新教材高中數學第二章等式與不等式221不等式及其性質課件新人教B版必修1

2.2不等式2.2.1不等式及其性質1.不等式與不等關系不等式的定義所含的兩個要點.(1)不等符號<，>，≤，≥或≠.(2)所表示的關系是不等關系.【思考】(1)不等號“≤，≥”的讀法分別是什么？提示：“≤”讀作小于或者等于，“≥”讀作大于或者等于.(2)不等式“a≤b”的含義是什么？只有當“a<b”與“a=b”同時成立時，該不等式才成立，是嗎？提示：不等式a≤b應讀作：“a小于或等于b”，其含義是指“或者a<b或者a=b”，等價于“a不大于b”，即若a<b與a=b之中有一個正確，則a≤b正確.2.比較兩個實數大小的方法(1)畫數軸比較法依據①實數與數軸上的點一一對應②如果點P對應的數為x，則x為點P的坐標，并記作P(x)結論數軸上的點往數軸的正方向運動時，它所對應的實數會變大.(2)作差比較法依據如果a-b>0，那么a>b如果a-b<0，那么a<b如果a-b=0，那么a=b結論確定任意兩個實數a，b的大小關系，只需確定它們的差a-b與0的大小關系【思考】(1)在比較兩實數a，b大小的依據中，a，b兩數是任意實數嗎？提示：是任意實數.(2)若“b-a>0”，則a，b的大小關系是怎樣的？提示：b>a.3.不等式的性質性質1

a>b?a+c>b+c性質2

a>b，c>0?ac>bc性質3

a>b，c<0?ac<bc性質4

a>b，b>c?a>c性質5

a>b?b<a4.不等式性質的推論推論1

a+b>c?a>c-b推論2

a>b，c>d?a+c>b+d推論3

a>b>0，c>d>0?ac>bd推論4

a>b>0?an>bn(n∈N，n>1)推論5

a>b>0?>___【思考】(1)性質2，3可以概括為在不等式的兩邊同乘以一個不為零的數，不改變不等號的方向，對嗎？為什么？提示：不對.要看兩邊同乘以的數的符號，同乘以正數，不改變不等號的方向，但是同乘以負數時，要改變不等號的方向.(2)推論1類似于解方程中的什么法則？提示：移項法則.(3)使用推論3，4，5時，要注意什么條件？提示：各個數均為正數.5.證明問題的常用方法(1)綜合法：從已知條件出發(fā)，綜合利用各種結果，經過逐步推導最后得到結論的方法.(2)分析法：從要證明的結論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止.(3)反證法：首先假設結論的否定成立，然后由此進行推理得到矛盾，最后得出假設不成立.反證法是一種間接證明的方法.【思考】(1)綜合法與分析法有什么區(qū)別？提示：綜合法是從已知條件出發(fā)，逐步尋找的是必要條件，即由因導果；分析法是從待求結論出發(fā)，逐步尋找的是充分條件，即執(zhí)果索因.(2)反證法的實質是什么？提示：反證法的實質就是否定結論，推出矛盾，從而證明原結論是正確的.【素養(yǎng)小測】1.思維辨析(對的打“√”，錯的打“×”)(1)不等式x≥2的含義是指x不小于2. (

)(2)兩個實數a，b之間，有且只有a>b，a=b，a<b三種關系中的一種. (

)(3)若a>b，則ac2>bc2. (

)(4)若a+c>b+d，則a>b，c>d. (

)提示：(1)√.不等式x≥2表示x>2或x=2，即x不小于2.(2)√.任意兩數之間，有且只有a>b，a=b，a<b三種關系中的一種，沒有其他大小關系.(3)×.由不等式的性質，ac2>bc2?a>b；反之，c=0時，a>bac2>bc2.(4)×.取a=4，c=5，b=6，d=2，滿足a+c>b+d，但不滿足a>b，故此說法錯誤.2.設b<a，d<c，則下列不等式中一定成立的是 (

)A.a-c>b-d B.ac>bdC.a+c>b+d D.a+d>b+c【解析】選C.因為b<a，d<c，所以b+d<a+c.3.已知x<1，則x2+2與3x的大小關系為________.

【解析】x2+2-3x=(x-2)(x-1)，而x<1，所以x-2<0，x-1<0，所以x2+2-3x>0，所以x2+2>3x.答案：x2+2>3x類型一作差法比較大小【典例】比較下列各式的大?。?1)當x≤1時，比較3x3與3x2-x+1的大小.(2)當x，y，z∈R時，比較5x2+y2+z2與2xy+4x+2z-2的大小.【思維·引】利用作差法比較，先作差、化簡，再判斷差的符號.【解析】(1)3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)=3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1).因為x≤1，所以x-1≤0，而3x2+1>0.所以(3x2+1)(x-1)≤0，所以3x3≤3x2-x+1.(2)因為5x2+y2+z2-(2xy+4x+2z-2)=4x2-4x+1+x2-2xy+y2+z2-2z+1=(2x-1)2+(x-y)2+(z-1)2≥0，所以5x2+y2+z2≥2xy+4x+2z-2，當且僅當x=y=且z=1時取到等號.【素養(yǎng)·探】本例考查作差法比較大小，突出考查了邏輯推理與數學運算的核心素養(yǎng).本例(1)中，若把條件“x≤1”去掉，試比較所給兩式的大小.【解析】去掉條件“x≤1”后需對差的符號進行討論.顯然3x2+1>0，所以當x<1時，(3x2+1)(x-1)<0，所以3x3<3x2-x+1；當x=1時，(3x2+1)(x-1)=0，所以3x3=3x2-x+1；當x>1時，(3x2+1)(x-1)>0，所以3x3>3x2-x+1.【類題·通】作差法比較大小的步驟【習練·破】已知x，y∈R，P=2x2-xy+1，Q=2x-，試比較P，Q的大小.【解析】因為P-Q=2x2-xy+1-=x2-xy++x2-2x+1=+(x-1)2≥0，所以P≥Q.【加練·固】比較下列各組中兩個代數式的大?。?1)x2+3與2x；(2)已知a，b為正數，且a≠b，比較a3+b3與a2b+ab2的大小.【解析】(1)(x2+3)-2x=x2-2x+3=(x-1)2+2≥2>0，所以x2+3>2x.(2)(a3+b3)-(a2b+ab2)=a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b)，因為a>0，b>0，且a≠b，所以(a-b)2>0，a+b>0.所以(a3+b3)-(a2b+ab2)>0，即a3+b3>a2b+ab2.類型二利用不等式的性質判斷命題真假【典例】下列命題中一定正確的是

(

)世紀金榜導學號A.若a>b且，則a>0，b<0B.若a>b，b≠0，則>1C.若a>b，且a+c>b+d，則c>dD.若a>b且ac>bd，則以c>d【思維·引】利用不等式的性質和特殊值檢驗求解.【解析】選A.對于A項，因為，所以>0，即>0，又a>b，所以b-a<0，所以ab<0，所以a>0，b<0；對于B項，當a>0，b<0時，有<0<1，故B項錯；對于C項，當a=10，b=3時，雖有10+1>3+2，但1<2，故C項錯；對于D項，當a=-1，b=-2時，有(-1)×(-1)>(-2)×7，但-1<7，故D項錯.【素養(yǎng)·探】利用不等式的性質判斷命題真假，突出考查了邏輯推理與數學運算的核心素養(yǎng).對于實數a，b，c，下列命題中的真命題是 (

)A.若a>b，則ac2>bc2 B.若a>b>0，則C.若a<b<0，則 D.若a>|b|，則a2>b2【解析】選D.當c=0時，有ac2=bc2，故A為假命題；當a>b>0，有，故B為假命題；a<b<0?-a>-b>0??，故C為假命題；若a>|b|≥0，則a2>b2，故D為真命題.【類題·通】1.運用不等式的性質判斷命題真假的技巧(1)運用不等式的性質判斷時，要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不能隨意捏造性質.(2)解有關不等式選擇題時，也可采用特殊值法進行排除，注意取值一定要遵循如下原則：一是滿足題設條件；二是取值要簡單，便于驗證計算.2.倒數性質：(1)若a>b>0，則.(2)若0>a>b，則.即a>b，ab>0?.【習練·破】若a>b>c，則下列不等式成立的是 (

)A. B.C.ac>bc D.ac<bc【解析】選B.因為a>b>c，所以a-c>b-c>0.所以.【加練·固】

設a>1>b>-1，則下列不等式中恒成立的是 (

)A. B.C.a2>2b D.a>b2【解析】選D.A錯，例如a=2，b=-時，，=-2，此時，；B錯，例如a=2，b=時，，=2，此時，；C錯，例如時， ，此時a2<2b；由a>1，b2<1得a>b2.類型三利用不等式的性質證明不等式角度1綜合法【典例】已知a>b>0，c<d<0，e<0，求證：.【思維·引】本題可利用不等式的性質進行證明，也可以作差進行證明.【證明】方法一：因為c<d<0，所以-c>-d>0，因為a>b>0，所以a-c>b-d>0，所以0<，又因為e<0，所以.方法二：，因為a>b>0，c<d<0，所以-c>-d>0，所以a-c>0，b-d>0，b-a<0，c-d<0，又e<0，所以>0，所以

.【素養(yǎng)·探】本題主要考查不等式的基本性質，同時考查了邏輯推理的核心素養(yǎng).本例條件不變，結論改為求證，請證明.【證明】因為c<d<0，所以-c>-d>0，因為a>b>0，所以a-c>b-d>0，所以(a-c)2>(b-d)2>0，所以0<，又e<0，所以.角度2分析法與反證法【典例】證明：. 世紀金榜導學號【思維·引】根據問題特點可選用分析法證明，也可用反證法證明.【證明】方法一：分析法：要證，只需證，只需證，展開得，只需證，即證14<18，顯然成立，所以.方法二：反證法：假設，則，兩邊平方得，所以，即14≥18，顯然不成立，所以假設錯誤.所以.方法三：運用變形后再證.【類題·通】1.利用不等式的性質證明簡單不等式的實質及注意點(1)實質：就是根據性質把不等式變形.(2)注意點：①記準、記熟不等式的性質并注意在解題中靈活準確地加以應用；②應用不等式的性質進行推導時，應注意緊扣不等式的性質成立的條件，且不可省略條件或跳步推導，更不能隨意構造性質與法則.2.證明不等式常選用綜合法，對于不方便用綜合法證明的不等式可以靈活選擇分析法與反證法.【習練·破】1.將下面用分析法證明≥ab的步驟補充完整：要證≥ab，只需證a2+b2≥2ab，也就是證________，即證________，由于________顯然成立，因此原不等式成立.【解析】用分析法證明≥ab的步驟為：要證≥ab成立，只需證a2+b2≥2ab，也就是證a2+b2-2ab≥0，即證(a-b)2≥0.由于(a-b)2≥0顯然成立，所以原不等式成立.答案：a2+b2-2ab≥0

(a-b)2≥0

(a-b)2≥02.用反證法證明命題：“一個三角形中不能有兩個直角”的過程歸納為以下三個步驟：①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°，這與三角形內角和為180°相矛盾，則∠A=∠B=90°不成立；②所以一個三角形中不能有兩個直角；③假設∠A、∠B、∠C中有兩個角是直角，不妨設∠A=∠B=90°.正確順序的序號排列為________.

【解析】根據反證法證題的三步驟：否定結論、導出矛盾、得出結論.答案：③①②【加練·固】

已知x