高二數(shù)學(xué)講義（人教A版2019）21直線的傾斜角與斜率（七大題型）

2．1直線的傾斜角與斜率目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導(dǎo)圖】 2【知識點梳理】 2【典型例題】 4題型一：直線的傾斜角與斜率定義 4題型二：斜率與傾斜角的變化關(guān)系 6題型三：已知兩點求斜率、已知斜率求參數(shù) 9題型四：直線與線段相交關(guān)系求斜率范圍 11題型五：直線平行 14題型六：直線垂直 15題型七：直線平行、垂直在幾何問題的應(yīng)用 17

【題型歸納目錄】【思維導(dǎo)圖】【知識點梳理】知識點一：直線的傾斜角平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與軸相交的直線，如果把軸繞著交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為，則叫做直線的傾斜角．規(guī)定：當(dāng)直線和軸平行或重合時，直線傾斜角為，所以，傾斜角的范圍是．知識點詮釋：1、要清楚定義中含有的三個條件①直線向上方向；②軸正向；③小于的角．2、從運動變化觀點來看，直線的傾斜角是由軸按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與直線重合時所成的角．3、傾斜角的范圍是．當(dāng)時，直線與x軸平行或與x軸重合．4、直線的傾斜角描述了直線的傾斜程度，每一條直線都有唯一的傾斜角和它對應(yīng)．5、已知直線的傾斜角不能確定直線的位置，但是，直線上的一點和這條直線的傾斜角可以唯一確定直線的位置．知識點二：直線的斜率1、定義：傾斜角不是的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，常用表示，即．知識點詮釋：（1）當(dāng)直線與x軸平行或重合時，，；（2）直線與x軸垂直時，，k不存在．由此可知，一條直線的傾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在．2、直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系由斜率的定義可知，當(dāng)在范圍內(nèi)時，直線的斜率大于零；當(dāng)在范圍內(nèi)時，直線的斜率小于零；當(dāng)時，直線的斜率為零；當(dāng)時，直線的斜率不存在．直線的斜率與直線的傾斜角（除外）為一一對應(yīng)關(guān)系，且在和范圍內(nèi)分別與傾斜角的變化方向一致，即傾斜角越大則斜率越大，反之亦然．因此若需在或范圍內(nèi)比較傾斜角的大小只需比較斜率的大小即可，反之亦然．知識點三：斜率公式已知點、，且與軸不垂直，過兩點、的直線的斜率公式．知識點詮釋：1、對于上面的斜率公式要注意下面五點：（1）當(dāng)時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角，直線與軸垂直；（2）與、的順序無關(guān)，即，和，在公式中的前后次序可以同時交換，但分子與分母不能交換；（3）斜率可以不通過傾斜角而直接由直線上兩點的坐標(biāo)求得；（4）當(dāng)時，斜率，直線的傾斜角，直線與軸平行或重合；（5）求直線的傾斜角可以由直線上兩點的坐標(biāo)先求斜率而得到．2、斜率公式的用途：由公式可解決下列類型的問題：（1）由、點的坐標(biāo)求的值；（2）已知及中的三個量可求第四個量；（3）已知及、的橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）可求；（4）證明三點共線．知識點四：兩直線平行的條件設(shè)兩條不重合的直線的斜率分別為．若，則與的傾斜角與相等．由，可得，即．因此，若，則．反之，若，則．知識點詮釋：1、公式成立的前提條件是①兩條直線的斜率存在分別為；②不重合；2、當(dāng)兩條直線的斜率都不存在且不重合時，的傾斜角都是，則．知識點五：兩直線垂直的條件設(shè)兩條直線的斜率分別為．若，則．知識點詮釋：1、公式成立的前提條件是兩條直線的斜率都存在；2、當(dāng)一條垂直直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時，兩條直線也垂直．【典型例題】題型一：直線的傾斜角與斜率定義【典例11】（2024·高二·河北保定·期末）直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)直線的的傾斜角為，且，直線的斜率，所以，故選：A【典例12】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）下列命題正確的是（）A．兩條不重合的直線，如果它們的傾斜角相等，那么這兩條直線平行B．若一條直線的傾斜角為，則此直線的斜率為C．若分別為三條直線的傾斜角，則的度數(shù)可以大于60°D．若是直線l的傾斜角，且，則【答案】A【解析】對于A，兩條不重合的直線，如果它們的傾斜角相等，那么這兩條直線平行，A正確；對于B，當(dāng)時，直線不存在斜率，B錯誤；對于C，，則，C錯誤；對于D，由，得，D錯誤.故選：A【方法技巧與總結(jié)】（1）傾斜角的概念中含有三個條件：①直線向上的方向；②x軸的正方向；③小于平角的正角．（2）傾斜角是一個幾何概念，它直觀地描述且表現(xiàn)了直線對于x軸正方向的傾斜程度．（3）平面直角坐標(biāo)系中每一條直線都有一個確定的傾斜角，且傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等；傾斜程度不同的直線，其傾斜角不相等．（4）確定平面直角坐標(biāo)系中一條直線位置的幾何要素是：直線上的一個定點以及它的傾斜角，二者缺一不可．【變式11】（2024·高二·天津南開·期中）若直線的傾斜角為，則（

）．A．0 B． C． D．不存在【答案】C【解析】因為，為一常數(shù)，故直線的傾斜角為，故選：C【變式12】（2024·高二·廣西·開學(xué)考試）直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為該直線的斜率為，所以它的傾斜角為.故選:A【變式13】（2024·高三·湖南長沙·開學(xué)考試）已知直線過點，，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題可得：，所以直線的傾斜角為：；故選：C【變式14】（2024·高二·河北張家口·開學(xué)考試）若直線的一個方向向量為，則它的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為直線的一個方向向量為，所以直線的斜率，故直線的傾斜角為．故選：B．題型二：斜率與傾斜角的變化關(guān)系【典例21】（2024·高二·江蘇徐州·開學(xué)考試）已知點，，若，則直線的傾斜角的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，設(shè)直線的傾斜角為，點，，則直線的斜率，又由，則的取值范圍為，，即的范圍為，，又由，則故選：C.【典例22】（2024·高二·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）已知直線斜率為，且，那么傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】在上的圖象如圖所示，由圖可知，當(dāng)時，傾斜角的取值范圍為.故選：C.【方法技巧與總結(jié)】由斜率的定義可知，當(dāng)在范圍內(nèi)時，直線的斜率大于零；當(dāng)在范圍內(nèi)時，直線的斜率小于零；當(dāng)時，直線的斜率為零；當(dāng)時，直線的斜率不存在．直線的斜率與直線的傾斜角（除外）為一一對應(yīng)關(guān)系，且在和范圍內(nèi)分別與傾斜角的變化方向一致，即傾斜角越大則斜率越大，反之亦然．因此若需在或范圍內(nèi)比較傾斜角的大小只需比較斜率的大小即可，反之亦然．【變式21】（2024·高二·江蘇·專題練習(xí)）如圖，若直線，，的斜率分別為，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】傾斜角為銳角時，斜率為正，傾斜角越大，傾斜程度越大，斜率越大；傾斜角為鈍角時，斜率為負，所以.故選：A【變式22】（2024·高二·上海·課后作業(yè)）直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)的傾斜角為，由題意可知：直線的斜率，即，且，所以.故選：C.【變式23】（2024·高二·福建福州·期末）已知兩條直線，的斜率分別為，，傾斜角分別為.若，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意得，，，，而在和上單調(diào)遞增，且在上，，在上，所以，即.故選：D【變式24】（2024·高二·湖北武漢·期末）已知直線的方程為，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時，直線的傾斜角為，當(dāng)時，由得到，又易知，所以，即，由的圖像可知，，綜上，故選：C.題型三：已知兩點求斜率、已知斜率求參數(shù)【典例31】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知三點A，B，C在同一直線上，則實數(shù)的值是.【答案】3【解析】三點A，B，C在同一直線上，，，解得.故答案為：3.【典例32】（2024·高二·山西晉中·開學(xué)考試）過兩點的直線l的傾斜角為，求的值為．【答案】.【解析】因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率，又，整理得，解得或，當(dāng)時，，不符合，當(dāng)時，，符合，綜上：.故答案為:【方法技巧與總結(jié)】由于直線上任意兩點的斜率都相等，因此A，B，C三點共線A，B，C中任意兩點的斜率相等（如）．斜率是反映直線相對于x軸正方向的傾斜程度的，直線上任意兩點所確定的方向不變，即在同一直線上任意不同的兩點所確定的斜率相等．這正是利用斜率可證三點共線的原因．【變式31】（2024·高二·上?！卧獪y試）若過點，的直線的傾斜角為銳角，則實數(shù)a的取值范圍為．【答案】【解析】因為直線的斜率，又因為直線的傾斜角為銳角，所以，解得.故答案為：【變式32】（2024·高二·上?！ふn后作業(yè)）若，則經(jīng)過兩點，的直線的傾斜角為．【答案】【解析】因為，所以又因為，且，所以直線的傾斜角為.故答案為：.【變式33】（2024·高二·安徽亳州·期中）過，的直線的斜率大于，則滿足條件的一個a值可以為.【答案】（滿足的一個值即可）【解析】因為過，的直線的斜率大于，所以，則，解得．故答案為：（滿足的一個值即可）【變式34】（2024·高二·新疆和田·期中）已知點，點，且過、兩點直線斜率，則.【答案】【解析】已知點，點，由斜率公式可得，解得.故答案為：.【變式35】（2024·高二·湖南長沙·期中）已知直線l經(jīng)過兩點，，若直線l的方向向量的坐標(biāo)為．則．【答案】/【解析】設(shè)直線的斜率為，因為直線的方向向量坐標(biāo)是，所以，因為直線經(jīng)過和，所以，解得.故答案為：.題型四：直線與線段相交關(guān)系求斜率范圍【典例41】（2024·高二·福建莆田·期中）已知，若點在線段AB上，則的取值范圍是.【答案】【解析】設(shè)，則，，點是線段上的任意一點，的取值范圍是,，故答案為：,【典例42】（2024·高二·江西上饒·開學(xué)考試）已知兩點，，過點的直線與線段AB（含端點）有交點，則直線的斜率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，而，故直線的取值范圍為，故選：A.【方法技巧與總結(jié)】直線的傾斜角是從“形”的角度刻畫直線的傾斜程度，而直線的斜率及斜率公式則從“數(shù)”的角度刻畫直線的傾斜程度，把二者緊密地結(jié)合在一起就是數(shù)形結(jié)合．利用它可以較為簡便地解決一些綜合問題，如過定點的直線與已知線段是否有公共點的問題，可先作出草圖，再結(jié)合圖形考慮．一般地，若已知，，，過點作垂直于軸的直線，過點的任一直線的斜率為，則當(dāng)與線段不相交時，夾在與之間；當(dāng)與線段相交時，在與的兩邊．【變式41】（2024·高一·浙江寧波·期末）已知點，，若直線過點且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（

）A．或 B．或C．或 D．【答案】D【解析】直線的斜率為，直線的斜率為，結(jié)合圖象可得直線的斜率的取值范圍是.故選：D【變式42】（多選題）（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知點，，斜率為k的直線l過點，則下列斜率k的取值范圍能使直線l與線段AB相交的有（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】根據(jù)題意，在平面直角坐標(biāo)系中，作出A，B，P三點，如圖所示．當(dāng)直線l與線段AB相交時，或，所以斜率k的取值范圍是或斜率不存在，結(jié)合選項，選項A、B符合題意．故選：AB．【變式43】（多選題）（2024·高三·遼寧葫蘆島·期末）已知點，，斜率為的直線過點，則下列滿足直線與線段相交的斜率取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】根據(jù)題意，在平面直角坐標(biāo)系中，作出點，如圖，當(dāng)直線與線段相交時，，，所以，斜率取值范圍是或.故選：AB題型五：直線平行【典例51】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）若直線的傾斜角為135°，直線經(jīng)過點，，則直線與的位置關(guān)系是．【答案】平行或重合【解析】直線的傾斜角為135°，故斜率．由經(jīng)過點，，得，所以，所以直線與平行或重合．故答案為：平行或重合．【典例52】（2024·高三·上海·階段練習(xí)）直線與直線平行，則．【答案】4【解析】由題意知，當(dāng)時，直線與直線平行，故滿足題意.故答案為：4.【方法技巧與總結(jié)】判定兩條不重合的直線是否平行的依據(jù)是：當(dāng)這兩條直線均不與x軸垂直時，只需看它們的斜率是否相等即可，反過來，兩條直線平行，則隱含著這兩條直線的斜率相等（當(dāng)這兩條直線均不與x軸垂直時）．判定兩條直線是否平行，只要研究兩條直線的斜率是否相等即可，但是要注意斜率都不存在的情況，以及兩條直線是否重合．【變式51】（2024·高二·廣西桂林·開學(xué)考試）直線：，：，若，則.【答案】2【解析】因為，所以，解得，當(dāng)時，，滿足，當(dāng)時，，，與重合，.故答案為：2.【變式52】（2024·高二·全國·專題練習(xí)）已知直線與直線平行，則的值為．【答案】6【解析】因為兩直線平行，所以，解得，此時，經(jīng)檢驗符合題意．故答案為：6【變式53】（2024·高二·湖南岳陽·期末）已知直線，若，則.【答案】【解析】由題設(shè)，可得或2，當(dāng)，滿足題設(shè)；當(dāng)，兩線重合，不滿足題設(shè)；所以.故答案為：題型六：直線垂直【典例61】（2024·高二·上?！ふn堂例題）已知，則直線：和直線：的位置關(guān)系為．【答案】垂直或重合【解析】由，得或，當(dāng)時，：，：，，，顯然，所以直線與垂直；當(dāng)時，：，：，所以直線與重合．故答案為：垂直或重合【典例62】（2024·高二·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）直線過點，兩點，直線過點，兩點，若，則.【答案】0或5【解析】當(dāng)直線斜率不存在，直線斜率為0時，滿足，此時，解得；當(dāng)直線斜率存在時，因為，所以，解得；綜上，或.故答案為：0或5【方法技巧與總結(jié)】利用直線平行與垂直的條件解題，主要利用其斜率的關(guān)系，當(dāng)然，在解題時要特別注意斜率不存在的情況，以及分類討論的思想．【變式61】（2024·高二·四川成都·階段練習(xí)）已知直線和垂直且，則的最小值為.【答案】【解析】由題意得，故，因為，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故答案為：【變式62】（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）已知直線與直線，若，則的最大值為.【答案】/0.25【解析】因為，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，，即的最大值為.故答案為：.【變式63】（2024·高二·福建福州·期中）已知直線，，若，則實數(shù)的值為.【答案】1或2【解析】因為直線，，，所以，即，解得或，所以實數(shù)的值為或.故答案為：1或2.【變式64】（2024·河南·模擬預(yù)測）已知O為坐標(biāo)原點，直線：上有一點Q，，若，則點Q的坐標(biāo)為．【答案】或【解析】設(shè)，則，即，解得或，故或．故答案為：或.題型七：直線平行、垂直在幾何問題的應(yīng)用【典例71】（2024·高一·江蘇泰州·階段練習(xí)）設(shè)兩直線，與軸構(gòu)成三角形，則的取值范圍為.【答案】且【解析】當(dāng)直線，及軸兩兩不平行，且不共點時，必圍成三角形當(dāng)時，直線與直線平行；當(dāng)時，直線與軸平行；當(dāng)時，直線，及軸都過原點；要使得兩直線，與軸構(gòu)成三角形，則的取值范圍為且故答案為：且【典例72】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)三角形的頂點分別為，，，點是線段上的一點（異于端點），設(shè)均為非零實數(shù)，直線分別交于點，若，求證：.

【解析】由點和點，知直線的斜率為，由點和點，知直線的斜率為，因為，所以，即；由點和點，知直線的斜率