快樂天天練19-函數(shù)的基本性質-【新教材】人教A版(2019)高中數(shù)學必修第一冊寒假作業(yè)

快樂天天練十九函數(shù)的基本性質一．選擇題（共7小題）1．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在區(qū)間（0，1）上單調遞增的是（）A．y＝2﹣x B．y＝lnx C．y＝ D．y＝sinx2．下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（）A．f（x）＝2x B．f（x）＝log2x C．f（x）＝x2 D．f（x）＝x33．已知函數(shù)f（x）的定義域為R，且對任意兩個不相等的實數(shù)a，b都有（a﹣b）[f（a）﹣f（b）]＞0，則不等式f（3x﹣1）＞f（x+5）的解集為（）A．（﹣∞，3） B．（﹣∞，2） C．（3，+∞） D．（2，+∞）4．設函數(shù)f（x）＝e|x|，則使得f（2x﹣1）＜f（x）成立的x的取值范圍是（）A． B． C． D．5．若函數(shù)在區(qū)間（1，2）上單調遞增，則a的取值范圍（）A．[0，2] B． C． D．6．已知，則f（4）的值為（）A．12 B．8 C．23 D．177．已知函數(shù)是定義在R上的減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．二．多選題（共5小題）8．若函數(shù)f（x）對?x1，x2∈（1，+∞），（x1≠x2），不等式＜1成立，則稱f（x）在（1，+∞）上為“平方差減函數(shù)”，則下列函數(shù)中是“平方差減函數(shù)”的有（）A．f（x）＝﹣2x+1 B．f（x）＝x2+2x+1 C．f（x）＝x2﹣log2x D．f（x）＝x2﹣x+9．我國著名的數(shù)學家華羅庚先生曾說：數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微；數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休．在數(shù)學學習和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質．下列函數(shù)中，在（0，+∞）上單調遞增且圖象關于y軸對稱的是（）A．f（x）＝x3 B．f（x）＝x2 C．y＝x﹣2 D．f（x）＝|x|10．已知函數(shù)f（x）的定義域是[﹣1，5]，且f（x）在區(qū)間[﹣1，2）上是增函數(shù)，在區(qū)間[2，5]上是減函數(shù)，則以下說法一定正確的是（）A．f（2）＞f（5） B．f（﹣1）＝f（5） C．f（x）在定義域上有最大值，最大值是f（2） D．f（0）與f（3）的大小不確定11．如果一個函數(shù)f（x）在其定義區(qū)間內對任意x，y都滿足，則稱這個函數(shù)為下凸函數(shù)，下列函數(shù)為下凸函數(shù)的是（）A．f（x）＝2x B． C．f（x）＝log2x（x＞0） D．12．已知函數(shù)f（x2+1）＝+|x|，則下列選項中正確的是（）A．函數(shù)f（x）的最大值M與最小N的比值為 B．函數(shù)f（x）的最大值M與最小N的比值為2 C．函數(shù)f（x）的定義域為[﹣，] D．函數(shù)f（x）的定義域為[1，3]三．填空題（共5小題）13．函數(shù)f（x）＝x3+（m2﹣1）x2+x為奇函數(shù)，則m＝．14．若函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，定義域為[﹣2，2]，且在[0，2]是增函數(shù)，則滿足f（1﹣x）＞f（1）的實數(shù)x的取值范圍是．15．函數(shù)y＝log（﹣x2+2x+3）的單調遞增區(qū)間是．16．定義在R的偶函數(shù)f（x）在（﹣∞，0]上單調遞增，且f（3）＝0，則不等式（m+1）f（m﹣2）≤0的解集是．四．解答題（共6小題）17．已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的單調性并證明；（2）若x∈[2，6]，求函數(shù)f（x）的最值．18．已知函數(shù)y＝f（x），其中．（1）判斷函數(shù)y＝f（x）的奇偶性，并說明理由；（2）若g（x）＝f（x）?x+ax，且y＝g（x）在區(qū)間（0，2]上是嚴格減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．19．已知定義在R上的函數(shù)f（x）＝2x+k?2﹣x（k∈R）．（1）若f（x）是奇函數(shù)，求函數(shù)y＝f（x）+f（2x）的零點；（2）是否存在實數(shù)k，使f（x）在（﹣∞，﹣1）上調遞減且在（2，+∞）上單調遞增？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由．20．已知函數(shù)．（1）求h（x）在上的最大值；（2）設函數(shù)f（x）的定義域為I，若存在區(qū)間A?I，滿足：對任何x1∈A，都存在（其中表示A在I上的補集）使得f（x1）＝f（x2），則稱區(qū)間A為f（x）的“Γ區(qū)間”．已知，若函數(shù)h（x）的“Γ區(qū)間”，求a的最大值．21．（1）求函數(shù)的定義域；（2）用定義法證明是（﹣∞，﹣3）上的減函數(shù)．22．已知是定義在（﹣2，2）上的奇函數(shù)，且．（1）求f（x）的解析式；（2）判斷并證明函數(shù)f（x）的單調性；（3）求使不等式f（t﹣1）+f（t）＜0成立的實數(shù)t的取值范圍．

快樂天天練十九函數(shù)的基本性質參考答案與試題解析一．選擇題（共7小題）1．解：對于A，y＝2﹣x為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；對于B，y＝lnx為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；對于C，y＝為奇函數(shù)，但在區(qū)間（0，1）上單調遞減，不符合題意；對于D，y＝sinx為奇函數(shù)，由正弦函數(shù)的圖象可知，y＝sinx在區(qū)間（0，1）上單調遞增，符合題意．故選：D．2．解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于A，f（x）＝2x，是指數(shù)函數(shù)，不是奇函數(shù)，不符合題意，對于B，f（x）＝log2x，是對數(shù)函數(shù)，不是奇函數(shù)，不符合題意，對于C，f（x）＝x2，是二次函數(shù)，是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，不符合題意，對于D，f（x）＝x3，是奇函數(shù)，符合題意，故選：D．3．解：不妨設a＞b，∵（a﹣b）[f（a）﹣f（b）]＞0，∴f（a）＞f（b），∴f（x）是R上的增函數(shù)，原不等式等價于3x﹣1＞x+5，解得x＞3，∴原不等式的解集為（3，+∞）．故選：C．4．解：f（x）是偶函數(shù)，且在[0，+∞）上是增函數(shù)，∴由f（2x﹣1）＜f（x）得，f（|2x﹣1|）＜f（|x|），∴|2x﹣1|＜|x|，∴（2x﹣1）2＜x2，解得＜x＜1，∴x的取值范圍是（，1）．故選：A．5．解：令u（x）＝ax2﹣8x+15，函數(shù)y＝為減函數(shù)，要使函數(shù)在區(qū)間（1，2）上單調遞增，則u（x）＝ax2﹣8x+15在區(qū)間（1，2）上單調遞減且恒大于0，∵u′（x）＝2ax﹣8，∴，解得．∴a的取值范圍是[，2]．故選：D．6．解：因為，則令，解得x＝10，所以f（4）＝2×10+3＝23．故選：C．7．解：因為函數(shù)是定義在R上的減函數(shù)，所以有，解得，所以實數(shù)a的取值范圍為．故選：D．二．多選題（共5小題）8．解：根據(jù)題意，設g（x）＝f（x）﹣x2，若f（x）在（1，+∞）上為“平方差減函數(shù)”，則對?x1，x2∈（1，+∞），（x1≠x2），不等式＜1成立，則有﹣1＝＝×＝＜0，則有＜0，則函數(shù)g（x）＝f（x）﹣x2在[1，+∞）為減函數(shù)，反之，若函數(shù)g（x）＝f（x）﹣x2在[1，+∞）為減函數(shù)，則有＝（x1+x2）＜0，即f（x）在（1，+∞）上為“平方差減函數(shù)”，分析選項：對于A，f（x）＝﹣2x﹣1，g（x）＝f（x）﹣x2＝﹣x2﹣2x﹣1，為開口向下，對稱軸為x＝﹣1的二次函數(shù)，g（x）在區(qū)間[1，+∞）為減函數(shù)，則f（x）在（1，+∞）上為“平方差減函數(shù)”；對于B，f（x）＝x2+2x+1，g（x）＝f（x）﹣x2＝2x+1，g（x）在區(qū)間[1，+∞）為增函數(shù)，則f（x）在（1，+∞）上不是“平方差減函數(shù)”；對于C，f（x）＝x2﹣log2x，g（x）＝f（x）﹣x2＝﹣log2x，g（x）在區(qū)間[1，+∞）為減函數(shù)，則f（x）在（1，+∞）上為“平方差減函數(shù)”；對于D，f（x）＝x2﹣x+，g（x）＝f（x）﹣x2＝﹣x+，g（x）在區(qū)間[1，+∞）為減函數(shù)，則f（x）在（1，+∞）上為“平方差減函數(shù)”；故選：ACD．9．解：對于A，f（x）＝x3為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，不符合題意；對于B，f（x）＝x2為偶函數(shù)，圖象關于y軸對稱，且在（0，+∞）上單調遞增，符合題意；對于C，y＝x﹣2＝為偶函數(shù)，在（0，+∞）上單調遞減，不符合題意；對于D，f（x）＝|x|為偶函數(shù)，圖象關于y軸對稱，且在（0，+∞）上單調遞增，符合題意．故選：BD．10．解：因為在區(qū)間[2，5]上是減函數(shù)，故f（2）＞f（5）成立，A正確；因為f（x）在區(qū)間[﹣1，2）上是增函數(shù)，在區(qū)間[2，5]上是減函數(shù)，但在x＝2處不一定連續(xù)，故無法比較f（0）與f（3）的大小，B不正確，D正確，當函數(shù)在x＝2處連續(xù)時，x＝2處函數(shù)的最大值，當函數(shù)在x＝2處不連續(xù)時，x＝2時，函數(shù)不能取得最大值，C錯誤；故選：AD．11．解：函數(shù)f（x）在其定義區(qū)間內對任意實數(shù)x，y都滿足，如圖示：顯然f（x）是增函數(shù)且f′（x）也是增函數(shù)，可得f″（x）≥0，對于A：f（x）＝2x，則f′（x）＝2x?ln2，∴f″（x）＝2x?ln22＞0，∴函數(shù)是下凸函數(shù)；對于B：f（x）＝3sin（2x+），f′（x）＝6cosx（2x+），∴f″（x）＝﹣12sin（2x+）≥0不恒成立，∴函數(shù)不是下凸函數(shù)；對于C：f（x）＝log2x，則f′（x）＝，∴f″（x）＝﹣＜0，∴函數(shù)不是下凸函數(shù)；對于D：x＜0時，f′（x）＝1，∴f″（x）＝0；x≥0時，f′（x）＝2，∴f″（x）＝0，∴函數(shù)是下凸函數(shù)故選：AD．12．解：因為函數(shù)f（x2+1）＝+|x|，所以2﹣x2≥0，解得，令t＝x2+1，則x2＝t+1，所以，所以，其定義域為[1，3]，故D正確，C錯誤；則，1≤x≤3，所以＝，則[f（x）]2∈[2，4]，所以，所以函數(shù)f（x）的最大值M與最小N的比值為，故A正確，B錯誤．故選：AD．三．填空題（共5小題）13．解：根據(jù)題意，f（x）＝x3+（m2﹣1）x2+x為奇函數(shù)，則f（﹣x）＝﹣f（x），則有（﹣x）3+（m2﹣1）（﹣x）2+（﹣x）＝﹣（x3+（m2﹣1）x2+x），則有（m2﹣1）x＝0，解可得m＝±1，故答案為：±1．14．解：因為函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，定義域為[﹣2，2]，且在[0，2]是增函數(shù)，所以函數(shù)f（x）在[﹣2，0）上是減函數(shù)，因為f（1﹣x）＞f（1），所以f（|1﹣x|）＞f（1），所以，解得﹣1≤x＜0或2＜x≤3，即x的取值范圍是[﹣1，0）∪（2，3]．故答案為：[﹣1，0）∪（2，3]．15．解：由﹣x2+2x+3＞0，得x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3，∴函數(shù)y＝log（﹣x2+2x+3）的定義域為（﹣1，3），令t＝﹣x2+2x+3，該函數(shù)的圖象是開口向下的拋物線，對稱軸方程為x＝1，且在[1，3）上為減函數(shù)，而y＝logt為減函數(shù)，∴函數(shù)y＝log（﹣x2+2x+3）的單調遞增區(qū)間是[1，3）．故答案為：[1，3）．16．解：∵偶函數(shù)f（x）在（﹣∞，0]上單調遞增，且f（3）＝0，∴f（x）的圖象如圖：當m﹣2＝3時，即m＝5，則不等式等價為6f（3）≤0成立，當m﹣2＝﹣3時，即m＝﹣1，則不等式等價為0f（﹣3）≤0成立，當m≠﹣1且m≠5時，不等式等價為或，得或，即或，得m＞5或是空集，綜上m≥5或m＝﹣1，即不等式的解集為{m|m＝﹣1或m≥5}，故答案為：{m|m＝﹣1或m≥5}．四．解答題（共6小題）17．解：（1）函數(shù)在（1，+∞）上單調遞減．證明如下：設x1，x2是（1，+∞）上的任意兩個實數(shù)，且x1＜x2，則，∵x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，∵x1∈（1，+∞），x2∈（1，+∞），∴（x1﹣1）＞0，（x2﹣1）＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（1，+∞）上單調遞減．（2）由（1）知函數(shù)在[2，6]上單調遞減，當x＝2時f（x）取最大值，則f（x）max＝f（2）＝2；當x＝6時f（x）取最小值，則．18．解：（1），定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f（﹣x）＝﹣x+＝﹣（x+）＝﹣f（x），所以函數(shù)y＝f（x）為奇函數(shù)．（2）g（x）＝f（x）?x+ax＝x2+ax+1，因為y＝g（x）在區(qū)間（0，2]上是嚴格減函數(shù)，所以﹣≥2，解得a≤﹣4，即實數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，﹣4]．19．解：（1）因為f（x）是奇函數(shù)，所以f（﹣x）＝﹣f（x），即2﹣x+k?2x＝﹣2x﹣k?2﹣x，可得k＝﹣1，所以f（x）＝2x﹣2﹣x，令y＝f（x）+f（2x）＝2x﹣2﹣x+22x﹣2﹣2x＝0，即（2x﹣2﹣x）（1+2x+2﹣x）＝0，所以2x﹣2﹣x＝0，解得x＝0，即函數(shù)y＝f（x）+f（2x）的零點為x＝0．（2）當k≤0時，函數(shù)f（x）＝2x+k?2﹣x在R上單調遞增，不符合題意；當k＞0時，令t＝2x，當x∈（﹣∞，﹣1）時，t∈（0，），當x∈（2，+∞）時，t∈（4，+∞），因為f（x）在（﹣∞，﹣1）上單調遞減且在（2，+∞）上單調遞增，所以g（t）＝t+在（0，）上單調遞減且在（4，+∞）上單調遞增，所以≤≤4，解得≤k≤16，故存在實數(shù)k∈[，16]使f（x）在（﹣∞，﹣1）上單調遞減且在（2，+∞）上單調遞增．20．解：（1）由題意知，h（）＝h（2）＝1，①若＜a≤1，則h（x）在[，a]上單調遞減，可得h（x）的最大值為h（）＝1；②若1＜a≤2，則h（x）在[，1]上單調遞減，在[1，a]上單調遞增，可得h（a）≤h（2）＝h（）＝1，所以h（x）的最大值為1；③若a＞2，則h（x）在[，1]上單調遞減，在[1，a]上單調遞增，可得h（a）≥h（2）＝h（），所以h（x）的最大值為h（a）＝|log2a|，綜上，若＜a≤2，則h（x）的最大值為1；若a＞2，則h（x）的最大值為|log2a|；（2）由（1）知①當＜a≤1時，h（x）在（，a）上的值域為（|log2a|，1），f（x）在{}∪[a，2]上的值域為[0，1]，由任何x1∈A，都存在（其中表示A在I上的補集）使得f（x1）＝f（x2），可得（|log2a|，1）?[0，1]，即有|l