2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用6.4平面向量的應(yīng)用6.4.3余弦定理正弦定理第4課時余弦定理正弦定理應(yīng)用舉例習(xí)題含解析新人教A版必修第二冊

第4課時余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達標練1.如圖,要測量某湖泊兩側(cè)A,B兩點間的距離,若給出下列數(shù)據(jù),則其中不能唯一確定A,B兩點間的距離的是()A.角A,B和邊ACB.角A,B和邊BCC.邊BC,AC和角CD.邊BC,AC和角A解析依據(jù)正弦定理,可知當(dāng)已知兩邊和其中一邊的對角時,解三角形得出的結(jié)果不肯定唯一,故選D.答案D2.如圖,在河岸一側(cè)取A,B兩點,在河岸另一側(cè)取一點C,若AB=12m,借助測角儀測得∠CAB=45°,∠CBA=60°,則C處河面寬CD為()A.6(3+)m B.6(3-)mC.6(3+2)m D.6(3-2)m解析由?AB=AD+BD=CD=12?CD=6(3-)m,故選B.答案B3.如圖,D,C,B三點在地面同始終線上,DC=a,從C,D兩點測得點A的仰角分別是β,α(α<β),則點A離地面的高度AB等于()A. B.C. D.解析在△ADC中,∠DAC=β-α.由正弦定理,得,∴AC=,∴AB=ACsinβ=.答案A4.一艘船上午9:30在A處,測得燈塔S在它的北偏東30°的方向,且與它相距8nmile,之后它接著沿正北方向勻速航行,上午10:00到達B處,此時又測得燈塔S在它的北偏東75°的方向,則此船的航速是()A.8()nmile/h B.8()nmile/hC.16()nmile/h D.16()nmile/h解析由題意,得在△SAB中,∠BAS=30°,∠SBA=180°-75°=105°,∠BSA=45°.由正弦定理,得,即,解得AB=8(),故此船的航速為=16()(nmile/h).答案D5.如圖,地平面上有一根旗桿OP,為了測得它的高度h,在地面上取一基線AB,AB=20m,在A處測得點P的仰角∠OAP=30°,在B處測得點P的仰角∠OBP=45°,又測得∠AOB=60°,則旗桿的高度為()A.20()m B.mC.m D.10()m解析由已知,得AO=h,BO=h,則在△ABO中,由余弦定理,得AB2=AO2+BO2-2AO·BO·cos60°,即400=3h2+h2-h2,解得h=(m).答案C6.如圖所示,位于A處的信息中心獲悉,在其正東方向相距40nmile的B處有一艘漁船遇險,在原地等待營救.信息中心馬上把消息告知在其南偏西30°,相距20nmile的C處的乙船,現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向即沿直線CB前往B處救援,則cosθ等于()A. B.C. D.解析在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°.由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=2800,所以BC=20.由正弦定理,得sin∠ACB=·sin∠BAC=.由∠BAC=120°,得∠ACB為銳角,故cos∠ACB=.故cosθ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°=.答案B7.某船在岸邊A處向正東方向航行x海里后到達B處,然后朝南偏西60°方向航行3海里到達C處,若A處與C處的距離為nmile,則x的值為.

解析在△ABC中,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB,即x2+9-2·x·3cos30°=()2,即x2-3x+6=0,解得x=2或x=.答案或28.已知甲船在島B的正南方A處,AB=10nmile,甲船以4nmile/h的速度向正北方向的島B航行,同時乙船自島B動身以6nmile/h的速度向北偏東60°的方向航行,當(dāng)甲、乙兩船距離最近時,它們所航行的時間是h.

解析如圖,設(shè)甲、乙兩船距離最近時航行時間為th,距離為snmile,此時甲船到達C處,則甲船距離B島(10-4t)nmile,乙船距離B島6tnmile,所以由余弦定理,得cos120°==-,化簡,得s2=28t2-20t+100,所以當(dāng)t=時,s2取最小值,即當(dāng)甲、乙兩船距離最近時,它們所航行的時間是h.答案9.某人見一建筑物A在正北方向,另一建筑物B在北偏西30°方向.此人沿北偏西70°方向行走了3km后到達C,則見A在其北偏東56°方向上,B在其北偏東74°方向上,試求這兩個建筑物間的距離.解如圖,在△BCO中,∠BOC=70°-30°=40°,∠BCO=(180°-70°)-74°=36°,∴∠CBO=180°-40°-36°=104°.∵OC=3,由正弦定理,得,則BO=.在△ACO中,∠AOC=70°,∠CAO=56°,則∠ACO=54°.由正弦定理,得,則AO=.在△ABO中,由余弦定理,得AB=≈1.630(km)=1630(m).故這兩個建筑物間的距離約為1630m.實力提升練1.如圖所示,在坡度肯定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C相對于山坡的斜度為15°,向山頂前進100m到達B處,又測得C相對于山坡的斜度為45°,若CD=50m,山坡的坡角為θ,則cosθ=()A. B.-1C.2- D.解析在△ABC中,由正弦定理,得BC==50()(m).在△BCD中,由正弦定理,得sin∠BDC=-1.由題圖知cosθ=sin∠ADE=sin∠BDC=-1,故選B.答案B2.江岸邊有一炮臺高30m,江中有兩條船,由炮臺頂部測得兩條船的俯角分別為45°與60°,且兩條船與炮臺底部的連線成30°角,則兩條船之間的距離為m.

解析設(shè)炮臺頂部為A,兩條船分別為B,C,炮臺底部為D(如圖),則∠BAD=45°,∠CAD=30°,∠BDC=30°,AD=30m.在Rt△ABD與Rt△ACD中,tan45°=,tan30°=,則DB=30m,DC=10m.在△DBC中,由余弦定理,得BC2=DB2+DC2-2DB·DCcos30°,即BC2=302+(10)2-2×30×10,解得BC=10m.答案103.某海上養(yǎng)殖基地A,接到氣象部門預(yù)報,位于基地南偏東60°方向相距20(+1)nmile的海面上有一臺風(fēng)中心,影響半徑為20nmile,正以10nmile/h的速度沿某一方向勻速直線前進,預(yù)料臺風(fēng)中心將從基地東北方向刮過且(+1)h后起先影響基地持續(xù)2h.求臺風(fēng)移動的方向.解如圖,設(shè)預(yù)報時臺風(fēng)中心為B,起先影響基地時臺風(fēng)中心為C,基地剛好不受影響時臺風(fēng)中心為D,則B,C,D在一條直線上,且AD=20nmile,AC=20nmile.由題意,得AB=20(+1)nmile,DC=20nmile,BC=10+1)nmile.在△ADC中,∵DC2=AD2+AC2,∴∠DAC=90°,∠ADC=45°.在△ABC中,由余弦定理,得cos∠BAC=.∴∠BAC=30°.∵B位于A的南偏東60°方向,且60°+30°+90°=180°,∴D位于A的正北方向.又∠ADC=45°,∴臺風(fēng)移動的方向為向量的方向,即北偏西45°方向.4.如圖,A,B,C,D都在同一個鉛垂面內(nèi)(與水平面垂直的平面),B,D為海島上兩座燈塔的塔頂.測量船于A處測得點B和點D的仰角分別為75°,30°,于C處測得點B和點D的仰角均為60°,AC=1km,求點B,D間的距離.解(方法一)在△ACD中,∠ADC=60°-∠DAC=60°-30°=30°.由正弦定理,得AD=.在△ABC中,∠ABC=75°-60°=15°,∠ACB=60°,由正弦定理,得AB=.在△ADB中,∠BAD=180°-75°-30°=