2024-2025學(xué)年廣東省惠州市高二上冊10月月考數(shù)學(xué)階段性檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年廣東省惠州市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)階段性檢測試題第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】本題根據(jù)關(guān)于坐標(biāo)平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)直接求解即可.【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，所以點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選：B.本題考查求點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，是基礎(chǔ)題.2.已知空間向量，，若，則（）．A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)數(shù)量積求得，再根據(jù)向量的夾角公式求得答案.【詳解】由得，，解得，則，，所以，故選：A．3.經(jīng)過圓的圓心且與直線垂直的直線方程是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】求出圓的圓心坐標(biāo)，根據(jù)所求直線與垂直，求其斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式寫出直線方程.【詳解】圓圓心的坐標(biāo)為，設(shè)所求直線斜率為，因?yàn)樗笾本€與直線垂直，所以，故，所以直線方程為，即故選：D.4.若直線的斜率大于，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】化一般式為斜截式得到直線的斜率，進(jìn)而列出不等式求解即可.【詳解】直線，即，則直線的斜率為，即，解得.所以的取值范圍為.故選：A.5.，，直線過點(diǎn)，且與線段相交，則直線的斜率取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】首先求出直線、的斜率，然后結(jié)合圖象即可寫出答案．【詳解】解：直線的斜率，直線的斜率，結(jié)合圖象可得直線的斜率的取值范圍是或．故選：．本題考查直線斜率公式及斜率變化情況，屬于基礎(chǔ)題．6.已知直線的斜率是方程的兩個(gè)根，則（）A. B.C.與相交但不垂直 D.與的位置關(guān)系不確定【正確答案】C【分析】由可知兩直線不垂直，且知兩直線不平行，由此可得結(jié)論.【詳解】設(shè)直線的斜率為，則，，不垂直，A錯(cuò)誤；若，則，與矛盾，，不平行，B錯(cuò)誤；不平行，也不垂直，相交但不垂直，C正確，D錯(cuò)誤.故選：C.7.二面角－－為60°，A、B是棱上的兩點(diǎn)，、分別在半平面內(nèi)，，，且，，則的長為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由已知條件和空間向量加法可得，再根據(jù)向量模和數(shù)量積的關(guān)系可得，由此能求出的長．【詳解】因?yàn)槎娼牵瓰?0°，A、B是棱上的兩點(diǎn)，、分別在半平面內(nèi)，，，所以，，又所以.所以的長為.故選：D.本題考查空間線段長的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．8.已知在正方體中，P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則直線與直線所成角余弦值的范圍是（） B. C. D.【正確答案】A【分析】設(shè)正方體的棱長為1，以所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，可設(shè)，從而得到，，再根據(jù)向量的夾角公式即可求出，求函數(shù)值域即可．【詳解】設(shè)正方體的棱長為1，如圖所示，以所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則有．設(shè)，則，，所以．又因，所以．故選：A．本題主要考查利用向量解決直線與直線所成角問題，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.以下四個(gè)命題中正確提（）A.空間的任何一個(gè)向量都可用其它三個(gè)向量表示B.若為空間向量的一組基底，則，，全不是零向量C.縱坐標(biāo)為0的向量都共面D.任何三個(gè)不共線的向量都可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底【正確答案】BC【分析】根據(jù)空間向量的基底的定義：任何三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間向量的一組基底，逐次分析A、B、D三個(gè)選項(xiàng)，可得出結(jié)論，縱坐標(biāo)為0的向量都在平面中，可以判斷C．【詳解】空間的任何一個(gè)向量都可以用其他三個(gè)不共面的向量表示，A中忽略了基底必須為三個(gè)“不共面的向量”這個(gè)限制條件，故A錯(cuò)誤；若為空間向量的一組基底，則三者中任意兩個(gè)都不共線，故任何一個(gè)都不能為零向量，選項(xiàng)B正確；縱坐標(biāo)為0的向量都在平面中，所以都共面，故選項(xiàng)C正確；任何三個(gè)不共面的向量可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底，三個(gè)向量不共線時(shí)可能共面，故D錯(cuò)誤．故選：BC．10.下列說法錯(cuò)誤是（）A.平面內(nèi)所有的直線方程都可以用斜截式來表示B.直線與y軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為C.在x軸、y軸上截距分別為a，b的直線方程為D.兩條直線中，斜率越大則傾斜角越大【正確答案】ACD【分析】對于A選項(xiàng)，利用垂直于x軸的直線；對于B選項(xiàng)，根據(jù)直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為判斷；對于C選項(xiàng)，利用直線過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)不滿足判斷；對于D選項(xiàng)，舉例兩條直線的傾斜角分別為判斷.【詳解】解：對于A選項(xiàng)，垂直于x軸的直線不能用斜截式表示，故錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，由于直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故原點(diǎn)的距離為，故正確；對于C選項(xiàng)，當(dāng)直線過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，直線在x軸、y軸上的截距均為0，不能用方程表示，故錯(cuò)誤.對于D選項(xiàng)，若兩條直線的傾斜角分別為，則斜率分別為，顯然不滿足，故錯(cuò)誤.故選：ACD11.已知圓心為的圓與點(diǎn)，則（）A.圓的半徑為2B.點(diǎn)在圓外C.點(diǎn)與圓上任一點(diǎn)距離的最大值為D.點(diǎn)與圓上任一點(diǎn)距離的最小值為【正確答案】BCD【分析】把圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，寫出圓心和半徑，再逐一分析各選項(xiàng)并判斷作答.【詳解】依題意，圓：，則圓心，半徑，A不正確；因點(diǎn)，則，點(diǎn)在圓外，B正確；因點(diǎn)在圓外，在圓上任取點(diǎn)P，則，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P，C，A共線，且P在線段AC延長線上時(shí)取“=”，C正確；在圓上任取點(diǎn)M，則，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C，M，A共線，且M在線段CA上時(shí)取“=”，C正確.故選：BCD第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.點(diǎn)到直線的距離為______．【正確答案】【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算得解.【詳解】點(diǎn)到直線的距離為.故13.已知平面的法向量，直線l的方向向量，若，則________．【正確答案】12【分析】由線面位置關(guān)系和空間直線方向向量與平面法向量的定義可解.【詳解】∵．則，即，解得．答案：14.若為圓：上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，則的取值范圍為______.【正確答案】【分析】判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，利用圓的性質(zhì)即可得解.【詳解】圓：化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓的內(nèi)部，且，所以的取值范圍為.故四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.（1）求直線與的交點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求兩條直線與間的距離.【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）聯(lián)立直線方程求解即可得交點(diǎn)；（2）將方程化為，由平行直線間的距離公式求解.【詳解】（1）聯(lián)立，得，故直線與的交點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）方程可化為，所以兩條直線與間的距離.16.已知空間中三點(diǎn)，，.設(shè)，.（1）求；（2）若與互相垂直，求實(shí)數(shù)的值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）求出向量的坐標(biāo)，然后利用向量模的計(jì)算公式求解即可；（2）先求出兩向量的坐標(biāo)，再利用垂直的坐標(biāo)形式列式求解即可.【小問1詳解】，，，，，，，于是，.【小問2詳解】，，又與互相垂直，，即，，解得.17.圓C過點(diǎn)，，且圓心在直線上.（1）求圓C的方程；（2）P為圓C上的任意一點(diǎn)，定點(diǎn)，求線段中點(diǎn)M的軌跡方程.【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）求得線段垂直平分線的方程，與直線方程聯(lián)立，求得圓心的坐標(biāo)，由求得半徑，由此求得圓的方程.（2）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，由此求得點(diǎn)坐標(biāo)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程，化簡求得點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】（1）直線的斜率，所以的垂直平分線m的斜率為1.的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別為，.因此，直線m的方程為.即.又圓心在直線上，所以圓心是直線m與直線的交點(diǎn).聯(lián)立方程組，解得所以圓心坐標(biāo)，又半徑，則所求圓的方程是.（2）設(shè)線段的中點(diǎn)，M為線段的中點(diǎn)，則，解得代入圓C中得，即線段中點(diǎn)M的軌跡方程為.本小題主要考查圓的方程的求法，考查動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法，屬于中檔題.18.如圖，在三棱錐中，平面，，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，，.（1）求點(diǎn)到直線的距離（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離.【正確答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出等腰三角形腰上的高即可求出點(diǎn)到直線的距離.（2）依題意建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量及面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求出直線與平面所成角的正弦值；（3）利用向量法可求出點(diǎn)P到平面的距離．【小問1詳解】三棱錐中，平面，平面，則，又，，，則，，，于是等腰腰上的高，由，分別是棱，的中點(diǎn)，得，是的中位線，所以點(diǎn)到直線的距離為.【小問2詳解】依題意：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，又，，分別是棱，，的中點(diǎn)，，得，則，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則，取，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.【小問3詳解】由（2）知，，點(diǎn)P到平面的距離，所以點(diǎn)P到平面的距離為.19.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，Q為的中點(diǎn)，M是棱上的點(diǎn)，，，．（1）求證：平面平面；（2）若，求異面直線與所成角的余弦值；（3）在線段上是否存在一點(diǎn)M，使二面角大小為？若存在，請指出點(diǎn)M的位置，若不存在，請說明理由．【正確答案】（1）證明見解析（2）（3）存在，點(diǎn)M位于靠近點(diǎn)C的四等分處【分析】（1）由面面垂直證平面，再證平面平面；（2）以Q為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由向量法求線線角；（3）設(shè)，，由向量法利用二面角建立方程求解.【小問1詳解】證明：因?yàn)椋?，Q為的中點(diǎn)，所以四邊形為平行四邊形，所以．所以，即．又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面．平面，?/p>