2025北京二中八年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)（教師版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)2025北京二中初二（上）期末數(shù)學(xué)考查目標(biāo)1．知識(shí)：人教版八年級(jí)上冊(cè)《三角形》、《全等三角形》、《軸對(duì)稱(chēng)》、《整式的乘法與因式分解》、《分式》的全部?jī)?nèi)容．2．能力：數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，邏輯推理能力，閱讀理解能力，實(shí)際應(yīng)用能力，數(shù)形結(jié)合能力，分類(lèi)討論能力．考生須知1．本試卷分為第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答題卡，共16頁(yè)：其中第Ⅰ卷2頁(yè)，第Ⅱ卷8頁(yè)，答題卡8頁(yè)．全卷共三大題，28道小題．2，本試卷滿(mǎn)分100分，考試時(shí)間120分鐘．3．在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答題卡的密封線內(nèi)準(zhǔn)確填寫(xiě)班級(jí)、姓名、考號(hào)、座位號(hào)．4．考試結(jié)束，將答題卡交回．一、選擇題（共16分，每題2分，以下每題只有一個(gè)正確的選項(xiàng)）1.中國(guó)風(fēng)箏源于春秋時(shí)代，有著悠久的歷史，屬于我國(guó)重要的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，下列風(fēng)箏圖案中不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A. B. C. D.2.如圖所示的是某綠色植物細(xì)胞結(jié)構(gòu)圖，該綠色植物細(xì)胞的直徑約為米，將數(shù)據(jù)米用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A.米 B.米 C.米 D.米3.若一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別為，，，則的長(zhǎng)可以是（）A. B. C. D.4.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A.-2,3 B. C. D.5.若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比外角和多，則這個(gè)多邊形是（）A.四邊形 B.五邊形 C.六邊形 D.七邊形6.如圖①是由方尊缶（中間小正方形，冷藏食物）和方鑒（外圍大正方形，放置冰塊）組成的套器青銅冰鑒，古人用于冷藏保存食物，其從上面看到的圖形如圖②所示，若大正方形的邊長(zhǎng)為，小正方形的邊長(zhǎng)為，則放置冰塊部分的面積為（）A. B. C. D.7.如圖，是的角平分線，，垂足為．的面積為，，，的長(zhǎng)為（）A. B. C. D.8.如圖，在中，，的面積是6，點(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)，分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）A.2 B.3 C.4 D.6第II卷（非選擇題共84分）二、填空題（共16分，每題2分）9.計(jì)算：_____．10.有一個(gè)分式：①當(dāng)時(shí)，分式有意義；②當(dāng)時(shí)，分式的值為0．請(qǐng)寫(xiě)出同時(shí)滿(mǎn)足以上兩個(gè)條件的一個(gè)分式_____．11.等腰三角形的一個(gè)角為，則它的頂角的度數(shù)為_(kāi)_______．12.分解因式：_____．13.如圖，在的正方形方格中，每個(gè)小正方形方格的邊長(zhǎng)都為1，則_____．14.如圖，在中，，的垂直平分線分別交，于點(diǎn)和，平分，，_____．15.關(guān)于的方程的解為正整數(shù)，整數(shù)的值為_(kāi)____．16.我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”（如圖），此圖揭示了（為非負(fù)整數(shù)）展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律．的展開(kāi)式中的一次項(xiàng)系數(shù)是_____．三、解答題（共68分，其中第17-22題每題5分，第23-26題每題6分，第27-28題每題7分）17.計(jì)算：．18.已知，求代數(shù)式的值．19.解方程：．20.先化簡(jiǎn)，再?gòu)牡恼麛?shù)解中選取一個(gè)數(shù)代入求值．21.小亮同學(xué)在物理課上學(xué)習(xí)了發(fā)聲物體的振動(dòng)實(shí)驗(yàn)后，對(duì)其作了進(jìn)一步的探究：在一個(gè)支架的橫桿點(diǎn)處用一根細(xì)繩懸掛一個(gè)小球，小球可以自由擺動(dòng)，擺動(dòng)過(guò)程中繩子的伸長(zhǎng)不考慮且繩子始終是繃直的．如圖，表示小球靜止時(shí)的位置．當(dāng)小明用發(fā)聲物體靠近小球時(shí)，小球從擺到位置，此時(shí)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，當(dāng)小球擺到位置時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，測(cè)得，．（圖中的、、、在同一平面上），求證此時(shí)．22.如圖，在中，．（1）尺規(guī)作圖，求作的垂直平分線交于；（保留作圖痕跡）（2）尺規(guī)作圖，求作的平分線交于點(diǎn)；（保留作圖痕跡）（3）由（2）可知點(diǎn)到，的距離相等，依據(jù)是_____；（4）連接，畫(huà)出邊上的高；（5）若的面積是，，則_____．（直接寫(xiě)出結(jié)果）

23.列分式方程解應(yīng)用題：為更好地開(kāi)展黨史教育，激發(fā)中學(xué)生愛(ài)黨愛(ài)國(guó)的深厚情感，我校組織初二年級(jí)同學(xué)參觀中國(guó)共產(chǎn)黨歷史展覽館，師生統(tǒng)一坐大巴車(chē)前往，從我校到展覽館計(jì)劃行駛12千米，活動(dòng)當(dāng)天由于天氣原因，下雨造成道路濕滑，大巴車(chē)平均行駛速度降為原計(jì)劃的，途中又遇到交通管制，臨時(shí)改變了行車(chē)路線，最終全程行駛了18千米，比計(jì)劃行駛時(shí)間多用20分鐘．請(qǐng)問(wèn)原計(jì)劃大巴車(chē)平均每小時(shí)行駛多少千米？24.如圖，在中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．（1）若，求的度數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，判斷的形狀，并說(shuō)明理由．25.在探索有關(guān)整式的乘法法則時(shí)，可以借助幾何圖形來(lái)解釋某些法則．（1）觀察圖①的面積關(guān)系，寫(xiě)出一個(gè)數(shù)學(xué)公式_____；（2）請(qǐng)寫(xiě)出圖②中的幾何圖形所表示的代數(shù)恒等式_____；（3）畫(huà)出一個(gè)幾何圖形，使它的面積表示，其中．

26.已知，，，，，，當(dāng)為大于的奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為大于的偶數(shù)時(shí)，；（1）求；（用含的式子表示）（2）_____；（用含的式子表示）（3）計(jì)算．27.在等邊中，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），作射線，點(diǎn)關(guān)于射線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，直線交射線于點(diǎn)．（1）如圖1，補(bǔ)全圖形，若，求的度數(shù)；（2）如圖2，用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系并證明．

28.在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)和線段給出如下定義：若點(diǎn)滿(mǎn)足最小，且，則稱(chēng)點(diǎn)為線段的美好點(diǎn)．（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)是1,0，點(diǎn)的坐標(biāo)是，線段的美好點(diǎn)的坐標(biāo)是_____．（2）若點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)，①在圖1中畫(huà)出線段的所有美好點(diǎn)；②當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸正半軸時(shí)，的值為_(kāi)____．（3）如圖2，點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)分別是1,0，，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，以點(diǎn)為中心，各邊分別與坐標(biāo)軸平行且邊長(zhǎng)為的正方形上存在線段的美好點(diǎn)，直接寫(xiě)出的取值范圍．

參考答案一、選擇題（共16分，每題2分，以下每題只有一個(gè)正確的選項(xiàng)）1.【答案】A【分析】此題考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念，如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線叫做對(duì)稱(chēng)軸，這時(shí)，我們也可以說(shuō)這個(gè)圖形關(guān)于這條直線(成軸）對(duì)稱(chēng)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，根據(jù)概念解答即可．【詳解】解：、選項(xiàng)中的圖形不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)符合題意；、選項(xiàng)中的圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；、選項(xiàng)中的圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；、選項(xiàng)中的圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：．2.【答案】D【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值小于1的正數(shù)的一般形式為，其中，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．n的值由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．【詳解】解：米米，故選：D．3.【答案】C【分析】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出的取值范圍，即可求解．【詳解】解：一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別為，，，，即，的長(zhǎng)可以是，故選：C．4.【答案】A【分析】本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系中對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的規(guī)律．掌握對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)Px,y，關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是即可得解答．【詳解】解：點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是-2,3．故選：A．5.【答案】C【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式與外角和定理，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式與外角和定理列出方程，然后求解即可．【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形是邊形，根據(jù)題意得，，解得．故選：C．6.【答案】D【分析】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式．根據(jù)放置冰塊部分的面積大正方形的面積小正方形的面積，即可求解．【詳解】解：大正方形的邊長(zhǎng)為，小正方形的邊長(zhǎng)為，放置冰塊部分的面積為故選：D．7.【答案】B【分析】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得，再利用的面積求解即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于，是的角平分線，，，的面積為，，，，，故選：B．8.【答案】B【分析】本題考查的是軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，如圖，作關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，，則，，證明，證明關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為的中點(diǎn)，過(guò)作于，交于，則此時(shí)最小，再進(jìn)一步求解即可．【詳解】解：如圖，作關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，，則，，∴，∴，∵為的中點(diǎn)，∴關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為的中點(diǎn)，過(guò)作于，交于，則此時(shí)最小，∴，∴，即的最小值是；故選：B第II卷（非選擇題共84分）二、填空題（共16分，每題2分）9.【答案】【分析】本題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和零指數(shù)冪，根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和零指數(shù)冪求解即可．【詳解】解：，故答案為：．10.【答案】（答案不唯一）【分析】本題考查的是分式有意義的條件，分式的值為0的條件，根據(jù)當(dāng)時(shí)，分式有意義；當(dāng)時(shí)，分式的值為0，再構(gòu)建分式即可．【詳解】解：∵①當(dāng)時(shí)，分式有意義；②當(dāng)時(shí)，分式的值為0．∴分式可以為，故答案為：11.【答案】或##或【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)等腰三角形兩底角相等，分為頂角與底角兩類(lèi)討論即可得到答案；【詳解】解：當(dāng)為底角時(shí)，頂角為：，當(dāng)為頂角時(shí)，底角為：，故答案為：或．12.【答案】【分析】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．先提取公因式，再用完全平方公式因式分解，即可得答案．【詳解】解：，故答案為：．13.【答案】【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)證明，利用全等三角形的性質(zhì)與平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，標(biāo)注字母，在與中，，∴，∴．∵由平行線的性質(zhì)可得，∴．故答案為：．14.【答案】##【分析】根據(jù)垂直平分，得出，從而得，根據(jù)平分，得出，即可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵垂直平分，∴，∴，∵平分，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】該題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．15.【答案】或【分析】本題考查了分式方程的解，先解方程可得，再結(jié)合關(guān)于的方程的解為正整數(shù)，再進(jìn)一步求解并檢驗(yàn)即可．【詳解】解：，去分母得：，∴，移項(xiàng)合并得：，當(dāng)時(shí)，解得：，由方程的解是正整數(shù)，得到為正整數(shù)，即或或，解得：或或．∵，，∴，∴或，故答案為：或．16.【答案】【分析】本題主要考查了整式乘法，以及規(guī)律型：數(shù)字的變化類(lèi)，弄清“楊輝三角”中系數(shù)的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．仿照閱讀材料中的方法將原式展開(kāi)，即可得到的展開(kāi)式中一次項(xiàng)的系數(shù)．【詳解】解：根據(jù)題意得：，∴，∴的展開(kāi)式中一次項(xiàng)的系數(shù)是．故答案為：．三、解答題（共68分，其中第17-22題每題5分，第23-26題每題6分，第27-28題每題7分）17.【答案】【分析】本題主要考查了積的乘方，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，熟練掌握積的乘方，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)積的乘方，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則計(jì)算，再合并，即可求解．【詳解】解：18.【答案】【分析】本題考查的是分式的約分，分式的求值，先約分得到結(jié)果為，再代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴；19.【答案】無(wú)解【分析】本題考查了解分式方程，解題的關(guān)鍵是掌握分式方程的解法．根據(jù)去分母、合并同類(lèi)項(xiàng)，化系數(shù)為1，即可求解．【詳解】解：經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的增根，該方程無(wú)解．20.【答案】，時(shí)，原式【分析】本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，絕對(duì)值不等式的含義，先計(jì)算括號(hào)內(nèi)分式的減法運(yùn)算，再計(jì)算除法運(yùn)算得到化簡(jiǎn)的結(jié)果，再結(jié)合絕對(duì)值不等式與分式有意義的條件把代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵，為整數(shù)，∴，，，；∵分式有意義，∴，，，∴，原式．21.【答案】證明見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)．證明，得出，根據(jù)，求出，即可證明結(jié)論；【詳解】證明：∵于D，于E，∴，又∵根據(jù)題意得：，，∴，∴，又∵，∴，即，∴．22.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3）角平分線的性質(zhì)（4）見(jiàn)解析（5）【分析】（1）根據(jù)題意作的垂直平分線交于；（2）根據(jù)題意作的平分線交于點(diǎn)；（3）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可求解；（4）根據(jù)三角形高的定義，過(guò)點(diǎn)作的垂線，交的延長(zhǎng)線與點(diǎn)，則即為所求；（5）根據(jù)三角形中線的性質(zhì)可得，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式，即可求解．【小問(wèn)1詳解】解：如圖所示，點(diǎn)即為所求；【小問(wèn)2詳解】解：如圖所示，線段即為所求；【小問(wèn)3詳解】∵是的角平分線，，即，∴點(diǎn)到，的距離相等，依據(jù)是角平分線的性質(zhì)；【小問(wèn)4詳解】解：如圖所示，線段即為所求；【小問(wèn)5詳解】解：∵是，邊上的中線，的面積是，∴，∵邊上的高；，∴，故答案為：．23.【答案】原計(jì)劃大巴車(chē)平均每小時(shí)行駛45千米．【分析】本題考查分式方程解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，設(shè)原計(jì)劃大巴車(chē)平均每小時(shí)行駛千米，則實(shí)際平均每小時(shí)行駛千米，根據(jù)時(shí)間關(guān)系列方程求解即可得到答案；【詳解】解：設(shè)原計(jì)劃大巴車(chē)平均每小時(shí)行駛千米，則，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；答：原計(jì)劃大巴車(chē)平均每小時(shí)行駛45千米．24.【答案】（1）（2）是等腰三角形，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)．（1）根據(jù)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可求出，由，得，即可求解；（2）設(shè)與交于點(diǎn)，由，，可得，，進(jìn)而得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和垂直的定義可推出，即可判斷．【小問(wèn)1詳解】解：，，，，，；【小問(wèn)2詳解】是等腰三角形，理由如下：設(shè)與交于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，又，，，，是等腰三角形．25.【答案】（1）（2）（3）見(jiàn)解析【分析】本題考查了平方差公式、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式與幾何圖形的面積關(guān)系；【小問(wèn)1詳解】解：根據(jù)圖1可得，故答案為：．【小問(wèn)2詳解】解：根據(jù)圖形可得，故答案為：．【小問(wèn)3詳解】解：如圖所示，26.【答案】（1）（2）（3）【分析】本題考查了規(guī)律型中數(shù)字的變化類(lèi)，根據(jù)數(shù)值的變化找出的值，每個(gè)一循環(huán)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)，即可求解；（2）根據(jù)題意可得規(guī)律：每個(gè)一循環(huán)，即可求解；（3）求出，由，可得，即可求解．【小問(wèn)1詳解】解：，，；【小問(wèn)2詳解】，，，，，，，，每個(gè)一循環(huán)，，，故答案為：；【小問(wèn)3詳解】，．27.【答案】（1）畫(huà)圖見(jiàn)解析，（2），證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的基本作圖畫(huà)圖即可．連接，由，則，利用等邊三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理解答即可．（2）如圖，在上截取使得，判定是等邊三角形，證明，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得到，代換證明即可．【小問(wèn)1詳解】解：如圖，作于點(diǎn)G，延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使得，連接延長(zhǎng)，交射線于點(diǎn)F．連接，∵是等邊三角形，∴，，∵，則，∵點(diǎn)B關(guān)于射線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E，∴，，∵，∴，，∴，∴．【小問(wèn)2詳解】解：線段、、之間的數(shù)量關(guān)系為，理由如下：如圖，在上截取使得，∵，∴是等邊三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，又根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得到，∴，∴，∴，故．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．28.【答案】（1）或（2）①見(jiàn)解析；②-8（3）【分析】（1）根據(jù)新定義可得是等腰直角三角形，且是斜