2024-2025學(xué)年廣西南寧市高二年級上冊12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年廣西南寧市高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題

一、單選題（本大題共8小題）

1.已知函數(shù)>=/G）可導(dǎo)，且+一川）=1,則曲線y=/（x）在點處

心一°Ax

的切線傾斜角為（）

A.45°B.60°C.120°D.135°

2.若方程/+/-2夕+1-冽=0表示圓，則實數(shù)制的取值范圍為（）

A.B.（1,+℃）C.D.（0,+e）

丫2

3.已知雙曲線C:十/=］卜>1）的焦距為％則C的漸近線方程為（）

A.y=±瓜B.y=±x

C.y=±V2xD.y=±―■尤

,3

4.已知點/（2,0）,5（0,4）,若過2（-6,-8）的直線/與線段相交，則直線斜率后的

取值范圍為（）

A.k<｝B.k>2C.k>2^k<\D.\<k<2

,、，、S3〃+42aA

5.已知等差數(shù)列｛%｝和低｝的前〃項和分別為S,,T?,若黃=一不，則廠長

（）

1113711137

A.B.—C.D.--

13132626

22

6.已知橢圓C:\+2=l的左、右焦點分別為片，F(xiàn)2,過點片的直線與橢圓C交于

3

42兩點，若/印=勺片川，且44月8=90。，則橢圓的離心率為（）

B.W

D

3-T

7.已知拋物線。：/=2"（P〉0）的焦點尸到準(zhǔn)線的距離為2,過焦點尸的直線/與拋

物線交于45兩點，則3|4尸|+4|5尸|的最小值為（）

A.473+7B.873+14C.16V3+28D.

2g+2〃-2,〃為奇數(shù)一

8.已知數(shù)列｛?！埃那啊椇蜑镾”且％T,4+1…偽偶數(shù)’則舟的值為

(

A.949B.1160C.1276D.2261

二、多選題(本大題共3小題)

9.已知數(shù)列｛?！埃那啊椇蜑镾，％=1,a2=2,且0“+2-2%+[+°“=06eN").記

T?=-+—+---+—(neN*),則下列說法正確的是()

心Sis”'

A.｛%｝為等差數(shù)列B.。"=〃+1

10.已知圓C:(x-l)2+(y-2)2=25,<^/:(l-m)x+(3w-1)7-2=0,則以下幾個命題

正確的有()

A.直線/恒過定點(3,1)

B.圓C被y軸截得的弦長為2c

C.直線/與圓C恒相交

D.直線/被圓C截得最短弦長時，直線/的方程為尤+2了-5=0

22

11.如圖，圓.F1；(x+2)+y=4,圓尸2：(x-21+必=36,動圓尸與圓尸1外切于點

M,與圓廠2內(nèi)切于點N,且尸，M,N不重合，圓心尸的軌跡記為曲線C則

A.曲線C的方程為—+^=1

1612

B./MPN的最小值為120。

3

C.曲線。的一條弦45被點(2,1)平分，貝ljkAB=~~

D.MPPF\+NPPF\<2

三、填空題(本大題共3小題)

12.雙曲線4爐-/-64=0上的一點尸到一個焦點的距離等于7,那么點P到另一個

焦點的距離等于.

13.南宋數(shù)學(xué)家楊輝為我國古代數(shù)學(xué)研究作出了杰出貢獻，他的著名研究成果“楊輝

三角”記錄于其重要著作《詳解九章算法》，該著作中的“垛積術(shù)”問題介紹了高階等

差數(shù)列.以高階等差數(shù)列中的二階等差數(shù)列為例，其特點是從數(shù)列中的第二項開始，

每一項與前一項的差構(gòu)成新的等差數(shù)列.若某個二階等差數(shù)列的前4項為2,3,6,

11,則該數(shù)列的第10項為

4

14.已知正項數(shù)列(%｝是公比不等于1的等比數(shù)列，且am*4=l，若/(無)=不/，

則/(。1)+/(。2)…+/(。2024)=.

四、解答題(本大題共5小題)

15.在VABC中,2ccosC=V5acosB+/56cos/

⑴求“；

(2)若6=6,且V/BC的面積為66，求VA8C的周長.

16.已知圓C:f+/—4x-6y+4=0.

⑴若直線/經(jīng)過點/(T-3),且與圓。相切，求直線/的方程；

⑵設(shè)點。(3,2),點石在圓C上,“為線段DE的中點，求M的軌跡的長度.

17.如圖，在四棱錐中，四邊形48CD是矩形，人”。是正三角形，且平面

平面N3C。，48=1,P為棱/。的中點，四棱錐S-/3CD的體積為蛀.

(1)若E為棱8S的中點，求證：PE〃平面SCO；

(2)在棱M上是否存在點M,使得平面可“與平面&4。的夾角的余弦值為叵？若

7

存在，指出點W的位置并給以證明；若不存在，請說明理由.

18.已知數(shù)列｛%｝的前"項和為S”,S“=2a「；(”eN*)，數(shù)列他,｝滿足a=1,

b?-b,1+l+2=0-

⑴求數(shù)列｛%｝,｛"｝的通項公式；

⑵令C"=2a，也，求數(shù)列｛c“｝的前〃項和7；；

(3)若2>0,存在正整數(shù)〃使得，%+左幾+2>北成立，求人的取值范圍.

19.已知拋物線C：Y=2汲(p>0)的焦點廠關(guān)于直線昨-2的對稱點為(0,-5).

(1)求C的方程；

(2)若O為坐標(biāo)原點，過焦點產(chǎn)且斜率為1的直線4交C于48兩點，點￡為拋物線C

上異于48的一個動點，試根據(jù)面積S的不同取值范圍，討論“2E存在的個

數(shù)，并說明理由.

(3)過點M(4,l)的動直線4交拋物線C于不同的尸,0兩點，N為線段尸。上一點，且滿

足1PMHQVH尸NHQWI，證明：點N在某定直線上，并求出該定直線的方程.

答案

1.【正確答案】A

【詳解】由1加〃1+""1）=1,可得/'⑴=1,

-Ax

則曲線y=/（x）在（1/（1））處的切線斜率為1,

由tan6=l（6為傾斜角），。?0。,180。），可得。=45。.

故選：A.

2.【正確答案】D

【分析】將方程化為標(biāo)準(zhǔn)式即可.

【詳解】方程尤2+/一2了+1-加=0化為標(biāo)準(zhǔn)式得

x1+^y—\y—m,則〃7>0.

故選：D.

3.【正確答案】D

【詳解】由題意可知/+1=4,所以/=3,所以雙曲線C:二-/=1的漸近線方程為

3

V=±——X.

3

故選：D.

4.【正確答案】D

【分析】根據(jù)題意，求出直線尸/,總的斜率，結(jié)合圖象可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，一（2,0）,S（0,4）,P（-6-8）,

-8-0-8-4

貝UkpA--——二1,kpB=2,

-6-2-6-0

結(jié)合圖象可得直線的斜率左的取值范圍是1〈左K2.

故選：D.

Bi

PI

5.【正確答案】B

【分析】計算出由等差數(shù)列的性質(zhì)得變=答，從而得到答案.

4113Tnb6b2+bwb6

S3〃+4

【詳解】因為等差數(shù)列何｝和他,｝的前〃項和分別為S",T?,滿足行=]”，

11(%+%1)

品_2_&牝2a6.2a6.J

Tn~11/+配)一be'乂b2+bl02b$b613

故選B.

6.【正確答案】C

【詳解】設(shè)43=力,則“月=3f,/B=5t,

由橢圓的定義得，4F?=2a-3t,BF2=2a-2t,

2222

由ZAF2B=900得AF^+BF：=AB,即(2a-3t)+(2a-2t)=(5Z),

整理得3”+5aL2/=0,解得￡=或，=-2。(舍去)，

:?AB二三a’AF?二a,AF、=a,故點A在V軸上.

如圖，在直角△48&中，cosA=^-=-f

AB5

/62+盟2_*2_Q2+/一公23

在△片典中,cosA

2AF黑2F2aa5

化簡得《=之，

a5

；?橢圓的離心率e=好.

5

故選：C.

7.【正確答案】A

【詳解】

因為拋物線。：/=28（0>0）的焦點尸到準(zhǔn)線的距離為2,故。=2,

所以拋物線的方程為V=4x,焦點坐標(biāo)為(1,0),

設(shè)直線/的方程為：x=ty+\,A(xx,yx),B[x2,y2),不妨設(shè)％>0〉％,

x=ty+l

聯(lián)立方程〈9,整理得V—4"-4=0,貝UM+%=4%/]%=—4,

y=4x

22

故王馬=x匕~=1,又|4b|=芭+K=芯+1/BF\=x2+—=x2+\,

4422

則3|/尸|+41&F|=3為+3+4吸+4??344%+1=曠3+：,

當(dāng)且僅當(dāng)寸與,》與時等號成立‘故3?S的最小值為4用7.

故選：A.

8.【正確答案】A

【詳解】由題意：的=2%+2xl-2=2,

a2n=2%_i+2x(2〃-1)-2=2a2n_1+4M-4=2[(Z2?_2-(2M-2)]+4n-4=2a2n_2,

所以｛%,｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以出“=2",

a=1

所以2n-l。20-2—(2"—2)=2"—2?+2.

所以為+%+%+…+%7=(20+2,+…+2)-2(1+2+…+9)+2x9=29-1-2x45+18=439,

%+%+&+,■■+%6=2,+2~+,,?+2^=2。-2=510.

所以*=439+510=949.

故選：A.

9.【正確答案】ACD

【詳解】由％+2-2〃用+%=0變形得an+2~%+1=an+l~an，即｛%｝為等差數(shù)歹U,

因為%=1,%=2,所以a“=",S“=0+；）〃,

nn+\

0

m-1

故ACD正確.

故選：ACD

10.【正確答案】AC

【詳解】選項A中，直線/的方程整理得（x->-2）+機（T+3y）=0,

[x-y-2=0fx=3一

由，八，解得，，；.直線過定點尸（3,1）,故A正確；

[-x+3y=0[y=l

選項B中，在圓C方程中令x=0,得1+3-2）2=25,解得了=2±2n，

/?了軸上的弦長為（2+2而）一（2-2新）=4指，故B錯誤；

選項C中，（3-1）2+（l_2f=5<25,；.尸（3,1）在圓C內(nèi)，直線/與圓C一定相交，故C

正確；

1-21

選項D中，直線/被圓C截得弦最短時，直線/LCP且左°=打=-2，

：.k,=2,則直線/方程為>一1=2。-3）,即2無一尸5=0,故D錯誤.

故選：AC.

11.【正確答案】BCD

【詳解】因為圓片：（尤+2『+/=4的圓心為耳（-2,0）,半徑為4=2,

圓心:（x-2）2+/=36的圓心為巴（2,0）,半徑為％=6,

對于A項，設(shè)動圓尸的半徑為『，由條件得忸G|=r+2,p&=6-r,

則|尸耳|+|尸鳥|=8>國閶,且尸，跖N不重合,

故點尸的軌跡為以「名為焦點的橢圓（去掉重合的點），

則曲線C的方程為：W+《=l（xwT），故選項A錯誤；

1612

對于B項，由圖知，/MW與/耳尸與互補，當(dāng)NMPN取最小時，則/可尸耳取最大,

當(dāng)點尸位于橢圓的上下頂點時，4尸月取最大，此時附|=附|=4=|￡周，

即/4尸6=60。，則/MW的最小值為120°,故選項B正確；

對于C項，設(shè)該弦與橢圓的兩個交點分別為/（國,M），B（x2,y2）,

x1+x2=4

貝1JkAB且點（2,1）為中點，則

?+%=2'

N2

I

+21

為

因1N612，兩式作差可得&三+互3=（）,

%

+一,1612

=1

11612

則號展91.21±三」，

%-x2玉-x2x1+x24

233

即時可得如=-5，故選項c正確；

對于D項，MP-PF^NP-PF2=-r（r+2）+7'（6-r）

=2r（2-r）<2x「+；-]=2,

當(dāng)且僅當(dāng)廠=1時，等號成立，故選項D正確.

故選：BCD

12.【正確答案】15

【詳解】由4/一/-64=0,可得上一匕=1,所以『=16,所以。=4,

1664

不妨設(shè)雙曲線《-片=1的左右焦點為4月，且IP印=7,

1664

由雙曲線的定義，可得||尸印-|刊官|(zhì)=24=8,

所以|7-|「乙||=8,解得|帆|=8+7=15或|時|=-8+7=-1（舍去）.

故答案為.15

13.【正確答案】83

【詳解】設(shè)二階等差數(shù)列為｛%｝,令，=%+「%，

貝U向=%—%=1，b2=a3—a2=3fb2—bx=3—1=2,

由題意可得：數(shù)列｛勾｝是以首項為1,公差為2的等差數(shù)列，

則a=1+2（〃-1）=2〃-1,即an+l-an=2〃-1,

以Q]0=(。10—〃9)+(“9一〃8)+…+(“2—4)+"1=(17+15+，一+1)+2

=也9+2=83.

2

故答案為.83

14.【正確答案】4048

【詳解】由等比數(shù)列性質(zhì)可得;。1。2024=。2。2023=03a2022=…=%012%013=1,

4x2

4

又因為函數(shù)"x)K1+7,

14Y24

即/(-)+/W=——r+——r=4，所以/(%)+/(4024)=4；

xl+x1+x

令T=令q)+/(%)+/(%)+,?,+7(^2024)，

則T=/(。2024)+/(°2023)+/(“2022)+…+/(%)；

所以27=[/(?2024)+〃[)]+[/(?2023)+/Q)]+…+[/(?i)+/(?2o24)]=4x2024,

即T="3+/Q)+/(%)+…+/(?2024)=4048.

故答案為.4048

15.【正確答案】(1)C=?

6

(2)6V3+6

【詳解】(1)由題意結(jié)合正弦定理可得

2sinCcosC=V5sirt4cosB+Esin5cos/=5/^sir(A+=V_3sinC,

EP2sinCcosC=V3sinC，

*.*CG(0,兀),:.sinC>0,

cosC=-，故/C=￡.

26

(2)由LZBC=5〃bsinC=5。=6百，解得q=4\/§.

由余弦定理可得。2=/+/—2。6cosc=48+36—2x46x6x3=12,

2

c=25/3，

**.V4BC的周長為a+b+c=6^/3+6.

16.【正確答案】(1)久=—1或3x-4y—9=0

⑵3兀

【詳解】(1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為:(尤-2)2+(y-3)2=9

因為(-1-2)2+(-3-3)2=45>9,

所以點/(T-3)在圓外,

故過點/且與圓C相切的直線有2條，

①當(dāng)直線/的斜率不存在時,/:x=T

圓心C(2,3)到直線/的距離d=|2-(-l)|=3=r

所以直線/與圓C相切.

⑵當(dāng)直線/的斜率存在時，可設(shè)直線/：了+3=左（》+1）,即履-y+”3=0

2k-3+k-3怏-6|

所以圓心。到直線/的距離4=

依+1

3^-63

由題意d==3,解得左=1，

J1+14

39

止匕時/：_%_）——=0,即/:3%—4歹一9=0,

44

終上所述，直線/的方程為久=-1或3x-切-9=0.

（2）設(shè)石（%,%）,M（羽丁）,因為M為DE的中點，

I2

因為點￡在圓C上，

所以（％-2『+（九-3『=9,

即（2A5）2+（2-）2=9,

9

4

gg）為圓心，|為半徑的圓,

所以點”的軌跡是以

3

所以M的軌跡的長度為2兀x—=3兀.

2

17.【正確答案】（1）證明見解析

（2）存在，且點可為線段SN的中點

【詳解】（1）證明：取SC的中點尸，連接。尸、EF,

E\<-E,尸分別為S3、SC的中點，所以，EF//BCS.EF=-BC,

2

;,-\D

AB

因為四邊形48C。是矩形，所以，BC//AD且BC=AD,

因為P為棱4。的中點，貝1JPD〃8c且尸所以，EF//PDS.EF=PD,

2

所以，四邊形芭為平行四邊形，PE//FD,

又如u平面SCO,PEa平面SC。，尸￡〃平面SCD.

(2)解：假設(shè)在棱皮上存在點M滿足題意，如圖，連接SP、MP、MB,

在等邊中，尸為AD的中點，所以SPL4D,

又平面&4。_L平面/BCD,平面"De平面N8CD=ZD,SPu平面&W,SP_L平面

ABCD,則SP是四棱錐的高，

設(shè)4D=m(jn>0),則SP=m,S矩形力叱。=,AD=m,

所以‘%棱錐5.應(yīng)》=3矩形小￡尸=*乂和=*7?2='￡'所以機=2,

以點尸為原點，PA-刀、示的方向分別為X、V、Z軸的正方向，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則尸(0,0,0)、/(1,0,0)、5(1,1,0),S(0,0,V3),

故尸/=(1,0,0),必=(1,1,0),^=(-1,0,73),

設(shè)商=AAS=(-2,0,V32)(0<A<1),

PM=~PA+AM.

—,、n,-PM=(1-A)x+V32z

設(shè)平面尸A"的一個法向量為4=(x,y,z),則《_____.

[nx-PB=x+y=0

取X=A/%1，則歹=一64,z=A-l,所以，=(A/—1).

LU

易知平面"D的一個法向量為〃2=(0,1,0)，

整理可得2—=。,解得，毛，合乎題意’

所以，當(dāng)點M為線段網(wǎng)的中點時，平面尸5W與平面S4D的夾角的余弦值為應(yīng).

18.【正確答案】⑴%=2"力b產(chǎn)2〃-1；

（2）4=3+2"X（2〃-3）；

（3）左＞-2.

【詳解】（1）由5,=2%一（（"€2）得：S“+j=2a“+「；（〃eN*）,

兩式相減得：。,+1=2a?+1-2a”nan+l=2an,

所以數(shù)列｛為｝是等比數(shù)列，公比為2,

111

由于工=2%-5二%=丁即氏=]X2"T=2"-2,

又因為“一61+2=0,所以如「4=2,

即數(shù)列｛"｝是等差數(shù)列上，公差為2,首項為4=1,

所以，=1+（〃-1）2=2〃一1,

即%=2"-2七=2〃-1；

（2）由于g=24?〃=2x2"-2x（2?-1）=2"-1x（2?-1）,

貝（JTn=g+C2+C3+,—c“=2。x1+2^x3+2?x5+…+2"x（2〃-1）,

利用錯位相減法，則

27；=2ixl+22x3+23x5+--+2"x（2〃-l）,

上面兩式相減得：

..4x（l-2f

7；-27；=2°xl+（2/2+22x2+…+2"\2）-2"xg-1）=l-2"x《"一1十一------＞

貝f=_3_2"X（2I）+2〃+In]=3+2"x（21）_2"+i=3+2"X（2:L3）,

即7；=3+2"x（2"-3）；

（3）由于。"=2"-3（2〃-1）＞0,所以數(shù)列上｝是遞增數(shù)列，即1=3+2%（2〃一3）21,

因為當(dāng)X＞0,存在正整數(shù)〃使得，%+9+2＞北成立，

則A,2+kA+2>l,由幾＞0,變形得：

因為彳＞0,由基本不等式可得力+!?2,當(dāng)且僅當(dāng)4=1時取等號,

A

所以有-<-2,

貝1J有左＞一2.

19.【正確答案】(1)拋物線C的方程為f=4y

(2)當(dāng)A4B￡的面積小于4正時，有4個

當(dāng)A4B￡的面積等于4c時，有3個