江蘇省連云港市東海縣2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

2024～2025學(xué)年第一學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)試題用時(shí)：120分鐘滿(mǎn)分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合交集運(yùn)算的定義求出即可.【詳解】由題意得，因?yàn)?，，所以根?jù)交集運(yùn)算的定義，兩集合的公共元素為，所以，故答案選：D.2.若命題“，”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出的最小值即可得．【詳解】，的最小值是，因此，故選：B．3.定義在上的偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，下列判斷正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，對(duì)函數(shù)值比較大小即可.【詳解】∵在0,+∞單調(diào)遞減，∴，故B錯(cuò)誤；又是偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，∴，故C錯(cuò)誤；而由是偶函數(shù)以及其單調(diào)性可得，∴，故A正確，D錯(cuò)誤；故選：A．4.已知函數(shù)圖象如右圖所示，則的圖象是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，再將的圖象向右平移1個(gè)單位即可求解.【詳解】將與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，再將的圖象向右平移1個(gè)單位得到，因此D符合，故選：D5.設(shè)正數(shù)，滿(mǎn)足，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式求出最小值.【詳解】正數(shù)，滿(mǎn)足，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：A6.設(shè)，則“”的充要條件是（）A.a，b不都為1 B.a，b都不為0C.a，b中至多有一個(gè)是1 D.a，b都不為1【答案】D【解析】【分析】由，求得且，即可求解.【詳解】由，可得，所以且，所以“”的充要條件是“都不為”.故選：D.7.已知函數(shù)，，則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)解析式和函數(shù)定義域，可由定義法先求出函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性求出函數(shù)值域.【詳解】由題意得，設(shè)，且，則，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，若，則，此時(shí)，所以在上為減函數(shù)；若，則，此時(shí)，所以在上為增函數(shù)；綜上所述，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，因?yàn)椋?，所以函?shù)，的值域?yàn)?，故答案選：B.8.已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由絕對(duì)值定義化簡(jiǎn)函數(shù)式，結(jié)合單調(diào)性求解．【詳解】，，則，解得，故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若，則下列各式中，成立的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則、換底公式判斷．【詳解】，A錯(cuò)；，B正確；由換底公式知C正確；，D錯(cuò)，故選：BC．10.已知是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，fx=x2?2xA. B.當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，C.在定義域R上為減函數(shù) D.不等式的解集為【答案】AC【解析】【分析】利用奇函數(shù)的定義求解在給定區(qū)間外的函數(shù)表達(dá)式，然后分析函數(shù)的單調(diào)性，最后求解不等式即可【詳解】利用奇函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)于所有，，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，對(duì)于所有，，因此，所以A正確；B錯(cuò)誤；當(dāng)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，在時(shí)，，所以函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù)，當(dāng)，的導(dǎo)數(shù)為，在時(shí)，，所以函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù)，故在整個(gè)定義域R上是減函數(shù)；故C正確；若，當(dāng)時(shí)，，即因?yàn)樵谡麄€(gè)定義域R上是減函數(shù)，解得，即，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：AC.11.關(guān)于的方程的兩實(shí)根為，，且，，則（）A. B.的最小值為4C.的最小值為 D.的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)韋達(dá)定理可得，即可代入求解A，根據(jù)基本不等式即可求解B，利用，結(jié)合基本不等式即可求解CD.【詳解】由的兩實(shí)根為，可得，故，或，對(duì)于A，，A正確，對(duì)于B，由，，可得，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故B正確，對(duì)于C，由可得，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，由可得，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故D正確，故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的定義域是_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次根式有意義即可求得定義域.【詳解】解：由解析式可知，故函數(shù)的定義域?yàn)椋?3.若集合，則______.【答案】1【解析】分析】利用集合相等，分和兩種情況求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，即，則；當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)，即，則，綜上：.故答案為：114.若，則的最小值是________.【答案】【解析】【分析】用反證法證明的最小值不小于，再確定能等于，即可得．詳解】由題意，若存在使得，則，因此，但，因此假設(shè)錯(cuò)誤，不存在使得，所以的最小值不小于，又時(shí)，，所以的最小值為，故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.（1）化簡(jiǎn)求值：；（2）已知，求的值.【答案】（1）11；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解，（2）根據(jù)指數(shù)冪的性質(zhì)可得，即可利用立方差公式求解.【詳解】（1）原式=.（2）因?yàn)椋瑑蛇吰椒降?，所?16.設(shè)為實(shí)數(shù)，集合，.（1）若，求的取值范圍；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先化簡(jiǎn)集合A，再由得到求解；（2）分和時(shí)，由求解.【小問(wèn)1詳解】解：由得，則.若，則，所以，解得.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，有，則；當(dāng)時(shí)，則，或，解得或.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是17.定義在的函數(shù)滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，.（1）證明：函數(shù)是奇函數(shù)；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并證明.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）函數(shù)在上單調(diào)遞減，證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用函數(shù)奇偶性的定義證明；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明.【小問(wèn)1詳解】證明：函數(shù)的定義域?yàn)镽，令，得：，，再令，則，即f?x所以函數(shù)在R上是奇函數(shù).【小問(wèn)2詳解】在R上是單調(diào)遞減函數(shù)，證明如下：任取，，且，則，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，所以，即，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞減.18.已知二次函數(shù)fx=ax2+bx+c的兩個(gè)零點(diǎn)為和（1）求的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（3）解關(guān)于的不等式.【答案】（1）（2）（3）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由函數(shù)的零點(diǎn)性質(zhì)可設(shè)，代入求解即可；（2）由二次函數(shù)的性質(zhì)討論對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的關(guān)系即可；（3）討論與零和12的關(guān)系，結(jié)合一元二次不等式解法求解即可；【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槎魏瘮?shù)fx=ax2+bx+c的可設(shè)，又，所以，解得，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)榈膶?duì)稱(chēng)軸為，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，；當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，；綜上，.【小問(wèn)3詳解】由題意可得，即，①當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，②當(dāng)時(shí)，不等式可化為，不等式的解集為或.③當(dāng)時(shí)，不等式可化為，當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為.綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.19.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋舸嬖诔?shù)滿(mǎn)足，且對(duì)任意的，總存在，使得，稱(chēng)函數(shù)為函數(shù).（1）求證：函數(shù)是函數(shù)；（2）若函數(shù)是函數(shù)，求實(shí)數(shù)；（3）若函數(shù)是函數(shù)，求實(shí)數(shù).【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】（1）利用函數(shù)為函數(shù)的定義求解.（2）法一：根據(jù)函數(shù)是函數(shù)，先由不成立，得到或；再根據(jù)函數(shù)的新定義，由，轉(zhuǎn)化為，令，根據(jù)在單調(diào)遞減，由求解；法二：根據(jù)函數(shù)是函數(shù)及在是增函數(shù)，由求解；（3）法一：由，得到，從而，再由函數(shù)是函數(shù)，化簡(jiǎn)得到，由求解；法二：同上，由求解.【小問(wèn)1詳解】解：任取，總存在，使得，所以是函數(shù).【小問(wèn)2詳解】法一：因?yàn)楹瘮?shù)是函數(shù)，若，則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不存在，使得，所以或；若任取，存在，使得，所以，化簡(jiǎn)得，令，因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，得，綜上所述.法二：因?yàn)楹瘮?shù)是函數(shù)，若，則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)