高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019必修四）第24講1131平行直線與異面直線

11.3.1平行直線與異面直線TOC\o"13"\h\u題型1空間四邊形 ②平行直線：在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。(2)異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。題型1空間四邊形【方法總結(jié)】空間四邊形的性質(zhì)1.順次連結(jié)空間四邊形各邊中點(diǎn)得到的圖形是平行四邊形。2.空間四邊形的對(duì)邊不同在一個(gè)平面內(nèi)。3.空間四邊形兩條對(duì)角線所在直線為異面直線；若四邊相等，則對(duì)角線不相交但垂直。4.四邊相等的四邊形不一定是菱形。5.空間四邊形的內(nèi)角和小于360度?！纛愋?空間四邊形概念辨析【例題11】空間四邊形ABCD中，給出下列說法：①直線AB與CD異面；②對(duì)角線AC與BD相交；③四條邊不能都相等；④四條邊的中點(diǎn)組成一個(gè)平行四邊形．其中正確說法的個(gè)數(shù)是()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【答案】B【解析】本題主要考查空間四邊形，關(guān)鍵要理解空間四邊形的概念．由定義知①正確；②錯(cuò)誤，否則A、B、C、D四點(diǎn)共面；③不正確，可將一個(gè)菱形沿一條對(duì)角線折起一個(gè)角度，就成為四邊相等的空間四邊形；④正確，由平行四邊形的判定定理可證．【變式11】1.如圖，在四面體ABCD中，M,N,P,Q,E分別是AB,BC,CD,AC的中點(diǎn)，則下列說法不正確的是（）M,N,P,Q四點(diǎn)共面∠QME=∠CBD△BCD∽△MEQ四邊形是MNPQ梯形【答案】D【解析】由中位線定理，易知MQ//BD，ME//BC，QE//CD，NP//BD.對(duì)于A，有MQ//NP，所以M，N，P，Q四點(diǎn)共面，故A說法正確;對(duì)于B，根據(jù)等角定理，得∠QME=∠CBD，故B說法正確;對(duì)于C，由等角定理，知∠QME=∠CBD，∠MEQ=∠BCD，所以△BCD∽△MEQ，故C說法正確;對(duì)于D，由三角形的中位線定理，知MQ12BD,NP12BD,MQNP，所以四邊形MNPQ為平行【變式11】2．（2022秋·江西宜春·高一江西省宜豐中學(xué)?？计谥校┤鐖D所示，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且CFCB①E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；②EF與GH異面；③EF與GH的交點(diǎn)M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上；④EF與GH的交點(diǎn)M一定在直線AC上．A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】B【分析】利用三角形中位線性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、平面基本事實(shí)推理，再逐一判斷各個(gè)命題作答.【詳解】在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，則EH//BD，且點(diǎn)F，G分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且CFCB=CGCD=因此FG//因FG//EH，F(xiàn)G>點(diǎn)M在EF上，而EF在平面ACB上，則點(diǎn)M在平面ACB上，同理點(diǎn)M在平面ACD上，則點(diǎn)M是平面ACB與平面ACD的公共點(diǎn)，而AC是平面ACB與平面ACD的交線，所以點(diǎn)M一定在直線AC上，④正確，③錯(cuò)誤，所以說法正確的命題序號(hào)是①④．故選：B【變式11】3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別邊AB,【答案】相交【分析】根據(jù)平面的性質(zhì)結(jié)合線線位置關(guān)系分析判斷.【詳解】∵E、F、G、H分別是四邊上的中點(diǎn)，∴EF∥AC∥GH，即EF∥GH，同理可得：EH∥GF，故E、F、G、H四點(diǎn)共面，且EFGH為平行四邊形，則直線EG和FH的位置關(guān)系是相交.故答案為：相交.【變式11】4．（2020·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，設(shè)E,F,G,H依次是空間四邊形A．當(dāng)λ=μ時(shí)，四邊形B．當(dāng)λ≠μ時(shí)，四邊形C．當(dāng)λ=μ=D．當(dāng)λ=μ≠【答案】D【分析】由平行線分線段成比例定理的逆定理得平行，可判斷各選擇的正誤．【詳解】如圖所示，連接BD.∵AEAB=同理，F(xiàn)G//BD，且∴當(dāng)λ=μ時(shí)，EH=當(dāng)λ≠μ時(shí)，EH≠故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查空直線平行的判斷，掌握平行公理是解題基礎(chǔ)．◆類型2與空間四邊形有關(guān)的計(jì)算【例題12】空間四邊形ABCD中，M、N分別為AB，CD的中點(diǎn)，則MN__________eq\f(1,2)(AC＋BD)(填“≥”“>”“≤”“<”“＝”符號(hào))【答案】<【解析】取BC中點(diǎn)E，連接EM、EN，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(EM＝\f(1,2)AC,EN＝\f(1,2)BD))，相加EM＋EN＝eq\f(1,2)(AC＋BD)，又EM＋EN>MN，∴MN<eq\f(1,2)(AC＋BD)．【變式12】1.（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，已知空間四邊形ABCD兩對(duì)角線AC和BD的長分別為8和10，所成的角為60°，依次連接各邊中點(diǎn)所得四邊形EFGH【答案】10【分析】根據(jù)E，H，G，F(xiàn)分別為AB，AD，CD，BC中點(diǎn)得到四邊形EFGH為平行四邊形，且EH=FG=12BD=5，EF=GH=1【詳解】因?yàn)镋，H，G，F(xiàn)分別為AB，AD，CD，BC中點(diǎn)，所以EH∥BD∥FG，EF∥所以四邊形EFGH為平行四邊形，因?yàn)锳C與BD所成角為60°，所以平行四邊形EFGH的一個(gè)內(nèi)角為60°，所以SEFGH故答案為：103【變式12】2．（2023·高一單元測試）已知E、F、G、H分別為空間四邊形ABCD四條邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，若AC=BD=6【答案】36【分析】由題意得到四邊形EFGH為平行四邊形，再利用余弦定理求解即可.【詳解】解：因?yàn)镋、F分別為空間四邊形ABCD邊AB、BC的中點(diǎn)，所以EF//AC且EF=12EH=所以EF//HG且所以四邊形EFGH為平行四邊形，又EH=由余弦定理得EGFH因?yàn)椤螰EH所以cos∠FEH所以EG故答案為：36.【變式12】3．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在空間四邊形ABCD中，E，H分別是AB,AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G分別在CB,CD上，且CFCB=CGCD=23，那么四邊形EFGH是____________形；若BD【答案】

梯；

8【分析】通過中位線和線段比例關(guān)系可以得到EH//GF且EH≠【詳解】解：因?yàn)樵凇鰽BD中，E，H分別是AB所以EH//BD又在△CBD中，CFCB=CG所以EH//GF且故四邊形EFGH為梯形，因?yàn)锽D=6cm，所以EH=3cm,設(shè)EH，F(xiàn)G間的距離為?，則S梯形EFGH=EH+故答案為：梯；8題型2平行公理的應(yīng)用【方法總結(jié)】線線平行的證明方法：1.定義法：即證明兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi)且兩直線沒有公共點(diǎn)；2.利用平面圖形的有關(guān)平行的性質(zhì)，如三角形中位線、梯形，平行四邊形等關(guān)于平行的性質(zhì)；3.利用平行線的傳遞行：找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行.◆類型1平行公理概念辨析【例題21】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列命題中，正確的命題序號(hào)是（

）①平行于同一直線的兩直線平行；②垂直于同一直線的兩直線平行；③過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行；④與已知直線平行且距離長為定值的直線有兩條．A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④【答案】B【分析】利用平行線的傳遞性可判斷①；利用空間中直線的位置關(guān)系可判斷②；利用反證法可判斷③；利用圓柱可判斷④.【詳解】對(duì)于①，由平行線的傳遞性可知①對(duì)；對(duì)于②，垂直于同一直線的兩直線平行、相交或異面，②錯(cuò)；對(duì)于③，若P在直線l外，若過點(diǎn)P存在兩條不同的直線a、b，使得a//l，則a//對(duì)于④，設(shè)直線l為圓柱O1所有與直線l平行且到直線l的距離為d的直線可視為底面半徑為d的圓柱O1故與已知直線平行且距離長為定值的直線有無數(shù)條，④錯(cuò).故選：B.【變式21】1．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）下列結(jié)論中正確的是（

）①在空間中，若兩條直線不相交，則它們一定平行；②平行于同一條直線的兩條直線平行；③一條直線和兩條平行直線中的一條相交，那么它也和另一條相交；④空間中有四條直線a，b，c，d，如果a//b，c//d，且a//d，那么b//c.A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③【答案】B【分析】根據(jù)空間中直線間的位置關(guān)系逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】①錯(cuò)誤，兩條直線可以異面；②正確，平行的傳遞性；③錯(cuò)誤，和另一條直線可以相交也可以異面；④正確，平行的傳遞性.故選：B.【變式21】2．(多選)（2022春·浙江臺(tái)州·高一校考階段練習(xí)）a，b，c是空間中的三條直線，下列說法中正確的是（

）A．若a//bB．若a與b相交，b與c相交則a與c也相交C．若a，b分別在兩個(gè)相交平面內(nèi)，則這兩條直線可能平行、相交或異面D．若a與c相交b與c異面，則a與b異面【答案】AC【分析】由平行線的傳遞性和直線的位置關(guān)系可判斷選項(xiàng).【詳解】由平行線的傳遞性知A正確；若a與b相交，b與c相交，則a與c可能平行、相交或異面，B錯(cuò)誤；若a與b在兩個(gè)相交平面內(nèi)，則a與b可能相交、平行或異面，C正確；若a與c相交，b與c異面，則a與b可能相交、平行或異面，故D錯(cuò)誤.故選:AC．【變式21】3．（2022春·江蘇無錫·高一江蘇省天一中學(xué)校考期中）給出下列三個(gè)命題：①在空間中，若兩條直線和第三條直線所成的角相等，則這兩條直線互相平行；②在空間中，若兩條直線都與第三條直線垂直，則這兩條直線互相平行；③若兩條直線都與同一個(gè)平面平行，則這兩條直線互相平行；④在空間中，若兩條直線都與第三條直線平行，則這兩條直線互相平行；其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為_____.【答案】1.【分析】根據(jù)空間中，直線與直線位置關(guān)系，逐一判斷，即可求解.【詳解】①在空間中，若兩條直線和第三條直線所成的角相等，可能這三條直線構(gòu)成等腰三角形，可得這兩條直線不一定互相平行，故①錯(cuò)；②在空間中，若兩條直線都與第三條直線垂直，則這兩條直線互相平行或相交或異面，故②錯(cuò)；③若兩條直線都與同一個(gè)平面平行，則這兩條直線互相平行或相交或異面，故③錯(cuò)；④在空間中，若兩條直線都與第三條直線平行，由公理4可得這兩條直線互相平行，故④對(duì)只有一個(gè)結(jié)論正確故答案為：1【點(diǎn)睛】空間中直線與直線位置關(guān)系，與平面內(nèi)直線與直線位置關(guān)系有所不同，需仔細(xì)辨析，本題屬于中等難度.◆類型2平行公理在證明方面的使用【例題22】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，在空間四邊形ABCD（不共面的四邊形稱為空間四邊形）中，E,F,G,【答案】證明見解析【分析】先證明EF//AC，HG//AC，EF=【詳解】因?yàn)樵诳臻g四邊形ABCD中，E,F,所以EF//AC，HG//所以EF//HG，所以四邊形EFGH是平行四邊形．【變式22】1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，空間四邊形ABCD，E、H分別是AB、CD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是BC、CD上的點(diǎn)，且CFCB【答案】證明見詳解【分析】根據(jù)三角形中位線、平行線等分性質(zhì)結(jié)合平行線的傳遞性分析證明,【詳解】∵E、H分別是AB、CD的中點(diǎn)，則EH∥BD，又∵F、G分別是BC、CD上的點(diǎn)，且CFCB=CGCD，則FG∴EH∥FG，故直線EH與直線FG平行．【變式22】2．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，P【答案】證明見解析【分析】取DD1的中點(diǎn)R，連接AR，RP，即可得到QD1//【詳解】證明：如圖，取DD1的中點(diǎn)R，連接AR，因?yàn)锳Q//D1R且AQ=又RP//DC且RP=DC，∴RP//AB且∴四邊形ABPR為平行四邊形，∴AR//BP，∴【變式22】3.如圖，空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).求證：四邊形EFGH是平行四邊形.【解析】證明：連接EH，因?yàn)镋H是△ABD的中位線，所以EH∥BD，且EH=12BD.同理，F(xiàn)G∥BD，且FG=所以EH∥FG，且EH=FG.所以四邊形EFGH為平行四邊形.【變式22】4.如圖所示,在正方體ABCDA′B′C′D′中,若M,N分別是A′D′,C′D′的中點(diǎn),求證:四邊形ACNM是梯形.【解析】如圖所示,連接A′C′,因?yàn)镸,N分別是A′D′,C′D′的中點(diǎn),所以MN∥A′C′,且MN=QUOTE12A′C′.由正方體的性質(zhì)可知A′C′∥AC,且A′C′=AC.所以MN∥AC,且MN=QUOTE12AC,所以四邊形ACNM是梯形.【變式22】5．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC∥AD，BC=12AD，(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形.(2)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)是否共面？為什么？【答案】(1)證明見解析(2)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面，理由見解析【分析】（1）結(jié)合三角形中位線性質(zhì)可證得GH//BC且（2）由題可證得四邊形BEFG為平行四邊形，進(jìn)而可得CH//【詳解】（1）因?yàn)镚,H分別為所以GH//AD，又BC//AD，所以BC//HG，所以四邊形BCHG是平行四邊形；（2）C,由BE//FA，BE=12FA，G所以四邊形BEFG為平行四邊形，所以EF//BG，由（1）知所以EF//所以EF與CH共面，又D∈所以C,【變式22】6.如圖1所示，在梯形ABCD中，AB//CD,E,F分別為BC,AD的中點(diǎn)，將平面CDFE沿EF翻折起來，使CD到達(dá)C’D’的位置（如圖2），G,H分別為AD’，BC’的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH為平行四邊形.【證明】在題圖1中，∵四邊形ABCD為梯形，AB//CD，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，∴EF//AB且EF=12(AB+CD).在題圖2中，易知C'D'//EF//AB.∵G，H分別為AD'，BC'的中點(diǎn)∴GH//AB且GH=12(AB+C'D')=題型3等角定理的應(yīng)用【方法總結(jié)】“等角定理”為兩條異面直線所成的角的定義提供了可能性與唯一性，即過空間任一點(diǎn)，作兩條直線分別平行于兩條異面直線，它們所成的銳角（或直角）都是相等的，而與所取點(diǎn)的位置無關(guān).◆類型1等角定理概念辨析【例題31】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列命題中，真命題的序號(hào)是______．①如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等；②如果兩條相交直線與另兩條相交直線分別平行，那么這組直線所成的銳角（或直角）相等；③如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)；④如果兩條直線同時(shí)平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行．【答案】②④【分析】由等角定理可判斷②；由直線平行性的傳遞性可判斷④；舉反例可判斷①③.【詳解】在長方體ABCD?A1B1易知∠A由等角定理可知②正確；易知A1D1由直線平行性的傳遞性可知④正確.故答案為：②④【變式31】1.（2022·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在四面體ABCD中，M，N，P，Q，E分別是AB，BC，CD，AD，AC的中點(diǎn)，則下列說法中正確的序號(hào)是________．①M(fèi)，N，P，Q四點(diǎn)共面；②∠QME=∠CBD；③△【答案】①②③【分析】根據(jù)題意及中位線定理和等角定理可以一一判斷．【詳解】解：由中位線定理，易知MQ//BD，ME//BC，對(duì)于①，由公理4易得MQ//NP，所以M，N，P，對(duì)于②，根據(jù)等角定理，得∠QME對(duì)于③，由等角定理，知∠QME=∠CBD，∠由三角形的中位線定理及公理4知MQ//所以MQ//NP且MQ=故答案為：①②③【變式31】2．（2019·高一課時(shí)練習(xí)）一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別垂直于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面，則這兩個(gè)二面角的關(guān)系是A．相等 B．互補(bǔ) C．相等或互補(bǔ) D．不確定【答案】D【解析】根據(jù)題意，可在正方體中，舉例說明，得到答案.【詳解】如圖所示，在正方體ABCD?A1B1所以這兩個(gè)二面角不一定相等或互補(bǔ).例如：開門的過程中，門所在平面及門軸所在墻面分別垂直于地面與另一墻面，但門所在平面與門軸所在墻面所成二面角的大小不定，而另一二面角卻是90°【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面位置關(guān)系的應(yīng)用，以及二面角的概念及應(yīng)用，其中解答中熟記二面角的概念，合理舉例是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.◆類型2等角定理在證明方面的使用【例題32】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1(1)GB∥(2)∠BGC【答案】(1)證明過程見解析(2)證明過程見解析【分析】（1）證明出四邊形D1GBF是平行四邊形，從而證明出線線平行；（2）證明出GC∥【詳解】（1）因?yàn)檎襟wABCD?A1B1所以D1G=所以四邊形D1所以GB（2）因?yàn)檎襟wABCD?A1B1所以D1G所以四邊形D1所以GC∥由（1）知：GB由圖形可知：∠BGC所以∠BGC【變式32】1．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，已知棱長為a的正方體ABCD?A1(1)四邊形MNA(2)∠DNM與∠【答案】(1)四邊形MNA(2)相等【分析】（1）連接MN、AC、A1C1、A1N、C1M（2）利用等角定理可得出結(jié)論.【詳解】（1）解：四邊形MNA連接MN、AC、A1C1、A因?yàn)锳N=CM=a3，則AN在正方體ABCD?A1B1所以，四邊形AA1C1C所以，MN//A1又因?yàn)锳1N=AA所以，四邊形MNA（2）解：因?yàn)镹D//A1D1，NM因此，∠DNM【變式32】2．（2