2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章概率3.2.1古典概型學(xué)案含解析新人教A版必修3

PAGE3．2古典概型3．2.1古典概型[目標(biāo)]1.理解古典概型及其概率計(jì)算公式；2.會(huì)用列舉法計(jì)算一些隨機(jī)事務(wù)所含的基本領(lǐng)件數(shù)及事務(wù)發(fā)生的概率；3.駕馭利用概率的性質(zhì)求古典概型的概率的方法．[重點(diǎn)]古典概型的概率及其概率計(jì)算．[難點(diǎn)]應(yīng)用列舉法求古典概型的概率．學(xué)問點(diǎn)一基本領(lǐng)件[填一填]1．基本領(lǐng)件的定義在一次試驗(yàn)中，列舉出試驗(yàn)完成可能發(fā)生并且不能再細(xì)分的隨機(jī)事務(wù)；其他事務(wù)(不行能事務(wù)除外)都可以用它們來表示．這樣的隨機(jī)事務(wù)叫這個(gè)試驗(yàn)的基本領(lǐng)件．2．基本領(lǐng)件的特點(diǎn)(1)任何兩個(gè)基本領(lǐng)件是互斥的；(2)任何事務(wù)(除不行能事務(wù))都可以表示成基本領(lǐng)件的和．[答一答]1．基本領(lǐng)件是最簡潔的隨機(jī)事務(wù)嗎？提示：基本領(lǐng)件是試驗(yàn)中不能再分的最簡潔的隨機(jī)事務(wù)．學(xué)問點(diǎn)二古典概型[填一填]1．古典概型的特點(diǎn)①試驗(yàn)中全部可能出現(xiàn)的基本領(lǐng)件只有有限個(gè)；②每個(gè)基本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性相等．2．古典概型的概率公式對(duì)任何事務(wù)A，P(A)＝eq\f(A包含的基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù),基本領(lǐng)件的總數(shù)).[答一答]2．在區(qū)間[2013,2014]上任取一個(gè)實(shí)數(shù)的試驗(yàn)，是不是古典概型？提示：不是，因?yàn)樵趨^(qū)間[2013,2014]上任取一個(gè)實(shí)數(shù)，是無限的．不符合試驗(yàn)結(jié)果有有限個(gè)的古典概型特點(diǎn)．3．?dāng)S一枚不勻稱的骰子，求出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)點(diǎn)的概率，這個(gè)概率模型還是古典概型嗎？提示：不是．因?yàn)轺蛔硬粍蚍Q，所以每個(gè)基本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性不相等，不滿意特點(diǎn)②.4．如何用集合的觀點(diǎn)理解古典概型的概率公式？提示：在一次試驗(yàn)中，等可能出現(xiàn)的n個(gè)結(jié)果可以組成一個(gè)集合I，這n個(gè)結(jié)果就是集合I的n個(gè)元素．各個(gè)基本領(lǐng)件都對(duì)應(yīng)著集合I的只含1個(gè)元素的子集，包含m個(gè)結(jié)果的事務(wù)A就對(duì)應(yīng)著集合I的包含m個(gè)元素的子集A′.從集合的角度看，如圖所示，事務(wù)A的概率就是子集A′的元素個(gè)數(shù)card(A′)與集合I的元素個(gè)數(shù)card(I)之比，即P(A)＝eq\f(cardA′,cardI)＝eq\f(m,n).類型一古典概型的推斷[例1]推斷下列試驗(yàn)是否為古典概型：(1)在數(shù)學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)化考試中，選擇題都是單選題，一般從A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)正確的答案．若一位考生遇到一道題，他能確定地解除一個(gè)選項(xiàng)，他必需從其他的三個(gè)選項(xiàng)中選出正確的答案；(2)連續(xù)投擲一枚硬幣兩次．基本領(lǐng)件為：兩次都是正面朝上，一次正面朝上一次反面朝上，一次反面朝上一次正面朝上，兩次都是反面朝上；(3)同時(shí)投擲兩枚完全相同的骰子，全部可能的結(jié)果記為：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,6)共21個(gè)基本領(lǐng)件．[解](1)不是，因?yàn)樗膫€(gè)選項(xiàng)被選出的概率不同．被解除的選項(xiàng)被選取的概率為0，另外三個(gè)選項(xiàng)被選取的概率為eq\f(1,3)；(2)是；(3)不是，因?yàn)闃?gòu)造的21個(gè)事務(wù)不是等可能事務(wù)，如事務(wù)(1,1)，(1,2)的概率分別為eq\f(1,36)，eq\f(1,18).推斷一個(gè)試驗(yàn)是否是古典概型必需滿意兩個(gè)條件：試驗(yàn)中全部可能出現(xiàn)的基本領(lǐng)件是有限個(gè)；每個(gè)基本領(lǐng)件發(fā)生的可能性相等，兩個(gè)條件缺一不行，特殊是其次個(gè)條件很簡潔被忽視.[變式訓(xùn)練1]一個(gè)長為2m，寬為1m的紗窗，由于某種緣由，紗窗上有一個(gè)半徑為10cm的小孔，現(xiàn)隨機(jī)向紗窗投一粒沙子，求小沙子恰好從孔中飛出的概率，問此試驗(yàn)是否屬于古典概型，為什么？解：不是古典概型，緣由是隨機(jī)向紗窗投一粒沙子，沙子可以擊在紗窗的任一位置，試驗(yàn)結(jié)果有無限多種可能，不滿意古典概型的條件①，即不滿意試驗(yàn)的可能結(jié)果是有限的．故不是古典概型．類型二簡潔的古典概型的問題[例2]有編號(hào)為A1，A2，…，A10的10個(gè)零件，測量其直徑(單位：cm)，得到下面數(shù)據(jù)：編號(hào)A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10直徑1.511.491.491.511.491.511.471.461.531.47其中直徑在區(qū)間[1.48,1.52]內(nèi)的零件為一等品．(1)從上述10個(gè)零件中，隨機(jī)抽取1個(gè)，求這個(gè)零件為一等品的概率；(2)從這些一等品中，隨機(jī)抽取2個(gè)零件，①用零件的編號(hào)列出全部可能的抽取結(jié)果；②求這2個(gè)零件直徑相等的概率．[解](1)由題表知一等品共有6個(gè)，設(shè)“從10個(gè)零件中，隨機(jī)抽取1個(gè)為一等品”為事務(wù)A，則P(A)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).(2)①一等品的編號(hào)為A1，A2，A3，A4，A5，A6，從這6個(gè)一等品中隨機(jī)抽取2個(gè)，全部可能的結(jié)果有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15種．②將“從一等品中，隨機(jī)抽取的2個(gè)零件直徑相等”記為事務(wù)B，則B包含的基本領(lǐng)件有{A1，A4}，{A1，A6}，{A4，A6}，{A2，A3}，{A2，A5}，{A3，A5}，共6種，∴P(B)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).依據(jù)古典概型概率公式P(A)＝eq\f(A包含的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù),基本領(lǐng)件總數(shù))＝eq\f(m,n)進(jìn)行解題．[變式訓(xùn)練2]拋擲兩顆骰子，求點(diǎn)數(shù)之和大于或等于9的概率．解：將拋擲兩顆骰子的全部結(jié)果列表如下：可知基本領(lǐng)件共有6×6＝36個(gè)．記“點(diǎn)數(shù)之和大于或等于9”的事務(wù)為A，則從表中可以得出，事務(wù)A包含的基本領(lǐng)件有10個(gè)，即(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，故P(A)＝eq\f(10,36)＝eq\f(5,18).類型三較困難的古典概型問題[例3]某兒童樂園在六一兒童節(jié)推出了一項(xiàng)趣味活動(dòng)．參與活動(dòng)的兒童需轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)動(dòng)后，待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù)．設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x，y.嘉獎(jiǎng)規(guī)則如下：①若xy≤3，則嘉獎(jiǎng)玩具一個(gè)；②若xy≥8，則嘉獎(jiǎng)水杯一個(gè)；③其余狀況嘉獎(jiǎng)飲料一瓶．假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地勻稱，四個(gè)區(qū)域劃分勻稱．小亮打算參與此項(xiàng)活動(dòng)．(1)求小亮獲得玩具的概率．(2)請(qǐng)比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由．[解]用數(shù)對(duì)(x，y)表示兒童兩次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤記錄的數(shù)，其活動(dòng)記錄與嘉獎(jiǎng)狀況如下：明顯，基本領(lǐng)件總數(shù)為16.(1)xy≤3狀況有5種，所以小亮獲得玩具的概率＝eq\f(5,16).(2)xy≥8狀況有6種，所以獲得水杯的概率＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).所以小亮獲得飲料的概率＝1－eq\f(5,16)－eq\f(3,8)＝eq\f(5,16)<eq\f(3,8)，即小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率．解決有序和無序問題應(yīng)留意兩點(diǎn)(1)關(guān)于不放回抽樣，計(jì)算基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)時(shí)，既可以看作是有依次的，也可以看作是無依次的，其最終結(jié)果是一樣的．但不論選擇哪一種方式，視察的角度必需一樣，否則會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤．(2)關(guān)于有放回抽樣，應(yīng)留意在連續(xù)取出兩次的過程中，因?yàn)橄群笠来尾煌?a1，b)，(b，a1)不是同一個(gè)基本領(lǐng)件．[變式訓(xùn)練3]某商場實(shí)行購物抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，規(guī)定每位顧客從裝有編號(hào)為0,1,2,3四個(gè)相同小球的抽獎(jiǎng)箱中，每次取出一球，登記編號(hào)后放回，連續(xù)取兩次，若取出的兩個(gè)小球號(hào)碼相加之和等于6，則中一等獎(jiǎng)，等于5中二等獎(jiǎng)，等于4或3中三等獎(jiǎng)．(1)求中三等獎(jiǎng)的概率．(2)求中獎(jiǎng)的概率．解：設(shè)“中三等獎(jiǎng)”為事務(wù)A，“中獎(jiǎng)”為事務(wù)B，從四個(gè)小球中有放回地取兩個(gè)有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共16種不同的結(jié)果．(1)取出的兩個(gè)小球號(hào)碼相加之和等于4或3的取法有：(1,3)，(2,2)，(3,1)，(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)，共7種結(jié)果，則中三等獎(jiǎng)的概率為P(A)＝eq\f(7,16).(2)由(1)知兩個(gè)小球號(hào)碼相加之和等于3或4的取法有7種；兩個(gè)小球號(hào)碼相加之和等于5的取法有2種：(2,3)，(3,2)；兩個(gè)小球號(hào)碼相加之和等于6的取法有1種：(3,3)．則中獎(jiǎng)概率為P(B)＝eq\f(7＋2＋1,16)＝eq\f(5,8).1．下列不是古典概型的是(C)A．從6名同學(xué)中，選出4人參與數(shù)學(xué)競賽，每人被選中的可能性的大小B．同時(shí)擲兩顆骰子，點(diǎn)數(shù)和為7的概率C．近三天中有一天降雨的概率D．10個(gè)人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率解析：C中每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性不相等，故選C.2．從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中，任取2個(gè)點(diǎn)，則這2個(gè)點(diǎn)的距離小于該正方形邊長的概率為(B)A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)解析：5個(gè)點(diǎn)中任取2個(gè)點(diǎn)共有10種方法，若2個(gè)點(diǎn)之間的距離小于邊長，則這2個(gè)點(diǎn)中必需有1個(gè)為中心點(diǎn)，有4種方法，于是所求概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).故選B.3．若甲、乙、丙三人隨機(jī)地站成一排，則甲、乙兩人相鄰而站的概率為eq\f(2,3).解析：甲、乙、丙三人隨機(jī)地站成一排有6種方法：甲乙丙、甲丙乙、乙丙甲、乙甲丙、丙甲乙、丙乙甲，其中甲、乙相鄰的有4種．故所求概率P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).4．將一枚硬幣先后拋擲兩次，恰好出現(xiàn)一次正面的概率是eq\f(1,2).解析：先后拋擲一枚硬幣的全部基本領(lǐng)件為(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)共四個(gè)基本領(lǐng)件，“恰好出現(xiàn)一次正面”包含2個(gè)基本領(lǐng)件，∴P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).5．某地區(qū)有小學(xué)21所，中學(xué)14所，高校7所，現(xiàn)實(shí)行分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取6所學(xué)校對(duì)學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查．(1)求應(yīng)從小學(xué)、中學(xué)、高校中分別抽取的學(xué)校數(shù)目；(2)若從抽取的6所學(xué)校中隨機(jī)抽取2所學(xué)校做進(jìn)一步數(shù)據(jù)分析，①列出全部可能的抽取結(jié)果；②求抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)的概率．解：(1)從小學(xué)、中學(xué)、高校中分別抽取的學(xué)校數(shù)目為3,2,1.(2)①在抽取到的6所學(xué)校中，3所小學(xué)分別記為A1，A2，A3,2所中學(xué)分別記為A4，A5,1所高校記為A6，則抽取2所學(xué)校的全部可能結(jié)果為(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A