2024-2025學(xué)年天津市武清區(qū)高三上冊第一次月考數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年天津市武清區(qū)高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測試卷第Ⅰ卷一、選擇題（本題共9道小題，每小題5分，共45分）1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由補(bǔ)集的運(yùn)算即可求解.【詳解】解：，，故選：B．2.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】D【分析】分別化簡和,再根據(jù)充分、必要條件判斷即可.【詳解】因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，且,所以，即因?yàn)椋?即,所以存兩種情況：且，且，因此推不出,同樣推不出,因此“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.3.函數(shù)的圖象大致為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用函數(shù)的定義域排除A，結(jié)合時(shí)的函數(shù)值恒大于0排除CD，則可得答案.【詳解】由得．排除A；當(dāng)時(shí)，，所以．排除CD．又，當(dāng)時(shí)，，故，故B中圖象符合題意，故選：B4.已知，則（）A.25 B.5 C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化，冪的運(yùn)算性質(zhì)以及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可解出．【詳解】因?yàn)?，，即，所以．故選：C.5.若1為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合是函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)，得出不等式，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，令，可得或，因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)，則滿足，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.6.已知奇函數(shù)在上是增函數(shù)，．若，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】先判斷出函數(shù)單調(diào)性，再比較這3個(gè)數(shù)的大小，然后利用單調(diào)即可.【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)且在上是增函數(shù)，所以在時(shí)，，從而是上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，，，又，則，所以即，，所以.故選：C．7.中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責(zé)之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬、“馬主曰：“我馬食半牛，”今欲衰償之，問各出幾何？此問題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償5斗粟、羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半，”馬主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半，”打算按此比例償還，他們各應(yīng)償還多少？該問題中，1斗為10升，則馬主人應(yīng)償還（）升粟.A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列列式計(jì)算即得.【詳解】依題意，羊、馬、牛主人應(yīng)償還量構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，設(shè)馬主人應(yīng)償還升粟，則，解得，所以馬主人應(yīng)償還升粟.故選：C8.已知函數(shù)，若對任意，有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】先根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)fx單調(diào)遞減，結(jié)合函數(shù)是偶函數(shù)得出，最后應(yīng)用結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】因?yàn)?，所?令,因?yàn)?，所以單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以fx為偶函數(shù)，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以.故選：B.9.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且滿足．給出下列結(jié)論，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）①；②若，則函數(shù)的最小正周期為；③關(guān)于的方程在區(qū)間上最多有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解；④若函數(shù)在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為．A.1 B.2 C.3 D.4【正確答案】C【分析】①利用函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，即可得出答案.②利用函數(shù)關(guān)于軸對稱，再結(jié)合①即可得出答案.③利用函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，即可求出周期的取值范圍，當(dāng)取最小值時(shí)，實(shí)數(shù)解最多，求出其實(shí)數(shù)解即可判斷.④利用函數(shù)在區(qū)間上恰有個(gè)零點(diǎn)結(jié)合①可得出，再結(jié)合在區(qū)間上單調(diào)時(shí)，即可得出的取值范圍.【詳解】①因?yàn)榍?，所?①正確.②因?yàn)樗缘膶ΨQ軸為,.②正確.③在一個(gè)周期內(nèi)只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)且，.當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上實(shí)數(shù)解最多為共3個(gè).③正確.④函數(shù)在區(qū)間上恰有個(gè)零點(diǎn)，，解得；又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)且，，即，所以.④錯(cuò)誤故選：C第Ⅱ卷二、填空題（本題共6道小題，每題5分，共30分）10.已知是復(fù)數(shù)，若，則______.【正確答案】【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算規(guī)則化簡即可.【詳解】，則.故答案為.11.已知平面向量，若，則______．【正確答案】【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算和向量垂直的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.【詳解】，因?yàn)?，所以，即，解?故答案為.12.已知為銳角，且，則________．【正確答案】【分析】根據(jù)和差角公式以及輔助角公式可得，即可利用二倍角余弦公式求解，進(jìn)而根據(jù)同角關(guān)系即可求解.【詳解】由可得，故，由于為銳角，故，則，結(jié)合，故，因此，故答案為；13.已知且，則的最小值為___________.【正確答案】【分析】令，，將已知條件簡化為；將用表示，分離常數(shù)，再使用“乘1法”轉(zhuǎn)化后利用基本不等式即可求得最小值．【詳解】解：令，，因?yàn)?，所以，則，，所以,所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，，即時(shí)取“”，所以的最小值為.故答案為.14.在中，是邊的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn).設(shè)，試用表示為___________；若的面積為，則當(dāng)___________時(shí)，取得最小值.【正確答案】①.②.2【分析】根據(jù)向量加減法的線性運(yùn)算即可求解，由的面積求得的值，利用平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算求出，利用基本不等式求出它取最小值時(shí)、的值，再利用余弦定理求出的值．【詳解】是邊的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，則，所以如圖所示，中，，所以的面積為，所以；所以；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以的最小值為6；所以此時(shí)，，，所以，所以．故；2．15.設(shè)，函數(shù)，若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．【正確答案】或【分析】對實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，分別畫出不同取值情況的的函數(shù)圖象，函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，說明的圖象與的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，通過斜率的變化即可確定實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，所以y=fx的圖象與的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，如圖所示，y=fx的圖象與的圖象僅有兩個(gè)交點(diǎn)，與題意不符；當(dāng)時(shí)，如圖所示，在上，當(dāng)與相切時(shí)，聯(lián)立，得，則，得（舍去），由圖可知，當(dāng)時(shí)，與y=fx在有一個(gè)交點(diǎn)，在0,+∞有兩個(gè)交點(diǎn)，與題意不符，所以當(dāng)時(shí)，與y=fx在無交點(diǎn)，在0,+∞有兩個(gè)交點(diǎn)，與題意不符，當(dāng)時(shí)，與y=fx在無交點(diǎn)，在0,+∞有三個(gè)交點(diǎn)，與題意不符，當(dāng)時(shí)，與y=fx在無交點(diǎn)，在0,+∞有四個(gè)交點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，如圖所示，在上，當(dāng)與相切時(shí)，聯(lián)立，得，則，得（舍去），由圖可知，當(dāng)時(shí)，與y=fx在有兩個(gè)交點(diǎn)，在0,+∞有四個(gè)交點(diǎn)，與題意不符，當(dāng)時(shí)，與y=fx在有兩個(gè)交點(diǎn)，在0,+∞有三個(gè)交點(diǎn)，與題意不符，當(dāng)時(shí)，與y=fx在有兩個(gè)交點(diǎn)，在0,+∞有兩個(gè)交點(diǎn)，符合題意，當(dāng)時(shí)，與y=fx在有一個(gè)交點(diǎn)，在0,+∞有兩個(gè)交點(diǎn)，與題意不符.綜上所述，或.故或.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，關(guān)鍵在于數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想，需要通過討論取值范圍的不同，結(jié)合范圍的限制，判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，然后推出的范圍即可.三、解答題（本題共5道大題，共75分）16.已知數(shù)．（1）求的最小正周期和對稱軸方程；（2）求在的最大值和最小值．【正確答案】（1）最小正周期為，對稱軸方程為，，（2）的最小值，最大值.【分析】（1）由三角函數(shù)恒等變換化簡，由周期公式即可求得最小正周期；利用整體法求得對稱軸方程，（2）先求出的范圍，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)求最值．【小問1詳解】，所以函數(shù)的最小正周期為．令，，解得，，所以函數(shù)圖象的對稱軸方程為，，【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，則，進(jìn)而可得，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取最小值，時(shí)，即時(shí)，取最大值.17.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求角B的大?。唬?）設(shè)，．（?。┣骯的值；（ⅱ）求的值．【正確答案】（1）（2）(i)；(ii)【分析】（1）由已知結(jié)合正弦定理及余弦定理列出方程即可求解B；（2）(i)由余弦定理結(jié)合上問求邊長即可.(ii)利用余弦定理結(jié)合同角平方關(guān)系可求的正弦和余弦值，然后結(jié)合二倍角公式及兩角和的正弦公式即可求解.【小問1詳解】由正弦定理，可化為小問2詳解】（i）由余弦定理得，由得解得（ii）由余弦定理得，，18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若對于任意的，有，求的取值范圍.【正確答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，在和上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，在上遞增；當(dāng)時(shí)，在和上遞減，在上遞增.（3）【分析】（1）直接計(jì)算導(dǎo)數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)的定義即可；（2）對分情況判斷的正負(fù)，即可得到的單調(diào)區(qū)間；（3）對和兩種情況分類討論，即可得到的取值范圍.【小問1詳解】由，知.所以當(dāng)時(shí)，有，.故曲線在處的切線經(jīng)過，且斜率為，所以其方程為，即.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，對有，對有，故在和上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，對有，故在上遞增；當(dāng)時(shí)，對有，對有，故在和上遞減，在上遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在和上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，在上遞增；當(dāng)時(shí)，在和上遞減，在上遞增.【小問3詳解】我們有當(dāng)時(shí)，由于，，故根據(jù)（2）的結(jié)果知在上遞增.故對任意的，都有，滿足條件；當(dāng)時(shí)，由于，故.所以原結(jié)論對不成立，不滿足條件.綜上，的取值范圍是.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于對進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸愑懻摚娇傻玫剿蟮慕Y(jié)果.19.設(shè)是等差數(shù)列，是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列．且．（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【正確答案】（1），，（2）【分析】（1）先設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，再根據(jù)題干已知條件列出關(guān)于公差與公比的方程組，解出與的值，即可計(jì)算出等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）先根據(jù)第（1）題的結(jié)果計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再求數(shù)列的前項(xiàng)和時(shí)分奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別計(jì)算，奇數(shù)項(xiàng)求和運(yùn)用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和，偶數(shù)項(xiàng)求和時(shí)運(yùn)用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求和，最后綜合即可得到前項(xiàng)和的結(jié)果．【小問1詳解】由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則，化簡，得，整理，解得（舍去），或，則，，，．【小問2詳解】由（1）可得，，，令，則，，兩式相減，可得，，令，則，．20.已知函數(shù)，．（1）若，討論在上單調(diào)性．（2）設(shè)為方程的實(shí)數(shù)根，其中，．（ⅰ）證明：，有；（ⅱ）若，，證明：．【正確答案】（1）答案見解析（2）（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）證明見解析【分析】（1）先求出的導(dǎo)函數(shù)f'x，然后對參數(shù)分類討論確定在上的單調(diào)性即可.（2）（?。├貌坏仁降男再|(zhì)和構(gòu)造函數(shù)法證明不等式成立，再利用不等式放縮法和裂項(xiàng)相消法即可證明出結(jié)論；（ⅱ）先根據(jù)已知條件得到關(guān)于的等式，再利用換元法將所證不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，最后利用不等式放縮法即可證明結(jié)論.【小問1詳解】因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以，所以．①若，?dāng)時(shí)，f'x>0，所以在上單調(diào)遞增；②若，當(dāng)時(shí)，f'x<0，當(dāng)時(shí)，f'x>0，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；③若，當(dāng)時(shí)，f'x<0，所以在上單調(diào)遞減．綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減．【小問2詳解】（?。┮?yàn)?，所以，所以．令，則，所以在0,+∞上單調(diào)遞增，所以x∈0,+∞時(shí)，，即，所以．所以，，，所以，即．（ⅱ）由，得，當(dāng)時(shí)，由得