2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)概念與性質(zhì)3.2.1.1函數(shù)的單調(diào)性課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)含解析新人教A版必修第一冊(cè)

PAGE10-函數(shù)的單調(diào)性(15分鐘35分)1.函數(shù)f(x)=QUOTE在R上 ()A.是減函數(shù) B.是增函數(shù)C.先減后增 D.先增后減【解析】選B.畫出該分段函數(shù)的圖象，由圖象知，該函數(shù)在R上是增函數(shù).【補(bǔ)償訓(xùn)練】函數(shù)f(x)=QUOTE在 ()A.(-∞，1)∪(1，+∞)上單調(diào)遞增B.(-∞，1)∪(1，+∞)上單調(diào)遞減C.(-∞，1)和(1，+∞)上單調(diào)遞增D.(-∞，1)和(1，+∞)上單調(diào)遞減【解析】選C.f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠1}.f(x)=QUOTE=QUOTE-1=QUOTE-1，因?yàn)楹瘮?shù)y=-QUOTE在(-∞，0)和(0，+∞)上單調(diào)遞增，由平移關(guān)系得，f(x)在(-∞，1)和(1，+∞)上單調(diào)遞增.2.函數(shù)y=x2-6x+10在區(qū)間(2，4)上 ()A.單調(diào)遞增 B.單調(diào)遞減C.先減后增 D.先增后減【解析】選C.函數(shù)y=x2-6x+10圖象的對(duì)稱軸為直線x=3，此函數(shù)在區(qū)間(2，3)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(3，4)上單調(diào)遞增.3.函數(shù)y=QUOTE的單調(diào)減區(qū)間是 ()A.(-∞，1)，(1，+∞) B.(-∞，1)∪(1，+∞)C.{x∈R|x≠1} D.R【解析】選A.單調(diào)區(qū)間不能寫成單調(diào)集合，也不能超出定義域，故C，D不對(duì)，B表達(dá)不當(dāng).4.(2024·海淀高一檢測(cè))下列函數(shù)中，在區(qū)間(1，+∞)上單調(diào)遞增的是()A.y=-3x-1 B.y=QUOTEC.y=x2-4x+5 D.y=|x-1|+2【解析】選D.由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，y=-3x-1在區(qū)間(1，+∞)上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，y=QUOTE在區(qū)間(1，+∞)上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，y=x2-4x+5在(-∞，2)上單調(diào)遞減，在(2，+∞)上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；由一次函數(shù)的性質(zhì)及圖象的變換可知，y=|x-1|+2在(1，+∞)上單調(diào)遞增.5.(2024·淮安高一檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=x|x-4|，則不等式f(2x)≤f(2)的解集為_______.

【解析】因?yàn)閒(x)=x|x-4|，所以由f(2x)≤f(2)得，2x|2x-4|≤4，所以x|x-2|≤1，所以QUOTE或QUOTE，解得x≤QUOTE+1，所以f(2x)≤f(2)的解集為{x|x≤QUOTE+1}.答案：{x|x≤QUOTE+1}6.已知函數(shù)f(x)=QUOTE，證明函數(shù)在(-2，+∞)上單調(diào)遞增.【證明】?x1，x2∈(-2，+∞)，且x1>x2>-2，則f(x1)-f(x2)=QUOTE-QUOTE=QUOTE，因?yàn)閤1>x2>-2，所以x1-x2>0，x1+2>0，x2+2>0，所以QUOTE>0，所以f(x1)>f(x2)，所以f(x)在(-2，+∞)上單調(diào)遞增.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分，共20分)1.若定義在R上的函數(shù)f(x)對(duì)隨意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a，b，總有QUOTE>0成立，則必有 ()A.f(x)在R上是增函數(shù)B.f(x)在R上是減函數(shù)C.函數(shù)f(x)先增后減D.函數(shù)f(x)先減后增【解析】選A.由QUOTE>0知f(a)-f(b)與a-b同號(hào)，即當(dāng)a<b時(shí)，f(a)<f(b)，或當(dāng)a>b時(shí)，f(a)>f(b)，所以f(x)在R上是增函數(shù).2.設(shè)函數(shù)f(x)是(-∞，+∞)上的減函數(shù)，則 ()A.f(a)>f(2a) B.f(a2)<f(a)C.f(a2+a)<f(a) D.f(a2+1)<f(a)【解析】選D.對(duì)A，B，C三個(gè)選項(xiàng)，令a=0就都解除了，對(duì)D項(xiàng)，由a2+1-a=QUOTE+QUOTE>0，得a2+1>a，從而f(a2+1)<f(a)，故D正確.3.已知四個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示，其中在定義域內(nèi)具有單調(diào)性的函數(shù)是()【解析】選B.已知函數(shù)的圖象推斷其在定義域內(nèi)的單調(diào)性，應(yīng)從它的圖象是上升的還是下降的來考慮.依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可知選項(xiàng)B中的函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù).【補(bǔ)償訓(xùn)練】下列函數(shù)y=f(x)的圖象中，滿意fQUOTE>f(3)>f(2)的只可能是 ()【解析】選D.因?yàn)閒QUOTE>f(3)>f(2)，所以函數(shù)y=f(x)有增有減，解除A，B.在C中，fQUOTE<f(0)，f(3)>f(0)，即fQUOTE<f(3)，解除C.在D中，由圖象知，D正確.4.(2024·常州高一檢測(cè))若f(x)=QUOTE是R上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.函數(shù)f(x)=-x+3a在(-∞，1)上是單調(diào)遞減的，又f(x)=QUOTE是R上的單調(diào)函數(shù)，所以f(x)=QUOTE在[1，+∞)上單調(diào)遞減，即a>0，并且QUOTE≤-1+3a，即a≥QUOTE.綜上所述，a的取值范圍為QUOTE.【誤區(qū)警示】解答本題時(shí)易只考慮兩段上的單調(diào)性，忽視分界點(diǎn)處函數(shù)值之間的大小關(guān)系或者考慮到了函數(shù)值之間的大小關(guān)系，但是忽視了取等號(hào)的狀況而導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤.二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分)5.下列四個(gè)函數(shù)中，在(-∞，0]上單調(diào)遞減的是 ()A.f(x)=x2-2x B.f(x)=2x2C.f(x)=x+1 D.f(x)=QUOTE【解析】選AB.在A中，f(x)=x2-2x的減區(qū)間為(-∞，1]，故A正確；在B中，f(x)=2x2的減區(qū)間為(-∞，0]，故B正確；在C中，f(x)=x+1在R上是增函數(shù)，故C錯(cuò)誤；在D中，f(x)=QUOTE中，x≠0，故D錯(cuò)誤.6.設(shè)函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，則下列結(jié)論不肯定正確的是 ()A.y=QUOTE在R上為減函數(shù)B.y=|f(x)|在R上為增函數(shù)C.y=-QUOTE在R上為增函數(shù)D.y=-f(x)在R上為減函數(shù)【解析】選ABC.依據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，若f(x)=x，則y=QUOTE=QUOTE，在R上不是減函數(shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若f(x)=x，則y=|f(x)|=|x|，在R上不是增函數(shù)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若f(x)=x，則y=-QUOTE=-QUOTE，在R上不是增函數(shù)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，則對(duì)于隨意的x1，x2∈R，設(shè)x1<x2，必有f(x1)<f(x2)，對(duì)于y=-f(x)，則有y1-y2=[-f(x1)]-[-f(x2)]=f(x2)-f(x1)>0，則y=-f(x)在R上為減函數(shù)，D正確.【光速解題】利用特別值法，設(shè)出詳細(xì)函數(shù)，化抽象為詳細(xì)，逐項(xiàng)分析，得出答案.三、填空題(每小題5分，共10分)7.已知y=f(x)是定義在區(qū)間(-2，2)上單調(diào)遞減的函數(shù)，若f(m-1)>f(1-2m)，則m的取值范圍是_______.

【解析】由題意得：QUOTE解得-QUOTE<m<QUOTE.答案：QUOTE8.函數(shù)f(x)=x2-3|x|+2的單調(diào)減區(qū)間是_______.

【解析】化簡(jiǎn)函數(shù)為：f(x)=QUOTE當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間QUOTE上單調(diào)遞減，在區(qū)間QUOTE上單調(diào)遞增，同理作出圖象位于x軸左側(cè)的部分，由圖象不難得出，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為QUOTE和QUOTE.答案：QUOTE和QUOTE四、解答題(每小題10分，共20分)9.已知函數(shù)f(x)=QUOTE(1)在圖中畫出函數(shù)f(x)的大致圖象.(2)寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.【解析】(1)函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示.(2)由函數(shù)f(x)的圖象得出，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[2，4].10.(2024·遼陽高一檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=mx+QUOTE，點(diǎn)A(1，5)，B(2，4)是f(x)圖象上的兩點(diǎn).(1)求m，n的值.(2)用定義法證明：f(x)在[2，+∞)上單調(diào)遞增.【解析】(1)由題意可得，QUOTE解得QUOTE(2)由(1)可得，f(x)=x+QUOTE，設(shè)2≤x1<x2，則f(x1)-f(x2)=x1-x2+QUOTE-QUOTE=x1-x2+QUOTE=QUOTE，因?yàn)?≤x1<x2，所以QUOTE<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在[2，+∞)上單調(diào)遞增.1.已知f(x)是定義在(-∞，0]上的單調(diào)遞增函數(shù)，且f(-2)=3，則滿意f(2x-3)<3的x的取值范圍是_______.

【解析】由題意知，f(2x-3)<f(-2)，因?yàn)閒(x)在(-∞，0]上單調(diào)遞增，則2x-3<-2，解得x<QUOTE.答案：x<QUOTE2.已知函數(shù)f(x)=QUOTE.(1)推斷并證明函數(shù)f(x)在(-2，+∞)上的單調(diào)性.(2)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-2，2)，且滿意f(-2m+3)>f(m2)，求m的取值范圍.【解析】(1)f(x)=QUOTE=3+QUOTE，f(x)在(-2，+∞)上單調(diào)遞減，證明如下：設(shè)x1>x2>-2，則f(x1)-f(x2)=QUOTE-QUOTE=QUOTE，因?yàn)閤1>x2>-2，所以x1+2>0，x2+2>0，x2-x1<0，所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(-2，+∞)上單調(diào)遞減.(2)由(1)可知，當(dāng)x∈(-2，2)時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，所以由f(-2m+3)>f(m2)得，QUOTE解得1<m<QUOTE，所以m的取值范圍為(1，QUOTE).【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)=-x+QUOTE，其定義域?yàn)?0，+∞).(1)推斷函數(shù)f(x)在(0，+∞)上的單調(diào)性，并用定義證明.(2)若f(x+1)<f(2x)