解析：重慶市巴南區(qū)2024屆高三診斷（一）數(shù)學(xué)試題（解析版）

高2024屆高考診斷考試（一）數(shù)學(xué)試題

（試卷滿分：150分120分鐘完卷）

一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）

1.已知集合AX、國(guó)』〉。},8={0,1,2,3,4},則隔4）IB=（）

A.{1,2}B.{0,1,2}C.{1,2,3；D.{0,1,2,3）

【答案】B

【解析】

【分析】先解出集合A，找到A的補(bǔ)集，再求出和4的交集.

【詳解】因?yàn)锳={x|2x2—5x>0}=(Yo,0)U(g,+8),所以為4=0,|,又3={0,1,2,3,4},所以

&A)I8={0,1,2}.

故選：B.

0?

已知復(fù)數(shù)則，=

2.z=—^7,)

1+21

A.l+2iB.l-2iC.2+iD.2-i

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)向量的除法法則求復(fù)數(shù)z,再由共加復(fù)數(shù)定義求5.

5i(l-2i)6.

【詳解】V2=-----;---------=2+1,

z=2—i-

故選：D.

心.（兀11?（2兀。）

3.已知sin[x+kJ=-§,貝ijco;（丁一2xJ=（）

72

A.----B.----C.

99

【答案】A

【解析】

【分析】利用誘導(dǎo)公式、余弦的倍角公式可得答案.

【詳解】因?yàn)閟infx+l]=_,所以

k6J3

2兀_|7C_I..兀7

cos生一2x=兀-￥--2-x=-cos—+2x=-l-2sinx+—

I3)3(36JT㈢9

故選:A.

4.數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，約3000年以前，我國(guó)人民就創(chuàng)造出了屬于自己的計(jì)數(shù)方法.十進(jìn)制的算籌計(jì)數(shù)法就是

中國(guó)數(shù)學(xué)史上一個(gè)偉大的創(chuàng)造，算籌實(shí)際上是一根根同長(zhǎng)短的小木棍.下圖是利用算籌表示數(shù)1?9的一種

方法.例如：3可表示為“三”，26可表示為“二1”，現(xiàn)有5根算籌，據(jù)此表示方法，若算籌不能剩余，則用

1?9這9個(gè)數(shù)字表示的所有兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為5的概率是（）

一=三三?-L=L工

1234567X9

15八17

A.—B.—C.-D.

3122V2

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意把5根算籌所能表示的兩位數(shù)列舉出來(lái)后，求出數(shù)字和為5的兩位數(shù)個(gè)數(shù)作答.

【詳解】1根算籌只能表示1,2根算籌可表示2和6,3根算籌可表示3和7,4根算籌可表示4和8,5根

算等可表示5和9,

因此5根算籌表示的兩位數(shù)有14,18,41,81,23,27,32,72,63,67,36,76,共12個(gè),

其中個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為5的有14,41,23,32,共4個(gè)，

41

所以所求概率為P==

123

故選：A

9

5.若數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)積4=1-百〃，則明的最大值與最小值的和為（）

A.-3B.-IC.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】由題可得q=1+/—,利用數(shù)列的增減性可得最值.

2H-17

2

【詳解】???數(shù)歹U｛為｝的前〃項(xiàng)積7；=1—百〃，

當(dāng)〃=1時(shí)，a.=一,

15

當(dāng)〃之2時(shí)，a,=J^=—二〃::］十^^,

?,的l-l（n-l）2〃772〃-17

15'）

〃=1時(shí)也適合上式，

,2

/.（l=1H----------?

n2/1-17

???當(dāng)〃K8時(shí)，數(shù)列｛4｝單調(diào)遞減,且*vl,

當(dāng)〃29時(shí)，數(shù)列｛%｝單調(diào)遞減，且%>1,

故品的最大值為％=3,最小值為6二一1,

???%的最大值與最小值之和為2.

故選：C.

6.如圖所示，正方形48co的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)七，F(xiàn)，G分別是邊8C,CD,AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段

E尸上的動(dòng)點(diǎn)，則GP-AP的最小值為（）

【答案】A

【解析】

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P（x,y）,FP=AFE，（^E［0,1］）,即可得到y(tǒng)=3—x、工=1+幾,

根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到GP?八P，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

【詳解】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則A（0,0）、G（0』）、E（2』）、/（1,2）,

設(shè)P（x,3）,FP=AFE，（2G［0,1］）?則（冗-14-2）=4（1「1）,

x-\=A

所以

y-2=-A

所以工一1=一(),一2),即y=3—x,所以GP=(x,y-l),AP=(x,y),

所以G戶戶=/+y(y—l)=x2+(3-x)(2—x)=2x2-5x+6

J5丫23

=2x一一+—，

I4)8

523

又x=l+/l￡[l,2],所以當(dāng)x時(shí)GPSP取得最小值為不.

7.橢圓C:二十與=1(。>/7>0)的左右焦點(diǎn)為片，E,點(diǎn)P為橢圓上不在坐標(biāo)釉上的一點(diǎn)，點(diǎn)M,N

a~b~

滿足￡M=MP，2ON=OP+OF2,若四邊形MQVP的周長(zhǎng)等于4〃，則橢圓。的離心率為e二

()

A1B.正C.也D.亞

2223

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)=2ON=OP+OFh可得點(diǎn)M為線段尸耳的中點(diǎn)，點(diǎn)N為線段尸人的中點(diǎn)，再

根據(jù)四邊形MONP的周長(zhǎng)結(jié)合橢圓的離心率公式即可得解.

【詳解】因?yàn)椤闙=MP,所以點(diǎn)”為線段尸片的中點(diǎn)，

因?yàn)?ON=OP+OR,所以O(shè)N-OP=OF2-ON,

即PN=NF?,所以點(diǎn)N為線段2鳥的中點(diǎn)，

又因點(diǎn)。為線段打入的中點(diǎn),

所以O(shè)M〃尸乙且|0例|二3尸周，ON〃PG且|0N|用,

22

所以四邊形MONQ的周長(zhǎng)為儼用+1P周，

又因點(diǎn)P為橢圓上不在坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)，所以|P周+歸周=2%

所以2。=48，即2=4，

a2

故橢圓C的離心率為e=￡=、［X=3.

a\a22

8.已知偶函數(shù)/（%）滿足〃4+力=/（4一力,/（0）=-1,且當(dāng)工?0,4］時(shí)，/（力=一.若關(guān)于x

的不等式在［T8,48］上有且只有60個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

/-八ln2）（,\n2］ln2\n3}

A.（-1,0］B.C.［-1*—Jd?［彳，亍）

【答案】B

【解析】

【分析】分析可知，函數(shù)/（X）是周期為8的周期函數(shù)，由題意可得關(guān)于％的不等式/（另＞々在［0,8）上有

且只有5個(gè)整數(shù)解，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】囚為偶函數(shù)/（力滿足/（4+八）=/（4一八），則/（八十4）=/（八一4）,即/（八+8）=/（4），

所以，函數(shù)/（“是周期為8的周期函數(shù)，

當(dāng)xe（0,4］時(shí)，/（力=上學(xué),令r（x）=o,可得x=e.

X

由用司＞0可得Ocxve,由ra）＜0可得evx?4.

所以，函數(shù)〃力在（O,e）上單調(diào)遞增,在（e,4］上單調(diào)遞減，

因?yàn)殛P(guān)于X的不等式"6＞。在［-48,48］上有且只有60個(gè)整數(shù)解，

則關(guān)于4的不等式/（力＞〃在［0,8）上有且只有5個(gè)整數(shù)解，如下圖所示:

因?yàn)?（4）=等=午=竽=/（2），且〃6）=〃2）,

又因?yàn)?（3）＞/（4）,所以，要使得不等式/（可＞。在［0,8）上有且只有5個(gè)整數(shù)解,

則這五個(gè)整數(shù)解分別為3、5、2、4、6，

所以，/（1）,即0工〃＜竽，

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用不等式的整數(shù)解的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，解題的關(guān)鍵在于作出函數(shù)

的圖象，明確整數(shù)解是哪些整數(shù)，再結(jié)合圖形求解.

二、多選題（共4小題，每小題5分，共20分）

9.已知函數(shù)/（xbcosA-sin%,則（）

A./（x）=cos2%B./（X）的最小正周期為兀

C./（力在（（）,［）上單調(diào)遞減D./（“在卜找上單調(diào)遞增

【答案】ABC

【解析】

【分析】首先根據(jù)三角函數(shù)二倍角化簡(jiǎn)，然后利用整體代入法研究函數(shù)圖像即可；

【詳解】/（八）=cos?A-sin3A=cos2A,選項(xiàng)A正確;

所以函數(shù)/（x）的最小正周期為了二學(xué)二兀，選項(xiàng)B正確;

根據(jù)余弦函數(shù)圖像性質(zhì)，年Ju（0,7i）（余弦函數(shù)對(duì)應(yīng)的單調(diào)遞減區(qū)間），函數(shù)單調(diào)

遞減，選項(xiàng)C正確;

根據(jù)余弦函數(shù)圖像性質(zhì)，xu1—（一兀,0）（余弦函數(shù)對(duì)應(yīng)單調(diào)遞增區(qū)間），函數(shù)

不單調(diào)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

故選:ABC.

10.某市為響應(yīng)教育部《切實(shí)保證中小學(xué)每天一小時(shí)校園體育活動(dòng)的規(guī)定》號(hào)召，提出“保證口小學(xué)生每天

一小時(shí)校園體育活動(dòng)”的倡議.在某次調(diào)研中，甲、乙兩個(gè)學(xué)校學(xué)生一周的運(yùn)動(dòng)時(shí)間統(tǒng)計(jì)如下表：

學(xué)校人數(shù)平均運(yùn)動(dòng)時(shí)間方差

年校2000103

乙校300082

記這兩個(gè)學(xué)校學(xué)生一周運(yùn)動(dòng)的總平均時(shí)間為［，方差為『，則（）

Ax=8.7B.x=8.8

C.$2=3.36D.『=3.56

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算公式求解.

2000X10+—30°°—x8=8.8,

【詳解】依題意，總平均時(shí)間為工=

2000+30002000+3000

20003000223

方差為『=3+（10-8.8『卜2+（8-8.8）1=-x4.44+-x2.64=3.36.

2000+3000L2000+3000L）」55

故選：BC

11.如圖，平行六面體AC中，NAAO=NAA3=45。，AD=AB,AC與交于點(diǎn)O,則下列說(shuō)法

A.平面ACC14_L平面30〃四

B.若|AO|=|AO|,則平行六面體的體積V=/|AC|S四邊形8mg

C.AXO=^AB+^AD^AA]

D.若NRW=60。，則cosNA,AC=巫

3

【答案】ABD

【解析】

[分析]對(duì)于A,由題意可得四邊形A3CQ為菱形，則可得BD1AC,再計(jì)算胡，可得BD1A4,,

從而得工平面ACGA，再利用面面垂直的判定定理可得結(jié)論；對(duì)于B,連接A。，可得AC_LAA,

從而可證得ACJ,平面BOA用，進(jìn)而可求出體積，對(duì)于C,利用空間向量的加法分析判斷，對(duì)于C,設(shè)

A8=a,AA=/>,則可得a。=石〃AC=￡a，然后利用向量的夾角公式計(jì)算判斷.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)樵谄叫兴倪呅蜛BCO中，AD=AB^所以四邊形A8CO為菱形，所以

BD1AC,

因?yàn)镹AAD=/A〕AB=45°,AD=AB?

所以A力?AA=叫?卜4COS45°,4MA4J=44河際45。,所以AZ>A4,=AA,,

因?yàn)锽D=AD-AB>所以8OA4)=^AD-=AD-AAy-AB-AAy=0t

所以8O_LAA，所以〃。_LA4,,

因AAAAC=A,AApACu平面ACC14,所以8OJ.平面ACG4,

因?yàn)?Z)u平面所以立面ACG4，平面所以A正確，

對(duì)干B,連接AC,因?yàn)镠a=ka，|4?=|3,所以|4。|=|。0|=|4。|，

所以△AAC為直角三角形，即AC，A4,因?yàn)?41〃8四，所以ACJ.8科，

因?yàn)橛蛇x項(xiàng)A知平面4CGA，4。匚平面人。。14,所以BD_LAC，

因?yàn)锽B[CBD=B,BB「BDu平面BDD網(wǎng),所以4,C平面8。。蜴，

所以平行六面體的體積

311[

==

V2咚梭柱")8.°=2X、VA-BD0tBi=3x^S四邊形明°。半40卜5四邊形四O。，所以B正確，

對(duì)干C,因?yàn)樗倪呅蜛3CO為平行四邊形，所以。為8。的中點(diǎn),

所以=+所以AO=AA+AO=AA+g4B+gAO,所以C錯(cuò)誤,

對(duì)于D,設(shè)A3=a,A41=Z?,因?yàn)樵诹庑蜛BC力中，NBAD=60。，所以

AC=2A0=2/lBcos30o=y/3a，

MAC_4A（A8+AQ）_2"cos45。_瓜

所以cos/AAC=,所以D正確,

|M|,|ACCabCab3

故選：ABD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查面面垂直的判斷，考查平行六面體體積

的求法，考查空間向量的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是正確利用平行六面體的性質(zhì)結(jié)合題意分析求解，考查空間想

能力和計(jì)算能力，屬于較難題.

12.已知函數(shù)/(x)=x(lTnx)，下列選項(xiàng)正確的是()

A/(X)有最大值

C.若xNe時(shí)，/(x)—a(e-x)K0恒成立，則

In%\nx_1111c

D.設(shè)方,與為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且2則一+—>2

X]x2x2x]

【答案】ACD

【解析】

【分析】對(duì)于A：求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性和最值；對(duì)于B：利用作差法比較大小；對(duì)于C利

用定點(diǎn)分析判斷；對(duì)于D：利用極值點(diǎn)偏離分析證明.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：由題意可得：函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?0,?、?，且〃x)=l—lnx—l=-lnx,

令用”)>0,解得0cxe1；令/(力<0,解得x>l；

則函數(shù)/(X)在(0,1)卜單調(diào)遞增.在(1,+8)卜單調(diào)遞減.

所以/(X)有最大值/(1)=1，故A正確

對(duì)干選項(xiàng)B：因?yàn)?日=斗

e\e)e\eJeJe

2⑶/]13(2-hi3)24-31n31.e4八

則f十/十二--------=------------=-ln—>0,

\eJVe)eeee27

所以故B錯(cuò)誤;

對(duì)干選項(xiàng)C：構(gòu)建波(x)=f(x)—〃(e-x),則F(x)=-lnx+〃,

因?yàn)楫a(chǎn)(e)=0,且當(dāng)xNe時(shí),廣(x)?0恒成立,

則k(e)=-l+nK0,解得aWI,

若,則b'(x)=-mx+a〈0當(dāng)xNe時(shí)恒成立，

則外”在［e,+8)上單調(diào)遞減，則/(“Wb(e)=0,符合題意

綜上所述：符合題意，故C正確；

Inx.Inx,11

對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)橐籐——-=------

X]x2x2X)

由選項(xiàng)A可知：函數(shù)/(“在(0J)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減,

當(dāng)工趨近于。時(shí)，/(%)趨近于()，且令/(力>0,解得0<x〈e,

八I,1

不妨設(shè)0<一<1<一<e,

玉x?

構(gòu)建g(x)=/(l+x)_/(l_x),x￡(O,l),

因?yàn)榍?(戈)=/'(1+力+/'(1_同=_111(1+/)―始(1_/)=_||1(1_12)>0在(0,1)上恒成立,

則g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，可得g(x)>g(o)=o,

所以/(l+x)>/(l-x)，x￡(O，l)，即/(2-x)>/(x),為￡(0,1),

(1)(1(1)

可得了-=/-</2-一，

?%

1一1

注意到了（X）在（1,I8）上單調(diào)遞減，且1V2—<2,1<—<e,

Ic11I-

所以一>2---即一+—>2,故D正確;

工2N玉/

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟

（1）作差或變形；

（2）構(gòu)造新的函數(shù)〃（x）；

（3）利用導(dǎo)數(shù)研究〃（力的單調(diào)性或最值；

（4）根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式.

特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時(shí)，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個(gè)函數(shù)的最值問(wèn)

題.

三、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）

2

13.（--X）”展開式中的各二項(xiàng)式系數(shù)之和為256,則/的系數(shù)是

x

【答案】112

【解析】

【分析】由二項(xiàng)式系數(shù)和等于2〃,求得〃的值，再利用展開式的通項(xiàng)公式計(jì)算即可.

【詳解】依題意得：2"=256,解得〃=8,

,2、8T

則=-(-x)r=(-I);-28-rC；x2r'\rGN,r<8,

由力?一8=4,解得1=6,

從而(-1)6C"=112.

故答案為：112.

14.現(xiàn)從甲、乙、丙3人中選派一人參加“垃圾分類”知識(shí)競(jìng)答，他們商議通過(guò)玩“石頭、剪刀、布”游戲解

決：如果其中兩人手勢(shì)相同，另一人不同，則選派手勢(shì)不同的人參加；否則重新進(jìn)行一局“石頭、剪刀、

布”游戲，直到確定人選為止.在每局游戲中，甲、乙、丙各自出3種手勢(shì)是等可能的，且各局游戲是相互

獨(dú)立的，則直到第三局游戲才最終確定選派人員的概率為.

【答案】N

27

【解析】

【分析】根據(jù)題意，先求出進(jìn)行一局游戲，沒有確定參加活動(dòng)人選的概率，然后根據(jù)各局游戲是相互獨(dú)立,

即可得到結(jié)果.

【詳解】設(shè)事件A表示“進(jìn)行一局游戲，成功確定參加活動(dòng)人選”，

則P（A）=

333

21

則進(jìn)行一局游戲，沒有確定參加活動(dòng)人選的概率為1--二一,

33

且各局游戲是相互獨(dú)立的，

則直到第三局游戲才最終確定選派人員的概率為x-=—.

故答案為：

27

15.己知等比數(shù)列｛%｝滿足；.+生-20,%+%―80.數(shù)列｛包｝滿足a=1（^2%（，26升），其前〃項(xiàng)

和為s“，若恒成立，則幾的最小值為.

3

【答案】一##0.3

10

【解析】

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為夕，求出％、4的值，可得出數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式，可求出也｝的通項(xiàng)

公式，求出S”，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求出言彳的最大值，即可得出實(shí)數(shù)丸的最小值.

+O

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為4,則生+仆=^（4+。2）=209=80,解得t7=4,

所以，q+4=4+《4=5。］=20,解得％=4,則〃"=qq"T=4"，

所以.bH=log??！?log24"=2n.

%一々=2（〃+1）—2〃=2,所以，數(shù)列也｝為等差數(shù)列，

所以，5.=出產(chǎn)1=*型=小+1）,

——2〃一2

則S”+8川+8+〃〃+§+］，

n

因?yàn)楹瘮?shù)產(chǎn)X+&+1在（0,2⑹上單調(diào)遞減，在（2后,+8）上單調(diào)遞增，

%—一=一=2仇63

當(dāng)〃=2時(shí)，$+82+117；當(dāng)〃=3時(shí)，而=

23b3

又因丐＜?xì)v,故市的最大值為帚

因此，磐石44對(duì)任意的〃￡1＜恒成立，所以，/l＞—，故4的最小值為二.

，,+N1010

故答案為：—.

16.已知拋物線），2=4%上存在兩點(diǎn)AB（AB異于坐標(biāo)原點(diǎn)。），使得NAO3=90°,直線A8與x軸

交于M點(diǎn)，將直線繞著M點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。與該拋物線交于C，。兩點(diǎn)，則四邊形AC8O面積的最小

值為.

【答案】80

【解析】

【分析】設(shè)直線AB的方程為x=+聯(lián)立方程組，由條件證明1=4,由此可得|4四，再求|。。|,求

四邊形AC8D面積的解析式，求其最小值即可.

【詳解】由已知直線A3的斜率存在，且不為0,

故可設(shè)直線AB的方程為x=〃D+f,

y2=4x

聯(lián)立廠，

x=my+1

消x得，y2-^my-4r=0.

方程y2-4my-4t=0的判別式A=16/M2+16/>0，

設(shè)A1,yj,3（孫必）,則y+>2=4肛yy2=-4，

所以$%二,?5■=〃

因?yàn)镹AO8=90。，

所以。4?OB=()，所以內(nèi)工2+)'。2=°，

所以，一4，=0,

又48異于坐標(biāo)原點(diǎn)。，所以y%w。，所以20,

所以，=4,

所以直線AB的方程為x=my+4,

22

且\AB\=\l\+nr\y2-y,|=5/l+w\l\6m+64=4不（而+4）

所以直線AB與x軸的交點(diǎn)為(4,0),

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4,0),

所以直線。。的方程為x=--y+4,

m

9-

y~-4x

聯(lián)立1j

x=——y+4

m

消才得，/+—y-16=0,

m

41A

方程），2+一丁-16=0的判別式A=r+64>0,

mnr

設(shè)。（七,％）,。（芻,%），則為+必=一2Y必=T6,

m

422

所以|CD|=7=64/M+1）（4/M+1），

m

由已知A4_LC￡）,

所以四邊形ACBD面積S=gx,8岡8|=8(〃，：2+4）（4〃5+1）,

設(shè)〃則4>。，s=J住業(yè)衛(wèi)辿，

所以詞笆士里士四

二8』4（/1+，1Y1+25心+，1+34,

AJ

由基本不等式可得九十工22,當(dāng)且僅當(dāng)4=1時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)〃?=±1,

2

設(shè)〃=2+；,可得向^---------(25、

S=8425〃+34=8收〃+5

/t

所以當(dāng)〃=2時(shí)，即m=±1時(shí)，S取最小值，最小值為80,

所以四邊形AC8O面積的最小值為80.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的

方程聯(lián)立，消去x（或y）建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的

等量關(guān)系.（2）涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為?；虿淮嬖诘忍厥馇樾?

四、解答題（共6小題，共70分）

17.在川中，角所對(duì)的邊分別為。也c,c=6Z（cosB+V3sinB）.

（1）求角A：

（2）若XBC的面積為且，且a=l,求的周長(zhǎng).

4

【答案】（1）B

6

⑵6+2

【解^5]

【分析】（1）利用正弦定理的邊角變換與三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)題干條件，從而得解:

（2）利用三角形面積公式與余弦定理分別得到反與〃+,.2的值，從而求得〃+。，由此得解.

【小問(wèn)1詳解】

c=a(cosB+JJsin8),

由正弦定理得sinC=sinA(cosB+>/3sinB),即sin(A+B)=sinAcosB+百sinAsinB>

即sinAcosR+cos4sinB=sinAcosB+6sinAsinB./.cosAsinB=bsin>4sinB.

8￡（0,兀）,.tsin8wO,

廠x/3

cosA=>/3sinA,「.tanA=——,

3

A€（0,7T）.：.A=\

【小問(wèn)2詳解】

=-/?csinA=—hcsin—=be=6，

ABC2264

又。=I,/,cosA=b+'----=—b1+c2=4，

2bc2

所以（〃+C）2=4+2〃C=4+2G=（退+1尸，即〃+c=J5+l（負(fù)值舍去）,

又。=1,所以-43c的周長(zhǎng)為々+6+c=G+2.

18.已知數(shù)列｛〃”｝的首項(xiàng)4:1,且滿足4Z+%=3X2".

（1）求證：｛q-2"｝是等比數(shù)列：

（2）求數(shù)列｛q｝的前項(xiàng)和S”.

【答案】（1）證明見解析

c[27-2,〃為偶數(shù)

（2）S"—[23-3,〃為奇數(shù)

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列的定義分析證明；

（2）先根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得知=（-1）"+2",再利用分組求和結(jié)合等比數(shù)列的求和公式運(yùn)算求解.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)镸+I+?！?3X2",即?！?|=一凡+3X2",

/,n+,

-an+3x2-22〃-%

則%"

32”…二口一

又因?yàn)?=1,可得4-2|=-1*0,

所以數(shù)列｛4-2"｝表示首項(xiàng)為一1,公比為-1的等比數(shù)列.

【小問(wèn)2詳解】

由⑴知勺-2"=-1x(—1)=(-1)\所以?！?(一1)"+2".

所以"=4+出+…+4=(_1_2)+(1+22)+???+[(_1)〃+2”]

=2(2〃-1)-匕宇-，

.1_1

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，可得S〃=2(2M-1x)--=2H+,-2；

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，可得5〃=2（2"-1）一?=2.—3；

2向-2,〃為偶數(shù)

綜上所述：5〃二

2向-3,〃為奇數(shù)

19.書籍是精神世界的入口，閱讀讓精神世界閃光，閱讀逐漸成為許多人的一種生活習(xí)慣，每年4月23日

為世界讀書日.某研究機(jī)構(gòu)為了解某地年輕人的閱讀情況，通過(guò)隨機(jī)抽樣調(diào)查/100位年輕人，對(duì)這些人每

天的閱讀時(shí)間（單位：分鐘）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100位年輕人每天閱讀時(shí)間的平均數(shù)X（單位：分鐘）；（同一組數(shù)據(jù)用

該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示）

（2）若年輕人每天閱讀時(shí)間X近似地服從正態(tài)分布N（〃,100）,其中〃近似為樣本平均數(shù)1，求

P（64<X<94）；

（3）為了進(jìn)一步了解年輕人的閱讀方式，研究機(jī)構(gòu)采用分層抽樣的方法從每天閱讀時(shí)間位于分組

[50,60）,[60,70）,[80,90）的年輕人中抽取1（）人，再?gòu)闹腥芜x3人進(jìn)行調(diào)查，求抽到每天閱讀時(shí)間位

干[80,90）的人數(shù)J的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附參考數(shù)據(jù)：若,則①P(…vX?…)=0.6827；②尸(〃-2bvX?4+2J)=0.9545；③

-3b<X<〃+3b)=0.9973.

【答案】(1)74

(2)0.8186

(3)分布列見解析；期望為g

【解析】

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖以及平均數(shù)的計(jì)算方法計(jì)算即可；

(2)依據(jù)P(〃—5<XW〃+2?=P(64vXW94),利用正態(tài)分布的對(duì)稱性計(jì)算即可；

(3)先由題意得到隨機(jī)變量百的取值，并分別計(jì)算相應(yīng)的概率，然后列出分布列，并按期望公式計(jì)算即

可.

【小問(wèn)1詳解】

根據(jù)頻率分布直方圖得：

x=(55x0.01+65x0.02+75x0.045+85x0.02+95x0.005)xl0=74.

【小問(wèn)2詳解】

由題意知X?N(74,100),即〃=74,b=10,

所以P(64<X<94)=P(〃-3<X<〃+26)=66827=08186

【小問(wèn)3詳解】

由題意可知［50,60),［60,70)和［80,90)的頻率之比為：1：2:2,

故抽取的10人中［50,60),［60,70)和［80,90)分別為:2人，4人，4人,

隨機(jī)變最&的取值可以為0,1,2,3,

C31c2C'1

p《=0）=演葭，P（"i）=3=w，

jo°jo乙

雄=2)=詈尸…噌

故《的分布列為:

40113

\_31

P

62To30

所以七（4）=0x‘+lxL+2xa+3x-!-=9.

6210305

20.如圖所示，在三棱錐P—A8C中，已知R4_L平面A8C,平面PA8_L平面P8C.

（1）證明：3cl平面Q4B：

（2）若F4=A3=6,BC=3,在線段PC上（不含端點(diǎn)），是否存在點(diǎn)。，使得二面角4—AO—C的

余弦值為典，若存在，確定點(diǎn)。的位置；若不存在，說(shuō)明理由.

5

【答案】（1）證明見解析

（2）存在；。是PC上靠近。的三等分點(diǎn)

【解析】

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作A￡J_心于點(diǎn)E,由面面垂直性質(zhì)定理可得AEJ_平面尸3C,由此證明AE_L5C,

再證明24_L3C,根據(jù)線面垂直判定定理證明結(jié)論；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平UACO,平面加的法向量，利用向量夾角公式求法向量夾角，由條件

列方程確定點(diǎn)。的位置；

【小問(wèn)I詳解】

過(guò)點(diǎn)人作4石_1,依于點(diǎn)E，

因?yàn)槠矫嫣?1,平面P3C,且平面P43c平面03C=尸8,AEu平面RW，

所以AE1.平面PBC,

乂8Cu平面03C,所以A￡_LBC,

又B4_L平面ABC,3Cu平面P8C,

所以EA_LBC,

又因?yàn)锳E】A4=A,AE,Hu平面

所以4cl平面

【小問(wèn)2詳解】

假設(shè)在線段夕。上（不含端點(diǎn)），存在點(diǎn)O,使得二面角5—AO—C的余弦值為巫,

5

以8為原點(diǎn)，分別以8C、84為x軸，）'軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

則4((),6,0),5(0,0,0),C(3,0,0),尸(0,6,6),

AC=(3,-6,0),A尸二(0,0,6),PC=(3,-6,-6),BA=(0,6,0),

設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為m-（x,y,z）,

〃!?AC=0,3x-6v=0,

即取x=2,y=1,z=0,

m?AP=0,6z=0,

所以〃z=（2,1,0）為平面ACD的一個(gè)法向量,

因?yàn)?。在線段PC上（不含端點(diǎn)），所以可設(shè)PZ）=/lPC=（3Z-64-62）,

所以A。=AP+=(34-64,6—6A)，

設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為n=（x,y,z）,

凡,BA=0,6y=0,

即，

〃?A。=0,+(6-6A)z=0,,

取工=22—2,y=0,z=X,

所以〃=（2%—2,0,九）為平面至。的一個(gè)法向量,

2x(2/l-2)+lx()+0xA

cos(m,n

V5x^(2/l-2)2+22，又OvAvl,

2x(24-2)V10

由已知可得逐X,(24-2)2+分于

解得2=3或4=2（含去），所以，存在點(diǎn)。，使得二面角3—4）一。的余弦值為如,

35

此時(shí)。是尸C上靠近C的三等分點(diǎn).

P

21.在平面直角坐標(biāo)系x0y中，已知點(diǎn)耳（-6,0）、6（6,0）,△/耳鳥的內(nèi)切圓與直線耳居相切于點(diǎn)

。（4,0）,記點(diǎn)M的軌跡為C.

（1）求。的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)了在直線x=2上，過(guò)T的兩條直線分別交。于A、8兩點(diǎn)和P,Q兩點(diǎn)，連接8P,4Q.若直線

AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0,試比較cos/BAQ與cosNBPQ的大小.

V22

【答案】（1）--一v匕=1（x24）

1620

（2）cosZBAQ=cos^BPQ

【解析】

【分析】⑴根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)得到6HM^=閨"一優(yōu)°1=8＜閨閭=12,從而結(jié)合雙曲線的定義

得到軌跡方程；

（2）根據(jù)條件設(shè)的8=%（公＞；）,kpQ=-k,A（N，yJ,6（毛,J，2），C（W，）’3），。（%”），根據(jù)

直線與雙曲線方程的聯(lián)立，由韋達(dá)定理得到%+%=,再看二（41-：'[+80,結(jié)合弦長(zhǎng)公式

4k—54k—5

得到|刑|用=（1+公）祟從而證明|3|叫=|力4||叫，進(jìn)而可得相似于-T3Q,由四點(diǎn)

共園的知以即可得到答案.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)辄c(diǎn)片（一6,0）、鳥（6,0）,△歷七工的內(nèi)切圓與直線耳鳥相切于點(diǎn)0（4,0）,

所以|峙|一|照|=|耳。|一|舄。|=10-2=8V忻閭=12,

因此根據(jù)雙曲線的定義可知，點(diǎn)M的軌跡為以6，￡為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，

設(shè)點(diǎn)M的軌跡。的方程為巨1（z?>0,b>0）,焦距為2c（c>0）,

a~

所以忸名|=2c=12,*|=2a=8,

所以。=4,c=6,b2=c2—a2=20?

22

所以點(diǎn)例的軌跡方程C為三-二=1324）

1620

【小問(wèn)2詳解】

由題意，直線AB尸。的斜率互為相反數(shù)，記左.二人伏2>:），

則%=—％，A（x，x）,8（七,%），。（七，%），。（冷乂），

設(shè)7（2/）,則直線A8:y=-r-2）+f,PQ:y=-k（x-2）+t.

y=k（x-2）+t

聯(lián)立直線和雙曲線方程）,2_,

56-26-

整理得（20-166）/+（64公—32K）X—（8Z—41）2—320=0.

該方程有兩個(gè)不等實(shí)根為,巧，

’20-16公工（）

則;△=（64公—32町2一4（20-16/）[一儂一41『-320]>0

16/一8匕（4%-2/產(chǎn)+80

根據(jù)韋達(dá)定理可得X+七二中2

4P-548一5

同Eif理