成立.所以.所以；；；又因?yàn)闉檎麛?shù)，且單調(diào)遞增，所以；…可得下表：123456789101112131415162356791112131415171921232417181920212223242526272829303132252627282930313335373941434547483334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626365故AB正確；因?yàn)椋?，，，，…所以，故D正確；因?yàn)?，故C錯(cuò).故選：ABD方法點(diǎn)睛：先確定f1的值，因?yàn)?，且，所以或，若根?jù)繼續(xù)往下推，得到的結(jié)果就不滿足單調(diào)遞增，所以成立.第Ⅱ卷三?填空題：本題共3小題，共15分.12.已知復(fù)數(shù)，則______.【正確答案】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，然后利用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算公式求解即可.【詳解】，故.故13.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則__________.【正確答案】3【分析】由題意得，進(jìn)一步由等差數(shù)列基本量的計(jì)算即可得解.【詳解】由題意，所以，所以（為公差）.故答案：3.14.甲乙兩人進(jìn)行一場(chǎng)抽卡游戲，規(guī)則如下：有編號(hào)的卡片各1張，兩人輪流從中不放回的隨機(jī)抽取1張卡片，直到其中1人抽到的卡片編號(hào)之和等于12或者所有卡片被抽完時(shí)，游戲結(jié)束.若甲先抽卡，求甲抽了3張卡片時(shí)，恰好游戲結(jié)束的概率是______.【正確答案】【分析】依題意可知游戲結(jié)束時(shí)共抽取了5張卡片，甲抽取的三張卡片數(shù)字之和為12，乙抽取的兩張卡片數(shù)字之和不為12，分別計(jì)算出所對(duì)應(yīng)的排列總數(shù)即可得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)題意可知甲抽了3張卡片時(shí)，恰好游戲結(jié)束相當(dāng)于從7張卡片中抽取了5張，且甲抽取的三張卡片數(shù)字之和為12，乙抽取的兩張卡片數(shù)字之和不為12；總的情況相當(dāng)于從7張卡片中抽取了5張并進(jìn)行全排列，即共種排法；其中三張卡片數(shù)字之和為12的組合有；；；；共5種情況；當(dāng)甲抽取的數(shù)字為；；；時(shí)，乙在剩余的4個(gè)數(shù)字中隨意抽取兩張卡片再進(jìn)行排列，共有種；當(dāng)甲抽取的數(shù)字為時(shí)，若乙抽取的兩張卡片數(shù)字可能為，此時(shí)不合題意，此時(shí)共有種；所以符合題意的排列總數(shù)為種，可得所求概率為.故關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于首先明確游戲結(jié)束時(shí)甲乙兩人抽取的卡片張數(shù)以及數(shù)字之和的所有情況，再利用全排列公式計(jì)算出各種情況對(duì)應(yīng)的種類數(shù)可得結(jié)論.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知數(shù)列an的首項(xiàng)，且滿足.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求滿足條件的最大整數(shù).【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析，（2）12【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義證明數(shù)列為等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；（2）利用分組求和法求得，記，判斷出單調(diào)遞增，再分別取和驗(yàn)證即可.小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，又，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；所以，所以；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，記，則，所以單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，不符合；當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為12.16.如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是正方形，.（1）若是中點(diǎn)，證明：；（2）若，求平面與平面所成角的正切值.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）先依次證明，由線面垂直判定定理可得平面，進(jìn)一步結(jié)合線面垂直性質(zhì)即可得證；（2）思路一：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系求出兩個(gè)平面的法向量，結(jié)合向量夾角公式即可求解；思路二：用定義法說(shuō)明是二面角的平面角，進(jìn)一步計(jì)算即可求解.【小問(wèn)1詳解】是中點(diǎn)，，平面平面平面，平面，又與是平面內(nèi)的兩條相交直線，平面，；【小問(wèn)2詳解】解法一：（坐標(biāo)法）過(guò)作于平面平面平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，平面的一個(gè)法向量為，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x,y,z則，令，解得，所以平面的一個(gè)法向量為cos<m平面與平面所成的角記為，，即平面與平面所成角的正切值是，解法二：（幾何法）記平面與平面的交線為，平面平面，即直線兩兩平行，又平面平面，平面與平面所成角與二面角的平面角互余，過(guò)作于平面平面平面，過(guò)點(diǎn)作于，連接是二面角的平面角，平面與平面所成角的正切值為，，，即平面與平面所成角正切值是.17.平面內(nèi)有一點(diǎn)和直線，動(dòng)點(diǎn)滿足：到點(diǎn)的距離與到直線的距離的比值是.點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是曲線，曲線上有四個(gè)動(dòng)點(diǎn).（1）求曲線的方程；（2）若在軸上方，，求直線的斜率；（3）若都在軸上方，，直線，求四邊形的面積的最大值.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）由已知條件列出方程化簡(jiǎn)即可；（2）設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，設(shè)，與（3）延長(zhǎng)，交橢圓于點(diǎn)，四邊形的面積，設(shè)，利用韋達(dá)定理結(jié)合基本不等式求的最大值.【小問(wèn)1詳解】由題意，兩邊平方得，化簡(jiǎn)得，所以曲線的方程為；【小問(wèn)2詳解】，即，則直線的斜率是正數(shù)，設(shè)，直線的斜率為，設(shè)Ax1,化簡(jiǎn)得，所以，由題意知，代入，消，可得，解得，所以直線的斜率是；【小問(wèn)3詳解】延長(zhǎng)，交橢圓于點(diǎn)，，由對(duì)稱性可知，和等底等高，，四邊形的面積，設(shè)，由（2）知，所以，即，令，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取到最大值，此時(shí)分別在正上方.方法點(diǎn)睛：解答直線與圓錐曲線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系，涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形，強(qiáng)化有關(guān)直線與圓錐曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．18.已知函數(shù)，其中是實(shí)數(shù).（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)不具有單調(diào)性，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若恒成立，求的最小值.【正確答案】（1）在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減（2）（3）【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，解不等式即可求解；（2）由題意在定義域內(nèi)有異號(hào)零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理列不等式求解即可；（3）易知當(dāng)時(shí)，，再證能成立，即證：存在，使得恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其最值即可求解.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，令，解得，令，解得，所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；【小問(wèn)2詳解】函數(shù)的圖象是連續(xù)的，且不具有單調(diào)性，在定義域內(nèi)有正有負(fù)（有異號(hào)零點(diǎn)），記，則在為負(fù)，為正，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，故存在，使得，只需，即.【小問(wèn)3詳解】對(duì)任意都成立，當(dāng)時(shí)，，下證：能成立，即證：存在，使得恒成立，記，故（必要性），而，則，解得，只需證：恒成立，，由（2）知，其在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，在為正，在為負(fù)，在為負(fù)，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，，得證；綜上，的最小值為0.方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中