高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019選擇性必修一）第04講113空間向量的坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)系

1.1.3空間向量的坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)系TOC\o"13"\h\u題型1空間向量的坐標(biāo)表示 ⑦當(dāng)a≠0且b≠0時(shí)，cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＋z\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)＋z\o\al(2,2)))．(2)設(shè)A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），則AB=OBOA=（x2x1，y2y1，z2z1）.即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo).2.空間向量平行、垂直的坐標(biāo)表示（1）已知空間向量a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），且a≠0，則a//b?b=λa?x2=λx1，y2=λy1，z2=λz1(λ∈R).(2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＋z1z2＝0．3.空間向量坐標(biāo)的應(yīng)用(1)點(diǎn)P(x，y，z)到坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0,0)的距離OP＝eq\r(x2＋y2＋z2)．(2)任意兩點(diǎn)P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)間的距離P1P2＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12)．題型1空間向量的坐標(biāo)表示【例題1】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）若ABCD為平行四邊形，且已知點(diǎn)A4,1,3、B2,?5,1、【答案】?1,13,?3【分析】設(shè)Dx,y【詳解】設(shè)Dx,y所以AB=DC，所以所以?3?x=?27?y=?6故答案為：?1,13,?3.【變式11】1．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）三棱錐P?ABC中，∠ABC為直角，PB⊥平面ABC，AB=BC=PB=1，M為PC【答案】1【分析】利用中位線和向量的線性運(yùn)算，將MN用基底表示，表示系數(shù)即為所求坐標(biāo).【詳解】M為PC的中點(diǎn)，N為AC中點(diǎn)，則MN為△ACP故MN=12PA=12故答案為：1【變式11】2．（2023秋·北京豐臺(tái)·高二北京市第十二中學(xué)?？计谀┰诳臻g直角坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn)O(0,0,0),A(1,2,1),A．(?1,?1,3) B．(3,0,1) C．(1,1,2) D．(1,?1,2)【答案】B【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算可得OA=(1,2,1)，OB=(1,?1,0)，由OA，OB不共線，結(jié)合向量基本定理可得OC=【詳解】由OA=(1,2,1)，OB顯然OA，OB不共線，根據(jù)向量基本定理可得OC=故C點(diǎn)坐標(biāo)為(λ經(jīng)驗(yàn)算只有B選項(xiàng)符合條件，此時(shí)λ=1,故選：B【變式11】3．（2021秋·山西太原·高二太原市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┒x：設(shè)a1,a2,a3是空間向量的一個(gè)基底，若向量p=xa1+ya2+za3，則稱實(shí)數(shù)組x【答案】3,1,2【分析】化簡(jiǎn)得到m=3【詳解】m→故m在基底a,b,故答案為：(3,1,2).【變式11】4．（2022秋·江蘇徐州·高二校考階段練習(xí)）在△ABC中，A(1)求頂點(diǎn)B,(2)求CA?【答案】(1)B(6,?4,5),(2)CA【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)表示求出B,C的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得【詳解】（1）設(shè)B(xB∴xB?2=4設(shè)C(xC∴xC?6=3（2）∵CA∴CA【變式11】5．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是D1D【答案】EF=1【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系，求出E,F,C1【詳解】由已知可得點(diǎn)E0,0,12，F(xiàn)12因?yàn)镠是C1G的中點(diǎn)，所以H點(diǎn)坐標(biāo)為故EF=12題型2空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算【方法總結(jié)】關(guān)于空間向量坐標(biāo)運(yùn)算的兩類問(wèn)題（1）直接計(jì)算問(wèn)題首先將空間向量用坐標(biāo)表示出來(lái)，然后準(zhǔn)確運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算公式計(jì)算.（2）由條件求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)首先把向量用坐標(biāo)形式設(shè)出來(lái)，然后通過(guò)建立方程（組），解方程（組）求出其坐標(biāo)..◆類型1加減數(shù)乘與數(shù)量積【例題21】（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知a=(2,?3,1)，b=(2,0,3)，c=(0,1,?2)A．(4,?4,6) B．?6,?6,?5 C．(10,0,7) D．10,?6,19【答案】D【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可．【詳解】a+4故選：D．【變式21】1．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若向量a、b的坐標(biāo)滿足a+b=?2，?1，2，A．﹣1 B．﹣5 C．5 D．7【答案】B【分析】利用向量的運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算即可得出．【詳解】∵a=b=∴a?故選：B．【變式21】2．（2022秋·廣東佛山·高二佛山市榮山中學(xué)?？计谥校┮阎臻g直角坐標(biāo)系O?xyz中，OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2)，點(diǎn)QA．(12,34,13)【答案】C【分析】利用向量OQ//OP表示出點(diǎn)Q坐標(biāo)，再求出QA，【詳解】因點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，則OQ//OP，設(shè)OQ=因?yàn)镺A=(1,2,3)，OB=(2,1,2)，所以A1,2,3因此QA=(1?t,2?于是得QA=6t則當(dāng)t=43時(shí)，QA所以當(dāng)QA?QB取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為故選：C【變式21】3．（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶一中校考期中）已知一個(gè)正八面體ABCDEF的棱長(zhǎng)都是2（如圖），P?Q分別為DF?BF的中點(diǎn)，則AP?AQ=__________；若EG=2GB，過(guò)點(diǎn)G的直線分別交直線FE【答案】48【分析】補(bǔ)形成正方體，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得AP?【詳解】補(bǔ)形成正方體，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，則(a2則A所以P所以AP所以AP在平面BEF中，如圖，因?yàn)镋G=2GB又FE=所以FG因?yàn)镚，N，M三點(diǎn)共線，所以m所以2當(dāng)且僅當(dāng)4n3m所以2m+故答案為：4；8【變式21】4．定義a?b=a2?aA．0,6 B．6,12 C．0,6 D．?1,5【答案】B【分析】根據(jù)a?【詳解】解：由題意知|a|=3,|b|=1．設(shè)a與則a?b=|∴cosθ∈[?1,1]．故選：B．◆類型2空間向量模長(zhǎng)問(wèn)題【例題22】（2022秋·廣東陽(yáng)江·高二陽(yáng)江市陽(yáng)東區(qū)第一中學(xué)?？计谥校┮阎蛄縜=(2,?1,1)，b=(?1,1,x)，若a與【答案】5【分析】根據(jù)給定條件，利用向量垂直關(guān)系求出x，再結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算及模的運(yùn)算計(jì)算作答.【詳解】向量a=(2,?1,1)與b=(?1,1,x)垂直，則有于是a+2所以a+2故答案為：5【變式22】1．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1【答案】248【分析】因?yàn)檎襟wABCD?A1B1【詳解】因?yàn)檎襟wABCD?A1體對(duì)角線長(zhǎng)為12因?yàn)檎襟w有12條面對(duì)交線，而每條對(duì)角線對(duì)應(yīng)兩個(gè)向量，如AC,所以模長(zhǎng)等于2的向量有24個(gè)，正方體有4條體對(duì)角線，故模長(zhǎng)為3的向量有8個(gè).故答案為：24；8.

【變式22】2．（2023·高二校考課時(shí)練習(xí)）已知向量a=(2,1,?2)，c=(?1,0,1)，向量b同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：①a?b=?1(1)求a+2(2)求向量b的坐標(biāo).【答案】(1)1(2)b=(2,?1,2)或b【分析】（1）根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算及模的公式計(jì)算即可；（2）設(shè)b=(【詳解】（1）∵a=(2,1,?2)，∴a∴|a（2）設(shè)b=(則a?b=2x+由①②③得x=2,y∴b=(2,?1,2)或【變式22】3．（2023秋·陜西西安·高二長(zhǎng)安一中?？计谀┰诶忾L(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)EA．14 B．12 C．3【答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)E、F坐標(biāo)，根據(jù)C1【詳解】如圖所示，以C1為中心建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)E則C1E=AF=2?y=故選：B【變式22】4．（2023春·四川內(nèi)江·高二四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在四棱錐P?ABCD中，△PCD為正三角形，底面為正方形，且邊長(zhǎng)均為1．平面PCD⊥平面【答案】52/【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的方法求得M點(diǎn)在底面內(nèi)的軌跡，進(jìn)而求得其長(zhǎng)度.【詳解】取AB中點(diǎn)N，CD中點(diǎn)O，連接OP,因?yàn)槠矫鍼CD⊥平面ABCD，OP⊥CD，平面PCD∩平面ABCD=所以O(shè)P⊥平面ABCD由題意可得OP,以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)N,OC,則P(0,0,32則AM由AM=PM，可得則x?12+則M點(diǎn)在底面內(nèi)的軌跡為線段4x?2y所以軌跡的端點(diǎn)的坐標(biāo)為0,?則M點(diǎn)在底面內(nèi)的軌跡長(zhǎng)度為(0?故答案為：5【變式22】5．（2023春·遼寧·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在正四棱錐P?ABCD中，PA=AB=2，E在棱PD上，F(xiàn)A．433 B．463 C．【答案】D【分析】以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)C，OD，OP的方向?yàn)閤軸、y軸和z軸軸的正方向建立的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PE=λPD=0,【詳解】如圖所以，連接AC，BD，記AC∩由正四棱錐的性質(zhì)可知OC，OD，OP兩兩垂直，則以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)C，OD，OP的方向?yàn)閤軸、y軸和z軸軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)镻A=AB=2，所以A?2,0,0，則CA=?22設(shè)PE=λPD從而CE=故點(diǎn)A到直線CE的距離d=即AF的最小值是26故選：D.◆類型3空間向量夾角問(wèn)題【例題23】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知向量a=1,2,3,b=【答案】120°【分析】設(shè)c→=x【詳解】設(shè)c→=x,y∴a→+b→=?1,?2,?3，∴x2∵0°≤θ≤180°，故答案為：120°【變式23】1．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知：a=x,4,1,b=?2,y,?1(1)a，b，c；(2)a+c與【答案】(1)a(2)?【分析】（1）由空間向量平行與垂直坐標(biāo)公式列出方程組，即可求解.（2）利用空間向量的夾角坐標(biāo)公式，即得.【詳解】（1）∵a∥b，∴x?2解得x=2,故a=又因?yàn)閎⊥c，所以即?2×3+?4×故c=（2）由（1）可得a→+c設(shè)向量a+c與b+則cos=5×1+2×【變式23】2．（（2023春·北京海淀·高一人大附中校考期中）人大附中舉辦了“陽(yáng)春德澤·歐以詠志”春日合唱比賽大獲成功．?dāng)?shù)學(xué)組想舉辦“響亮（諧音向量）學(xué)生音樂(lè)節(jié)”獨(dú)唱比：想在獨(dú)唱比賽取得好的成績(jī)?nèi)Q于三個(gè)要素：情感投入a，唱歌技巧b和舞臺(tái)效果c（單位：分）．每個(gè)參賽同學(xué)各有優(yōu)勢(shì)．最多只能分配10分到三個(gè)不同的要素中．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)組老師約定三個(gè)要素a:b:c為3:3:4時(shí)會(huì)達(dá)到最佳效果．計(jì)分方式是計(jì)算參賽同學(xué)的三維要素向量a,同學(xué)情感投入a唱歌技巧b每臺(tái)效果cA631B144C234D243A．同學(xué)A B．同學(xué)B C．同學(xué)C D．同學(xué)D【答案】C【分析】根據(jù)題意得到四位同學(xué)的三維要素向量，再逐一利用公式計(jì)算得對(duì)應(yīng)的cosθ【詳解】易得32對(duì)于A同學(xué)，其三維要素向量為6,3,1，則62則其對(duì)應(yīng)的cosθ對(duì)于B同學(xué)，其三維要素向量為1,4,4，則12則其對(duì)應(yīng)的cosθ對(duì)于C同學(xué)，其三維要素向量為2,3,4，則22則其對(duì)應(yīng)的cosθ對(duì)于D同學(xué)，其三維要素向量為2,4,3，則22則其對(duì)應(yīng)的cosθ易得3146×34所以cosθA<cos故C同學(xué)的三維要素向量a,b,故選：C.【變式23】3．（2023·江西·校聯(lián)考二模）在四棱錐P?ABCD中，棱長(zhǎng)為2的側(cè)棱PD垂直底面邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD，M為棱PD的中點(diǎn)，過(guò)直線BM的平面α分別與側(cè)棱PA、PC相交于點(diǎn)E、F，當(dāng)PE=A．22 B．2 C．33【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量共面確定點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積及三角形面積公式即可求出.【詳解】由題意，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，

則C0,2,0，P0,0,2，A2,0,0，M0,0,1，B2,2,0設(shè)PE=tPA=2又PE=PF，PA=PC，所以由題意，M、E、所以?2=(2t?2)x所以E43,0,23所以cos<BE,BF所以sin∠EBF所以S△又ME=所以cos<ME,MF所以sin∠EMF所以S△所以截面MEBF的面積為S=故選：A◆類型4投影向量問(wèn)題【例題24】（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）已知A1,1,0，B0,3,0，C2,2,2，則向量ABA．16,1C．?16,?【答案】D【分析】先求AB,【詳解】因?yàn)锳1,1,0，B0,3,0，所以AB=所以AB=?12AB?所以向量AB在AC上的投影向量是AB?所以向量AB在AC上的投影向量的坐標(biāo)是16故選：D.【變式24】1.（2023春·江蘇連云港·高二校聯(lián)考期中）已知向量a,b滿足a=(1,1,2),|b|=2，且|【答案】23【分析】對(duì)a+b=【詳解】a+b=因?yàn)閍=1,1,2又b=2，代入①得：8?8a?a+所以，a+b在a+故答案為：2，32【變式24】2.（2023春·廣西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量a=1,3,0,b=2,1,1，則向量A．52,54,54 B．【答案】B【分析】利用投影向量的定義求解作答.【詳解】向量a=1,3,0,b=所以向量a在向量b上的投影向量c=故選：B題型3空間向量平行、垂直的坐標(biāo)表示及應(yīng)用◆類型1空間向量平行問(wèn)題【例題31】（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知向量a=1,t,2，b=A．?2 B．2 C．?4 D．?5【答案】D【分析】根據(jù)共線向量基本定理確定a與b的關(guān)系，再分別求出t和s，進(jìn)而求解.【詳解】解：若a∥b，則因?yàn)橐阎蛄縜=1,t,2，b=所以t?故選：D.【變式31】1．已知空間三點(diǎn)A?2,0,2，B?1,1,2，C?3,0,4，設(shè)a=AB，b=AC【答案】?2,?1,2或2,1,?2【分析】先求得b?a，然后根據(jù)向量共線以及向量的模求得【詳解】b?由于c//b?所以c=所以c為?2,?1,2或2,1,?2.故答案為：?2,?1,2或2,1,?2【變式31】2．已知向量a=(1,1,0)，則與a共線的單位向量eA．(22,?22,0) C．(22,22,0) D．【答案】C【分析】利用向量共線定理、模的計(jì)算公式即可判斷出結(jié)論.【詳解】因?yàn)橄蛄縜與e共線，故a=λe，對(duì)于C：向量(22,22,0)=22a，另驗(yàn)證向量(22,2故選：C．【變式31】3．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量a=(1,2,1)，b=(3,2,2)，且A．?2512 C．?12 【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，結(jié)合向量共線條件列式計(jì)算作答.【詳解】向量a=(1,2,1)，b=(3,2,2)，則因?yàn)?ka+b)//(所以實(shí)數(shù)k的值為?1故選：C【變式31】4.（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知空間三點(diǎn)A(?2,0,2)，B(?1,1,2)，C(?3,0,4)，設(shè)a=AB(1)設(shè)|c|=3，c∥(2)求a與b的夾角；(3)若ka+b【答案】(1)c=(?2,?1,2)或(2)π?arccos(3)k=2或【分析】（1）由空間向量平行，得出c=kBC，設(shè)c=?2（2）先求得a=1,1,0，b=（3）利用空間向量垂直充要條件列出關(guān)于k的方程，解之即可求得k的值．【詳解】（1）由題可知，BC=(?2,?1,2)由c∥BC，得c=因?yàn)閨c所以(?2k)2所以c=(?2,?1,2)或c（2）因?yàn)锳(?2,0,2)、B(?1,1,2)、C(?3,0,4)，a所以a=(1,1,0)，b則cos<a所以a與b的夾角為π?arccos10（3）因?yàn)閗a+b又ka+b所以ka解得k=?52◆類型2空間向量垂直問(wèn)題【例題32】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量a=x,1,2，b=1,y,?2(1)求x，y，z的值；(2)求向量a+c與【答案】(1)x(2)5【分析】（1）根據(jù)空間向量的平行以及垂直關(guān)系列出方程，求解方程組即可.（2）根據(jù)兩個(gè)向量所成角的余弦公式求解即可.【詳解】（1）∵a=x,1,2，b=1,因?yàn)閍//b，設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使得所以x=λ1=因?yàn)閎⊥c，b?∴所以x=?1（2）由（1）知a=?1,1,2，b=∴a+c=∴a+a+c=∴cosa∴向量a+c與b+【變式32】1．（2023春·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學(xué)校考階段練習(xí)）已知向量a=(1)求a?2(2)當(dāng)c=22時(shí)，若向量ka+b與c(3)若向量c與向量a,b共面向量，求【答案】(1)13(2)x=0，(3)x【分析】（1）根據(jù)空間向量的模長(zhǎng)公式求解即可.（2）根據(jù)空間向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算，可得坐標(biāo)表示，根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)計(jì)算公式，求解即可.（3）根據(jù)向量共面定理，建立向量c與向量a,【詳解】（1）∵a=?2,?1,2∴a∴a（2）因?yàn)閨c所以x2+2因?yàn)閗a+b=(?2k所以(ka即2?2k∴k所以實(shí)數(shù)x和k的值分別為0和?3；（3）解：設(shè)c=λa則(解得，x即c=?所以向量c與向量a，b共面．【變式32】2．（多選）（2023秋·江西撫州·高二統(tǒng)考期末）如圖，矩形ADFE、矩形CDFG、正方形ABCD兩兩垂直，且AB=2，若線段DE上存在點(diǎn)P，使得GPA．2 B．22 C．4 D．【答案】CD【分析】以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CG=a,P（x,0,z）【詳解】如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CG=a,Px又B2,2,0所以BP=由PB⊥得PB?顯然x≠0且x≠2，則所以a2因?yàn)閤∈0,2，所以所以a2=16故選：CD.【變式32】3.（2023春·河南洛陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知正方體ABCD?A1B1C1①?t∈0,1②?t∈0,1，都存在s③?t∈0,1④HB+HC其中所有真命題的序號(hào)是______．【答案】①②③【分析】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD、AA1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷①③；利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷②；將側(cè)面ABB1A1與面ACC1A1延展至同一平面，分析可知當(dāng)點(diǎn)【詳解】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD、AA1所在直線分別為x、y、

因?yàn)檎襟wABCD?A1B1C1則A0,0,0、B2,0,0、C2,2,0、D0,2,0、C12,2,2、D1對(duì)于①，CH=?2,?2,2t?t∈0,1對(duì)于②，CA=?2,?2,0，?t∈0,1，都存在s則sCA由CH=sCA+1?對(duì)于③，DH=0,?2,2t若?t∈0,1，使得DH⊥C對(duì)于④，在正方體ABCD?A1B1因?yàn)锳C?平面ABCD，則A又因?yàn)锳A1//CC1且易知四邊形ABB將側(cè)面ABB1A

當(dāng)點(diǎn)B、H、C1共線時(shí)，HB且HB+當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)B、H、C1共線時(shí)，等號(hào)成立，故HB+H故答案為：①②③.【變式32】4．已知a=1,?4,5，b=?2,3,2，點(diǎn)(1)求2a(2)在線段AB上，是否存在一點(diǎn)E，使得OE⊥【答案】(1)13(2)存在，E【分析】（1）利用空間向量的線性運(yùn)算及模的運(yùn)算公式即可得解；（2）利用空間向量共線定理得到OE關(guān)于λ的關(guān)系式，再由空間向量垂直的坐標(biāo)表示求得λ，從而得到點(diǎn)E的坐標(biāo).【詳解】（1）因?yàn)閍=1,?4,5，所以2a則2a（2）假設(shè)線段AB上存在一點(diǎn)E，使得OE⊥b，則設(shè)因?yàn)锳?3,?2,3，B?2,?3,2，所以又因?yàn)镺E?所以O(shè)E=因?yàn)镺E⊥b，所以?2λ?3+3?λ所以O(shè)E=67所以線段AB上存在一點(diǎn)E，使得OE⊥b，且【變式32】5．已知A(1,2,0),(1)求cosAB(2)已知點(diǎn)P(?3,m,n)(3)當(dāng)λ為何值時(shí)，AB與AB+【答案】(1)55(2)?14(3)λ【分析】（1）根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算直接求解；（2）利用空間向量共線的坐標(biāo)表示求解；（3）利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示求解.【詳解】（1）AB=(?1,2,0),∴|AB∴cosAB（2）因?yàn)辄c(diǎn)P(?3,m,n)在直線AC則存在μ∈R使得AP=μ∴?4=μm（3）AB+∵AB與AB+∴?1×(λ∴λ∴λ=?5時(shí)，AB與◆類型3銳角鈍角問(wèn)題【例題33】（2023春·江蘇常州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若a=?1,x+1,x，b=2?A．?∞,12 B．12,+∞ C．【答案】C【分析】令a與b共線，求出x的值，依題意a?b<0且a【詳解】因?yàn)閍=?1,x令a與b共線，則a=λb，即?1,x+1,此時(shí)a=?1,0,?1，b=3,0,3，即b=?3又a與b的夾角為鈍角，所以a?b<0且a即?2?x+3解得x<12故選：C【變式33】（2023春·江蘇連云港·高二連云港高中?？茧A段練習(xí)）已知a=1,?2,λ,b【答案】λ>?5且【分析】根據(jù)題意得出a?b<0且a【詳解】因?yàn)閍與b的夾角為鈍角，所以a?b<0且a因?yàn)閍=1,?2,λ,b當(dāng)a與b共線時(shí)，a=kb，即1,?2,λ=所以λ>?5且λ故答案為：λ>?5且λ題型4含參取值（范圍）最值問(wèn)題【例題4】（2023·上海黃浦·格致中學(xué)?？既＃┰诶忾L(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，已知E為線段BA．當(dāng)λ=12B．當(dāng)μ=12時(shí)，四棱錐C．PE+PFD．存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)λ,μ，使得【答案】C【分析】由線面平行的判定可知BD1//平面EFD，知三棱錐P?EFD底面積和高均為定值，A正確；根據(jù)正棱錐外接球的球法，可構(gòu)造關(guān)于外接球半徑R的方程，求得R后知B正確；將C中問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在平面ABC1D1內(nèi)求解PE+PF的最小值，作E【詳解】對(duì)于A，當(dāng)λ=12時(shí)，F(xiàn)為C1D1中點(diǎn)，又

∵EF?平面EFD，BD1?平面EFD，則當(dāng)P在線段BD1上移動(dòng)時(shí)，其到平面∴三棱錐P?對(duì)于B，當(dāng)μ=12時(shí)，取AC,BD交點(diǎn)O∴PO⊥平面設(shè)四棱錐P?ABCD的外接球的球心為O′，半徑為R，則O

∵OC=22，OO解得：R=34，∴四棱錐P對(duì)于C，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在平面ABC1D作E關(guān)于線段BD1的對(duì)稱點(diǎn)E1，過(guò)E1作HG//

∵PE=PE1，∴∵∠E∴sin∠E∴E1G即PE+PF的最小值為對(duì)于D，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,

則D0,0,0，E12,1,1∴EP=μ?1若EP⊥平面PDF，則EP∴EP解得：μ=3+3∴存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)λ,μ=3?1故選：C.【變式41】1．（多選）（2023·山東青島·統(tǒng)考三模）在三棱錐P－ABC中，PA＝PB＝PC＝AB＝BC＝1，AC=A．平面PAC⊥B．△WMN面積的最小值為C．平面WMN截該三棱錐所得截面不可能是菱形D．若三棱錐P－ABC可以在一個(gè)正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則此正方體的體積最小值為2【答案】ABD【分析】由面面垂直的判定定理可判斷A；以N為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)NM，NW所成角為θ，由空間向量的數(shù)量積定義可求出cosθ=12λλ2【詳解】對(duì)于A，因?yàn)镻A2+故PC⊥PA，AB⊥BC，則所以PN2+因?yàn)镻A=PC，N為AC的中點(diǎn)，所以則AC∩NB=PN?平面PAC，則平面PAC

對(duì)于B，因?yàn)镻N⊥平面ABC，BN⊥AC則A22,0,0所以NW=所以NM=0,24,而NM?又NM?NW=sinθ所以△WMN的面積為S

故B正確；對(duì)于C，當(dāng)W為PA中點(diǎn)，取BC的中點(diǎn)D，連接MD,因?yàn)镸W//AB//且四邊形MWND為平行四邊形，又因?yàn)閃N=故四邊形MWND為菱形，所以當(dāng)W為PA中點(diǎn)時(shí)，平面WMN截該三棱錐所得截面MWND為是菱形，故C不正確；

對(duì)于D，因?yàn)镻C⊥PA，AB⊥故三棱錐P－ABC的外接球半徑為22，故該外接球的內(nèi)接正方形的棱長(zhǎng)為2若三棱錐P－ABC可以在一個(gè)正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則此正方體的體積最小值為V=故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于由空間向量的數(shù)量積定義可求出cosθ=12λ【變式41】2．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為1，以正方體的同一頂點(diǎn)上的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系O?xyz，點(diǎn)P在正方體的體對(duì)角線AB上，點(diǎn)Q在正方體的棱C