2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)試題（人教A版2019）312橢圓的簡單幾何性質(zhì)（十大題型）

3．1．2橢圓的簡單幾何性質(zhì)目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納】 2題型一：橢圓的幾何性質(zhì) 2題型二：根據(jù)橢圓的有界性求范圍或最值 4題型三：求離心率的值 6題型四：求離心率的范圍 8題型五：點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系 10題型六：直線與橢圓的位置關(guān)系 13題型七：弦長問題 14題型八：中點(diǎn)弦問題 18題型九：橢圓的實(shí)際應(yīng)用 20題型十：定點(diǎn)定值問題 23【重難點(diǎn)集訓(xùn)】 27【高考真題】 41

【題型歸納】題型一：橢圓的幾何性質(zhì)1．（多選題）（2024·高二·安徽蕪湖·期中）若橢圓繞其對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)，所得新橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好是旋轉(zhuǎn)前橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，就稱該橢圓為“對(duì)稱橢圓”．下列是“對(duì)稱橢圓”的方程有（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】因?yàn)樾聶E圓的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好是旋轉(zhuǎn)前橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，所以，即，對(duì)于A，，則，所以，所以A正確，對(duì)于B，，則，所以，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，，則，所以，所以C正確，對(duì)于D，，則，所以，所以D錯(cuò)誤，故選：AC2．（多選題）（2024·高一·浙江寧波·期末）已知橢圓的焦點(diǎn)分別為，焦距為為橢圓C上一點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．橢圓C的離心率為 B．的周長為3C．不可能是直角 D．當(dāng)時(shí)，的面積為【答案】AD【解析】由題意，焦距為，又，所以橢圓焦點(diǎn)必在軸上，由.所以橢圓的離心率，故A正確；根據(jù)橢圓的定義，的周長為，故B錯(cuò)誤；如圖：取為橢圓的上頂點(diǎn)，則,所以為鈍角，所以橢圓上存在點(diǎn)，使得為直角，故C錯(cuò)誤；如圖：當(dāng)時(shí)，設(shè)，，則，所以，故D正確.故選：AD3．（多選題）（2024·河南開封·三模）橢圓的焦點(diǎn)為，，上頂點(diǎn)為A，直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)為B，若，則（

）A．C的焦距為2 B．C的短軸長為C．C的離心率為 D．的周長為8【答案】ABD【解析】由于，所以,故，因此，故，所以橢圓，對(duì)于A，焦距為，故A正確，對(duì)于B，短軸長為，B正確，對(duì)于C，離心率為，C錯(cuò)誤，對(duì)于D，的周長為，D正確，故選：ABD4．（多選題）（2024·高二·四川廣元·階段練習(xí)）已知分別是橢圓C：的左?右焦點(diǎn)，P為橢圓C上異于長軸端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的周長為10 B．面積的最大值為25C．的最小值為1 D．橢圓C的離心率為【答案】AD【解析】由題意可知：，則，，對(duì)于選項(xiàng)A：的周長為，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)P為短軸頂點(diǎn)時(shí)，面積取到最大值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：PF1的最小值為，此時(shí)P但本題取不到長軸頂點(diǎn)，故沒有最小值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：橢圓C的離心率為，故D正確；故選：AD.題型二：根據(jù)橢圓的有界性求范圍或最值5．（2024·高二·遼寧·期中）已知是橢圓上一點(diǎn)，，則的最小值為.【答案】【解析】設(shè),所以,由于，故當(dāng)，取最小值，故答案為：6．（2024·高二·貴州貴陽·階段練習(xí)）已知橢圓，直線，則橢圓上的點(diǎn)到直線距離的最小值為，最大值為．【答案】【解析】設(shè)橢圓上一點(diǎn)，所以，點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)時(shí)，取最小值，即；當(dāng)時(shí)，取最大值，即.故答案為：；.7．（2024·高二·上海普陀·期中）過橢圓的中心的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是橢圓的右焦點(diǎn)，則的面積的最大值為．【答案】12【解析】由橢圓，得，，．方法一：當(dāng)軸時(shí)，為橢圓的短軸，；當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線，由，得，解得，得，設(shè)，不妨取，所以；綜上所述：的面積的最大值為12．方法二：設(shè)點(diǎn)，則，故的面積.故答案為：12.8．（2024·高二·上海浦東新·期末）以為焦點(diǎn)的橢圓x2a2+y23=1【答案】3【解析】因?yàn)闉闄E圓x2a所以，，所以由a2所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，如圖所示：因?yàn)闉闄E圓的左焦點(diǎn)，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，故當(dāng)處于右頂點(diǎn)時(shí)最大，且最大值為MF故答案為：3.題型三：求離心率的值9．（2024·高二·全國·專題練習(xí)）已知橢圓：（）的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，，則橢圓的離心率為．【答案】55/【解析】令橢圓：（）的半焦距為，設(shè)，則，由點(diǎn)在軸上，，得，而，，因此，即，解得，在中，，在中，由余弦定理得，即，整理得，而，所以橢圓的離心率為．故答案為：．10．（2024·高三·廣東惠州·階段練習(xí)）設(shè)橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過作平行于軸的直線交于兩點(diǎn)，若，，則C的離心率為.【答案】【解析】由題意知，，，所以，解得；又，所以，所以橢圓的離心率為．故答案為：．11．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）體外碎石技術(shù)在醫(yī)學(xué)上一般用來治療腎結(jié)石，其治療原理為電極放電產(chǎn)生沖擊波，經(jīng)橢圓形反射體反射聚焦（將某個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的沖擊波全部反射到另一個(gè)焦點(diǎn)處），能量積累增強(qiáng)到一定值時(shí)達(dá)到結(jié)石粉碎的目的．若橢圓的方程為，沖擊波從橢圓的左焦點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過反射后首次回到該焦點(diǎn)所經(jīng)過的路程為，則的離心率為．【答案】或或【解析】情況1：沖擊波沿著軸向左出發(fā)經(jīng)反射回到點(diǎn)，此時(shí)，即；情況2：沖擊波沿著軸向右出發(fā)經(jīng)反射回到點(diǎn)，此時(shí)，即；情況3：沖擊波以與軸成夾角不為0的角度出發(fā)經(jīng)反射回到點(diǎn)，此時(shí)，即．故答案為：或或題型四：求離心率的范圍12．（2024·高二·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）已知點(diǎn)A、B為橢圓的長軸頂點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率之積的范圍為，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題得：，所以故選：A．13．（2024·高二·安徽安慶·階段練習(xí)）橢圓（a＞b＞0）上存在一點(diǎn)P滿足，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，則橢圓的離心率的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)闄E圓（a＞b＞0）上存在一點(diǎn)P滿足，即，所以點(diǎn)P落在以為直徑的圓上，所以有解，即有解，所以.即，所以，所以，又橢圓的離心率，所以.故選：D14．（2024·高二·江蘇鹽城·階段練習(xí)）已知橢圓上有一點(diǎn)P，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若使得為直角三角形點(diǎn)P有8個(gè)，則橢圓的離心率的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示，當(dāng)點(diǎn)落在上頂點(diǎn)時(shí)，恰好有6個(gè)直角三角形，此時(shí)，，當(dāng)橢圓變扁時(shí)，橢圓越扁，離心率越大，，此時(shí)為直角三角形點(diǎn)P有8個(gè)，故選：C15．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知直線，若橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值與最小值之和為，則橢圓的離心率范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】聯(lián)立可得（1+a2）x2+4a2x+3a2=0，因?yàn)橹本€l與橢圓C相離或相切，所以=16a4﹣12a2（1+a2）≤0，∴1<a2≤3，設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)P（acosθ，sinθ），則點(diǎn)到直線l的距離，其中，d的最小值?最大值分別為：，，滿足最大值與最小值之和為，∴1<a2≤3，.故選：A.題型五：點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系16．（2024·全國·二模）已知為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)為C內(nèi)一點(diǎn)，若在C上存在一點(diǎn)P，使得，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，，設(shè)C的左焦點(diǎn)為，則，因?yàn)?，且，則，即，于是，解得，而，點(diǎn)為橢圓C內(nèi)一點(diǎn)，即有，，整理得，又，解得，所以a的取值范圍是.故選：D17．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）設(shè)點(diǎn)是曲線上的點(diǎn)，又點(diǎn)，，下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】曲線，化為，它表示頂點(diǎn)分別為的菱形，以，為焦點(diǎn)，長軸長為10，短軸長為6的橢圓方程，在直角坐標(biāo)系中，作出曲線和橢圓的圖形，如下圖所示：由圖形以及橢圓的定義可知：若在橢圓上，又在曲線上時(shí)，即或時(shí)，；若在橢圓內(nèi)部，又在曲線上時(shí)，則，綜上，.故選：C.18．（2024·高二·湖北荊州·階段練習(xí)）已知橢圓，若橢圓上存在兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】橢圓，即：，設(shè)橢圓上兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，中點(diǎn)為，則，，所以，∴，∴，代入直線方程得，即，因?yàn)樵跈E圓內(nèi)部，∴，解得，即的取值范圍是．故選：A．19．（2024·高二·山東青島·學(xué)業(yè)考試）若直線與圓沒有公共點(diǎn)，則過點(diǎn)的一條直線與橢圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．1或2【答案】C【解析】圓的圓心，半徑為，因?yàn)橹本€與圓沒有公共點(diǎn)，所以圓心到直線的距離大于半徑，得，即，所以，則點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以過點(diǎn)的直線與橢圓必有2個(gè)公共點(diǎn).故選：C.題型六：直線與橢圓的位置關(guān)系20．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，直線，點(diǎn)F為橢圓C的左焦點(diǎn)．(1)求橢圓C的離心率及左焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；(2)求證：直線與橢圓C相切；【解析】（1）由橢圓，可得，則，所以橢圓的離心率為，左焦點(diǎn)為.（2）由橢圓，可得，即當(dāng)時(shí)，直線的方程為或，此時(shí)直線與橢圓相切；當(dāng)時(shí)，聯(lián)立方程組，可得，即，則，所以直線與橢圓相切，綜上可得，直線與橢圓相切.21．判斷直線與橢圓是否有公共點(diǎn)．如有兩個(gè)公共點(diǎn)，求出公共點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出以這兩個(gè)公共點(diǎn)為端點(diǎn)的線段長．【解析】聯(lián)立直線與橢圓的方程，可得方程組，消化簡得，，解得，或，故方程組的解為或因此直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)的坐標(biāo)為，．從而可知所求線段長為．22．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）試判斷直線與橢圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由.【解析】直線與橢圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)，理由如下：根據(jù)題意，直線，恒過定點(diǎn)，把點(diǎn)代入橢圓，則點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，則直線與橢圓必相交，有個(gè)交點(diǎn)，即直線與橢圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè).題型七：弦長問題23．（2024·高二·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知橢圓的焦點(diǎn)為F，橢圓上M，N滿足：，則（

）A． B．3 C． D．【答案】D【解析】設(shè)、，不妨設(shè)為右焦點(diǎn)，據(jù)題意得，因?yàn)椋?，所以，將點(diǎn)代入橢圓方程得由，得，所以，所以，所以，所以，所以.故選：D24．（2024·高三·廣東茂名·階段練習(xí)）已知橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，與在第一象限的交點(diǎn)為，且.(1)求與的方程；(2)記的上頂點(diǎn)為的左頂點(diǎn)為，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，求.【解析】（1）因?yàn)?，所以，記，則.由橢圓的定義可得，.由雙曲線的定義可得，.所以的方程為的方程為.（2）由題意得，則直線的方程為.設(shè).聯(lián)立得，所以.所以，所以.25．（2024·高三·河南焦作·開學(xué)考試）已知橢圓C：的焦距為，離心率為.(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，直線l：交橢圓C于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且的面積為，求t的值.【解析】（1）由題意得，，，又，則，則，所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意設(shè)，，如圖所示：聯(lián)立，整理得，，則，，故.設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)為，又，則，故，結(jié)合，解得.26．（2024·高二·安徽合肥·期中）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，且，動(dòng)直線與橢圓交于兩點(diǎn)；當(dāng)直線過焦點(diǎn)且與軸垂直時(shí)，.(1)求橢圓的方程；(2)若直線過點(diǎn)，橢圓的左頂點(diǎn)為，當(dāng)面積為時(shí)，求直線的斜率.【解析】（1）由題意得：F1-c,0，，，，，，即，；當(dāng)直線過焦點(diǎn)且與軸垂直時(shí)，，不妨令，由得：，，由得：，橢圓的方程為：.（2）由題意知：直線斜率不為，可設(shè)，由得：，則，設(shè)，則，，，又B-2,0，，，解得：，直線的斜率.題型八：中點(diǎn)弦問題27．（2024·高二·吉林·期中）已知橢圓C:x2a2+(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為-3,2，求直線的方程.【解析】（1）由題意可知，則.因?yàn)?，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)Ax1兩式相減得，整理可得.因?yàn)榫€段的中點(diǎn)坐標(biāo)為-3,2，所以，所以直線的斜率，故直線的方程為，即.直線和軸的交點(diǎn)為，該點(diǎn)在橢圓內(nèi)，故直線和橢圓相交，滿足條件.28．（2024·高二·山東青島·階段練習(xí)）已知直線與橢圓和交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)平分弦AB，則m的值為．【答案】3【解析】設(shè)坐標(biāo)為，則，作差可得，則，根據(jù)題意可得，，則，解得.當(dāng)時(shí)，聯(lián)立，可得，其，滿足題意；故.故答案為：.29．（2024·高二·重慶江北·階段練習(xí)）若橢圓的弦中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的斜率為．【答案】【解析】由于，所以點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，設(shè)，，由已知，，，兩式相減得，∴．故答案為：30．（2024·高二·陜西西安·階段練習(xí)）已知橢圓的左焦點(diǎn)為是橢圓上任意一點(diǎn)，的最大值為3，最小值為1．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知是橢圓內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)任做一條直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求以為中點(diǎn)的弦所在的直線方程．【解析】（1）由的最大值為3，最小值為得，則，可得，所以橢圓方程為（2）根據(jù)題意得中點(diǎn)弦的斜率存在，且在橢圓內(nèi)，設(shè),，,，所以，，兩式作差，得，由于是的中點(diǎn)，故，所以，所以，所以，所以中點(diǎn)弦的方程為，所求的直線方程．題型九：橢圓的實(shí)際應(yīng)用31．（2024·廣東韶關(guān)·模擬預(yù)測）韶州大橋是一座獨(dú)塔雙索面鋼砼混合梁斜拉橋，具有樁深，塔高、梁重、跨大的特點(diǎn)，它打通了曲江區(qū)、湞江區(qū)、武江區(qū)交通道路的瓶頸，成為連接曲江區(qū)與芙蓉新城的重要交通橋梁，大橋承擔(dān)著實(shí)現(xiàn)韶關(guān)“三區(qū)融合”的重要使命，韶州大橋的橋塔外形近似橢圓，若橋塔所在平面截橋面為線段，且過橢圓的下焦點(diǎn)，米，橋塔最高點(diǎn)距橋面米，則此橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖按橢圓對(duì)稱軸所在直線建立直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為，令，即，解得，依題意可得，所以，所以，所以．故選：D．32．（2024·高二·福建福州·期中）“嫦娥四號(hào)”探測器實(shí)現(xiàn)歷史上的首次月背著陸，如圖是“嫦娥四號(hào)”運(yùn)行軌道示意圖，圓形軌道距月球表面千米，橢圓形軌道的一個(gè)焦點(diǎn)是月球球心，一個(gè)長軸頂點(diǎn)位于兩軌道相切的變軌處，另一個(gè)長軸頂點(diǎn)距月球表面千米，則橢圓形軌道的焦距為千米.【答案】【解析】設(shè)橢圓長軸長為，焦距為，月球半徑為，則，兩式作差，可得，橢圓形軌道的焦距為千米.故答案為：85.33．（2024·高二·湖北武漢·期末）在對(duì)表面為曲面的工件進(jìn)行磨削時(shí)應(yīng)當(dāng)選用尺寸適當(dāng)?shù)膱A形砂輪，如果砂輪半徑太大，則磨削時(shí)工件與砂輪接觸處附近的那部分會(huì)磨去太多．現(xiàn)有一工件，其截面內(nèi)表面是一長軸長為4，離心率為的橢圓，在對(duì)其內(nèi)表面進(jìn)行拋光時(shí)，所選用砂輪的半徑最大為．【答案】32【解析】，，離心率，故，，不妨設(shè)橢圓方程為：，設(shè)圓半徑為，橢圓與圓相切于左頂點(diǎn)或者右頂點(diǎn)時(shí)有最大值，圓方程為：，聯(lián)立方程：，消去得到，，解得.故答案為：.34．（2024·高二·江蘇常州·期末）某市要建一個(gè)橢圓形場館，其中橢圓的長軸長為200米，短軸長為120米.現(xiàn)要在該場館內(nèi)劃定一個(gè)頂點(diǎn)都在場館邊界上的矩形區(qū)域，當(dāng)這個(gè)區(qū)域的面積最大時(shí)，矩形的周長為米.【答案】【解析】由題意可知，即，所以橢圓方程為，則橢圓的參數(shù)方程為，所以矩形在第一象限的頂點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)為（），根據(jù)對(duì)稱性可知矩形的長為，寬為，所以矩形的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，面積取得最大值，所以此時(shí)，矩形的周長為，故答案為：題型十：定點(diǎn)定值問題35．（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測）已知，是過點(diǎn)的兩條互相垂直的直線，且與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，與橢圓相交于C，D兩點(diǎn)．(1)求直線的斜率k的取值范圍；(2)若線段，的中點(diǎn)分別為M，N，證明直線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】（1）根據(jù)題意直線，的斜率均存在且不為0直線，分別為，，聯(lián)立得，由得，則或，同理，則，所以k的取值范圍為．（2）設(shè)，，由（1）得，所以，則，所以，則，同理，則直線的方程為，化簡整理得因此直線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)．36．（2024·黑龍江大慶·一模）已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓：，短軸長為，橢圓左頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，已知點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn)，直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，兩點(diǎn)都在軸上方，且．證明直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．【解析】（1）由得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)分布在軸兩側(cè)，不合題意.所以直線斜率存在，設(shè)直線的方程為.設(shè)、，由得，所以，.

因?yàn)?，所以，即，整理得化簡得，所以直線的方程為，所以直線過定點(diǎn).37．（2024·高三·陜西漢中·階段練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且其離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)已知與坐標(biāo)軸不垂直的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，求證：（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為定值.【解析】（1）∵拋物線的焦點(diǎn)為，∴橢圓的半焦距為，又，得，.∴橢圓的方程為（2）證明：由題意可知，直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得.，即，設(shè)，，則，，∴，∴.∴為定值38．（2024·高二·河南平頂山·期末）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為.(1)求橢圓E的方程；(2)若經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P，Q（均異于點(diǎn)A），證明：直線AP與AQ的斜率之和為定值.【解析】（1）由題意可知：，又，解得，所以橢圓方程為（2）證明：由題意可知直線有斜率，由于與點(diǎn)的連線的斜率為，且的橫縱坐標(biāo)恰好與相反，因此直線有斜率滿足且，直線的方程為：，聯(lián)立直線與橢圓方程：，設(shè)，則，，將代入可得故直線AP與AQ的斜率之和為1，即為定值，得證.【重難點(diǎn)集訓(xùn)】1．（2024·高二·江蘇南京·階段練習(xí)）關(guān)于橢圓有如下結(jié)論：“過橢圓上一點(diǎn)作該橢圓的切線，切線方程為.”設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，過且垂直于軸的直線與的一個(gè)交點(diǎn)為，過作橢圓的切線，若切線的斜率與直線的斜率滿足，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意，，由代入橢圓方程得，不妨設(shè)，則切線，即，切線的斜率，直線的斜率，則，所以.故選：C2．（2024·高二·重慶渝中·階段練習(xí)）點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，以為圓心的圓與軸相切于橢圓的焦點(diǎn)，與軸相交于，兩點(diǎn)，若是直角三角形，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】圓與軸相切于焦點(diǎn)，軸，可設(shè)，在橢圓上，，解得：，圓的半徑為；作軸，垂足為，，，為直角三角形，，，，即，又，所以，故選：D.3．（2024·高二·江蘇南通·階段練習(xí)）已知橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，Q，設(shè)，，且線段PQ的垂直平分線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，在橢圓上，且，當(dāng)時(shí)，由，得，設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為，所以，所以線段PQ的垂直平分線的方程為，即，該直線恒過定點(diǎn)當(dāng)時(shí)，線段PQ的垂直平分線也過定點(diǎn)，故線段PQ的垂直平分線恒過定點(diǎn)故選：A．4．（2024·高二·山東菏澤·階段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，若橢圓上的點(diǎn)到直線的最短距離不小于，則長半軸長的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)平行且距離為的直線方程為，所以，解得或（結(jié)合圖象舍去）設(shè)直線與平行且它們之間的距離為，則的方程為，由整理，得，因?yàn)樯系狞c(diǎn)到直線的最短距離不小于，所以與橢圓相切或沒有交點(diǎn)，所以，整理得，由橢圓的離心率為，可知，所以，所以，則，所以.故選：C.5．（2024·高二·重慶·階段練習(xí)）已知直線與橢圓相交于A、B，且AB的中點(diǎn)為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，因?yàn)榍褹B的中點(diǎn)為，所以，因?yàn)樵跈E圓上，所以①，兩式相減，得，根據(jù)，上式可化簡為，整理得，又，所以，即，所以.故選：B.6．（2024·高二·遼寧葫蘆島·階段練習(xí)）已知點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則下列說法正確的是（

）A．的面積為B．若點(diǎn)M是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為9C．點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為D．內(nèi)切圓的面積為【答案】D【解析】對(duì)A，根據(jù)橢圓定義可得，則①，在中，由余弦定理②，由①②可得，所以的面積為，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，設(shè)，則，，，則當(dāng)時(shí)，取得最大值為5，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，由A，的面積為，則，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，因?yàn)榈拿娣e為，所以，即，解得，所以內(nèi)切圓的面積為，故D正確.故選：D.7．（2024·高二·江蘇常州·階段練習(xí)）已知點(diǎn)，直線，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離是點(diǎn)到直線的距離的一半.若某直線上存在這樣的點(diǎn)，則稱該直線為“最遠(yuǎn)距離直線”，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．點(diǎn)的軌跡方程是B．直線是“最遠(yuǎn)距離直線”C．平面上有一點(diǎn)，則的最小值為D．點(diǎn)的軌跡與圓是沒有交匯的軌跡（即沒有交點(diǎn)）【答案】D【解析】設(shè)Px,y，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離是點(diǎn)到直線的距離的一半，所以，整理得，A說法正確；聯(lián)立可得，解得，所以存在點(diǎn)，直線是“最遠(yuǎn)距離直線”，B說法正確；過作垂直于直線，垂足為，由題意得，則，由圖可知的最小值即為點(diǎn)到直線的距離，C說法正確；由得，圓圓心為1,0，半徑為，易得點(diǎn)的軌跡與圓交于點(diǎn)2,0，D說法錯(cuò)誤；故選：D8．（2024·高二·吉林長春·階段練習(xí)）已知點(diǎn)F，A，B分別是橢圓的左焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為M，若，則橢圓的離心率等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，取的中點(diǎn)，連接,則易得，，在中，，則,又，在中，由余弦定理，，即，整理得，，解得或（舍去），則.故選:B.9．（2024·高二·江蘇無錫·階段練習(xí)）2024年3月，某科技公司啟用具備“超橢圓”數(shù)學(xué)之美的新logo．設(shè)計(jì)師的靈感來源于曲線C：．其中星形線E：常用于超輕材料的設(shè)計(jì)．則下列關(guān)于星形線說法錯(cuò)誤的是（

）A．E關(guān)于y軸對(duì)稱 B．E上的點(diǎn)到x軸、y軸的距離之積不超過C．曲線E所圍成圖形的面積小于2 D．E上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值為【答案】D【解析】對(duì)于A，若在星形線E上，則也在E上，故E關(guān)于軸對(duì)稱，A正確；對(duì)于B，由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，B正確；對(duì)于C，曲線E過點(diǎn)，在所圍成的區(qū)域內(nèi)部，而所圍成的面積為2，故曲線E所圍成的面積小于2，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最小值為，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D10．（多選題）（2024·高二·江西撫州·階段練習(xí)）已知橢圓分別為它的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的有（

）A．橢圓離心率為B．C．若，則的面積為D．最大值為【答案】BC【解析】由橢圓方程可知，，，，所以橢圓的離心率，故A錯(cuò)誤；由橢圓定義知，故B正確；又，因?yàn)?，所以，，解得：，所以的面積為，故C正確；因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào).所以最大值為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11．（多選題）（2024·高二·安徽阜陽·階段練習(xí)）設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且．則下列說法中正確的是（

）A． B．離心率為C．的面積為6 D．的面積為12【答案】ABC【解析】由，得，則，因?yàn)槭菣E圓上一點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，，故A正確；對(duì)于B，離心率為，故B正確；對(duì)于CD，因?yàn)?，所以為直角三角形，，所以，故C正確，D錯(cuò)誤．故選：ABC12．（多選題）（2024·高三·廣東肇慶·階段練習(xí)）已知是橢圓：（）位于第一象限上的一點(diǎn)，，是的兩個(gè)焦點(diǎn)，，點(diǎn)在的平分線上，的平分線與軸交于點(diǎn)，為原點(diǎn)，，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的面積為B．的離心率為C．點(diǎn)到軸的距離為D．【答案】ACD【解析】如圖，設(shè)，，延長交于點(diǎn).由題意知，為的中點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，又，所以是等邊三角形，則化簡得即在中，由余弦定理得，所以，即.因?yàn)?，所以，，所以，，故B錯(cuò)誤.的面積為，故A正確.設(shè)點(diǎn)到軸的距離為，所以，則，故C正確.因?yàn)槭堑钠椒志€，所以，所以，則，故D正確.故選：ACD13．（2024·高三·云南德宏·階段練習(xí)）已知橢圓（）的長軸長為4，離心率為.若，分別是橢圓的上、下頂點(diǎn)，，分別為橢圓的上、下焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，且，則的面積為.【答案】【解析】因?yàn)?所以,所以橢圓方程為,設(shè),橢圓的上、下頂點(diǎn),所以且，所以，所以即得.故答案為：.14．（2024·高二·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知橢圓和直線，若對(duì)任意的，直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】．【解析】直線恒過定點(diǎn)0,1，要使直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，則0,1在橢圓內(nèi)部或在橢圓上，若橢圓是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則；若橢圓是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則．實(shí)數(shù)的取值范圍是：．故答案為：．15．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知橢圓上存在關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，則的取值范圍是.【答案】【解析】由題意可知：直線的斜率，設(shè)橢圓上關(guān)于直線對(duì)稱的兩點(diǎn)分別為，的中點(diǎn)為，可得，且，，因?yàn)辄c(diǎn)在上，則，兩式相減得，整理可得，可得，即，則，聯(lián)立方程，解得，即，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.16．（2024·高二·江蘇南通·階段練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，斜率不為0的直線與交于兩點(diǎn).(1)若是線段的中點(diǎn)，求直線的方程；(2)若直線經(jīng)過點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)之間），直線與直線的斜率分別為，求證：為定值.【解析】（1）設(shè)，則有，且，作差可得，所以，由點(diǎn)斜式得，，整理得即為直線的方程.（2）不妨設(shè)的直線方程為，聯(lián)立，消去整理得，由韋達(dá)定理得，所以，因?yàn)椋詾槎ㄖ?17．（2024·高二·江蘇徐州·階段練習(xí)）已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，其中為橢圓的離心率.(1)求橢圓C的方程；(2)若傾斜角為的直線經(jīng)過點(diǎn)，且與C交于M，N兩點(diǎn)（M點(diǎn)在N點(diǎn)的上方），求的值.【解析】（1）因?yàn)闄E圓橢圓經(jīng)過點(diǎn)2,0和點(diǎn)，，所以，解得，所以橢圓的方程為.（2）由（1）得，直線的斜率為，所以直線的方程為，即，聯(lián)立，解得或，則，所以.18．（2024·高二·江蘇徐州·階段練習(xí)）2024年4月30日17時(shí)46分，神舟十七號(hào)返回艙成功著陸，返回艙是宇航員返回地球的座艙.返回艙的軸截面可近似看作是由半個(gè)橢圓和一段圓弧組成的“果圓”.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，某“果圓”中圓弧經(jīng)過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)與.(1)寫出圖中“果圓”的方程；(2)直線交該“果圓”于A、B兩點(diǎn)，求弦AB的長度.【解析】（1）設(shè)上半橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)闄E圓的一個(gè)焦點(diǎn)為和短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)為與，所以，所以，所以上半橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.由題意得，圓弧過點(diǎn)，和.設(shè)圓弧所在圓的方程為，則，解得，所以圓弧的方程為：.（2）由，解得，得，由，解得，得，所以.19．（2024·高二·江蘇鹽城·階段練習(xí)）已知橢圓，三點(diǎn)中恰有兩點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)若直線交橢圓于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過作新直線，①求直線和直線的斜率之積；②證明：新直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】（1）由題可知，一定在橢圓上，其中一個(gè)在橢圓上，當(dāng)橢圓過點(diǎn)可得，則橢圓的方程為；當(dāng)橢圓過點(diǎn)可得，方程組無解，綜上，橢圓的方程為；（2）①由題可設(shè),，當(dāng)時(shí)，設(shè),、,，顯然，聯(lián)立，則，即，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以，又，所以，即直線和直線的斜率之積為；②由①可得直線的斜率為，又，所以直線的方程為，即，顯然恒過定點(diǎn),，當(dāng)時(shí)，直線即，此時(shí)為軸亦過點(diǎn),；綜上所述，恒過定點(diǎn),．【高考真題】1．（2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，因此，而，所以.故選：A2．（2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若面積是面積的2倍，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】將直線與橢圓聯(lián)立，消去可得，因?yàn)橹本€與橢圓相交于點(diǎn)，則，解得，設(shè)到的距離到距離，易知，則，，，解得或（舍去），故選：C.3．（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知橢圓的離心率為，分別為C的左、右頂點(diǎn)，B為C的上頂點(diǎn)．若，則C的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)殡x心率，解得，，分別為C的左右頂點(diǎn)，則，B為上頂點(diǎn)，所以.所以，因?yàn)樗?，將代入，解得，故橢圓的方程為.故選：B.4．（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）橢圓的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對(duì)稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】[方法一]：設(shè)而不求設(shè)，則則由得：，由，得，所以，即，所以橢圓的離心率，故選A.[方法二]：第三定義設(shè)右端點(diǎn)為B，連接PB，由橢圓的對(duì)稱性知：故，由橢圓第三定義得：，故所以橢圓的離心率，故選A.5．（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）已知橢圓，C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，，則的周長是．【答案】13【解析】∵橢圓的離心率為，∴，∴，∴橢圓的方程為，不妨設(shè)左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，如圖所示，∵，∴，∴為正三角形，∵過且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，為線段的垂直平分線，∴直線的斜率為，斜率倒數(shù)為，直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，判別式，∴，∴，得，∵為線段的垂直平分線，根據(jù)對(duì)稱性，，∴的周長等于的周長，利用橢圓的定義得到周長為.故答案為：13.6．（2024年上海市1月春考數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，、