2024年福建省莆田九中中考數(shù)學(xué)模擬試卷附答案解析

2024年福建省莆田九中中考數(shù)學(xué)模擬試卷

選擇題（共10小題）

1.2024的相反數(shù)是（）

1

A.2024B.-2024C.|2024|D.-------

2024

2.進行垃圾分類可以減少垃圾處理量和處理設(shè)備，降低處理成本，減少對土地資源的消耗，具有社會、

經(jīng)濟、生態(tài)等幾方面的效益.以如圖標(biāo)是幾種垃圾分類的標(biāo)志，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形

的是（）

X△

XG

3.文化和旅游部5月6日發(fā)布數(shù)據(jù)顯示，2024年“五一”假期，全國國內(nèi)旅游出游合計295000000人次.數(shù)

據(jù)“295000000”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.2.95X106B.2.95X107C.2.95X108D.2.95X109

C.D.

5.下列運算中，正確的是（）

A.2a?3a=6aB.a*8-*ra2=a6

C.a5+a5=a10D.（a+6）2=a2+b2

6.一個不透明的袋子中裝有3個白球和2個黃球，它們除顏色外無其他差別，從中隨機摸出一個小球,

摸到黃球的概率是（）

7.如圖，數(shù)軸上的兩點A、8對應(yīng)的實數(shù)分別是a、b,則下列式子中成立的是（）

AD

-2-10I2b3

A.a>-bB.-a<-bC.a+b<0D.\a\-\b\>0

8.2023年杭州亞運會上，我國獲得獎牌383枚，其中銀牌111枚，金牌數(shù)是銅牌數(shù)的3倍少12枚.若設(shè)

金牌數(shù)是x,則可列出方程為()

A.(3x-12)+尤=383-111B.3(x+12)+x=383-111

x+12%—12

C.-------+X=383—111D.-------+久=383—111

33

9.如圖，將平行四邊形A3CD折疊，使點。落在邊上的點C處，若Nl=58°,Z2=42°,則NC

C.126.5°D.130°

10.如圖，正方形ABC。的頂點A、5在y軸的正半軸上，點E在AO邊上，且AZ）=3AE,反比例函數(shù)尸三

（x>0）的圖象經(jīng)過點C、E,若A0=3,則%的值為（

911

A.4B.-C.—D.3+V2

22

二.填空題（共6小題）

11.要使分式一一有意義，則X的取值范圍是

x-2----------

12.已知正多邊形的一個外角等于40。，則這個正多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)為.

13.若關(guān)于x的一元二次方程^^^+川-m+3=0有實數(shù)根，則根的取值范圍是

14.如圖，DE//BC,EF//AB,且S^ADE=4,SAEFC=9,則△ABC的面積為.

15.把直尺、圓片和兩個同樣大小的含30°角的直角三角尺按圖所示放置，兩三角尺的斜邊與圓分別相切

于點8,C.若AB=4,則耐的長為.

16.已知二次函數(shù)y=ar2+bx+c(qWO),當(dāng)y^t時,xW--2或尤2-m+4.若A(-m-3,p),B(2m,

4)是拋物線>=辦2+區(qū)+。上的兩點，且p>q,則的取值范圍為.

三.解答題(共9小題)

17.解不等式組：￡”>一1

[2(%-1)+3>3%

18.己知：如圖，E、B是平行四邊形A2C。的對角線AC上的兩點，AE=CF.求證：EB=DF.

20.如圖，AABC,AB=6,BC=10,ZB=60°,點M在A8上，且AAf=2BM.

(1)尺規(guī)作圖，過M作BC的平行線交AC于點N(不寫作法，保留作圖痕跡);

(2)求的面積.

A

21.如圖，AB是O。的直徑，點C是O。上的一點，C。與A8的延長線交于點。，AC=C￡>,NA=30°.

(1)求證：CD是。。的切線；

(2)過點8作8ELCQ于點E,若。。的半徑為4,求圖中陰影部分的面積.

22.2023年杭州亞運會吉祥物一開售，就深受大家的喜愛.某旅游商場以每件50元的價格購進某款亞運

會吉祥物，以每件80元的價格出售，每日可售出200件.從7月份起，商場決定采用降價促銷的方式

回饋顧客，經(jīng)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)該吉祥物每降價1元，日銷售量就會增加20件.設(shè)售價為尤250元，日銷售

量為y件.

(1)直接寫出日銷售量為y(件)與每件售價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)現(xiàn)要求銷售該吉祥物的單個利潤不得低于50%,問該商場應(yīng)如何定價，才能使日銷售利潤最大？

最大利潤是多少元？

23.交強險是車主必須為機動車購買的險種，若普通6座以下私家車投保交強險第一年的費用(基準(zhǔn)保費)

統(tǒng)一為。元，在下一年續(xù)保時，實行的是費率浮動機制，保費與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況

相聯(lián)系，發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費率也就越高，具體浮動情況如表：

交強險浮動因素和浮動費率比率表

浮動因素浮動比率

Ai上一個年度未發(fā)生有責(zé)任道下浮10%

路交通事故

A2上兩個年度未發(fā)生有責(zé)任道下浮20%

路交通事故

A3上三個及以上年度未發(fā)生有下浮30%

責(zé)任道路交通事故

A4上一個年度發(fā)生一次有責(zé)任0%

不涉及死亡的道路交通事故

A5上一個年度發(fā)生兩次及兩次上浮10%

以上有責(zé)任道路交通事故

A6上一個年度發(fā)生有責(zé)任道路上浮30%

交通死亡事故

某機構(gòu)為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機抽取了60輛車齡已滿三年的該品牌同

型號私家車的下一年續(xù)保時的情況，統(tǒng)計得到了下面的表格：

類型A1A2A3A4A5A6

數(shù)量105520155

以這60輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率，完成下列問題：

（1）按照我國《機動車交通事故責(zé)任強制保險條例》汽車交強險價格的規(guī)定a=950.求某同學(xué)家的一

輛該品牌車在第四年續(xù)保時的平均費用；（費用值保留到個位數(shù)字）

（2）某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強險保費高于基本保費的車輛記為

事故車.假設(shè)購進一輛事故車虧損5000元，一輛非事故車盈利10000元；

①若該銷售商購進一輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求該輛車是事故車的概率；

②若該銷售商一次購進100輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求他獲得利潤的平均數(shù).

24.【綜合與實踐】

在一次綜合實踐活動課上，張老師組織學(xué)生開展“如何僅通過折紙的方法來確定特殊平行四邊形紙片一

邊上的三等分點”的探究活動.

【操作探究】

“求知”小組的同學(xué)經(jīng)過一番思考和討論交流后，對正方形ABC。進行了如下操作：

第1步：如圖1所示，先將正方形紙片ABC。對折，使點A與點B重合，然后展開鋪平，折痕為EB

第2步：將邊沿CE翻折到GC的位置；

第3步：延長EG交于點H,則點H為AQ邊的三等分點.

證明過程如下：連接CH,

,/正方形ABCD沿CE折疊，

:./D=/B=/CGH=90°,①,

又,：CH=CH,

:ACGH%ACDH,

:.GH=DH.

由題意可知E是A8的中點，設(shè)AB=2a,DH=x,

則AE=BE=EG=a,

在RtZXAEH中，可列方程：②,(方程不要求化簡)

解得：DH=③,即H是4。邊的三等分點.

“勵志”小組對矩形紙片ABCD進行了如下操作：

第1步：如圖2所示，先將矩形紙片A8CD對折，使點A與點B重合，然后展開鋪平，折痕為EF；

第2步：再將矩形紙片A8CD沿對角線8。翻折，再展開鋪平，折痕為8。，沿CE翻折得折痕CE交

BD于點G；

第3步：過點G折疊矩形紙片A3C。，使折痕

【過程思考】

(1)“求知”小組的證明過程中，三個空所填的內(nèi)容分別是

@：,②：,③：；

(2)“勵志”小組經(jīng)過上述操作，認(rèn)為點M為AB邊的三等分點，請你判斷“勵志”小組的結(jié)論是否正

確，并說明理由.

【拓展提升】

如圖3,在菱形ABC。中，AC=8,BD=6,E是8。上的一個三等分點，記點。關(guān)于AE的對稱點為

D',射線即與菱形A8C。的邊交于點R請直接寫出。'尸的長.

EB

圖1圖2圖3

25.已知拋物線-2x+c與無軸交于A(-1,0),B(.b,0)兩點，且A在8的左邊，與y軸交于點

C.

(1)求c的值；

(2)若點P在拋物線上，且求點P的坐標(biāo)；

(3)拋物線的對稱軸與x軸交于。點，點。為尤軸下方的拋物線上任意一點，直線AQ,8。與拋物線

11

的對稱軸分別交于E,尸兩點，求工:+工:的取值范圍?

2024年福建省莆田九中中考數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.2024的相反數(shù)是（）

1

A.2024B.-2024C.|2024|D.-------

2024

【解答】解：2024的相反數(shù)是-2024,

故選：B.

2.進行垃圾分類可以減少垃圾處理量和處理設(shè)備，降低處理成本，減少對土地資源的消耗，具有社會、

經(jīng)濟、生態(tài)等幾方面的效益.以如圖標(biāo)是幾種垃圾分類的標(biāo)志，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形

的是（）

區(qū)△

XG

【解答】解：A.該圖是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故不符合題意；

B.該圖不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故不符合題意；

C.該圖是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故符合題意；

D.該圖不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故不符合題意；

故選：C.

3.文化和旅游部5月6日發(fā)布數(shù)據(jù)顯示，2024年“五一”假期，全國國內(nèi)旅游出游合計295000000人次.數(shù)

據(jù)“295000000”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.2.95X106B.2.95X107C.2.95X108D.2.95X109

【解答】解：295000000=2.95X108.

故選：C.

4.如圖，該幾何體的左視圖是（

主視方向

【解答】解：從左邊看，可得選項C的圖形.

故選：C.

5.下列運算中，正確的是（）

onr

A.2a*3a=6aB.a.a=〃

C.Q5+Q5=/°D.（〃+/?）2=a2+b2

【解答】解：A項2〃?3Q=6〃2,故A錯誤；

B項Q8?〃2=6Q8-2=Q6,故B正確；

C項6z5+4z5=2tz5,故C錯誤；

Z）項（a+b）2=a2+2ab+b2,故。錯誤；

故選：B.

6.一個不透明的袋子中裝有3個白球和2個黃球，它們除顏色外無其他差別，從中隨機摸出一個小球,

摸到黃球的概率是（）

2323

A..B.-C.-D.一

5534

【解答】解：..?一個不透明的袋子中裝有3個白球和2個黃球，

從中隨機摸出一個小球，摸到黃球的概率是|.

故選：A.

7.如圖，數(shù)軸上的兩點A、5對應(yīng)的實數(shù)分別是〃、b,則下列式子中成立的是（）

?」????q?a

-2-1012b3

A.a>-bB.-a<-bC.a+b<0D.\a\-|/?|>0

【解答】解：由數(shù)軸得，2</?<3,

A、V2<Z?<3,

???-2>-/?>-3,

:?a>-b,選項A符合題意；

B、V-2<a<-1,2<Z?<3,

.,.2>-〃>1,-2>-b>-3,

-〃>-b,

故選項B不符合題意；

C、：-2<a<-1,2<Z?<3,

.\Q<a+b<2,

故選項C不符合題意；

D、：IaI<I6I,

：.\a\-\b\<0,

故選項。不符合題意.

故選：A.

8.2023年杭州亞運會上，我國獲得獎牌383枚，其中銀牌111枚，金牌數(shù)是銅牌數(shù)的3倍少12枚.若設(shè)

金牌數(shù)是x,則可列出方程為（）

A.（3尤-12）+x=383-111B.3（x+12）+x=383-111

x+12%—12

C.-------+x=383-111D.-------+%=383-111

33

【解答】解：???金牌數(shù)是銅牌數(shù)的3倍少12枚.且金牌數(shù)是心

x+12

獲得丁枚銅牌.

x+12

根據(jù)題意得：4+111+=383,

3

_%+12

即----+x=383-111.

3

故選：C.

9.如圖，將平行四邊形A8CZ）折疊，使點C落在邊上的點。處，若/1=58°,Z2=42°,則/C

的度數(shù)為（）

AC'D

C.126.5°D.130°

【解答】解：令折痕與BC交點為E,

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD//BC,AB//CD,

：.ZCEC=Z1=5S°,

根據(jù)折疊可得“ED=yC'EC=29°,

.\ZC=180°-ZCED-Z2=109°.

故選：B.

10.如圖，正方形ABC。的頂點A、8在y軸的正半軸上，點E在AO邊上，且AD=3AE,反比例函數(shù)

(x>0)的圖象經(jīng)過點C、E,若4。=3,則%的值為(

D.3+V2

【解答】解：：AO=3AE,A￡>=3,

：.AE=1,

:四邊形ABC。是正方形,

：.AB=AD=BC=3,

...設(shè)E(1,a),則C(3,a-3),

?.?反比例函數(shù)y=9(x>0)的圖象經(jīng)過點C、E,

；.lXa=3X(a-3),

解得a-3

9

：.E(1,

2

99

---

22

故選：B.

填空題(共6小題)

11.要使分式一一有意義，則x的取值范圍是x#2.

x-2--------

【解答】解：當(dāng)分母X-2W0,即xW2時，分式工有意義.

x-2

故答案為：x#2.

12.已知正多邊形的一個外角等于40°,則這個正多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)為1260。.

【解答】解：.正”邊形的每個外角相等，且其和為360°,

360°

——=40°,

n

解得"=9.

，(9-2)X1800=1260°,

即這個正多邊形的內(nèi)角和為1260°.

故答案為：1260°.

13.若關(guān)于x的一元二次方程/+2:依+加2-m+3=0有實數(shù)根，則m的取值范圍是mN3

【解答】解：：一元二次方程?+2?7%+?12-加+3=0有實數(shù)根，

A=(2m)2-42-m+3)20,

解得：機23.

故答案為：加23.

14.如圖，DE//BC,EF//AB,且S^ADE=4,SAEFC=9,則/XABC的面積為25.

B

F

【角牟答］解：-：DE//BC,EF//AB

：.ZC=ZAED,/FEC=/A,

AAEFC^AADE,

而SAADE=4,SAEFC=9,

EC9

(—)02=弓,

AE4

：.EC：AE=3：2,

：.EC：AC=3：5,

EC030Q

:*S叢EFC：SMBC=(—)2=(-)2=天,

AC5乙。

25

?'?S^ABC—9X-g-=25.

故答案為25.

15.把直尺、圓片和兩個同樣大小的含30°角的直角三角尺按圖所示放置，兩三角尺的斜邊與圓分別相切

于點8,C.若AB=4,則元的長為如.

?.?兩三角尺的斜邊與圓分別相切于點2,C,

：.ZOCA^ZOBA^90°,OC=OB,

VZCAB=60°+30°=90°,

二四邊形ABOC是正方形,

：.ZBOC^9Q°,OB=AB=4,

907rx4

元的長==2n,

180

16.已知二次函數(shù)>="2+加計。(〃wo),當(dāng)>2/時，xW-m-2或-m+4.若A(-m-3,p),B(2m,

q)是拋物線>=〃/+析+。上的兩點，且p>9，則機的取值范圍為—-1<m<^_

【解答】解：由題意，,當(dāng)丁三，時，xW-機-2或-機+4,

/.拋物線開口向上，且對稱軸是直線尤=一一一^+4=-m+i.

，當(dāng)拋物線上的點離對稱軸越近函數(shù)值就越小.

-m-3<-m+1,

又A(-m-3,p),B(2m,q)是拋物線y=〃/+Zzx+c上的兩點，且p>q,

-m+1-(-m-3)>|-m+1-2m|.

：.\3m-1|<4.

-4<3m-1<4.

-1OilV/

故答案為：一1<優(yōu)<|.

三.解答題(共9小題)

1

17.解不等式組：/>T

2(%—1)+3>3%

【解答】解：由①得x>-3.

由②得2尤-2+3N3無，即2x-3尤22-3.-尤2-1,xWl,

原不等式組的解集為-3<x^l.

18.已知：如圖，E、尸是平行四邊形ABC。的對角線AC上的兩點，AE=CF.求證:EB=DF.

：.AF=CE,

■:E、尸是平行四邊形ABCD的對角線AC上的兩點,

：.AD^CB,AD//BC,

：.NDAF=/BCE,

在△ADF和△CBE中,

AF=CE

ADAF=乙BCE,

AD=CB

:?△ADFmACBE(SAS),

：.EB=DF.

19.先化簡，再求值：(1+1)+田U，其中。=夜+1.

【解答】解：原式=吟+.+1)(1)

a。―

a

—_a_+_1?---------

a(a+l)(a—1)

=azl,

當(dāng)a=/+1時，原式=萬A—-=

20.如圖，△ABC中，AB=6,8c=10,ZB=60°,點〃在AB上，且AM=2BM.

(1)尺規(guī)作圖，過M作BC的平行線交AC于點N(不寫作法，保留作圖痕跡);

(2)求的面積.

【解答】解：(1)點N如圖所示,

(2)作AO_LBC于。,

11

**?^LABC=《BCxAD=2x10x3^3=15V3,

'：MN//BC,

：.AAMN^AABC,

'：AM=2BMf

2

：.AM=^AB,

.S"MNAMJ4

??—()——,

S“BCABJ9

44

%-%-X-20

9-c9-15V33V3

21.如圖，A5是。。的直徑，點。是。0上的一點，C。與A5的延長線父于點。，AC=C。，ZA=30°.

(1)求證：8是。0的切線；

(2)過點B作3ELCZ)于點若。。的半徑為4,求圖中陰影部分的面積.

9：OA=OC,

：.ZOCA=ZOAC=30°,

9：AC=CD,

：.ZADC=ZOAC=30°,

在△AC。中，由三角形內(nèi)角和得：

ZOCD=180°-ACAD-ZACO-ZADC=180°-30°-30°-30°=90°,

???OCLCD,

:oc是半徑，

??.CO是。。的切線;

(2)解：由(1)得OC_LC。，

：.^OCD為直角三角形，

V0C=4,ZADC=30°,

：.OD=8,CD=4V3,ZCO￡>=60°,

:.BD=OD-OB=8-4=4,

REELED,NAOC=30°,

:.BE=2,ED=2痔

S陰影=SAOCD-SABED-S酶形OBC

_4x4732x2追60XTTX42

=-22360-

=6A/3—TT,

圖中陰影部分的面積為6b-|TT.

22.2023年杭州亞運會吉祥物一開售，就深受大家的喜愛.某旅游商場以每件50元的價格購進某款亞運

會吉祥物，以每件80元的價格出售，每日可售出200件.從7月份起，商場決定采用降價促銷的方式

回饋顧客，經(jīng)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)該吉祥物每降價1元，日銷售量就會增加20件.設(shè)售價為尤N50元，日銷售

量為y件.

(1)直接寫出日銷售量為y(件)與每件售價了(元)之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-20x+1800(尤N50)；

(2)現(xiàn)要求銷售該吉祥物的單個利潤不得低于50%,問該商場應(yīng)如何定價，才能使日銷售利潤最大？

最大利潤是多少元？

【解答】(1)解:200+20(80-x)

=-20x+1800,

故答案為：y=-20x+1800(x250)；

(2)解：設(shè)日銷售利潤為W元，由題意得：W=(x-50)(-20.r+1800)

=-20(x-70)2+8000,

?.?銷售該吉祥物的單個利潤率不得低于50%,

，x275,

:-20<0,

當(dāng)尤=75時，Wmax—T500;

答：每件售價為70元時，可使日銷售利潤最多，最大利潤為7500元.

23.交強險是車主必須為機動車購買的險種，若普通6座以下私家車投保交強險第一年的費用（基準(zhǔn)保費）

統(tǒng)一為。元，在下一年續(xù)保時，實行的是費率浮動機制，保費與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況

相聯(lián)系，發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費率也就越高，具體浮動情況如表：

交強險浮動因素和浮動費率比率表

浮動因素浮動比率

Ai上一個年度未發(fā)生有責(zé)任道下浮10%

路交通事故

A2上兩個年度未發(fā)生有責(zé)任道下浮20%

路交通事故

A3上三個及以上年度未發(fā)生有下浮30%

責(zé)任道路交通事故

A4上一個年度發(fā)生一次有責(zé)任0%

不涉及死亡的道路交通事故

A5上一個年度發(fā)生兩次及兩次上浮10%

以上有責(zé)任道路交通事故

A6上一個年度發(fā)生有責(zé)任道路上浮30%

交通死亡事故

某機構(gòu)為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機抽取了60輛車齡已滿三年的該品牌同

型號私家車的下一年續(xù)保時的情況，統(tǒng)計得到了下面的表格：

類型AiA2A3A4A5A6

數(shù)量105520155

以這60輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率，完成下列問題：

（1）按照我國《機動車交通事故責(zé)任強制保險條例》汽車交強險價格的規(guī)定”=950.求某同學(xué)家的一

輛該品牌車在第四年續(xù)保時的平均費用；（費用值保留到個位數(shù)字）

（2）某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強險保費高于基本保費的車輛記為

事故車.假設(shè)購進一輛事故車虧損5000元，一輛非事故車盈利10000元；

①若該銷售商購進一輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求該輛車是事故車的概率；

②若該銷售商一次購進100輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求他獲得利潤的平均數(shù).

…一“950X0.9X10+950X0,8X5+950X0.7X5+950X20+950X1.1X15+950X1.3X5一

【解答］解：⑴-----------------------------------------------------------------y942（兀），

60

答：在第四年續(xù)保時的平均費用約為942元；

（2）①由題意得到從60輛已滿三年的該品牌同型號私家車中，任意抽出一輛車為事故車的有20輛，

201

任意一輛該品牌車齡已滿三年的二手車為事故車的概率為一=

603

②一次購進100輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，獲得利潤的平均數(shù)為：（-5000xj+10000xj）x

100=50（萬元）.

24.【綜合與實踐】

在一次綜合實踐活動課上，張老師組織學(xué)生開展“如何僅通過折紙的方法來確定特殊平行四邊形紙片一

邊上的三等分點”的探究活動.

【操作探究】

“求知”小組的同學(xué)經(jīng)過一番思考和討論交流后，對正方形A8C。進行了如下操作：

第1步：如圖1所示，先將正方形紙片ABC。對折，使點A與點8重合，然后展開鋪平，折痕為EB

第2步：將2c邊沿CE翻折到GC的位置；

第3步：延長EG交于點”，則點H為邊的三等分點.

證明過程如下：連接CH,

,/正方形ABCD沿CE折疊，

；./D=NB=NCGH=90°,①,

又,：CH=CH,

：./\CGH^/\CDH,

：.GH=DH.

由題意可知E是AB的中點，設(shè)A3=2a,DH=x,

則AE=BE=EG=a,

在Rt/XAEH中，可列方程：②,（方程不要求化簡）

解得：③,即”是邊的三等分點.

“勵志”小組對矩形紙片ABCD進行了如下操作：

第1步：如圖2所示，先將矩形紙片ABC。對折，使點A與點8重合，然后展開鋪平，折痕為EF；

第2步：再將矩形紙片ABCZ）沿對角線2。翻折，再展開鋪平，折痕為沿CE翻折得折痕CE交

BD于點G；

第3步：過點G折疊矩形紙片ABCD,使折痕MN//AD.

【過程思考】

(1)“求知”小組的證明過程中，三個空所填的內(nèi)容分別是

2

①：CG=CB=CD,②：(2a-無)2+a2=(x+a)2,③：-a；

-------------------------------------------------------------------3----

(2)“勵志”小組經(jīng)過上述操作，認(rèn)為點M為邊的三等分點，請你判斷“勵志”小組的結(jié)論是否正

確，并說明理由.

【拓展提升】

如圖3,在菱形ABCZ)中，AC=8,BD=6,E是8。上的一個三等分點，記點。關(guān)于AE的對稱點為

D',射線EO與菱形ABC。的邊交于點P,請直接寫出。'尸的長.

②在Rt^AEH中，由勾股定理得AH2+AE2=EH2,即(2a-x)2+/=(%+。)2,

79

③解方程得x=鏟，即DH=w”，

2

故答案為：①CG=CB=CD,②(2a-無)2+a1—(x+cz)2,③于，

(2)結(jié)論正確；

理由：???先將矩形紙片A8C。對折，使點A與點B重合，然后展開鋪平，折痕為EF,

:瓜尸分別是AB.CD的中點，

：.BE=

???四邊形A3CD是矩形，

：.AB//CD,AB=CD,

:.△BEGS^DCG,

.BGBEBE1

??DG~CD~AB~2

.BG1

??—―,

BD3

,：MN//AD,

.BMBG1

*AB-BD-3’

:?點M為AB邊的三等分點；

【拓展提升】如圖，設(shè)AC交8。于點0,如圖,

???四邊形A5C。是菱形，AC=8,50=6,

11

：.OA=OC=^AC=4,0B=0D=^BD=3,ACLBD,AB=AD=CD=BC,ZADB=ZABD=ZDBC,

在RtzXAOB中，AB=VOX2+OB2=V42+32=5,

.\AD=AB=5,

分兩種情況：①當(dāng)8￡=耳2。=2時，貝lj￡?E=4,

如圖，連接A。，AE,D'E,DE與AB交于點、F,過點A作AG，。'E于點G,

由對稱性可知，D'E=DE=4,AD'=AD=5,ZAD'E=ZADB=ZABD,ZAED=ZAEF,

VZAD'F=ZEBF,ZAFD'=ZBFE,

：.AAFD's/\EFB,

.EFBE2

"AF—ADr-5'

設(shè)EP=2x,則AP=5x,

在△AEO和AAEG中,

Z-AOE=乙AGE=90°

Z-AEO=Z.AEG,

AE=AE

：.AAEO^AAEG（A4S）,

；,OE=EG=\,

：.GF=2x-1,AG=AO=4,

在AAG尸中，AF2=AG2+GF2,

即（5x）2=42+（2x-1）2,

17

解得：X\=-1（舍），X2=

34

：.EF=2x=弄

24KO

：.D'F=D'石-所=4-天=羿

1

②當(dāng)。E=WB/）=2時，連接AD',AE,A。與3。交點G,延長即'交BC于F,

由對稱性可知，D'E=DE=2,ZAD'E=/ADB=/ABD,NEGD=/AGB,

:.8EGD's叢AGB，

tAGAB5

,,EG-D/E-2'

設(shè)EG=2x,則AG=5x,即OG=2x-l,

在△AGO中，AG2=OA2+OG2,

即（5尤）2=42+（2x-I）2,

17

解得：％1=-1（舍去），％2=五，

:?EG=2x=

'：ZED'A=ZDBC=ZADB,NGED=/FEG,

:AEGD's/\EFB,

.EFE