2024年高考數(shù)學(xué)模擬試題九（含解析）

2024年高考數(shù)學(xué)模擬試題

一、單項(xiàng)選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的)

1.已知復(fù)數(shù)2滿意(1—z)z=4，,則忖=()

A.72B.2C.242D.8

【答案】C

【解析】

【分析】

利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的除法運(yùn)算先求出z,再依據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式求出|z|.

【詳解】解：一，>z=4i,,=①4/(1+/)

=—2+2z，：.\z\=2yf2.

')1-za-oa+o

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.

2.已知集合A={MX2—無(wú)<0},5={%|%>1或％<0},則()

A.BeAB.AcBC.AjB=RD.A\B=0

【答案】D

【解析】

【分析】

解不等式對(duì)集合進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可求出兩集合的關(guān)系.

【詳解】解：解不等式為2—x<0得0Vx<1,則A={x[O<x<l}.

因?yàn)?={x|x>l或x<0},所以AB=0,

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次不等式的求解，考查了兩集合間的關(guān)系.

3.已知〃=logs。？,。=logozOB,。=10°"，貝!J()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

【答案】A

【解析】

【分析】

依據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將a、b、c與0、1比較，即可得出答案.

【詳解】因?yàn)閥=log3X在(0,+s)上單調(diào)遞增，

所以a=log30.2<log3l=0,

因?yàn)閥=iog02x在(0,+<x>)上單調(diào)遞減，

所以0=log02l<b=log020.3<log020.2=1,

因?yàn)閥=10*在R上單調(diào)遞增，

所以c=10°」>10°=l,

所以a<分<c

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)與指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù).屬于基礎(chǔ)題.本類(lèi)題型一般都是將所需比較的數(shù)與0、

1比較大小,嫻熟駕馭指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是解本題的關(guān)鍵.

4.(1—x)(l+x)3的綻開(kāi)式中，％?的系數(shù)為()

A.2B.-2C.3D.-3

【答案】B

【解析】

【分析】

由題意轉(zhuǎn)化條件得(1-%)(1+%)3=(1+%)3-%(1+%)3,再由二項(xiàng)式定理寫(xiě)出(1+%)3的通項(xiàng)公式，分別令

廠=3、r=2,求和即可得解.

詳解)由題意(1—x)(1+x)3=(1+%)3-%(1+%)3，

(1+X)3的通項(xiàng)公式為心=c；-l3-r-xr=C；-xr,

令r=3,則Cj=C；=l；

令廠=2,則Cj=C；=3；

所以(1—x)(l+x)3的綻開(kāi)式中，V的系數(shù)為i—3=—2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.

【答案】D

【解析】

【分析】

由誘導(dǎo)公式對(duì)g(x)化簡(jiǎn)，結(jié)合兩函數(shù)圖象的關(guān)系可求出〃x)=2c°sx+l,通過(guò)求/71

x

即可解除錯(cuò)誤答案.

-2cosx-l，因?yàn)?(%)與g(x)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),

X

-2cos(-x)-l2cosx+l八

則〃x)=-----------=--------w0，

—XX

2cos—F1c

2

^=->0,解除c,f——<0，解除B,

加7171

~2

2cos?+1

/(%)=--<0,解除A,

7171

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題考查了誘導(dǎo)公式，考查了函數(shù)圖象的變換，考查了函數(shù)圖象的選擇.本題的關(guān)鍵是求出/(x)的

解析式.

6.在3世紀(jì)中期，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出了割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之

又割，以至于不行割，則與圓合體，而無(wú)所失矣”.這可視為中國(guó)古代極限觀念的佳作.割圓術(shù)可以視為將

一個(gè)圓內(nèi)接正九邊形等分成九個(gè)等腰三角形(如圖所示)，當(dāng)“變得很大時(shí)，等腰三角形的面積之和近似等于

圓的面積.運(yùn)用割圓術(shù)的思想，可得到雙〃3。的近似值為()(乃取近似值3.14)

C.0.125D.0.235

【答案】B

【解析】

【分析】

依據(jù)題意圓內(nèi)接正120邊形其等分成120個(gè)等腰三角形,每個(gè)等腰三角形的頂角為3。，依據(jù)等腰三角形的面

積之和近似等于圓的面積.即可列出等式解出sin30的近似值.

【詳解】當(dāng)〃=120時(shí)，每個(gè)等腰三角形的頂角為=3。，則其面積為sin3°,

1202

又因?yàn)榈妊切蔚拿娣e之和近似等于圓的面積，

所以120x1/sin3。土"/=sin3"二土0.052,

260

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查三角形與圓的面積公式，屬于基礎(chǔ)題.解本類(lèi)題型需仔細(xì)審題，讀懂題意找到等式是關(guān)鍵.

7.已知函數(shù)/(%)="+坨(，￡+1+目,若等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S“，且

/(6—1)=TO"(的020T)=l°，則$2020=()

A.-4040B.0

C.2024D.4040

【答案】C

【解析】

【分析】

結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)/(-X)進(jìn)行整理可得/(%)為奇函數(shù)，從而可知。1+g020=2,代入等差數(shù)列的

求和公式即可求出%)20的值.

【詳解】解：因?yàn)?⑺=d+坨(&2+]+q定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且

(一%『+2311

/(f)=1gx+1-X=-X+lg/2,一

7X+1+X

=-/—一(6+1+x)=-/⑴，所以/(%)為奇函數(shù)，

由/(._1)=_/(4020_1)=/(1_。2020)得，4一1=1一的。20,所以。1+g020=2,

因?yàn)椋?｝為等差數(shù)列，所以S2020=2020(7+*)=2020,

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算，考查了函數(shù)的奇偶性的推斷，考查了等差數(shù)列的求和公式.本題的關(guān)鍵是

出的+。2020—2.

8.在四面體ABCD中，BC=CD=BD=AB=2,NABC=90,二面角A—5C—。的平面角為150°,

則四面體力及力外接球的表面積為()

31124

A.—71B.71

33

C.31乃D.124萬(wàn)

【答案】B

【解析】

【分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出A,3,C,。坐標(biāo)，利用球心到A,3,C,。距離等于半徑求出球心坐標(biāo)，從而求出

球體半徑，即可求出球體的表面積.

【詳解】解：取3。中點(diǎn)E為坐標(biāo)系原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作垂直于平面5CD的直線為z軸，座所在直線為x軸,

EC所在直線為y軸，如下圖所示.

由己知條件可得：5(1,0,0),C(-l,0,0),D(O,AO),A(l,-V3,l).

設(shè)四面體ABCD外接球的球心為O(x,y,Z),由儂=儂=\OC\=|OD|得:

犬+卜一班）+z2

x=0

V3，則球心。［。，包酢

解得：,y=TI3J

z=3

\2

三，所以四面體ABCD外接球的

???四面體ABCD外接球的半徑R=|0A|=I2A/3+（3-1）2=

7

表面積S==4萬(wàn)x衛(wèi)=”相

33

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球表面積，關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系求出各頂點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中檔題.

二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分）

9.在疫情防控阻擊戰(zhàn)之外，另一條戰(zhàn)線也日漸清楚一一復(fù)原經(jīng)濟(jì)正常運(yùn)行.國(guó)人萬(wàn)眾一心，眾志成城，防

控疫情、復(fù)工復(fù)產(chǎn)，某企業(yè)對(duì)本企業(yè)1644名職工關(guān)于復(fù)工的看法進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如圖所示，則下列說(shuō)

法正確的是（）

期間其企業(yè)復(fù)工鴕工調(diào)音

B.從該企業(yè)中任取一名職工，該職工是傾向于在家辦公的概率為0.178

C.不到80名職工傾向于接著申請(qǐng)休假

D.傾向于復(fù)工后在家辦公或在公司辦公的職工超過(guò)986名

【答案】BD

【解析】

【分析】

依據(jù)扇形圖中的比例關(guān)系依次驗(yàn)證各個(gè)選項(xiàng)即可得到結(jié)果.

【詳解】對(duì)于4,x=100—5.1—17.8—42.3=34.8,4錯(cuò)誤；

對(duì)于5,傾向于在家辦公的人員占比為17.8%,故對(duì)應(yīng)概率為0.178,3正確;

對(duì)于C,傾向于接著申請(qǐng)休假人數(shù)為1644x5.1%^84人，C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，傾向于在家辦公或在公司辦公的職工人數(shù)為1644x(17.8%+42.3%)“988人，。正確.

故選：BD.

【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)扇形圖進(jìn)行相關(guān)命題的辨析的問(wèn)題，涉及到比例和頻數(shù)的計(jì)算等學(xué)問(wèn)，屬于基礎(chǔ)題.

10.已知向量。=(2,1),匕=(1,-1),c=(〃-2,-n),其中如〃均為正數(shù)，且(a-6)〃c,下列

說(shuō)法正確的是()

A.a與6的夾角為鈍角

B.向量a在6方向上的投影為好

5

C.2㈤■廳4

D.mn的最大值為2

【答案】CD

【解析】

【分析】

對(duì)于A,利用平面對(duì)量的數(shù)量積運(yùn)算推斷；對(duì)于B,利用平面對(duì)量的投影定義推斷；對(duì)于C,利用(?！?)〃c

推斷；對(duì)于D,利用C的結(jié)論，2加爐4,結(jié)合基本不等式推斷.

【詳解】對(duì)于A,向量a=(2,1),b=(1--D，則a-b=2—l=l>0，則a力的夾角為銳角，錯(cuò)誤；

a-b版

對(duì)于B,向量a=(2,1),6=(1,-1),則向量a在人方向上的投影為b錯(cuò)誤;

\b\2

對(duì)于C,向量〃=(2,1),b=(b-1)，則a—6=(1，2),若(a—b)〃c,則(-〃)=2包-2),變形可

得2研〃=4,正確；

II2m+n

對(duì)于D,由C的結(jié)論，2加72=4,而如〃均為正數(shù)，則有的=—<—(------)2=2,即儂的最大值

222

為2,正確；

故選：CD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平面對(duì)量的數(shù)量積運(yùn)算以及基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

X2y2

11.已知橢圓C:J+l(tz>匕〉0)的右焦點(diǎn)為產(chǎn)，點(diǎn)P在橢圓。上，點(diǎn)Q在圓

ab2

E:(X+3)2+(J-4)2=4±,且圓E上的全部點(diǎn)均在橢圓C外，若|PQ|—|P周的最小值為2石—6,且

橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)恰與圓E的直徑長(zhǎng)相等，則下列說(shuō)法正確的是()

A.橢圓。的焦距為2B.橢圓。的短軸長(zhǎng)為石

D.過(guò)點(diǎn)尸的圓E的切線斜率為一4土近

C.|PQ|+|尸盟的最小值為2君

3

【答案】AD

【解析】

【分析】

由題意可求得。的值，再由圓的幾何性質(zhì)結(jié)合橢圓的定義以及已知條件可求得c的值，進(jìn)而可推斷出A、B

選項(xiàng)的正誤；利用圓的幾何性質(zhì)可推斷C選項(xiàng)的正誤；設(shè)出切線方程，利用圓心到切線的距離等于半徑可

求得切線的斜率，可推斷D選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.

【詳解】圓E的圓心為石（一3,4）,半徑長(zhǎng)為2,

由于橢圓。的長(zhǎng)軸長(zhǎng)恰與圓E的直徑長(zhǎng)相等，則2。=4,可得a=2,

設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為點(diǎn)及,由橢圓的定義可得|尸耳+歸耳|=2。=4,尸耳=4—?dú)w婚，

所以，歸Q|—|PF|=|PQ|—（4—|尸胤）=|P胤+|尸。卜4之歸￡|+歸口一2—4之舊4|—6=26—6,

當(dāng)且僅當(dāng)P、Q、E、6四點(diǎn)共線，且當(dāng)P、。分別為線段石耳與橢圓C、圓E的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立,

則但周=J（—3+C）2+（4—0）2=Q（c-3）2+16=2布，-0<c<a=2,解得c=l,

所以，橢圓C的焦距為2c=2,A選項(xiàng)正確；

橢圓C的短軸長(zhǎng)為2b=2，片—=20，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

\PQ\+|PF|>\PE\+|PF|-2>|EF|-2=^（-3-l）2+（4-0）2-2=40-2,

當(dāng)且僅當(dāng)P、Q、E、尸四點(diǎn)共線，且當(dāng)尸、。分別為線段石戶與橢圓。、圓E交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，C

選項(xiàng)錯(cuò)誤；

若所求切線的斜率不存在，則直線方程為x=l,圓心E到該直線的距離為3—1|=4>2,則直線X=1與

圓￡>相離，不合乎題意；

若所求切線的斜率存在，可設(shè)切線的方程為y=k(x—1),即區(qū)—y-左=。，

|-34-4一“4|^+1|-4+A/7

由題意可得~,——[=^=^=2,整理得3/+8左+3=0,解得《二7.

yjk2+1y]k2+13

D選項(xiàng)正確.

故選：AD.

【點(diǎn)睛】本題考查利用橢圓的定義解決焦半徑與橢圓上的點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離和與差的最值問(wèn)題，同時(shí)也

考查了過(guò)圓外一點(diǎn)引圓的切線問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.

12.已知函數(shù)/(%)=卜05乂一卜足琲則下列結(jié)論中，正確的有()

A.乃是/(%)的最小正周期

B./(%)在上單調(diào)遞增

C./(%)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=?+左〃(左eZ)

D./(x)的值域?yàn)閇0』

【答案】BD

【解析】

【分析】

由/(—%)=/⑴，知函數(shù)為偶函數(shù)，又/Xx+')=/(x),知'是/(x)的周期，

7T

當(dāng)xe[0,—]時(shí)，化簡(jiǎn)/Xx)并畫(huà)出其圖象，在依據(jù)偶函數(shù)和周期性，畫(huà)出函數(shù)Ax)的圖象，依據(jù)圖象推斷

4

每一個(gè)選項(xiàng)是否正確.

【詳解】由/(一%)=/(X),知函數(shù)為偶函數(shù)，又/(x+/)=/(x),知5是/(%)的周期，

當(dāng)xe[0,工]時(shí)，/(%)=cos%-sin%=-72sin(x-—),畫(huà)出/(x)的圖象如圖所示：

44

由圖知，/(九)的最小正周期是:A錯(cuò)誤；

八工)在上單調(diào)遞增，B正確；

/(%)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x=?，(keZ),C錯(cuò)誤；

/(X)的值域?yàn)椋?』，D正確.

故選：BD.

【點(diǎn)睛】本題是肯定值與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題，推斷函數(shù)奇偶性，周期性畫(huà)出函數(shù)圖象是解決問(wèn)題的關(guān)鍵,

屬于中檔題.

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13.若曲線/(x)=xlnx+x在點(diǎn)(1,/⑴)處的切線與直線2x+ay—4=0平行，則。=.

【答案】-1

【解析】

【分析】

求出函數(shù)/(無(wú))在x=l處的導(dǎo)數(shù)值，即可依據(jù)兩直線平行(斜率都存在)斜率相等截距不相等列出等式，得出

答案.

【詳解】因?yàn)?(x)=Alnx+x.

所以/'(%)=lnx+l+l=lnx+2,

所以/⑴=2.

因?yàn)榍€/(x)=xlnx+x在點(diǎn)(1,7。))處的切線與直線2x+ay—4=0平行，

即2=-2=。=—1.

a

故答案為：-1.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.解本提出的關(guān)鍵在于理解函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值

等于函數(shù)在這點(diǎn)的切線的斜率.

14.已知圓錐的頂點(diǎn)為S,頂點(diǎn)S在底面的射影為。，軸截面夕區(qū)是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則該圓錐的側(cè)

面積為，點(diǎn)，為母線距的中點(diǎn)，點(diǎn)C為弧46的中點(diǎn)，則異面直線切與。S所成角的正切值為

【答案】(1).2兀(2).邊5

3

【解析】

【分析】

由軸截面的圖形可知圓的半徑和母線長(zhǎng)，從而可求出側(cè)面積；作于E,通過(guò)求出

EC

tanZCDE=——,從而可求異面直線所成角.

【詳解】解：因?yàn)檩S截面外6是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以底面圓的半徑為1，母線為2,

所以圓錐的側(cè)面積為S=?xlx2=2%；作DELAB于E,則￡史，底面圓，

因?yàn)椤槟妇€距的中點(diǎn)，所以ED=J_SO=!萬(wàn)二？=走，

XEC=7OC2+(9E2=

因?yàn)镋DHSO,所以異面直線CD與OS所成角的正切值為巫

3

故答案為：2兀；

【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐側(cè)面積的求解，考查了異面直線二面角的求解.本題的關(guān)鍵是將異面直線通過(guò)平移,

求其夾角.

15.這是世界上最大的消費(fèi)電子技術(shù)展，也是全球最大的消費(fèi)技術(shù)產(chǎn)業(yè)盛會(huì).2024CES消費(fèi)電子展于2024

年1月7日—10日在美國(guó)拉斯維加斯舉辦.在這次35消費(fèi)電子展上，我國(guó)某企業(yè)發(fā)布了全球首款彩色水墨

屏閱讀手機(jī)，驚艷了全場(chǎng).若該公司從7名員工中選出3名員工負(fù)責(zé)接待工作(這3名員工的工作視為相同

電工作)，再選出2名員工分別在上午、下午講解該款手機(jī)性能，若其中甲和乙至多有1人負(fù)責(zé)接待工作，

則不同的支配方案共有種.

【答案】360

【解析】

【分析】

理解題意，分兩步支配，先支配接待工作，再支配講解工作.支配接待工作時(shí)，甲和乙至多支配1人，故

分沒(méi)支配甲乙和甲乙支配1人兩類(lèi)求解，從而計(jì)算出不同的支配方案總數(shù).

【詳解】先支配接待工作，分兩類(lèi)，一類(lèi)是沒(méi)支配甲乙有或種，

一類(lèi)是