2022北京海淀高二(上)期末數學(教師版)

1/12022北京海淀高二（上）期末數學一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．（4分）下列直線中，傾斜角為的是A． B． C． D．2．（4分）若直線與直線垂直，則的值為A．2 B．1 C． D．3．（4分）如圖，在四面體中，，，，為的中點，為的中點，則可用向量，，表示為A． B． C． D．4．（4分）平面與平面平行的充分條件可以是A．平面內有一條直線與平面平行 B．平面內有兩條直線分別與平面平行 C．平面內有無數條直線分別與平面平行 D．平面內有兩條相交直線分別與平面平行5．（4分）若雙曲線的一條漸近線經過點，，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．26．（4分）已知球的半徑為2，球心到平面的距離為1，則球被平面截得的截面面積為A． B． C． D．7．（4分）如圖，在三棱錐中，平面，，，，則點到平面的距離為A．1 B． C． D．8．（4分）如圖，，是平面上的兩點，且，圖中的一系列圓是圓心分別為，的兩組同心圓，每組同心圓的半徑分別是1，2，3，，，，，，是圖中兩組同心圓的部分公共點．若點在以，為焦點的橢圓上，則A．點和都在橢圓上 B．點和都在橢圓上 C．點和都在橢圓上 D．點和都在橢圓上9．（4分）設為直線上任意一點，過總能作圓的切線，則的最大值為A． B．1 C． D．10．（4分）某綜合實踐小組設計了一個“雙曲線型花瓶”．他們的設計思路是將某雙曲線的一部分（圖1中，之間的曲線）繞其虛軸所在直線旋轉一周，得到花瓶的側面，花瓶底部是平整的圓面，如圖2．該小組給出了圖1中的相關數據：，，，，，其中是雙曲線的一個頂點．小組中甲、乙、丙、丁四位同學分別用不同的方法估算了該花瓶的容積（忽略瓶壁和底部的厚度），結果如表所示．學生甲乙丙丁估算結果其中估算結果最接近花瓶的容積的同學是（參考公式：，，A．甲 B．乙 C．丙 D．丁二、填空題共5小題，每小題4分，共20分。11．（4分）圓的圓心坐標為；半徑為．12．（4分）在棱長為1的正方體中，．13．（4分）已知雙曲線的中心在原點，以坐標軸為對稱軸．從以下三個條件中任選兩個條件，并根據所選條件求雙曲線的標準方程．①一個焦點坐標為；②經過點，；③離心率為．你選擇的兩個條件是，得到的雙曲線的標準方程是．14．（4分）橢圓的右焦點為，過原點的直線與橢圓交于兩點，，則的面積的最大值為．15．（4分）如圖，在矩形中，，，將沿所在的直線進行翻折，得到空間四邊形．給出下面三個結論：①在翻折過程中，存在某個位置，使得；②在翻折過程中，三棱錐的體積不大于；③在翻折過程中，存在某個位置，使得異面直線與所成角為．其中所有正確結論的序號是．三、解答題共4小題，共40分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16．（8分）在平面直角坐標系中，圓以原點為圓心，且經過點．（Ⅰ）求圓的方程；（Ⅱ）若直線與圓交于兩點，，求弦長．17．（11分）如圖，在直三棱柱中，，，．為側棱的中點，連接，，．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）證明：平面；（Ⅲ）求二面角的大小．18．（10分）已知拋物線經過點．（Ⅰ）求拋物線的方程及其準線方程；（Ⅱ）經過拋物線的焦點的直線與拋物線交于兩點，，且與拋物線的準線交于點．若，求直線的方程．19．（11分）已知橢圓的離心率為，一個焦點為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設為原點，直線與橢圓交于不同的兩點，，且與軸交于點，為線段的中點，點關于軸的對稱點為證明：是等腰直角三角形．

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．【分析】先根據直線的方程求出它的斜率，可得它的傾斜角，從而得出結論．【解答】解：由于的斜率為，故它的傾斜角為，故排除；由于的斜率為不存在，故它的傾斜角為，故排除；由于的斜率為1，故它的傾斜角為，故滿足條件；由于的斜率為，故它的傾斜角為，故排除，故選：．【點評】本題主要考查直線的斜率和傾斜角，屬于基礎題．2．【分析】根據兩直線垂直的條件列方程求出的值．【解答】解：直線與直線垂直，則，解得．故選：．【點評】本題考查了兩直線垂直的應用問題，是基礎題．3．【分析】利用向量的加法公式，即可解出．【解答】解：在平面中，因為為的中點，，又點為線段中點，在中，，故選：．【點評】本題考查了向量的加法公式，學生的數學運算能力，屬于基礎題．4．【分析】根據平面與平面平行的判定定理可判斷．【解答】解：對，若平面內有一條直線與平面平行，則平面與平面可能平行或相交，故錯誤；對，若平面內有兩條直線分別與平面平行，若這兩條直線平行，則平面與平面可能平行或相交，故錯誤；對，若平面內有無數條直線分別與平面平行，若這無數條直線互相平行，則平面與平面可能平行或相交，故錯誤；對，若平面內有兩條相交直線分別與平面平行，則根據平面與平面平行的判定定理可得平面與平面平行，故正確．故選：．【點評】本題主要考查線面關系、面面關系有關命題的判定，屬于基礎題．5．【分析】求出漸近線方程，代入點的坐標，推出，關系，然后求解離心率即可．【解答】解：因為雙曲線的一條漸近線經過點，，所以漸近線經過點，，所以，從而．故選：．【點評】本題考查雙曲線的性質，考查運算求解能力．是基礎題．6．【分析】先求截面圓的半徑，然后求出截面面積．【解答】解：球的半徑為2，球心到平面的距離為1，截面圓的半徑是，截面面積為：．故選：．【點評】本題考查球的性質、球的體積、點到平面的距離，屬于基礎題．7．【分析】利用等體積法轉化求解點到平面的距離即可．【解答】解：在三棱錐中，平面，，，，可得，，，設點到平面的距離為，可得，可得，解得．故選：．【點評】本題考查空間點、線、面距離的求法，等體積法的應用，是中檔題．8．【分析】根據橢圓的定義判斷即可求求解．【解答】解：因為點在以，為焦點的橢圓上，所以，所以橢圓中，因為，，，，所以，在橢圓上．故選：．【點評】本題考查橢圓的定義，屬基礎題．9．【分析】利用圓的圓心到直線的距離大于等于半徑，求解的最大值即可．【解答】解：為直線上任意一點，過總能作圓的切線，可得，即，解得，，所以的最大值為：．故選：．【點評】本題考查直線與圓的位置關系的應用，是中檔題．10．【分析】以為分界線，把花瓶看作近似兩個圓臺的組合體，設上半部分圓臺體積為，下半部分圓臺體積為，再結合圓臺的面積公式，即可求解．【解答】解：以為分界線，把花瓶看作近似兩個圓臺的組合體，設上半部分圓臺體積為，下半部分圓臺體積為，以為半徑的圓面面積為，以為半徑的圓面面積為，以為半徑的圓面面積為，所以，，故，故最接近的是丙同學的估算，故選：．【點評】本題考查有關柱體、錐體體積的有關計算，屬于中檔題．二、填空題共5小題，每小題4分，共20分。11．【分析】直接利用轉換關系，把圓的一般式轉換為標準式，進一步求出圓心和半徑．【解答】解：圓轉換為標準式，故圓心坐標為，半徑為1．故答案為：；1．【點評】本題考查的知識要點：圓的方程的一般式和標準式之間的轉換，主要考查學生的運算能力和數學思維能力，屬于基礎題．12．【分析】直接把向量轉化再結合數量積即可求解結論．【解答】解：在棱長為1的正方體中，，，如圖：故，故答案為：1．【點評】本題主要考查空間向量的數量積計算，屬于基礎題．13．【分析】選①②，根據焦點坐標及頂點坐標直接求解，選①③，根據焦點坐標及離心率求出，即可得解，選②③，可由頂點坐標及離心率得出，，即可求解．【解答】解：選①②，由題意則，，雙曲線的標準方程為，選①③，由題意，，，，雙曲線的標準方程為；選②③，由題意知，，，雙曲線的標準方程為．故答案為：①②，或①③，或②③，．【點評】本題考查了雙曲線方程及簡單幾何性質，屬于基礎題．14．【分析】先求出的坐標以及橢圓的短軸端點的坐標，然后分直線的斜率不存在與存在討論，利用三角形的面積公式以及求解方程解的方法求出三角形的面積，由此即可求解．【解答】解：由已知可得，所以，則，且，當過原點的直線的斜率不存在時，此時直線方程為，則，兩點為短軸端點，所以，，則，所以三角形的面積為，當直線的斜率存在時，設直線方程為，代入橢圓方程可得：，所以，則，所以點，，，，所以三角形的面積為，綜上，三角形的面積的最大值為4，故答案為：4．【點評】本題考查了直線與橢圓的位置關系的應用，涉及到求解三角形面積的最值問題，考查了學生的邏輯推理能力以及運算求解能力，屬于中檔題．15．【分析】在矩形中，過，點作的垂線，垂足分別為，，對于①，連接，假設存在某個位置，使得，則可得，進而得到矛盾，可判斷；對于②，在翻折過程中，當平面平面時，三棱錐的體積取得最大值，再根據幾何關系計算即可；對于③，由題可知，，設平面與平面所成的二面角為，進而得到，，進而得到異面直線與所成角的余弦值范圍，即可判斷．【解答】解：如圖1，在矩形中，過，點作的垂線，垂足分別為，，則在翻折過程中，形成圖2的幾何體，故對于①，連接，假設存在某個位置，使得，由圖，，所以平面，則，這與圖1中的與不垂直矛盾，故①錯誤；對于②，在翻折過程中，當平面平面時，三棱錐的體積取得最大值，此時，體積為，故三棱錐的體積不大于，故②正確；對于③，，，由②得討論可得，，所以，則，，，設平面與平面所成的二面角為，所以，，故，要使直線與為異面直線，所以，所以，，則，，，由于，，所以在翻折過程在，存在某個位置，使得異面直線與所成角為．故答案為：②③．【點評】本題考查錐體體積的有關計算，線面垂直的證明，異面直線夾角的向量求法，屬于中檔題．三、解答題共4小題，共40分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16．【分析】（Ⅰ）根據兩點距離公式即可求半徑，進而得圓方程；（Ⅱ）根據直線與圓的弦長公式即可求解．【解答】解：（Ⅰ）由，所以圓的方程為．（Ⅱ）由點到直線的距離為，所以弦長．【點評】本題主要考查圓的方程的求解，圓的弦長的計算等知識，屬于基礎題．17．【分析】（Ⅰ）只要證明平行于平面平面內直線即可；（Ⅱ）只要證明，即可；（Ⅲ）用向量數量積計算二面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）證明：因為，平面；平面，所以平面．（Ⅱ）證明：因為，是直三棱柱，所以平面，所以、、兩兩垂直，建系如圖，，0，，，1，，，0，，，0，，，1，，，1，，，0，，，1，，因為，，所以平面．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，1，是平面的法向量，，1，，，1，，令，1，，因為，，所以是平面的法向量，因為二面角是銳角，設其大小為，，所以．【點評】本題考查了直線與平面的位置關系，考查了二面角的計算問題，屬于中檔題．18．【分析】（1）將點代入拋物線求出即可得出拋物線方程和準線方程；（2）設出直線方程，與拋物線聯立，表示出弦長和即可求出．【解答】解：（1）將代入可得，解得，所以拋物線的方程為，準線方程為；（2）由題得，設直線方程為，設，，，，聯立方程，可得，則，所以，因為直線與準線交于點，則，則，因為，所以，解得，所以直線的方程為或．【點評】本題考查了求拋物線方程及直線和拋物線相交的問題，第（2）中為避免討論直線的斜率是否存在就將直線方程設為，屬于基礎題．19．【分析】（Ⅰ）根據條件求得，，即可求得橢圓的方程；（Ⅱ）設點，，，，，，，進而聯立，結合題意可